二项式定理的应用教案 人教课标版

《二项式定理的应用》教案

教学目标

.利用二项式定理及二项式系数的性质解决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算；

求余数或证明某些整除或余数的问题等.

.渗透类比与联想的思想方法，能运用这个思想处理问题.

.培养学生运算能力，分析能力和综合能力.

教学重点与难点

数学是一门工具，学数学的目的就是为了应用.怎样建立起要解决的问题与数学知识

之间的联系(如一个近似计算问题与二项式定理有没有联系，怎样联系)，是这节课的难点,

也是重点所在.

教学过程设计

师：我们已经学习了二项式定理及二项式系数，请大家用分钟时间完成以下三道题：

()在(一)(+)的展开式中，的系数是多少？

()求(+-)展开式中含的项.

(3)证明：C：+C：+C：+…+^+…+喋=2”.

(全体学生参加笔试练习)

分钟后，用投影仪公布以上三题的解答：

()原式(+)—(+),可知的系数是o第六项系数与一(十)

的第三项系数之和即：-=252-45=207.

()原式[+(—)]+(—)+(—)+(—)+(—)+(—)+(一)・

其中含的项为：•+(一)+.

(3)运用(a+b)n=C°an+C^a^b1+…++…+C^bn(n€N).

设a=b=l,则2"=C：+C：+C：+…+C：+…+C：.

师：解()，。两题运用了变换和化归思想，第()题把三项式比为二项式，创造了使用二

项式定理的条件.

第0题的解法是根据恒等式的概念，，取任何数时，等式都成立.根据习题结构特征

选择，的取值.这种用概念解题的思想经常使用.

下面我们看二项式定理的一些应用.

例1求证：C：+3C：+9C：+…+3久*=22n.

师：请同学们想一想，例怎样解？

生甲：从结构上观察，则与练习的第0题有相以之处，只是组合数的系数成等比数列,

是否根据二项式定理令，，即可得到证明.

师：请同学们根据生甲所讲，写出证明.

(找一位同学板演)

证明：在(+)的展开式中令，得：

(1+3)n=C：+3C：+9C：+…+3n£.

fiP4n=C：+3C：+9C：+…+3nC〉

则2*=C：+3C：+9C：+…+3y.

师：显然，适当选取，之值是解这一类题的关键.再看练习题.

练习

1.求武+94+92。：+93q+9y的值.

生乙：这题与例1类比有共同点，仍是组合数的运算，不同点是缺少了C?,此

我考虑如能用二项式定理解，应对原题做以下变换:

。取;

⑵把原式乘以92,使其成*4结构形式

⑶增加以+9C：两项.

师：分析得很透彻.这种敢想、会想精神是每位同学都要培养的.首先是敢字，不要

一见题目有些生疏就采取放弃态度；要敢于分析，才能善于分析，将来才敢于创新，善于

创新.

请大家把解题过程写在笔记本上.

（教师请一名同学板演）

解：原式=3(92俄+93或+94c廿954+96以)

y

=!&+E+9Y+93或+9,C：+9«+96以)-$(C廿9或).

在（十）的展开式中令.，得

(1+9)6=C&+9C：+9?或+93C/9，C：+954+964.

即1。6=武+9以+9弋；+93俄+9，C：+95C：+96C：.

因僦+9以=1+9X6=55,

则92C：+93媒+94C：+C：=1(/-55=999945.

所以C：+9年+924+93或+94以=，•999945=12345.

师：解题过程从“在（十）的展开式中令，”写起就可以了.希望同学们再接再励，完

成下个练习.

练习

2.求证：C：_C：+C：---=(V2)n•cos-n^—兀；

Ci-Cn+Cn-'"=(V2)nsin^.

师：大家议论一下，这道题能用二项式定理来解吗？

生丙：初步观察，与上节课我们学习的：“在(十)的展开式中，奇数项的二

项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C：+C；+C：+…=c：+c：+c：+

…进一步观察发现符号问题无法解决.我们注意到组合数代数和的值为余弦值或正弦

值，又注意到正项出现在(十)二项展开式的通项的(，，，…)或+(,,,…)，负项出现在

+(,,,…)或+(,,,…)，而虚数单位有以下性质：

>，-，-(G).

于是想在(+)的展开式中令，.

师：分析得有道理，请同学们按生丙同学的意见进行演算.

(教师找一位同学板演)

证明：设是虚数单位，在(十)的展开式中令，得；

(1+1尸=c：+4+*+*+…+喘产

=c：+dY-c$+C+-“+c炉

=d+c：Y+・“)+“c：Y+c：y+*“).

另一方面，又有

7TTT1in

(i+y=cos—+1sin—

V244)

由此得到

(娉cos?+i(®sin^

=d+c：—c：+-)+“c：Y+c：—c：+一).

根据复数相等定义，有

C：一C：+或一C：+…=（、也）nCOS^；

C：Y+C：-C：+…=闺"Sin..

师：认真分析习题的结构，运用类比与联想的思想方法，可以帮助我们找到解题的思

路，下面我们研究二项式定理在数字计算方面的应用.

例计算：（精确到）.

生丁：这道题若用二项式定理计算，必须把看作+,这样，（十）

师：计算简单吗？

生戊：把化为（一），再展开，由于精确到，不必各项都计算.

师：按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下.

（教师找一位同学板演）

解：（一）

—XX+XX—XX+…

由于<<7父，则++<.

所以七—十7.

师：年全国高考有这样一道应用题：

（用投影仪示出，老师读题）

某地现有耕地公顷，规划年后粮食单产比现在增加％,人均粮食占有量比现在提

高％.如果人口年增长率为％,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到公顷）？

总产量,人均粮食占有量二号）

（粮食单产=

耕地面积

稍候，教师问:

谁想出解法了，请讲一讲.

生己：设该地区现有人口为人，粮食单产为吨公顷，耕地平均每年至多只能减少公顷.

十年后耕地亩数：一，

十年后总产量：X（+%）（一）.

十年后人口：x（十%）,

依题意可以得到不等式

MX(1+22%)X(104-10x)MX104

X（l+10%）.由此不等式解出x的范围.

PX(1+1%)WP

师：实际计算时，会遇到（+）的计算问题，请全体同学在笔记本上迅速计算出来.

（教师请一同学板演）

10

(l+O.Ol)=1+C；OXO.O1+C；OXO.O12+”・

4-X+x+…

师：真迅速啊！请同学们课下把这道高考题完成.

（答案：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少公顷）

现在，我们再讨论一个新的问题.

例如果今天是星期一，那么对于任意自然数，经过+++天后的那一天是星期几？

生庚：先将此题转化为数学问题，即本题实际上寻求对于任意自然数，+++被除的

余数.

受近似计算题目启发，（+）,这样可以运用二项式定理了，

并与7发生了联系.显然除去最后一项C*都有7的倍数，7n也是7的倍数，最后余

数是1加上5,是6了.

师：请同学们在笔记本上完成此题的解答

（教师请一名同学板演）

解：由于++++(+)++

n+1n

=7+C^+17+C：+i7“i+…+或+/+C*+7n+5

=7。+C37"I+Ct-"：+…+C3+n)+6,

则++被除所得余数为

所以对于任意自然数，经过++后的一天是星期日.

师：请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：一能被整除吗？

(教师在教室内巡视，分钟后找学生到黑板板演)

解：-(+)

!=7677+3?♦76花+%•7675+…+C%76+C2-1

由于能被整除，因此一能被整除.

师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？

生辛：这是个嘉的计算问题，可以用二项式定理解决.如果把改成(+),显然展开式

中最后一项仍然不易判断是否能被整除，于是我想到若一能被，或能被，或能被，或能被

整除，必能被整除，而与只差，故欲证一被整除，只需证(十)被整除.得到了以上的解法.

师：二项式定理解决的是乘方运算问题，因此事的问题可以考虑二项式定理.下面我

们解一些综合运用的习题

例4求证：3n>2n-1(n+2)(n€N,且n>2).

师：仍然由同学先谈谈自己的想法.

生壬：我觉得这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将换成十.

左式=(2+l)n=251+C：.2*1+C；.2n-2+…+C：T2+C：

=211+n•2#1+(C：2*2+…+Ch]♦2+C：).

注意到:

①2"+n♦2*i=2*1(2+n)=2n-1(n+2)；

②n32,右式至少三项；

③C：2"-2+•••+(：?♦2+C；〉0.

这样，可以得到＞(+)(G，且书.

生癸：根据题设条件有G,且N.用数学归纳法应当可以证明.

师：由于观察习题时思维起点不同，得到了习题不同解法，生X同学从乘方运算这点

考虑，想到二项式定理，生X同学从题设条件C考虑，想到数学归纳法.大家要养成习惯,

每遇一题，从不同角度观察思考，得到更多解法，使我们思考问题更全面.

用二项式定理证明，生父同学已经讲清楚了证明过程，大家课下在笔记本上整理好，

现在请同学们在笔记本上完成数学归纳法的证明.

(教师请一名同学板演)

证明：①当时，左式，右式(+)＞＜,显然＞.故不等式成立.

②假设(6且2)时，不等式成立，即＞(+),则当+时，

由于左式=3"i=3・3k>3•2k-1(k+2)=3k*2k-1+3•2k.

右式=2&+i)T[(k+1)+2]=2k(k+3)=k*2k+3*2，

=3k*2k-1-2k*2k-1=k*2^>0,

所以左式〉右式.故当十时，不等式也成立.

由①，②不等式对2,e都成立.

师：为了培养综合能力，同学们在笔记本再演算一道习题:

设C且〉，求证：

(l)C^+C^+-+C^=l+2+22+-+2n-1

n-1

(2)求证：C：+C：+…+C：〉n・2亍.

(证明过程中可以运用公式：对n个正数a1，a2,…，a.,总有，a+a?+…+

an)^^a1a2---an,式中等号成立的充要条件为a1=a?…=an)

(教师在教室巡视，过分钟找一名同学到黑板板演第()小题，再过分钟找另一名同学板

演第()小题)

证明：(1)由于C：+C：+C：+…+C：=2",

fll]C^+C^+-+C^=2n-C°=2n-1.

.则U；+此+…+'=1+=+炉+…+二—

⑵根据公式：对n个正数a1，a2,an,总有2(a1+az+…+aQ)明鬲不]

有：i+3+1+…+及1闾1♦丁一…二—.

m*.O+n-l)m'n-1).■♦；■♦■■■；♦■■■■♦■■■■

而i♦二♦i…二一=二―=二^

1_____________________10-1)11-1♦■■■■■..-，■■■■■■■♦■,

这样n…班:3♦2n…2"-1=n♦2丁=n♦2亍，

n-1,■♦■♦.I,■:■■■■■♦■，■■■

力u：+=+1+…-L•二丁.

师：哪位同学谈一谈此题应怎样分析？

生寅：第()小题左式与右式没有直接联系，应把它们分别转化，根据二项式系

数的和是2，C：+C：+“*+C：=2n-l.右式是等比数列前n项的和，由求和公式

也能得到》-1.因此得到证明.

第()小题左式与右式也没有直接联系.根据题目给出的公式要出现个正数的

和，因此想到用第(1)小题的结论把C：+(?：+•••+式转化为1+2+2?+…+2^1,

再运用给出的公式即可证明.

师：根据式子的结构想有关知识和思考方法是分析问题的一种重要方法，要在解题实

践中掌握.

本节课讨论了二项式定理主要应用，包括组合数的计算、近似计算、整除和求余数的

计算以及与其他数学知识的综合应用.当然，二项式定理的运用不止这些，凡是涉及到乘

方运算（指数是自然数或