广东省惠阳市高中数学 第1章 三角函数学案(无答案)新人教A版必修4

第1章三角函数

第一课时：1.L1任意角(课前先学案)

【自主学习】精读课本P2-P5,完成课前先学案

【学习目标】

1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角.

2.能在0°到360°范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角.

3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.

【知识梳理】

1.角的概念：

角可以看成平面内一条绕着它的从一个位置到另一个位

置所形成的图形。射线的端点称为角的,射线旋转的开始位置和终边/

终止位置称为角的例点

'正角：按旋转方向形成的角

2.角的分类•零角：射线没有任何旋转形成的角

负角：按旋转方向形成的角

3.终边相同的角

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个,即任一与角a终边相同

的角，都可以表示成»

4.象限角、轴线角的概念

我们常在平面直角坐标系内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的始边与X轴的

非负半轴重合,角的顶点与原点重合。那么，角的终边(除端点外)落在第几象

限，我们就说这个角是第几象限角。如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为轴线

角，轴线角不属于任何一个象限。

象限角的集合：

(1)第一象限角的集合：{A|360Ok<x<36(r-k+90°,kez}

(2)第二象限角的集合：{乂90°+360°•左<x<360°/+l80P，左eZ}

(3)第三象限角的集合：

(4)第四象限角的集合：________________________________________

轴线角的集合：

(1)终边在x轴正半轴的角的集合：Mx=360°M«eZ}

(2)终边在x轴负半轴的角的集合：―

(3)终边在x轴上的角的集合：NX=180°M,RGZ}

(4)终边在y轴上的角的集合：________________________________________

(5)终边在坐标轴上的角的集合：________________________________________

【预习自测】

1.指出这个角是第几象限角。30°,150°,-60°,390°,-390°,-120°

2.在0°至哈60。的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。

(1)650°(2)-150°(3)-240°(4)-990°!5

第一课时：1.1.1任意角(课堂正学案)

【课堂检测】

1.(1)钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？

(2)若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？

✓V

2.己知a与240°角的终边相同，判断一是第几象限角。

2

【拓展探究】

n

己知角a是第二象限角，试判断一为第几象限角？

2

【当堂训练】

1、下列说法中，正确的是（）

A.第一象限的角是锐角B.锐角是第一象限的角

C.小于90°的角是锐角D.0°到90°的角是第一象限的角

2、（1）终边相同的角一定相等；（2）相等的角的终边一定相同；（3）终边相同的角有

无限多个；（4）终边相同的角有有限多个。上面4个命题，其中真命题的个数是（）

A、0个B、1个C、2个D、3个

3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：()

A.{«|90°<a<180°)

B.{同90°+左•180°<a<180o+Z/80°,k&z\

C.{目一2700+公1800<a<—180°+hl80°,k&z}

D.{a|—270°+-36(^<&<—180°+h360。，&@z}

4、与2015°终边相同的最小正角是，绝对值最小的角是

5、若角a的终边为第一、三象限的角平分线，则角a集合是

【小结与反馈】本节内容延伸的流程图为:

注意：

⑴在不引起混淆的情况下，“角a”或“Na”可以简化成“a

⑵零角的终边与始边重合，如果a是零角a=0。；

⑶角的概念经过推广后，己包括正角、负角和零角.

第一课时：1.1.1任意角（课后温学案）

【课外拓展】

必做：

1、设a=-60°,则与角a终边相同的角的集合可以表示为.

2、把下列各角化成a+&-360°(0°Wa＜360°#eZ)的形式，并指出它们是第几象限的

角。

(1)1200°(2)-55°(3)1563°(4)-1590°

3.终边在30°角终边的反向延长线上的角的集合.

4.集合A={a\a=k-90°-36°,k&Z},B={0一180°＜尸＜180°},则

Ar\B=________

a

5、若竺是第一象限角，则a的终边在________________________________

2-

选做(考重点大学必做)：

1、若90°＜£＜。＜135°,则a-尸的范围是,a+4的范围是.

2、(1)与一35°30'终边相同的最小正角是;

(2)与715°终边相同的最大负角是;

(3)与1000°终边相同且绝对值最小的角是;

(4)与-1778°终边相同且绝对值最小的角是.

3、与—15°终边相同的在—1080°《，＜—360°之间的角夕为,

4、己知角a,"的终边相同，则a-夕的终边在.

5、若夕是第四象限角，则180°是第象限角；180°+£是第一象限角。

6、已知a与60°角的终边相同，分别判断2a是第几象限角。

附简要答案：

选做

1、(0°,45°),(180°,270°)

2、324°30f,-5°,-80°,22°

3、―375°和—735°

4,x轴正半轴

5、三，二

a

6、上为第一或第三象限，2a为第二象限

2

必修四第1单元

第二课时：1.1.2弧度制(课前先学案)

【学习目标】

1.理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数

2.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式,会利用弧度制解决某些简单的实际问题

3.了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系

【知识梳理】

一、度的定义及相关知识

L1度角是指把圆周平均分成360等份,其中每一份所对的圆心角的度数。这种用度作

为单位来度量角的单位制叫角度制。

rijrrJn冗

2.设圆心角为〃。的圆弧长为/,圆的半径为r,则/=丝；-=—o

180r180

二、弧度制

1.弧度制的定义

角还可以用弧度为单位进行度量,把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做］

弧度的角，用符号皮表示，读作弧度。

2.弧度数：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为o

如果半径为r的圆心角所对的弧的长为1,那么，角a的弧度数的绝对值是同=:。这

里，a的正负由3的终边的旋转方向决定。

3.角度制与弧度制相互换算

(1)基本公式：360°=rad180°=rad

(2)换算方法：在公式两边都乘以或除以同一个数(不为零)。

4.完成下面的填空：特殊角的度数与弧度数

角度制0°45°60°90°150°180°315°

712万313万

弧度制27r

6

5.弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：设扇形的圆心角是arad,弧长为/,半径为r,

角a的弧度数=,

弧长公式：_____________________________

扇形面积公式：S==(类似于三角形面积公式)

【预习自测】

L把下列各角从弧度化为度。

2.把下列各角从度化为弧度。

(1)-750°(2)-1440°

第二课时：1.1.2弧度制(课堂正学案)

【课堂检测】

1、将下列弧度转化为角度：

兀77r

(1)——二°；(2)一一=°'；⑶3二°；

12------8------------

2、将下列角度转化为弧度：

(1)36°=rad；(2)—105。=rad；

5乃

3、角a的终边落在区间(-3肛-二)内，则角a所在象限是()

2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4、半径为)cm,中心角为120"的弧长为()

兀兀2c27t2乃2

A.—cmB.---cmC.——cmD.----cm

3333

5、(1)已知扇形的周长为8an,圆心角为2md,求该扇形的面积。

(2)己知扇形周长为4cm,求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。

【拓展探究】

1.写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式一360。V尸＜720°的元素

夕写出来。

【当堂训练】

1、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)

()

(A)0(B){«M<a<4}

(C)[a\O<a<^](D){a|-44a4—万或04aM乃}

3.圆的半径变为原来的!，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的倍。

2------------------

4.若2弧度的圆心角所对的弧长是4c〃z,则这个圆心角所在的扇形面积是.

【小结与反馈】

角度制与弧度制是度量角的两种制度。在进行角度与弧度的换算时关键要

抓住180°=乃rad这一关系式，熟练掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式。

第二课时：1.1.2弧度制(课后温学案)

【课外拓展】

必做：

1。120°等于（）rad

,冗717124

A.——B.C.D.

~4

32T

c57rf十

2.7■等于()

6

Ao30°Bo60°C,120°D。150°

3.a=-2rad,则a终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D第四象限

4.一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（）

_1c715_71—X5)

A.1B.—C.一或一万D.一或——

26633

TT

5.扇形圆心角为一，半径为R,则扇形内切圆面积与扇形面积之比（）

3

A.1：3B.2：3C.4：3D.4：9

6.240°=rad;--=度；225°=rad;-=度。

3------------8-----

7.一个扇形弧长为5cm,面积为5cm：则这个扇形圆心角的弧度数

选做（考重点大学必做）:

1、若角a=3,则角a的终边在第象限；若。=-6,则角a的终边在第象

限。

2、圆的半径为10,则2弧度的圆心角所对的弧长为；扇形的面积为一

3、用弧度制表示下列角终边的集合。

(1)直线y=Jit上的角

选做参考答案：

1.二，一

2.20,100

3.Mx=60°+H180°,左eZ}

必修四第1单元

第三课时：1.2.1任意角的三角函数(课前先学案)

【自主学习】精读课本Pll-P17,完成课前先学案

【学习目标】

L掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义.

2.掌握正弦，余弦，正切函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.

3.掌握特殊角的三角函数值

【知识梳理】

一、复习：锐角三角函数的定义：如图1：在平面直角坐标系中，设P(x,y)是角a终边上

不同于原点的任意一点，它与原点的距离|。仔|=Jf+J=「，轴，当a为

锐角时,

sintt=;cosa;tana=

三角函数定义域

二、自主学习：自学P11前2大段内容,完成下面

的填空：

1.三角函数的定义：设P(x,y)是角a终边上不同于原点的任意一点，|。8=厂，

sina=;cosa=;tana=.

2.当巴的终边在y轴上时,a的终边在y轴上，这时点P的横坐标等于，所以

tana=?无意义。除此之外,对于确定的角a,上面三个值都是。所以，正

弦、余弦、正切函数都是以角为自变量的函数，我们将它们统称为三角函数.

3.由于角的第合与实数第之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变

量为实数的函数.

4.如图2,三角函数的定义域：完成下表

5.根据任意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号。

y=sinay—cosay=tana

记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”

【预习自测】

1.已知角a的终边经过点P(2,-3),求sina,cosa,tane的值。

2.填表

030456090180270360

弧度

sina

cosa

tana

第三课时：1.2.1任意角的三角函数(课堂正学案)

【课堂检测】

1.已知角a的终边经过点P(4a,—3a)(a>0),求a的正弦、余弦、正切的值。(变形awO

呢？)

2.已知角a的终边经过点P(-%,-6),且cosa=--—,求x的值

3.(1)若costz>0且tana<0,则角a为第象限角。

(2)使sinacosa<0成立的角a的集合在第象限。

【拓展探究】

1.己知角a的终边在直线y=-3x上，求a的正弦、余弦、正切的值

2.若AABC两内角A、8满足sinAcosS<0,判断三角的形状。

【当堂训练】

1、已知角a的终边过点尸(—1,2),cosa的值为

2、a是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是

A.sinaB.cosaC.tanaD.——--

tana

3、己知角a的终边过点P(4a,-3a)(a<0),则2sina+cose的值是.

2

4、若点P（—3,y）是角a终边上一点，且sina=—则y的值是

5、已知a是第二象限角，P（x,行）为其终边上一点，且cosa=Jx,则sina的值为

4

【小结与反馈】

L正确理解三角函数的定义，能灵活记忆三角函数值在各个象限的符号。2.掌握特殊角的三

角函数值。

第三课时：1.2.1任意角的三角函数（课后温学案）

【课外拓展】

必做：

1、若角a终边上有一点「（凡|。|）3e/?且。70）,则sina的值为（）

A、也B、-也C、土也D、以上都不对

222

2、下列各式中不成立的一个是（）

6汽\

~~>°D、tan^^>0

[5）3

3、己知a终边经过P（—5,12）,则sine=.

4、若a是第二象限角，则点A(sina,cosa)是第象限的点.

5、已知角。的终边在直线y=3-X上，则sin8=；tan8=

选做(考重点大学必做)：

6、设角x的终边不在坐标轴上，求函数>=券=+詈空+霁二的值域。

|sinx\|cosx\|tanx|

7.已知a的终边过(3k—9次+2)且cosa40,sine>0,则％的取值范围

是o

8.函数y=sinx+tanx的定义域为。

9.5卜2-053-3!14的值为(正数，负数，0,不存在)

选做参考答案:

3攵一9W0

6.{3,-1}7.4-2<k<38.<x\x丰％+kn,keZ9.

攵+2>0

负数

必修四第1单元

第四课时：1.2.2同角三角函数关系（1）（课前先学案）

【自主学习】精读课本P18-P20,完成课前先学案

【学习目标】本课时重点是公式的应用之方程思想，较难的变形在下一课时。

1.掌握同角三角函数的基本关系式sii^a+cos2a=1,tana吧；

cosa

2.灵活运用同角三角函数的两个基本关系解决求值、化简等问题。

3.“知一求二”的问题，灵活运用5皿。+（：05。,5111。一©05。,5111。（：05。之间的关系。

【知识梳理】

1.平方关系：sin2x+cos2%=l2.商数关系；出土=

COSX

说明：

①注意“同角”，是一个整体，至于角的形式无关重要，如sin2（2x+q）+cos2（2x+g）=l

等；

②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如

k九

ta6rcoas=si/awez）；

③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

r73~.22sintz.

cos<7=±Vl-sina»sina=1-cosa,cost1=------等A。

tantz

【预习自测】

4,

1.已知cos。=一《，且。为第三象限角，求sin。,tan。的值。

2.已知sina=一,并且a是第二象限角，求cosa,tana的值

2

冗A717t717T

3.已知sin(2a--)=—,且一<2a---<乃，求cos(2。----),tan(2a----)的值。

352333

4.化简

(1)Vl-sin244O.(2)Vl-2sin40cos40.

第四课时：1.2.2同角三角函数关系（1）（课堂正学案）

【课堂检测】

1.已知sina=L,求cosa,tana的值。（预习自测2的变形）

2

2.已知tana=,且a为第四象限角，求sina,cosa的值。

解题回顾与反思：通过以上几个例子，你能简单归纳一下对于sina,cosa和tana的“知

一求二”问题的解题方法吗？

【拓展探究】

1..已知sina-cosa=—，贝［sin2cosa=

3

2.已知0<0<7i,sin6+cos。=(,求tan。的值

【当堂训练】

12.

1、已知0<a<7i,sin。cos。=----,则cos。-sina的值等于

25

2、若$指。,8$。是方程4犬2+2/?7*+m=0的两根，则加的值为

【小结与反馈】

1.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，

确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止

一种。

解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开

平方时，漏掉了负的平方根。

2.化简三角函数式，化简的一般要求是：

（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；

（2）尽量使分母不含三角函数式；

（3）根式内的三角函数式尽量开出来；

（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧

妙的变形。

第四课时：1.2.2同角三角函数关系（1）（课后温学案）

【课外拓展】

必做:

3

1.已知cosa=——，。€(0,万)，则tana等于()

4443

A.-B.--C.±-D.+-

3334

2.若e(0,24)，且-cos20+yji-sr\2(3=sh/?-cos/7,则夕的取值范围是()

TV7T小「万、

A.[0,-)B.[-,n]C.[n,-3-)D.[—,2

2222

n)

iTi—34—

3.已知sinQ=--------,cosa-)------,则加(

m+5m+5

A.可取[—■,9]中的一切值B.等于0

C.等于8D.等于0或8

3

4

4.已知sina=—且tana<0,贝l]cosa=

5----------------

3

5.已知sina=—,求cosa、tana的值。

5

选做（考重点大学必做）:

n0

l-2sin—cos—,那么,是第

1.若。为二象限角，且cos——sin—=象限角。

22222

必修四第1单元

第五课时：1.2.2同角三角函数关系(2)(课前先学案)

【自主学习】精读课本P18-P20,完成课前先学案

【学习目标】本课时重点是弦切互化以及巧用“1”.

1.掌握同角三角函数的基本关系式，tana='吧；

cosa

2.灵活运用同角三角函数的两个基本关系解决化简、齐次式等问题。

3.掌握弦切互化思想

【知识梳理】

L平方关系：sin2x+cos2%=l2.商数关系；9二=

COSX

(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx

说明：对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用(正用、反用、变形用)，如：

~2•212sina

COS67=±V1—sina,sina-1-cos**atcosa=----等。

tan。

2.齐次整式：一个多项式中各个单项式的次数都相同的式子

3.齐次分式：分子和分母中，各个单项式的次数都相同的式子

【预习自测】

1.化简cos0-tan0(2)

(1+tan2a)cos?a

—l-2sinacosal-tana

2.证明：--------=--------

cosa-sina1+tana

cc—sina+cosa心

3.己知tana=2,求------------的值.。

sina-cosa

第五课时：L2.2同角三角函数关系（2）（课堂正学案）

【课堂检测】

2sina+3cosa

1、已知tana=3,求的值。

sina-cosa

2.化简：（DtanaJ」一一1（a是第二象限角）

Vsirra

【拓展探究】

1.已知tana=3,求下列各式的值。

Q）2sin2-3cos2a

(2)2sin2(7-3COS2a

4sin2or-9cos2a

【当堂训练】

1、如果角。满足sin6+cos6=、历，那么tan6+——的值是

tan。

c»兀.._/1+sina1-sina

2.右一VQVTT,化筒」--------

2Vl-sina1+sina

【小结与反馈】

1.巧用：1=sin2a+cos2a,

2,弦切互化思想，若已知tang的值，所求为关于sinacos。的齐次分式，可以弦化切，切

化弦求值。

第五课时：1.2.2同角三角函数关系（2）（课后温学案）

【课外拓展】

必做：

一acosxsinxtanx,.„z、

1,函数.+/,+/）—的值域是（）

Vl-sin2xvl-cos2xVtan2x

A.{3,—1}B.{1,3}C.3,—1,1}D.{—1,1,3}

3sin6+2cos。3s“〃+cos：J⑶sin2。

2.已知tan。=2,求：（1）-----------------；(2)

2sin0-cos82cos2^-sin2(9

3.若sina=«里,cosa=K」(ZH3),(1)求女的值；(2)求吆二1■的值。

k-3k_3tana+1

必修四第1单元

第六课时：1.3.1三角函数的诱导公式（1）（课前先学案）

【自主学习】精读课本P14、P23—P27,完成课前先学案

【学习目标】

1.巩固理解三角函数知识，并能用三角函数定义推导诱导公式

2.准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值

【知识梳理】

知识回顾：利用三角函数的定义，表示任意角a的三角函数值。设P（x,y）为角a的终边上

(除原点外)任意一点，|。慨="/=r,则sina=),cosa=-,tana=-.

11rrx

1.诱导公式：由三角函数定义可以知道：

(1)(教材P14)终边相同的角的同一三角函数值相等。

公式一(。+攵・2%，keZ)：

sin(a+2kjr)-；

cos0+2而)=；

tan(a+2Z〃)=

(2)(教材P23-24)角a的终边与角；r+c的终边关于原点对称。角a的终边上一点

P(x,y)关于原点对称的点在角4+a的终边上，且对称点为P'(-x,-y)。

公式二(4+&)：

sin(%+a)-：

cos(%+a)=：

tan(4+a)=

(3)(教材P23-24)角a的终边与角-。的终边关于土轴对称。角a的终边上一点

P(x,y)关于土铀对称的点在角-a的终边上，且对称点为P'(羽-y)。

公式三(-e)：

sin(-a)=；

cos(-a)=：

tan(-a)=__________

(4)(教材P23-24)角a的终边与角万-a的终边关于一y轴—对称。角a的终边上一

点P(x,y)关于上轴对称的点在角n-a的终边上，且对称点为P'(-x,y)。

公式四(万-a)：

sin(乃-«)=；

cos(zr-a)=;

tanQr-a)=

注意：这四组公式可以用口诀：“函数名不变，符号看象限”来记忆。

【预习自测】阅读教材P24-P25例1

1、求下列三角函数值：(1)5抽(—240°)(2)cosgU万)(3)tan(-1560°)

4

c"gcos(180°+G)sin(a+360°)tan(360°-a)

2、化间：-----------------------------------------