《圆周角（1）》名师教案

.1．4圆周角（张丹丹）（第一课时）一、教学目标（一）学习目标1.掌握圆周角的相关概念和定理，并会运用.2.掌握圆周角和圆心角的关系.3.探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.4．能运用圆周角的性质解决问题．（二）学习重点圆周角和圆心角的关系.（三）学习难点能运用圆周角的性质解决问题．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。（2）在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。2.预习自测（1）如图，在⊙O中，已知∠AOB=120°，则∠ACB=．【知识点】网圆周角定理．【数学思想】数形结合有。。【解题过程】解：∵∠AOB=120°，点C在⊙O上，∴∠ACB=∠AOB=60°．故答案为：60°【思路点拨】根据∠AOB的度数利用圆周角定理，即可得出∠ACB的度数．【答案】60°（2）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为．【知识点】网圆周角定理；三角形内角和定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OB．在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径），∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）；又∵∠OAB=28°，∴∠OBA=28°；∴∠AOB=180°﹣2×28°=124°；而∠C=∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠C=62°；故答案是：62°．【思路点拨】连接OB．根据等腰△OAB的两个底角∠OAB=∠OBA、三角形的内角和定理求得∠AOB=124°；然后由圆周角定理求得∠C=62°．【答案】62°．（3）如图，AD为⊙O的直径，∠ABC=75°，且AC=BC，则∠BED=．【知识点】网圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∵AC=BC，∠ABC=75°，∴∠BAC=∠ABC=75°，∴∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=30°，∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=15°，∴∠D=∠C=30°，∴∠BED=180°﹣∠CBD﹣∠D=135°．故答案为：135°．【思路点拨】由AD为⊙O的直径，∠ABC=75°，且AC=BC，可求得∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，继而可得∠CBD=15°，由三角形内角和定理，即可求得答案．【答案】135°．（4）如图，点A、B、C在⊙O上，∠A=36°，则∠O=．【知识点】网圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：由图形得：∠O=2∠A=2×36°=72°；故答案为：72°.【思路点拨】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得出结论．【答案】72°.(二)课堂设计1.知识回顾（1）在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．2.问题探究探究一圆周角定义，圆周角和圆心角关系.★▲●活动①以旧引新教师演示图片：展示一个圆柱形的海洋馆．教师：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题．问题1：如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（和）有什么关系？教师：这两个角所对的弧相同，顶点的位置不同：的顶点在圆心，的顶点在圆上。如何给起名较为恰当？教师结合示意图，给出圆周角的定义．利用几何画板演示，让学生辨析圆周角。定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角,是圆周角。问题2：如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（和）和同学乙的视角相同吗？与甲同学的视角（）相同吗？教师引导学生将问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧（）所对的圆心角（）与圆周角（）、同弧所对的圆周角（、、等）之间的大小关系．教师引导学生进行探究．【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动②大胆猜想，探究新知问题1：同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？问题2：同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？方法一：度量法分别量一下图中所对的圆周角，圆心角度数，即、、，比较一下你有什么发现？可以发现，同弧所对的圆周角的度数差不多一样，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。为了进一步探究上面的发现，需要严格的几何证明。方法二：几何证明法在⊙O任取一个圆周角，将圆对折，使折痕经过圆心O和的顶点A，由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：在圆周角的一条边上；在圆周角的内部；在圆周角的外部。（1）种情况证明：∵OA=OC，∴∠A=∠C。又∠BOC=∠A+∠C，∴∠BOC=2∠A，即∠A=∠BOC（2）种情况证明：∵OA=OC=OB，∴∠BAO=∠OBA，∠OAC=∠OCA。又∠BOC=2(∠BAO+∠OAC)，∴∠BOC=2∠BAC（3）种情况证明：∵OA=OC=OB，∴∠BAO=∠ABO，∠OAC=∠OCA.又∵∠BOC=180°-(180°-∠BAC-∠OCA)-∠ABO，∴∠BOC=∠BAC+∠OCA-∠ABO=∠BAC+(∠OAC-∠OAB)=2∠BAC定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧或等弧所对圆心角度数的一半。由此，还可以得到：同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，则它们的弧也相等。【设计意图】鼓励学生独立自主解决问题，让学生初步感受通过动手操作来掌握几何知识的相关概念。探究二直径所对的圆周角.▲活动大胆猜想，探究新知教师提问：半圆（或直径）所对的圆周角是多少度呢？学生猜想：90°如图，已知BC为⊙O直径，∠BAC为圆周角，求证：∠BAC=90°证明：∵∠BOC=2∠BAC=180°∴∠BAC=90°结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。探究三：圆周角的性质定理的应用●活动①基础性例题例1.如图，⊙O的半径为6，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=45°，则弦AB的长是．【知识点】圆周角定理；等腰直角三角形．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OA，OB，∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，则AB===6．【思路点拨】连接OA，OB，可以证得△AOB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解．【答案】6．练习1：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（）A．18° B．36° C．54° D．72°【知识点】圆周角定理；垂径定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AB是直径，AB⊥CD，∴，∴∠CAB=∠BAD=36°，∵∠BCD=∠BAD，∴∠BCD=36°，故选B．【思路点拨】根据垂径定理推出，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题．【答案】B．【设计意图】本题考查垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理，属于中考常考题型．例2.如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，若∠DCB=32°，则∠BAC=．【知识点】圆周角定理；垂径定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵∠BOD与∠BCD为所对的圆心角和圆周角，∴∠BOD=2∠BCD=64°，∵AB为直径，∴AC⊥BC，又∵OD⊥BC，∴AC∥OD，∴∠BAC=∠BOD=64°，故答案为：64°．【思路点拨】由圆周角定理可知，∠BOD=2∠BCD=64°，由AB为直径可知，AC⊥BC，又OD⊥BC，可知AC∥OD，利用平行线的性质可求∠BAC．【答案】64°．练习2：如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为．【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），∵∠CBD=30°，∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；故答案是：60°．【思路点拨】根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD=90°，然后由直角三角形的两个锐角互余、同弧所对的圆周角相等求得∠A=∠D=60°．【答案】60°．【设计意图】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．●活动2提升型例题例3.已知点O为△ABC的外心，且∠BOC=80°，则∠BAC=．【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合，分类讨论【解题过程】解：①当点O在三角形的内部时，则∠BAC=∠BOC=40°；②当点O在三角形的外部时，则∠BAC=（360°﹣80°）=140°．故答案为：40°或140°．【思路点拨】由于三角形的外心的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部．所以此题要考虑两种情况：根据圆周角定理，①当点O在三角形的内部时，则∠BAC=∠BOC=40°；②当点O在三角形的外部时，则∠BAC=（360°﹣80°）=140°．【答案】40°或140°．练习3：如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为．【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连结AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=55°，∴∠A=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°．故答案为35°．【思路点拨】连结AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，再根据互余计算出∠A的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．【答案】35°．【设计意图】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．例4.如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=．【知识点】圆周角定理；KQ：勾股定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵∠ABC=45°，∴∠AOC=90°，∵OA=OC=R，∴R2+R2=，解得R=．故答案为：【思路点拨】通过∠ABC=45°，可得出∠AOC=90°，根据OA=OC就可以结合勾股定理求出AC的长了．【答案】．练习4：已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）A．75° B．65° C．60° D．50°【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∠BAD=25°，∴∠B=65°．∴∠C=65°．故选B．【思路点拨】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠B=65°，再根据同弧所对的圆周角相等进行求解．【答案】B．【设计意图】此题主要是考查了圆周角定理的推论的运用．●活动3探究型例题例5.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内⊙C上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为．【知识点】圆周角定理；坐标与图形性质；含30度角的直角三角形．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∵AB是⊙C的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°﹣∠BAO=90°﹣60°=30°，∵点A的坐标为（0，3），∴OA=3，∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长==3．故答案是：3．【思路点拨】先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数，由圆周角定理可知∠AOB=90°，故可得出∠ABO的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB的长，进而得出结论．【答案】3．练习5：如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是在弧AB上的一点，则∠CPD的度数是（）A．35° B．40° C．45° D．60°【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接AC，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°，又∵∠CPD=∠CAD，∴∠CPD=45°．故选C．【思路点拨】连AC，由四边形ABCD为正方形，得到∠CAD=45°，由∠CPD=∠CAD=45°．【答案】C．【设计意图】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了正方形的性质．例6.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于D，若AC∶BC=4∶3，AB=10cm，则OD的长为cm．【知识点】圆周角定理；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理.【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵AC∶BC=4∶3，∴设AC=4x，则BC=3x，（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，则AC=8cm，BC=6cm．∵OD⊥BC于D，∴BD=CD，又∵OA=OB∴OD=AC=×8=4cm．故答案是：4．【思路点拨】根据AB是直径可以得到△ABC是直角三角形，依据勾股定理即可求得AC的长，然后根据垂径定理证得D是BC的中点，则OD是△ABC的中位线，依据三角形的中位线定理即可求解．【答案】4．练习6：如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（）A．43° B．35° C．34° D．44°【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵∠D=∠A=42°，∴∠B=∠APD﹣∠D=35°，故选B．【思路点拨】由同弧所对的圆周角相等求得∠A=∠D=42°，然后根据三角形外角的性质即可得到结论．【答案】B．【设计意图】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．3.课堂总结知识梳理（1）把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。（2）在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。重难点归纳1.在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。三、课后作业基础型自主突破1．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（）A．30° B．45° C．55° D．60°【知识点】圆周角定理.【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．故选D．【思路点拨】由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO=30°，再由圆周角定理即可得出答案．【答案】D．2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A．2 B．﹣1 C． D．4【知识点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵OC=2，∴CE=OC=1，∴CD=2OE=2，故选A．【思路点拨】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=OC=1，最后由垂径定理得出结论．【答案】A．3．如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（）A．25° B．50° C．60°D．80°【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵OA=OB，∠BAO=25°，∴∠B=25°．∵AC∥OB，∴∠B=∠CAB=25°，∴∠BOC=2∠CAB=50°．故选B．【思路点拨】先根据OA=OB，∠BAO=25°得出∠B=25°，再由平行线的性质得出∠B=∠CAB=25°，根据圆周角定理即可得出结论．【答案】B．4．已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（）A．30° B．35° C．45° D．70°【知识点】圆周角定理；垂径定理.【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，∴，∴∠ADC=∠AOB=35°．故选B．【思路点拨】先根据垂径定理得出，再由圆周角定理即可得出结论．【答案】B．5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（）A．100° B．110° C．115° D．120°【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠AED=20°，∴∠ACD=20°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°，故选B．【思路点拨】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB=90°，∠ACD=20°，即可求∠BCD的度数．【答案】B．6．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（）A．12 B．15 C．16 D．18【知识点】圆周角定理；垂径定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，∴AC=BC=AB=4．设OA=r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，∴AE=10，∴BE==6，∴△BCE的面积=BC•BE=×4×6=12．故选A．【思路点拨】先根据垂径定理求出AC的长，再设OA=r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中利用勾股定理求出r的值，再求出BE的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．【答案】A．能力型师生共研7.如图，⊙O中，弦AB，DC的延长线相交于点P，如果∠AOD=120°，∠BDC=25°，那么∠P=（）度．A．15 B．25 C．35 D．45【知识点】圆周角定理；三角形的外角性质.【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵∠AOD=120°，∴∠DBA=60°，又∵∠BDC=25°，∴∠P=∠DBA﹣∠BDC=60°﹣25°=35°．【思路点拨】根据∠AOD=120°求出∠DBA的度数，再利用三角形内角和外角的关系，求出∠P的度数．【答案】C．8.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2 B．8 C． D．2【知识点】圆周角定理；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理.【数学思想】数形结合【解题过程】解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，∵OC2+AC2=OA2，∴（R﹣2）2+42=R2，解得R=5，∴OC=5﹣2=3，∴BE=2OC=6，∵AE为直径，∴∠ABE=90°，在Rt△BCE中，CE=．故选D．【思路点拨】连结BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC=BC=AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，根据勾股定理得到（R﹣2）2+42=R2，解得R=5，则OC=3，由于OC为△ABE的中位线，则BE=2OC=6，再根据圆周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE．【答案】D．探究型多维突破9.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（）A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质.【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接AD，AB是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；∵AD是∠BAC的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确．∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误故选B．【思路点拨】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断．【答案】B．10.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO=∠D；（2）若CD=8，AE=3，求⊙O的半径．【知识点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理.【数学思想】数形结合【解题过程】（1）证明：∵OB=OC，∴∠BCO=∠B，又∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D.（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×8=4，设⊙O的半径为r，则OE=r-3;在Rt△OCE中，由勾股定理得：OC2=OE2+CE2∴r2=(r-3)2+42解得：r=∴⊙O的半径为：．【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；（2）由垂径定理和勾股定理列方程，继而求得半径．【答案】（1）略（2）．自助餐1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACO=30°，则∠B的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OA，如图，∵OA=OC，∠ACO=30°，∴∠ACO=∠CAO=30°，∴∠AOC=120°，∴∠B=60°．故选C．【思路点拨】连接OA，要求∠B，可求与它同弧所对的圆心角∠AOC；而∠AOC是等腰三角形AOC的顶角，在已知底角的前提下可求出顶角．【答案】C．2．（2016•岳麓区校级自主招生）如图，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于（）A．20° B．30° C．35° D．70°【知识点】圆周角定理；垂径定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵弦CD⊥直径AB，∴，∴∠BAD=∠BOC=×70°=35°．故选C．【思路点拨】先根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理得∠BAD=∠BOC=35°．【答案】C．3．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A．30° B．45°