2025届宁夏达标名校数学高一下期末考试模拟试题含解析

2025届宁夏达标名校数学高一下期末考试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在锐角中ΔABC，角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinA．π12B．π6C．π2．点M(4，m）关于点N（n,－3）的对称点为P（6，-9）则（）A．m＝－3,n＝10 B．m＝3,n＝10C．m＝－3,n＝5 D．m=3,n=53．在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．4．如图所示，在正四棱锥中，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列结论不恒成立的是().A．与异面 B．面 C． D．5．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A． B． C． D．6．已知向量，若，则（）A．1 B． C．2 D．37．已知点在第四象限，则角在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．下列函数中，值域为的是（）A． B． C． D．9．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，，成等差数列，，则的周长的取值范围为（）A． B． C． D．10．下列各角中，与126°角终边相同的角是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．等腰直角中，，CD是AB边上的高，E是AC边的中点，现将沿CD翻折成直二面角，则异面直线DE与AB所成角的大小为________.12．已知直线和，若，则a等于________.13．若,则________.14．已知圆，直线l被圆所截得的弦的中点为.则直线l的方程是________（用一般式直线方程表示）.15．若直线上存在满足以下条件的点:过点作圆的两条切线(切点分别为),四边形的面积等于，则实数的取值范围是_______16．计算：________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）设，直接用任意角的三角比定义证明：.（2）给出两个公式：①；②.请仅以上述两个公式为已知条件证明：.18．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，，，平面底面ABCD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：（1）平面BEF；（2）平面平面PCD．19．记数列的前项和为，已知点在函数的图像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.20．某校为了了解学生每天平均课外阅读的时间（单位：分钟)，从本校随机抽取了100名学生进行调查，根据收集的数据，得到学生每天课外阅读时间的频率分布直方图，如图所示，若每天课外阅读时间不超过30分钟的有45人.（Ⅰ)求，的值；（Ⅱ)根据频率分布直方图，估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表).21．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设年内(本年度为第一年)总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】试题分析：∵2a考点：正弦定理解三角形2、D【解析】因为点M，P关于点N对称，所以由中点坐标公式可知.3、C【解析】

由题，连接，设其交平面于点易知平面，即（或其补角）为与平面所成的角，再利用等体积法求得AO的长度，即可求得的长度，可得结果.【详解】设正方体的边长为1，如图，连接，设其交平面于点，则易知，，又，所以平面，即得平面.在三棱锥中，由等体积法知，，即，解得，所以.连接，则（或其补角）为与平面所成的角.在中，.故选C.【点睛】本题考查了立体几何中线面角的求法，作出线面角是解题的关键，求高的长度会用到等体积法，属于中档题.4、D【解析】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN.(1)由正四棱锥S−ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP.故C正确．(2)由异面直线的定义可知：EP与SD是异面直线，故A正确；(3)由(1)可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此B正确．(4)当P与M重合时，有∥，其他情况都是异面直线即D不正确．故选D点睛：本题抓住正四棱锥的特征，顶点在底面的投影为底面正方形的中心，即SO⊥底面ABCD，EP为动直线，所以要证EP∥面，可先证EP所在的平面平行于面SBD，要证⊥可先证AC垂直于EP所在的平面，所以化动为静的处理思想在立体中常用.5、B【解析】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．6、B【解析】

可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．【详解】；∵；∴；解得．故选B.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．7、B【解析】

根据第四象限内点的坐标特征，再根据正弦值、正切值的正负性直接求解即可.【详解】因为点在第四象限，所以有：是第二象限内的角.故选：B【点睛】本题考查了正弦值、正切值的正负性的判断，属于基础题.8、B【解析】

依次判断各个函数的值域，从而得到结果.【详解】选项：值域为，错误选项：值域为，正确选项：值域为，错误选项：值域为，错误本题正确选项：【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.9、A【解析】

依题意求出，由正弦定理可得，再根据角的范围，可求出的范围，即可求得的周长的取值范围．【详解】依题可知，，由，可得，所以，即，而．∴，即．故的周长的取值范围为．故选：A．【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，两角和与差的正弦公式的应用，以及三角函数的值域求法的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．10、B【解析】

写出与126°的角终边相同的角的集合，取k=1得答案．【详解】解：与126°的角终边相同的角的集合为{α|α=126°+k•360°，k∈Z}．取k=1，可得α=486°．∴与126°的角终边相同的角是486°．故选B．【点睛】本题考查终边相同角的计算，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

取的中点，连接，则与所成角即为与所成角，根据已知可得，，可以判断三角形为等边三角形，进而求出异面直线直线DE与AB所成角.【详解】取的中点，连接，则，直线DE与AB所成角即为与所成角，，，，，，即三角形为等边三角形，异面直线DE与AB所成角的大小为.故答案为：【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题，考查了异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.12、【解析】

根据两直线互相垂直的性质可得，从而可求出的值.【详解】直线和垂直，.解得.故答案为：【点睛】本题考查了直线的一般式，根据两直线的位置关系求参数的值，熟记两直线垂直系数满足：是关键，属于基础题.13、【解析】

先求，再代入求值得解.【详解】由题得所以.故答案为【点睛】本题主要考查共轭复数和复数的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14、【解析】

将圆的方程化为标椎方程，找出圆心坐标与半径，根据垂径定理得到直线与直线垂直，根据直线的斜率求出直线的斜率，确定出直线的方程即可．【详解】由已知圆的方程可得，所以圆心，半径为3，由垂径定理知：直线直线，因为直线的斜率，所以直线的斜率，则直线的方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.15、【解析】

通过画出图形，可计算出圆心到直线的最短距离，建立不等式即可得到的取值范围.【详解】作出图形，由题意可知，，此时，四边形即为,而，故，勾股定理可知，而要是得存在点P满足该条件，只需O到直线的距离不大于即可，即，所以，故的取值范围是.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，意在考查学生的转化能力，计算能力，分析能力，难度中等.16、【解析】

用正弦、正切的诱导公式化简求值即可.【详解】.【点睛】本题考查了正弦、正切的诱导公式，考查了特殊角的正弦值和正切值.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）直接利用任意角的三角函数的定义证得．（2）由已知条件利用诱导公式，证明．【详解】解：（1）将角的顶点置于平面直角坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，设角终边一点（非原点），其坐标为.∵，∴，.（2）由于，将换成后，就有即，.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题．18、（2）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）连接，交于，结合平行四边形的性质可得，再由线面平行的判定定理，即可得证（2）运用面面垂直的性质定理可得平面，推得，，，再由线面垂直的判定定理和吗垂直的判定定理，即可得证．【详解】证明：（1）连接，交于，可得四边形为平行四边形，且为的中点，可得为的中位线，可得，平面，面，可得面；（2）平面底面，，可得平面，即有，，可得，由，，可得四边形为矩形，即有，又，，可得，且所以有平面，而平面，则平面平面．【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定，注意运用线线平行和线面垂直的判定定理，考查推理能力，属于中档题．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

(1)本题首先可根据点在函数的图像上得出，然后根据与的关系即可求得数列的通项公式；(2)首先可根据数列的通项公式得出，然后根据裂项相消法求和即可得出结果。【详解】(1)由题意知.当时，；当时，，适合上式.所以.(2).则。【点睛】本题考查根据数列的前项和为求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，与满足以及，考查计算能力，是中档题。20、（Ⅰ)；（Ⅱ)中位数估计值为32，平均数估计值为32.5.【解析】

（Ⅰ）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出，；（Ⅱ）由频率分布直方图，能估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值．【详解】（Ⅰ)由题意得，解得（Ⅱ)设该校学生每天课外阅读时间的中位数估计值为，则解得：.该校学生每天课外阅读时间的平均数估计值为：.答：该校学生每天课外阅读时间的中位数估计值为32，平均数估计值为32.5.【点睛】本题考查频率、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21、(1)，；(2)至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.【解析】

(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入；（2）设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得－＞0，结合（1）可得，解得，进而可得结果.【详解】(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n－1万元，所以，n年内的总投入为=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1==4000×［1－()n］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n年旅游业收入400×(1+)n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为=400+400×(1+)+…+400×(1+)n－1==1600×［()