黑龙江省哈尔滨市师范大学附中2025届高一数学第二学期期末监测试题含解析

黑龙江省哈尔滨市师范大学附中2025届高一数学第二学期期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）A． B．3 C．6 D．2．经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有()A．1个 B．2个 C．无数个 D．1个或无数个3．在学习等差数列时，我们由，，，，得到等差数列的通项公式是，象这样由特殊到一般的推理方法叫做（）A．不完全归纳法 B．数学归纳法 C．综合法 D．分析法4．在区间上随机取一个数，使得的概率为（）A． B． C． D．5．在区间上随机选取一个数，则满足的概率为()A． B． C． D．6．函数的定义域为（）A． B． C． D．7．已知函数的图像关于直线对称，则可能取值是().A． B． C． D．8．的直观图如图所示，其中，则在原图中边的长为（）A． B． C．2 D．9．集合，，则=()A． B． C． D．10．在中，若，则是（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，，则的最小值为__________.12．数列满足，则数列的前6项和为_______．13．在中，为边中点，且，，则______.14．已知等差数列，若，则______.15．在中，角的对边分别为，且面积为，则面积的最大值为_____．16．如图，在直角梯形中，//是线段上一动点，是线段上一动点，则的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个三角形，使得，.(1)设，求三角形铁皮的面积；(2)求剪下的铁皮三角形的面积的最大值.18．如图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图(年份代码1-7分别对应年份)（1）建立关于的回归方程(系数精确到0.001);（2）预测2020年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:,,回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.19．设等比数列{}的首项为，公比为q(q为正整数),且满足是与的等差中项；数列{}满足.(1)求数列{}的通项公式;(2)试确定的值，使得数列{}为等差数列：(3)当{}为等差数列时，对每个正整数是，在与之间插入个2,得到一个新数列{}，设是数列{}的前项和，试求满足的所有正整数.20．已知数列和中，数列的前n项和为,若点在函数的图象上，点在函数的图象上．设数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）求数列的最大值.21．在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移与时间的关系，交流电与时间的关系都是形如的函数.已知电流（单位：）随时间（单位：）变化的函数关系是：，（1）求电流变化的周期、频率、振幅及其初相；（2）当，，，，（单位：）时，求电流.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案.【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，又，，两式相减，可得：，，.，，当且仅当时等立，的最小值为6，故选:C．【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力.2、D【解析】

讨论平面外一点和平面内一点连线，与平面垂直和不垂直两种情况.【详解】（1）设平面为平面，点为平面外一点，点为平面内一点，此时，直线垂直底面，过直线的平面有无数多个与底面垂直；（2）设平面为平面，点为平面外一点，点为平面内一点，此时，直线与底面不垂直，过直线的平面，只有平面垂直底面.综上，过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有1个或无数个，故选D.【点睛】借助长方体研究空间中线、面位置关系问题，能使问题直观化，降低问题的抽象性.3、A【解析】

根据题干中的推理由特殊到一般的推理属于归纳推理，但又不是数学归纳法，从而可得出结果.【详解】本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于归纳法，但本题并不是数学归纳法，因此，本题中的推理方法是不完全归纳法，故选：A.【点睛】本题考查归纳法的特点，判断时要区别数学归纳法与不完全归纳法，考查对概念的理解，属于基础题.4、A【解析】则，故概率为.5、D【解析】

在区间上，且满足所得区间为，利用区间的长度比，即可求解．【详解】由题意，在区间上，且满足所得区间为，由长度比的几何概型，可得概率为，故选D．【点睛】本题主要考查了长度比的几何概型的概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用长度比求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6、C【解析】要使函数有意义，需使，即，所以故选C7、D【解析】

根据正弦型函数的对称性，可以得到一个等式，结合四个选项选出正确答案.【详解】因为函数的图像关于直线对称，所以有，当时，，故本题选D.【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性，考查了数学运算能力.8、D【解析】

由直观图确定原图形中三角形边的关系及长度，然后计算．【详解】在原图形中，，，∴．故选：D.【点睛】本题考查直观图，考查由直观图还原原平面图形.掌握斜二测画法的规则是解题关键.9、C【解析】

根据交集定义直接求解可得结果.【详解】根据交集定义知：故选：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.10、A【解析】

首先根据降幂公式把等式右边降幂你，再根据把换成与的关系，进一步化简即可．【详解】，，,选A.【点睛】本题主要考查了二倍角，两角和与差的余弦等，需熟记两角和与差的正弦余弦等相关公式，以及特殊三角函数的值是解决本题的关键，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、25【解析】

变形后，利用基本不等式可得.【详解】当且仅当，即，时取等号.故答案为：25【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.12、84【解析】

根据分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式求解.【详解】因为，所以.【点睛】本题考查分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13、0【解析】

根据向量，，取模平方相减得到答案.【详解】两个等式平方相减得到：故答案为0【点睛】本题考查了向量的加减，模长，意在考查学生的计算能力.14、【解析】

利用等差数列的通项公式直接求解.【详解】设等差数列公差为，由，得，解得.故答案：.【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15、【解析】

利用三角形面积构造方程可求得，可知，从而得到；根据余弦定理，结合基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得最大值.【详解】，由余弦定理得：（当且仅当时取等号）本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形问题中的三角形面积的最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够通过余弦定理构造等量关系，进而利用基本不等式求得边长之积的最值，属于常考题型.16、2【解析】

建立平面直角坐标系，得到相应点的坐标及向量的坐标，把，利用向量的数量积转化为的函数，即可求解．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，因为，，所以,因为，，所以,因为，所以当时，取得最大值，最大值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及向量的数量积的运算的应用，其中解答中建立平面直角坐标系，结合向量的线性运算和数量积的运算，得到的函数关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）三角形铁皮的面积为；（2）剪下的铁皮三角形的面积的最大值为.【解析】试题分析：（1）利用锐角三角函数求出和的长度，然后以为底边、以为高，利用三角形面积公式求出三角形的面积；（2）设，以锐角为自变量将和的长度表示出来，并利用面积公式求出三角形的面积的表达式，利用与之间的关系，令将三角形的面积的表达式表示为以为自变量的二次函数，利用二次函数的单调性求出三角形的面积的最大值，但是要注意自变量的取值范围作为新函数的定义域.试题解析：（1）由题意知，，，，即三角形铁皮的面积为；（2）设，则，，，，令，由于，所以，则有，所以，且，所以，故，而函数在区间上单调递增，故当时，取最大值，即，即剪下的铁皮三角形的面积的最大值为.考点：1.三角形的面积；2.三角函数的最值；3.二次函数的最值18、（1）（2）亿吨【解析】

（1）由题意计算平均数与回归系数,写出回归方程,即可求得答案;（2）计算2020年对应的值以及的值,即可求得答案.【详解】（1）由折线图可得:关于的回归方程:.（2）年对应的值为当时,预测年我国生活垃圾无害化处理量为亿吨.【点睛】本题主要考查了求数据的回归直线方程和根据回归直线方程进行预测,解题关键是掌握回归直线的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）由已知可求出的值，从而可求数列的通项公式；（2）由已知可求，从而可依次写出，，若数列为等差数列，则有，从而可确定的值；（3）因为，，，检验知，3，4不合题意，适合题意．当时，若后添入的数则一定不适合题意，从而必定是数列中的某一项，设则误解，即有都不合题意．故满足题意的正整数只有．【详解】解（1）因为，所以，解得或（舍），则又，所以（2）由，得，所以，，，则由，得而当时，，由（常数）知此时数列为等差数列（3）因为，易知不合题意，适合题意当时，若后添入的数，则一定不适合题意，从而必是数列中的某一项，则.整理得，等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以无解。综上：符合题意的正整数.【点睛】本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，考察了函数单调性的证明，属于中档题．20、（1）（2）（3）【解析】

（1）先根据题设知，再利用求得，验证符合，最后答案可得．

（2）由题设可知，把代入，然后用错位相减法求和；（3）计算，判断其大于零时的范围，可得数列取最大值时的项数，进而可得最大值..【详解】解：（1）由已知得：，∵当时，，又当时，符合上式．（2）由已知得：①②②-①可得：（3）令，得：，又且，即为最