小题训练2：函数的概念与性质 高三数学一轮复习

高考数学必刷小题2函数的概念与性质一、单项选择题1．(2023·绵阳统考)已知集合A＝{x|y＝eq\r(2－x2)}，B＝{x|x2－x－12≤0}，则A∩B等于()A．{x|－3≤x≤－eq\r(2)}B．{x|－eq\r(2)≤x≤eq\r(2)}C．{x|eq\r(2)≤x≤4}D．{x|－3≤x≤4}2．(2023·漳州统考)若函数f(x)＝2x＋a·2－x是奇函数，则a等于()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－1D．13．已知f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－1)))＝x＋1，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝eq\f(1,x＋2)(x≠－2)B．f(x)＝eq\f(1＋x,x)(x≠0)C．f(x)＝eq\f(1,x)＋2(x≠0)D．f(x)＝eq\f(1,x)－1(x≠0)4．(2023·商洛统考)下列函数中，其图象与函数y＝2x的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝21－x B．y＝22－xC．y＝21＋x D．y＝22＋x5．(2023·咸阳模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为()A．f(x)＝eq\f(x2＋x,x＋1) B．f(x)＝xsinxC．f(x)＝x－eq\f(1,x) D．f(x)＝ex－e－x6．已知函数f(x)为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(eq\r(2))，b＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,3)))，c＝f(log310)，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<b<a7．(2024·成都模拟)已知定义域是R的函数f(x)满足∀x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2023)等于()A．1B．－1C．2D．－38．(2023·保定模拟)已知奇函数f(x)的定义域为[－3,3]，若对任意的x1，x2∈[0,3]，当x1<x2时，x1f(x1)－x2f(x2)>xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)恒成立，则满足不等式af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9的a的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))二、多项选择题9．(2024·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是()A．f(x)＝ex－e－xB．f(x)＝eq\f(2,ex＋1)－1C．f(x)＝ln(x＋eq\r(x2＋1))D．f(x)＝ln(sinx)10．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则()A．f(x)的图象关于直线x＝1对称B．f(x)在[0,1]上单调递增C．f(x)在[1,2]上单调递减D．f(2)＝f(0)11．(2023·泰安模拟)关于函数f(x)＝eq\f(3x＋2,x－1)，下列说法正确的是()A．f(x)有且仅有一个零点B．f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减C．f(x)的定义域为{x|x≠1}D．f(x)的图象关于点(1,0)对称12．(2023·福建联考)已知f(x)是定义域为R的奇函数，若f(2x＋1)的最小正周期为2，则下列说法正确的是()A．2是f(x)的一个周期B．f(4)＝0C．f(3)＝f(－5)D．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝0三、填空题13．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－x2，0≤x≤6，,fx－6，x>6，))则f(10)＝________.14．已知函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为R；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是__________________．f(x)＝－|x|.15．已知函数f(x)＝|lnx－a|＋a(a>0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________．16．(2024·合肥模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(0)＝1，＝________.参考答案1．B2.C3.C4.B5.D6.D7．B8．C[令函数g(x)＝xf(x)－x2，x∈[－3,3]．因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－xf(－x)－(－x)2＝xf(x)－x2＝g(x)，所以g(x)为偶函数．因为对任意的x1，x2∈[0,3]，当x1<x2时，x1f(x1)－x2f(x2)>xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)恒成立，即x1f(x1)－xeq\o\al(2,1)>x2f(x2)－xeq\o\al(2,2)恒成立，即g(x1)>g(x2)，所以g(x)在[0,3]上单调递减，所以g(x)在[－3,0]上单调递增．又因为af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9，所以af(a)－a2<(a－3)f(a－3)－(a－3)2，即g(a)<g(a－3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤a≤3，,－3≤a－3≤3，,|a|>|a－3|，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤a≤3，,0≤a≤6，,a2>a－32，))解得eq\f(3,2)<a≤3，故满足不等式的a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).]9．ABC[由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A正确；由f(x)＝eq\f(2,ex＋1)－1＝eq\f(1－ex,ex＋1)可得，f(－x)＝eq\f(1－e－x,e－x＋1)＝eq\f(ex－1,ex＋1)＝－f(x)，x∈R，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；由f(x)＝ln(x＋eq\r(x2＋1))可得，f(－x)＝ln(－x＋eq\r(x2＋1))＝lneq\f(1,x＋\r(x2＋1))＝－f(x)，x∈R，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故C正确；由f(x)＝ln(sinx)知，sinx>0，所以2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故D错误．]10．AD[因为f(x＋1)＝－f(x)，f(x)是偶函数，所以f(－x)＝－f(－x＋1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；由偶函数在对称区间上的单调性相反，得f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误；因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误；由f(x＋1)＝f(1－x)，可得f(2)＝f(0)，故D正确．]11．ABC[令f(x)＝0，即eq\f(3x＋2,x－1)＝0，解得x＝－eq\f(2,3)，所以f(x)有且仅有一个零点，故A正确；函数f(x)＝eq\f(3x＋2,x－1)＝3＋eq\f(5,x－1)(x≠1)，因为y＝eq\f(5,x－1)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，故B正确；函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，故C正确；因为函数y＝eq\f(5,x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数f(x)＝3＋eq\f(5,x－1)的图象关于点(1,3)对称，故D错误．]12．BCD[f(2x＋1)的最小正周期为2，则f(2(x＋2)＋1)＝f(2x＋1)，即f(2x＋1＋4)＝f(2x＋1)，所以f(x)的最小正周期为4，故A错误；因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0.又4是f(x)的一个周期，所以f(4)＝f(0)＝0，故B正确；f(3)＝f(－5＋2×4)＝f(－5)，故C正确；f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋4))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，又f(x)是定义域为R的奇函数，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝0，故D正确．]13．014．f(x)＝－x2(或f(x)＝－|x|，答案不唯一)15．1解析由题意得lnx∈[0,2]，当a≥2时，f(x)＝2a－lnx在[1，e2]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(e2)＝2a－2＝1，解得a＝eq\f(3,2)<2，不符合题意；当0<a<2时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－lnx，x∈[1，ea，,lnx，x∈[ea，e2]，))f(x)在[1，ea]上单调递减，在[ea，e2]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(ea)＝a＝1，符合题意．故a的值为1.16．－2025解析因为f(x)为偶函数，故f(x)＝f(－x)．因为f(x)＋f(－x－2)＝－2，所以f(