内蒙古通辽市小学数学小学奥数系列8-2-1抽屉原理（二）

内蒙古通辽市小学数学小学奥数系列8-2-1抽屉原理（二）

姓名:班级:成绩:

攀，

M亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！

一、（共35题；共160分）

1.（10分）有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶

数？

2.（5分）三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩.

3.（5分）图书馆有A,B,C,D四种图书若干本，每人借一本书，至少要有多少个人借书，才能保证一定有

3人借的书相同？

4.（5分）一副扑克牌除去两张王牌共有52张，问至少要取出多少张牌，才能保证其中一定有3种或3种以

上花色？

5.（5分）在S的方格纸中，每个方格纸内可以填上1~4四个自然数中的任意一个，填满后对每个2,2

“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？

6.（5分）六⑴班40名学生到图书室借书，图书室有科技、历史和文艺三种书。要求：每种只能借1本，

每人至少可借1本，最多可借3本。六（1）班至少有几人所借图书是相同的？

7.（5分）任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式，使其得数为105

的倍数.

8.（5分）把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书，为什么？

9.（5分）把12个乒乓球放入5个盒子，至少有3个乒乓球要放人同一个盒子。为什么？

10.（5分）池塘里有6只青蛙跳到4片荷叶上，总有一片荷叶上至少有2只青蛙。为什么？

11.（5分）某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两项，那么要有多少人报名参加运动

会，才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同？

12.（5分）某次会议有25人参加，每人至少认识一个人.在这25人中至少有两人认识的人数相同.你知道

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为什么吗？

13.（5分）在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米.

14.（1分）两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。从第一袋中拿出尽可能少的球,

但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每种颜色的球

不少于3个。这时，两袋中各有多少个球？

15.（5分）有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同.现在请你挑选若干个小孩，排成

一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100,那么你最多能挑选出多少个孩子？

16.（5分）“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人.试说明：在游园

的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等.

17.（5分）在100张卡片上不重复地编上1~100,至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上

的数之乘积可被12整除？

18.（5分）如图」、B、C、。四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果.每次可取出1只、

或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果.这样取出的糖果数最多有几种？请说明理由.

19.（5分）把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和

不小于17.

20.（5分）张老师说北京市的所有人中一定有两个人头发根数一样多.你觉得张老师说的话有道理吗？为什

么？（人的头发约有十万根）

21.（5分）一个盒子中有红、黄、蓝三种颜色的球各20个.最少要拿几个球，就能保证有两对同色的球？

最少要拿出几个球，就能保证有3对同色的球？解答了前两个问题，你发现有什么规律吗？你能根据规律迅速地写

出要保证有4对同色的球，最少要拿出多少个球吗？（所谓“同色的球”指的是每对中的两个球同色，不是指所有

取出的球同色）

22.（5分）如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每

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两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数.并举一个反例说明，作

S个扇形将不能保证上述结论成立.

23.（5分）任意给定一个正整数"，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0和7组成的数.

24.（5分）用数字1,2,3,4,5,6填满一个6.6的方格表，如右图所示，每个小方格只填其中一个数

字，将每个正方格内的四个数字的和称为这个2正方格的“标示数”.问：能否给出一种填法，使得任

意两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由.

25.（5分）试说明在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米.

26.（5分）从1,2,3,99,100这100个数中任意选出51个数.

证明：

（1）在这51个数中，一定有两个数互质；

（2）在这51个数中，一定有两个数的差等于50；

（3）在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1.

27.（5分）（2018六下•云南月考）有26位小朋友，他们当中至少有3位小朋友属同一生肖，这个观点对

吗?为什么？

28.（5分）有黑、红、蓝三种颜色的手套各10只混在了一起，这些手套只要两只颜色相同，即可配成一双。

（1）把眼睛蒙上，至少要拿出几只才能保证能配成1双？

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（2）至少要拿出几只，才能保证能配成2双？

（3）至少要拿出几只，才能保证有2双是相同颜色的？

29.（5分）一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？

30.（5分）一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：

（1）至少有5张牌的花色相同；

（2）四种花色的牌都有；

（3）至少有3张牌是红桃.

（4）至少有2张梅花和3张红桃.

31.（1分）有趣的顺口溜

东东学完植树问题后，爷爷给他出了一道趣味题。爷爷念了一段顺口溜：湖边春色分外娇，一株杏树株桃.平

湖周围三千米，六米一株都栽到。漫步湖畔景色美，可知桃栽了?杏栽了?聪明的同学们，你能

帮东东算一算吗？

32.（5分）“华罗庚”杯数学竞赛获奖的87名学生分别来自12所小学。试说明至少有8名学生来自同一所

学校。

33.（1分）如果有25个小朋友乘6只小船游玩，至少要有个小朋友坐在同一只小船里

34.（1分）妈妈准备了7只信封，在每只信封里都放了钱共100元，要求每一只信封里都放整元数，而且都

不相同，那么钱放得最多的一只信封里至少放元？

35.（1分）红旗小学六年级共有369人，2007年至少有人会在同一天过生日？

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参考答案

一、（共35题；共160分）

1-1、

解：需先跟学生介绍奇偶性：奇数+奇数=偶数；奇数+图5=奇数；偶数+偶数=偶数.

先用列表法进行搭配，由于包目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考的*痕的设计.对于

每堆水果中的苹果、格子的个数分别都有奇数与｛»数两种可能,所以每堆水果中苹果、怙子个数的搭配就有4种情形：（面，

奇），（奇，偶），（俵，奇），（儡,国），其中括号中的第一个字表示本果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性.

将这4种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这S堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情

形.由于奇数加奇数为偶数,偶数加偶数仍为倍数,所以在同一个抽尿中的两堆水果,其承果的息数与桔子的总数都是偶数.

2-1、

解：方法一：情况一：这三个小朋友,可能全部是男,那么必有两个小朋友都是男孩的说法＞正确的：

情况二:这三个小朋友，可能全部是女,另Mi必有两个小朋友都是女孩的说法^正确的；

情况三：这三个小朋友，可能其中1男2女月眨必稗两个小朋友都是女琪说法是正确的；

情况四：这三个小朋友，可能其中2男1女,司因奴跑两个小朋友都是男核的说法^正确的.所以，三个小朋友在一起玩,M

中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的；

方法二:三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋友都是另孩或者都是女孩.

解:4x2+l=9（A）

3-K普：主：要有9人借书.

解:13x2+1=27®）

4-1、答：至少要取出27张牌.

5-1、

解：先计算出在8、8的方格中，共有2x21■田"字形：7x7=49（个），在1~4中任取4个效（可以重复）的和可以是

4-16中之一，共13种可能，根聒抽屉原理:49-13=3~10，至少有3+1=4个-田-字形内的数字和是相同的.

解:同学们借书情况共有7种.用A.B、C表示3种图书借书的情况有:A,B,C,AB,AC,BC,ABC.

40+7=5......5

5+l=6（A）

6-1、S：六⑴班至少有6人所借图书是相同的.

7-1

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解：105=3*5x7,

可以符式子写成(onb/E欧&]/)的形式，

若六个数字里有7的倍数,另以第一个恬号里直接做乘法即可得到7的倍数;

者没有7的倍数,则除以7的余数最大为6,最小为1,分为三类:①余数为13g者6;②余数为2或者5;③余数为3或者4.

目眩六个数字分别除以7必定有余数相同的两个数,那么它们的野•定是7的倍数;若没存余数相同的数，则一定有两个数的余

数属于上面三类中的T,到眩它们的和一定曷7的倍数.

同理：在剜下的四个数中可以找到5和3的伸放.

则将这六个数组成f算式.F能使其得数为105的倍数.

8-1、

解：把5本书“平均分成2份”,5+2=2......1,如果每个抽屉放进2本，还剩1本,把剩下的这1本书放进任何f抽屉，该抽扈

里就有3本书了.

解:12+5=2......3,2+1=3(4>)

9-1、答：因为每个盒子里各放入2个乒乓球，另该余下的乒乓球无论放入事个盒子里，至少有3个乒乓球赛放入同f盒子里.

解:6+4=12,1+1=2(R)

10—1、答:因为如果每片荷叶上跳上1只青蛙，另口余下是2只无论跳到・片荷叶上总有一片荷叶上至少有2只育蛙.

H-K解：十项比赛，每位同学可以任报两项,另眩有45种不同的报名方法.由第胤的赖育45+l=46(A)报名时流足JR.

12-1、

解：参力口会议的人，认识的人数可以是：1人、2人、3人.....24A,共有24种情况.现在有25人，所以至少有2个人认识的

人数相同.

13-1、

解：5个点最多把1米长的直尺分成4段，要想使每一段都尽量长，应采取平均分的办法.把1米长的直尺平均划分成四段，

每一段25厘米，把这四段看成四个抽卮.当把五个点随意放入四个抽屉时，根据抽扈原理,一定有一个抽屉里面有两个或两

个以上的点，落在同一段上的这两点间的距离f不大于25，所以结论成立.

14-1、

解：第一次,只^«®a一袋中有朝雌的球不足3个即可(取了多g球,怎丽以不考虑).第:欠顿,

要保证第一袋中每种颜色的球不少于3个，最不利的情况是两种颜色的球各有8个，另一种颜色的球有3个.所以，第一装中有球

8+8+3=19(个)，第力中稗球4x3.2-19=5(个).

15-1、

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解：将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘段分成9组,如下：

(1*2).(1x3).(1x4).4(1*49)；

(2x3).(2x4).(2x5)、...、(2x49)；

(8x9)、(8x10)、(8x11)、(8x12);

(9*10).(9x11).

因为筌不低只能与左右两个数相乘,也就是每个数作为被购K或物最多两次,所以每一组中最多会有两对数出现在国圈中，

最多可以取出18个数对,扶18*2=36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数.

例如：(10x9).(9x11).(八8)、(8x12).(12x7)、(7*13),(13*6).(6T4)、(14x5).

(5*15)、(15x4).(4x16),(16X3)、(3,17)、(17x2)、(2818)、(18><1)、(卜10).共出现I~18

号,共18个孩子.

若通意选取出1+NS子,那么共有194号台,由于每个号码数要与旁边两数分别相乘,则会形成12相乘的数对.

另眩在9组中取出19个数时,有19=9*2+1,由揄屉原则知，必有三个数对落入同一蛆中，这样某个数字会在财中出现三次

(或三次以上)，由分析知,这是不允许的.故最多挑出孩子.

16-1、

解：假设共有n个小朋友到公园游玩，弱他他们看作n个"苹果”,再把每个小朋友遇到的熟人数目看作■'抽屉“，月眩,

n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下〃种可能■其中。的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每

：0,1,2........n-1

位小朋友最多遇见1个熟人，所以共有n个.抽展”.下面分两种情况来讨论:

⑴M果在这nNJ潮友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上„-2个熟人,这样熟人数目只有

种可能，.这样，~苹果"数(〃个小朋友)超过数(种熟人数目)，根据抽屉

1:0,1,2，.…“〃_2"ttS"n-1

原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等.

(2刚果在这,i个小朋友中，每位小朋友都至少遇到f熟人,这样熟人数目只有n-1种可能:1,2,3........!.这

时,"苹果"数(n个小朋友)仍然超过一抽屉”数(〃_1种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的

题人数目相等.

总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人(包括没3到熟人)，必稗两个小朋友遇到的熟人数目相等.

17-1、

解：12=3/22,因为3的^^［岸］=33个，所怀是3的磁的数一班100-33=67(个)去

保证乘积是3的倍数,但是如果抽取68个数，则必定存在一个数是3的倍数，又因为奇数只有50个.所以抽取的偶数至少

有18个，可以保证乘积是出倍数,从而可以保证乘积是12的倍数.于是最少要抽取68张卡片才可以保证乘积可被12整

除.

18-1、

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解：最多为13种.

因为取1只盘子有4种取法；取3只盘子（即有1种盘子不取），也有四种取法；取4只盘子具有1只取法；取两只相邻的盘

子，在第1只取定后，（依顺时针方向），第2只也就确定了，所以也有4种聊去.共有3x4+1=13种取法胸足13种取法的糖

果放法可以有无数多种.例期的解表明糖果数可以为1~13这13种.

19-1、

解：把这一慝从某始按顺时针方向分别记为内、与、a3、...、al0.相邻的三个数为一组，有。刈*3、、

。刈4。5、…、^9^10^1、共lOffi.

这十组三个数之和的总和为：

（。1+42+。3M。2+«3+。N…Hai0+ai+aJ=3（ai+g+…+。［0）=3><55=165•165=16*10+5，^6^^屉原

理，这十组数中至少有一组数的和不小于17.

20-1、

解：1氏市的人口数*定远远多于十万人，人的头发有十万根左右,根踞抽屉原理,：!原市的所有人中至少有两个人的头发根

数一样多，张老师的话是有道理的.

21-1、

解：最少要拿6个球，就能保证有两对同色的球；最少要拿出8个球，就能保证有3对同色的球;我发现：保证摸出同色的球每增

加一对,最少填出的球的个数依次18加2个.8+2=10,所以，饕保证提出4对同色的球，最少要拿出10个球.

22-1、

解：在表盘上共可作出12个不同的扇形,且1~12中的每个数怆好被4个扇形覆盖.将这12个扇形分为4蛆,使得每一组的3个扇

形恰好盖住整个表盘.那么,根据抽屉原理,从中选择9个扇形，必育图+上3个扇形属于同一组，那么这TB的3个扇形可

以废。个表盘.另一方面,作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，U何以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个

数就没稗极剩下的8个就形盖住,那么这8个扇形不能盖曰个表盘.

23-1、

解：考融下；》+1僮：7,77,777....12^2,12^2，这以“的能为0,1,2，.…一i

n位ir-lfiz

中之一，共"种情况，根据抽屉原理,其中必有两个数除以n的余数相同，不妨设为二二2和21^2（p>g）,那么

P&.

Z2?_=ZZ二i吗是n的倍数,所以〃乘以适当的型攵,可以得到形式为的数,即由即7组成

网2q<Uq位Qr-j）®血

的数.

24-1、

解:先计苒出每个2x2正方格内的四个数字的和最小为4,最大为24,从4到24共有21个不同的值，即有21个■1抽屉”；再找

出在6x6的方格表最多有：5x5=25（个）2、2正方格的“标示数"，即育25个"苹果”.25-21=1-4，根据抽屉

原理,必有两个"标示数”相同.

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25-1

解：把这条〃意分成每段1米长，共100段每段看作是一个抽屉,共100个抽屉，把101棵树看作是101个苹果，于是101个苹果

放入100个抽届中,至少有一个抽尿中稗两个苹果，即至少有一段有两棒或两棒以上的褥.

26-1、

解：我们将1~100分成(1,2),(3.4),(5,6),(7,8)…，(99.100)这50®,每组内的数相邻.而相邻的两

个自然数互质.将这50组数作为58抽屉,同一个抽扈内的两个数互质.而现在51个数,放进50＜抽屉,则必定有两个数在同

-WS,于是这两个数互质.同聂I得证.

26-2、

解：我们将1—100分成(1,51),(2,52),(3,53)，.一(40,90)....(50,100)这50蛆,每姐内的数相差50.

杼这5询数视为抽质,则现在有51个数放进辰内，则必定有2个数在同一抽辰,3gs两个数的差为50.问理卷证.

26-3、

解：我们将1—100S2的倍迎3的奇数倍、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有(2,4,6,8,,98,100),(3,9,

这三组.第一、二三组分别育、个

15,21,27f...,93,99),(5,7,11,13,17,19,23,,95,97)5017.33

元春.

最不利的情况下，51个数中有33个元素在第三组，那么剩下的18个数分到第一、二两组内，那么至少有9个数在同一组.所以

这9个数的最大公约数为2或3或它们的倍数，鉴然大于1.问题得证

对,26+12=2(位)......2(位)

27-1,2+1=3(12)

281、至少拿出4只才能保证豳E成1双.

28-2、至少拿出6只，才能俚证能配成2双.

28-3、至少拿出10只，才能保证有2双是相同8^的.

29-1、

解：点数为1(A)、2、3、4.5、6、7、8、9.10.11(J),12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一

共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同.这样,如果任意再取