人教版数学中考复习训练八 圆的综合题

专题八圆的综合题

类型一动点问题

典例精析

例(2020石家庄桥西区一模)已知在矩形ABCQ中，AB=4,AD=3,0c与对角线8。相切.

(1)如图①，求。C的半径；

(2)如图②，点P是。C上一个动点，连接AP,AC,AP交。C于点Q,若sinNB4C=喏，求NCB4

的度数和劣弧段的长;

(3)如图设对角线AC与。C交于点E,点P是。C上一动点，设点P到直线AC的距离为d,当0<dW第

时，请直接写出NPCE的取值范围.

图①图②备用图

例题图

1.(2018河北25题10分)如图，点A在数轴上对应的数为26,以原点。为圆心，OA为半径作优弧翁,

使点B在O右下方，且tan/A08=g.在优弧前上任取一点尸，且能过户作直线/〃08交数轴于点。，设。

在数轴上对应的数为x,连接OP.

(1)若优弧蠡上一段前的长为13",求/AOP的度数及x的值；

(2)求x的最小值，并指出此时直线/与融所在圆的位置关系；

(3)若线段PQ的长为12.5,直毯写出这时x的值.

第1题图备用图

针对演练

2.如图，在。。中，半径0C=6,。为半径。C上异于。、C的点，过点。作ABLOC,交。。于A、

8两点，点E在线段AB上，且AE=CE,点P在线段EC的延长线上，PB=PE.

(1)若0。=2,求弦AB的长;

(2)当点。在线段0C(不含端点)上移动时，直线PB与。。有怎样的位置关系？请说明理由;

(3)点Q是。。上的一个动点，当点。为0C的中点时，线段PQ的最小值为多少？请说明理由.

第2题图备用图

3.如图，A8为。。的直径，且AB=8,点C在半圆上，OCVAB,垂足为点O,P为半圆上任意一点,

过点P作PEL0C于点E,设的内心为M,连接0M、PM.

(1)求N0MP的度数;

(2)随着点P在半圆上位置的改变，NCM0的大小是否改变，说明理由;

(3)当点P在半圆上从点B运动到点A时，直接写出内心M所经过的路径长.

第3题图

类型二旋转问题

典例精析

例如图①，在正方形ABCQ中，AB=10,点0、E在边CD上，且CE=2,D0=3,以点。为圆心，

0E为半径在其左侧作半圆。，交AQ于点G,交CQ的延长线于点E

⑴AG=；

(2)如图②，将半圆。绕点E逆时针旋转制0。<6«<180。)，点。的对应点为点尸的对应点为尺设M

为半圆。，上一点.

①当点F落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；

②当半圆0,交BC于尸、R两点时，若武的长为|万，求此时半圆。，与正方形48C。重叠部分的面积；

③当半圆。，与正方形A8C。的边相切时，设切点为N,直接写出tanZEND的值.

图①图②

例题图

针对演练

1.(2020邢台桥西区二模)如图①，扇形AOB的半径为3,面积为3点C是叁的中点，连接AC,BC.

(I)求证：四边形OACB是菱形；

(2)如图②，NPOQ=60。，NPOQ绕点。旋转，与AC,BC分别交于点M,N(点、M,N与点A,B,C

均不重合)，与前交于E,尸两点.

①求MC+NC的值;

②如图②，连接FC,EC,若/ECF的度数是定值，则直段与出NECF的度数；若不是，请说明理由.

2.(2020保定模拟)如图①，已知矩形ABCZ)中，48=4,BC=3,以48为直径的半圆O在矩形ABCD

的外部.将半圆。绕点A顺时针旋转a度(OWaW180).

(1)在旋转过程中，B'C的最小值是,如图②，当半圆。的直径落在对角线AC上时，设半圆

。与A3的交点为M,则AM的长为.

(2)如图③，当半圆0与直线C。相切时，切点为M与线段AD的交点为P,求劣弧烈的长；

(3)在旋转过程中，当半圆弧与直线CD只有一个交点时，设此交点与点C的距离为d,请直接写出d

的取值范围.

图①图②图③

第2题图

3.如图①，AB为半圆。的直径，且A8=4,弦AM为半圆的一条动弦，对于每一动点以M为旋

转中心将弦AM逆时针旋转90。，得到线段MN.

(1)当AM=2时，求人必的长；

(2)如图②，过点。作于点尸.点P能否与点N重合，若不能，请说明理由；若能,求出线段

OP的长；

(3)当点M到直线A8的距离为1时，直按写出点N到直线A8的距离.

L入J

A0BA0HA0B

图①图②备用图

第3题图

类型三动圆问题

典例精析

例（2020保定一模）在菱形A8CQ中，对角线AC与交于点O,AB=5,8。=8,点尸是对角线AC

上一点（可与A，C重合），以点P为圆心，，为半径作。P（其中r>0）.

（1）如图①，当点P与A重合，且0<r<3时，过点8,。分别作。P的切线，切点分别为M,M求证：

BM=DN；

（2）如图②，当点P与点。重合，且。P在菱形A8C。内部时（不含边界），求r的取值范围;

（3）当点P为或△CB。的内心时，直接写出AP的长.

图①图②

1.（2016河北25题10分）如图，半圆。的直径AB=4,以长为2的弦尸。为直径，向点。方向作半圆

M,其中尸点在段上且不与A点重合，但。点可与B点重合.

发现前的长与•的长之和为定值/,求/；

思考点M与AB最大距离为,此时点P,A间的距离为；点用与AB的最小距离为

此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为

探究当半圆M与AB相切时，求崩的长.(注：结果保留"，cos35°=为",cos55°=竽)

第1题图备用图

„4

2.(2019河北25题10分)如图①和②，nABCD中，AB=3,BC=15,tan/D42=1.点P为AB延长线

上一点，过点A作。。切CP于点尸，设BP=x.

(1)如图①，x为何值时，圆心。落在AP上？若此时。。交AO于点E,禀接指出PE与BC的位置关

系；

(2)当x=4时，如图②，。。与AC交于点Q,求NC4P的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧而长度

的大小；

(3)当。。与线毯AD只有一个公共点时，意军写出x的取值范围.

图①图②备用图

第2题图

针对演练

3.(2020遵化三模)如图，半圆。的直径A8=6,线段04=10,。为原点，点8在数轴的正半轴上运

动，点B在数轴上所表示的数为机

(1)当半圆。与数轴相切时，求加；

(2)半圆。与数轴有两个公共点，设另一个公共点为C,

①直接写出m的取值范围是；

②当半圆D被数轴截得的弦长为3时，求半圆D在aAOB内部的弧长；

(3)当△AO8的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时，求cos/AOB的值.

4.(2020邢台桥东区模拟)在aABC中，A8=AC=4.

(1)如图①，以AB为直径作圆。，交AC于凡交BC于D,连接AD.

①求证：△A8D会△ACZ)；

②连接。£＞、DF,若四边形0C阴是菱形，求/C的度数；

(2)如图②，E是腰AB上一点(不与4重合，可与B重合)，以AE为直径作圆0,交AC于尸，过B作

BM_L4c于例，当△ABM的外心在圆。的内部，求AE的取值范围.

5.如图，已知扇形AOB,过点8作BCLOA,交直线04于点C,点P在前上从点8向点A运动(不

与A、B重合)，过点尸作POLOA交直线。4于点D.

(1)当。P_L0B时，求证：△B0g/\0PD；

(2)当OP=8C时，连接BP,求证：BP//AC;

(3)已知A0=2,BC=1,过点尸作扇形A0B所在圆的切线PF,交直线0A于点F,求BP的取值范围.

第5题图

6.如图，在△ABC中，AB=AC,。为BC上一点(能与B重合，不与C重合)，以。C为直径的半圆0,

交AC于点E.

(1)如图①，若点。与点B重合，半圆交4B于点F,求证：AE=AF-,

(2)设/B=60。，若半圆与A8相切于点7,在图②中画出相应的图形，求/AET的度数;

(3)如图③，设/B=60。，BC=6,△ABC的外心为点P,若点P正好落在半圆与其直径组成的封闭图

形的内部，直接写出CD的取值范围.

A

B⑺()C

图①

类型四折叠问题

典例精析

例如图①，扇形OAB的半径为4,ZAOB=90°,P是半径08上一动点，。是Q上一动点.

(1)连接AQ、BQ、PQ,则NAQ8的度数为；

(2)当P是0B中点，且PQ〃0A时，求馥的长；

(3)如图②，将扇形0A8沿P0对折，使折叠后的。才恰好与半径0A相切于点C.若0P=3,求点。

到折痕PQ的距离.

J

例题图

针对演练

1.(2020河北黑马卷)如图①和图②，半圆。的直径AB=2,点P(不与点A,8重合)为半圆上一点，将

图形沿BP折叠，分别得到点A,。的对称点0',设NABP=a.

(D当a=l5。时，过点H作4C〃AB,如图①，判断A'C与半圆。的位置关系，并说明理由；

(2)如图②，当6<=。时，BA'与半圆O相切.当6(=。时，点。，落在而上：

(3)当线段80,与半圆。只有一个公共点8时，求a的取值范围.

2.(2019邢台二模)如图，点B为长为5的线段AC上一点，且AB=2,过B作8瓦LBC于点B,且BE

=4,以BC、BE为邻边作矩形BCDE,将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段BF,优弧前交BE于点N,

交8C于点M,设旋转角为a.

(1)若扇形M8F的面积埸叫则a的度数为一；

(2)连接EC,判断CE与扇形A8F所在。B的位置关系，并说明理由；

(3)设P为直线AC上一点，沿EP所在直线折叠矩形，若折叠后。E所在的直线与扇形A8F所在的。B

相切，求CP的长.

第2题图备用图

3.已知AP=d是半圆0的直径，点C是半圆O上的一个动点(不与点A、P重合)，连接AC,以直线

AC为对称轴翻折A。，将点。的对称点记为。1,射线A。1交半圆。于点B,连接0C.

(1)如图①，推断A8和0C的位置关系；

(2)如图②，当点3与点01重合时，用d表示元的长；

(3)过点C作射线AO1的垂线，垂足为E,连接0E交AC于尸.当4=10,。归=1时，求罪的值.

0PA0PA0P

图①图②备用图

第3题图

专题八圆的综合题

类型一动点问题

例解：（1）如解图①，设切点为H,连接CH.

•/BE）与。C相切于点〃，

：.CHLBD.

：AB=4,AD=3,

：.BD=yjAB2+AD2=5,

S&BCD-2^,CD—^BD,CH,

即。C的半径为"f；

AR

例题解图①

(2)如解图②，连接CP,CQ,过点C作垂足为点M,

由(1)知BD=5.

:四边形ABCD是矩形，.,.AC=3O=5.

在RtZXACM中，sin/%C=^=绊，

/IC

.CM6A/3

25・

.c,6小

・・CM一§

CM

•.•在RtZ\CPM中，sin/CPM=^,

6小

../c5亚

..sinZCrM=~^~—2.

T

ZCPM=60°,即NCfi4=60°.

又,：CP=CQ,

：./\CPQ为等边三角形，

...ZCCP=60°.

“12

60〃•至4

劣弧PQ的长为=-两一="

例题解图②

(3)0°<NPCEW60°或120°^ZPCE<180°.

1.解：⑴根据题意，优弧Q所在圆的半径OA=26,由弧长公式得“：/26=i3万,解得〃=90.

1oU

・・・ZAOP=90°.(1分)

,:PQ〃OB,

：.ZPQO=ZAOB.

4

丁・tanN尸QO=tanNA03=g,

39

・•・在中，°°=嬴检号

R"OQ5T

3

，x=冬(3分)

(2)当点。在点。的左侧，且距离点。最远时，x取得最小值，此时，PQ与矗所在的圆相切，如解图

①,

,:PQ〃OB,NOPQ=90。,

：.ZOQP=ZAOB.

4

-

tanZOQP=-^Q3

设。尸=4攵，则PQ=3匕

由勾股定理得0Q=N（）A+PC=5k.

•OP_4k_4

"OQ=5k=5-

OQ=（0P=与.（5分）

'.x=一苧.（6分）

此时直线I与前所在的圆的位置关系是相切；（7分）

（3）31.5或一16.5或一31.5.（10分）

2.解：（1）如解图①，连接。8,

BD=y]OB2-ODT=^62-22=4^2.

：.AB=2BD^Sy[2；

(2)直线PB与。。相切；

理由：如解图①，连接。4,OE,

'：OB=OA=OC,

：.ZOBA^ZOAB.

XVOE=OE,AE=CE,

/\AOE^/\COE,

：.ZOAE=ZOCE,

：.ZOCE=ZOBA.

•；PB=PE,

NPBE=NPEB.

'：ABA.CD,

...NOCE+NPEB=90°,

：.ZOBA+ZPBE^90°,即/PBO=90°,

：.OBLPB,

又：OB是。。的半径，

.•・直线PB与。。相切；

(3)线段PQ的最小值为2亚一6.

理由：如解图②，连接BC,BO,

•.,。为OC的中点，

.,.CD=OD=^OC=^OB=3.

.•.在RtZX。。。中,ZOBD=3D0,

：.ZBOC=6Q°.

又；OB=OC,

/\BOC是等边三角形.

为。。上的一个动点，

连接P。、0Q,

第2题解图②

：0。为半径，是定值6,

：.PQ+OQ的值最小时，PQ最小，

...当P、Q、。三点共线时，PQ最小，

即点。为0P与。。的交点时，P。最小,

•/Z^=|ZCOB=30°,且AE=CE,

：.ZCEB=2ZA=60°,

又•：PB=PE,

...△PBE是等边三角形.

在RtaOB。中，BD=76=32=3小,

：.AB=2BD=(y\J?>.

设4E=尤，则CE=x,ED=3小一x,

在RtZ\C£>E中，CE2=CD2+DE2,即/=3?+(3小一丫产，

解得x=2小,

：.AE=2yf3,

：.BE=PB=AB-AE=M-2小=44.

,：在RtAOPB中，OP=、PB2+OB2=y/(4小)？+6?=2两,

：.PQ=OP-OQ=2®-6,

线段PQ的最小值是2g—6.

3.解：(l),：PE10C,

：.ZOEP=90°,

：.ZEOP+ZEPO=90°,

为△OPE的内心，

NMOP=ZMOC^ZEOP,NMPO=NMPE=；NEPO,

：.ZMOP+ZMPO=^(ZEOP+NEPO)=45。,

.•./OMP=180°—(/MOP+/MPO)=135°；

(2)NCM。的大小不改变，

理由如下：

如解图①，连接CM,

在△COM和△POM中，

CO=PO

"NCOM=NPOM,

,OM=OM

：.△COMdPOM(SAS),

，ZCMO=ZOMP=135°,

...NCA/O的大小不改变;

C

(3)2r.

类型二旋转问题

例解：⑴6；

【一题多解】如解图③，设NPOK的度数为广，由题意得，丽的长为高〃X5=",

£=60。，

：.ZPO'R=60。，

.c6025

・・S"形尸o'/?=36()乃X25=不开.

•：0'R=P0'

：•△()'RP是等边三角形，

.•)△o,RP-4人〉—4，

•・•半圆0'的面积为探"X5?=与不，

此时半圆。，与正方形ABCD重叠部分的面积为S4物a-Smpo'R+S^o«P=y"一帚"+挈=呼

1.⑴证明：设NA08=a,根据扇形面积公式5=焉・乃/知焉。^X32=3^r.

.*.a=120°.

如解图①，连接oc,:c是Q中点,

...ZAOC=ZBOC=60°.

\'OA=OB=OC,

...△AOC、ABOC为等边三角形，

OA=0C=4C=OB=BC.

...四边形OACB是菱形；

0

第1题解图①

(2)解：①如解图②，连接0C,

由(1)知△08。与44。。为等边三角形，

，ZAOC=Z0CB=NA=NOCA=60°,

•・・/P。。=60。，

・・・ZAOC=ZPOQ.

：.ZAOC-ZCOM=ZPOQ-ZCOM,

：.ZAOM=ZNOC.

•・•NA=NOC8=60。，

OA=OC,

：./\OAM^/\OCN,

:,AM=CN,

：.MC+NC=MC+AM=AC=04=3；

第1题解图②

②150。.

2.解：(1)1,y；

(2)如解图②，连接OP、ON,过点。作OGLAQ于点G

・・,半圆与直线相切，

・•・ONLDN,

・・・四边形DGON为矩形，

：.DG=ON=^AB=2,

：.AG=AD-DG=\,

在RtZXAGO中，NAGO=90。，AO=2,AG=1,

ZAOG=30°,ZOAG=60°.

又：OA=OP,

：./\AOP为等边三角形，

劣弧前的长为‘°,总义2号".

1oU3

第2题解图②

(3)4-市Wd<4或4=4+4.

3.解：⑴如解图①，连接M3、0M,

•.•AB为半圆0的直径，点M为弧AB上一动点,

NAM8=90°,

•.•以点M为旋转中心，将弦M4逆时针旋转90。，得到线段

在MB上，

\'AM=2,AB=4,

：.ZMBA=30°,

：.NOAM=60°,

'：OA=OM,

：.^OAM是等边三角形，

/AOM=60。，

"60"X22不

...AM的长为〔go=亍

A0H

第3题解图①

(2)点P能与点N重合.

当点P与点N重合时，如解图②，连接P8,

,/ZAMN=90°,

直线MV过点8,即点M、P、2在同一条直线上,

由旋转性质得AM=PM.

*.•0PLMN,

：.PB=PM=AMf

：.OP是△84M的中位线，

/.OP=%M,

设4M=JG则8M=24A/=2x,

在中，AM2+BM2=AB2,即f+（2x）2=42,

解得了=竽（负值已舍去），

OP=%M=^^.

.••点P与点N重合时，线段0P的长为押.

殳

40H

第3题解图②

（3）^3-1或小+1.

类型三动圆问题

例（1）证明：如解图①，连接AM、AN,则AM=AM

•・•四边形A8C。是菱形，

：.AB=AD,

£W分别是。。的切线,

JNBMA=ZDNA=90°,

在RtABMA和RtADNA中，

AB=AD

AM=AN'

/.RtABMA^RtAD^A(HL),

；・BM=DN；

例题解图①

（2）解：如解图②，当点P与点。重合，且。尸在菱形A8CQ内部时（不含边界），过点P作于

H,

•・•在菱形ABCD中，A8=5,80=8,

：.ACA-BDf80=00=4,A0=C0,

：.AO=CO=y]AB2-BO2=yj52-42=3,

S^ABO—^AB•0H—^A0,BO,

.耳X5XOH=；X3X4,

12

解得oH=q

12

・・・当点P与点。重合，且。尸在菱形ABCD内部时（不含边界），r的取值范围是0VY学

例题解图②

513

（3）解：AP的长为］或手.

1•解：发现如解图①，连接OR（0Q,则0P=0Q=PQ=2,

•••△0PQ为等边三角形.

：.ZPOQ=60°,

60•22万

・・・PQ的长为180—3，

12%4〃

••/-2〃•43—3：Q分）

Q

第1题解图①

思考小，2,坐，高一坐；（6分）

2.解：（1）圆心。落在AP上，即AP为。。的直径,

・・•四边形ABCD为平行四边形,

：.AD//BC,

:・/DAB=/CBP,

4

/.tanZCBP=lan

・・・c尸为。O的切线，

・•・NBPC=90。,

•：BP=x,

4

CP=1x,

在RtZ\CBP中，BF^+PC^BC2,

/.X2+（1X）2=152,解得x=9（负值舍去）；

即x为9时，圆心。落在AP上；（2分）

PE与BC的位置关系为垂直；（4分）

（2）如解图，过点C作CM_LAB交AB的延长线于点M,过点。作OFLAB交AB的延长线于点凡连

接OP，OQ,

4

由（1）可知8M=9,CM=]X9=12,

\*AB=3f

：.AM=\2=CM,

・・・NC4P=45。，

・•・NPOQ=2NCAP=90。，

Vx=4,

・・・PM=5,AP=7,

JCP=^CM2+PM2=^122+52=13,

OF1AP,

：CP为。。的切线，

，OPYCP,

：.ZOPF+ZCPM=90°,

NPCM+ZCPM=90°,

：.ZOPF=ZPCM,

.,.RtAOPF^RtAPCM,

7

.OP=PF_WOP=]_

'"PC~CM'即13—12,

91

解得OP专.

91

〜90〃•万男》

••PQ=_iso_

PQ'<AP；（8分）

（3）x218.（10分）

3.解：（1）当半圆。与数轴相切时，ABLOB,

由勾股定理得m=y]OA2-AB2=A/102-62=8；

（2）①4WmW16且〃?W8：

（3）①当OB=AB时，内心、外心与顶点B在同一条直线上,

如解图②，过点A作AH_LO8于点H,

设BH=x,

由勾股定理得1。2-（6+》）2=62一/，

7

解得x=]，

725

OH=6+§=y,

25

,OH35

,TCOSZAOS=OA=W=6'

HH

第3题解图②

②当08=0A时，内心、外心与顶点。在同一条直线上,

如解图③，过点A作于点，，

设BH=x,

由勾股定理得Iff—(I。一回2=62—，，

941

41

OHT41

・•・cos4°8=市=『前

综上所述，cosNAOZ?的值为焉或养.

HR

第3题解图③

4.⑴①证明：TAB为直径,

：.AD±BC,

又・.・A8=AC,

:.BD=DC,

在△ABO和△4(%>中，

AD=AD

<ZADB=ZADC=90°9

BD=CD

：.AABD^AACD(SAS)；

②解：如解图，连接OF,

・・•四边形ODFA是菱形，

/.OF±ADf

又・・・3C_LA。，

・・・OF//BC,

•・・0为A8中点,

・・・于为AC中点

JZAFO=ZC,

又,.•A/7=；4C=2,

AO=。尸=%8=2,

：.AF=AO=OFf

/\AOF为等边三角形,

・・・NC=NAFO=60。；

第4题解图

(2)解：VBM±AC,

,RtZUBM的外心在AB上且为A8中点,设A8的中点为N,

:・AN=2,

为满足题意，则有4E>AN,

,即2vAEW4.

9

5.⑴证明：：PD.L0Af

・・・/尸。。=90。，

：.ZOPD+ZDOP=90°,

u

：ZPOB=90°f

・・・NPOQ+NBOC=90。，

：.ZOPD=ZBOC,

在△30C和△OP。中，

ZBOC=ZOPD

<ZOCB=ZPDOf

OB=PO

：.△BOCdOPO(AAS)；

(2)证明：如解图①，

FAD0CA0(D)C

图①图②

第5题解图

・・・3C，QA于点C,尸。，。4于点O,

:,PD〃BC,

•；DP=BC,

・••四边形PDCB是平行四边形，

：.BP//AC；

⑶解：如解图②，当点。与点。重合时,

t：BO=AO=2,BC=l,NOC8=90。，

AZBOC=30°,

AZAOB=\50%N5OP=60。，BP=।=

1oU

①当点尸在点c的右侧时，呼的长度逐渐变大.

_…150〃X25"

②当点尸在点A的左侧时，43="父八=丁

综上所述，当点P在前上运动时，切线Pr交OA延长线于点E加的取值范围为0V而〈学或学〈

6・（1）证明：如解图①，连接ER

・・,四边形3/EC为。。的内接四边形,

:・/AEF=/B,NAFE=NC,

*：AB=ACf

：.ZB=ZCf

：./AEF=NAFE,

：.AE=AF；

B(D)()C

第6题解图①

(2)解：画图如解图②，连接。八OE、ET,

'：AB=AC,ZB=60°,

・•・△ABC为等边三角形，

.\ZC=60°,

•:OE=OC,

：.ZEOC=ZOEC=60°,

•・・A8是。。的切线，

J0T1.AB.

VZBOT=90°-60°=30°,

：.ZTOE=90°,

;OT=OE,

・・・N7W=45。，

・・・ZAET=180°-45°-60°=75°；

第6题解图②

(3)4<OCW6.

类型四折叠问题

例解：(1)135°；

(2)如解图①，连接OQ,

•・,扇形QA5的半径为4,且P是。8中点，

：.OP=2,0。=4,

*：PQ//OAf

：.ZBPQ=ZAOB=90%

AZ1=30°,

・・・N2=N1=3O。，

.生30》•42

；.A。的长为]80=手”；

0A

例题解图①

（3）如解图②，作点。关于PQ的对称点O,连接。0，、03、O'C,O'P,且。。，交P。于点M,则0M

=0，M,OO'1.PQ,O'P=0P=3,点O,是前所在圆的圆心，

：.0'C=0B=4,BP=4—0P=1,

•.•折叠后的Q»'恰好与半径0A相切于点C,

：.O'CLA0,

：.O'C//OB,

四边形OCCXB是矩形，

.•.在RtZ\O'BP中，O'丁:守一）=2啦,

.•.在RtZ\08。’中，00'=W2+（2&）2=2#.

/.0M=^00'=92#=水,

...点。到折痕P。的距离为出.

例题解图②

1.解：⑴相切,理由如下:

如解图①，过。作0。，4c于点。，交48于点E,

,/o=15°,A'C//AB,

：.ZABA1=/CA'8=30°,

Z.DE=^A'E,OE=^BE,

：.D0=DE+OE=^(A'E+BE)=^AB=OA,

又•；0A为半圆。的半径，

为。。的半径.

.•.A'C与半圆0相切；

(2)45；30；

(3):•点户与点A不重合，，。＞0,

由(2)可知当a增大到30。时，点0,在半圆上，

.•.当0。＜。＜30。时，点0,在半圆内，线段80,与半圆只有一个公共点8；

当a增大到45。时，BA'与半圆相切，即线段80,与半圆只有一个公共点A

当a继续增大时，点P逐渐靠近点B,但是点