线性代数及应用（高淑萍第2版） 课件 第3章 n 维向量与向量空间

第3章n维向量与向量空间3.1n维向量及其运算向量的概念及运算向量，这

n个数称为该向量的

n个分量，第

i个数称为n个有序的数所组成的数组称为

n维分量全为实数的向量称为实向量，全为复数的称为复向量．定义1第

i个分量(坐标)．例如n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵；写成一行，称为行向量，也就是行矩阵．向量的概念及运算则有行向量和列向量均按照矩阵的运算法则运算．说明向量的加法和数乘运算称为向量的线性运算．注意向量组与矩阵定义2若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组．说明（1）向量组中的向量必须是同型向量；（2）一个向量组可含有限多个向量，也可含无限多个向量．例如

向量组与矩阵定义同样，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵．含有限个向量的有序(行/列)向量组与矩阵一一对应第3章n维向量与向量空间3.2向量组的线性相关性向量组的线性组合定义1例如一个向量组可以线性表示这个向量组中的每一个向量零向量是任意一个向量组的线性组合向量组的线性组合练习一般地，对于任意的

n维向量

b，必有定义n

阶单位阵

的列向量叫做

n

维基本单位向量．解答向量组的线性组合例1证明向量

b能由向量组解向量组的线性组合定理1下面命题互相等价：123推论向量组的线性相关性定义2向量组

A是线性相关的，否则称它是线性无关的．则称例如向量组的线性相关性说明（1）（2）给定向量组

A，不是线性相关，就是线性无关；（3）若向量组只包含一个向量

a：线性相关，当

a不是零向量时，线性无关；（4）包含零向量的任何向量组是线性相关的．当

a是零向量时，向量组的线性相关性例2解向量组的线性相关性定理2思考向量组线性相关(无关)的等价命题都有哪些？123向量组的线性相关性例3解转化为矩阵的秩的问题，向量组的线性相关性定理3证明（充分性）向量组的线性相关性证明（必要性）推论两个向量线性相关的几何意义是两向量共线；三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.向量组的线性相关性例4证明向量组的线性相关性定义3给定一个向量组后，从这个向量组中抽取一部分向量构成一个新的向量组，这个新的向量组称为原向量组的部分组.定理证明向量组的线性相关性定理推论部分相关，则整体相关；整体无关，则部分必无关.推论推论向量组的线性相关性例5证明第3章n维向量与向量空间3.3向量组的秩与极大无关组等价向量组定义1设有向量组B中的向量均可由向量组

A线性表示，则称向量组B能由A线性表示．如果向量组A与B可以相互线性表示，则称向量组A与B等价．若向量组若向量组B能由向量组A线性表示，矩阵

C的列向量组能由矩阵

A的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．矩阵

C的行向量组能由矩阵

B的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵．A在左边B在右边左行右列等价向量组例1证明证明向量组A与B等价．等价向量组等价向量组定理1下面命题互相等价：1234推论证明证明向量组

A与

B等价，其中例2等价向量组矩阵的秩定义2例如说明矩阵的秩定义3规定零矩阵的秩等于零．说明行阶梯形矩阵的秩就等于矩阵非零行的行数．矩阵的秩当矩阵的秩等于它的列数时，矩阵称为列满秩矩阵．定义123矩阵的秩定理2矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．证明思路（1）证明

A

经过一次初等行变换变为

B，则

R(B)≤R(A)；（2）B

也可经由一次初等行变换变为

A，则

R(A)≤R(B)，

于是

R(A)=R(B)；

（3）经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变；（4）设

A

经过初等列变换变为

B，则

AT

经过初等行变换

变为

BT

，从而

R(AT)=R(BT)，于是

R(A)=R(B)．矩阵的秩例2解选取行阶梯形中非零行的第一个非零元所在的列这就是

A

的一个最高阶非零子式．矩阵的秩推论下列命题成立12345——西尔维斯特不等式向量组的秩定义4设有向量组

T，如果在

T中能选出

r个向量线性无关向量组，简称极大无关组.极大性：所有线性无关组中含向量最多的极小性：所有等价的部分组中含向量最少的定义5向量组的秩例3解向量组的秩与矩阵的秩的关系定理3矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．证明向量组的秩与矩阵秩的关系矩阵线性方程组有限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应Ax=b

有解当且仅当向量

b

可由矩阵

A的列向量组线性表示无限向量组向量组与自己的极大无关组等价若

Dr

是矩阵

A

的一个最高阶非零子式，则Dr

所在的

r

列是

A

的列向量组的一个极大无关组；r行是

A的行向量组的一个极大无关组．向量组的秩与矩阵的秩的关系例4解第3章n维向量与向量空间3.4向量空间向量空间的定义定义1说明所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．例如整数集

Z对除法运算不封闭；

有理数集

Q对四则运算封闭；实数集

R

对四则运算封闭．向量空间的定义例1解（1）判断下列集合是否为向量空间．（3）向量空间的定义说明（1）（2）01OPTION02OPTION向量空间的定义例2解定义向量空间的定义alaabclambgcablamb向量空间的定义定义2例如说明向量空间的定义例3证明练习说明等价向量组所生成的空间相等．向量空间向量组向量组的极大无关组向量空间的基向量空间的维数向量组的秩向量空间的定义向量的内积与正交矩阵定义31234定义4123向量的内积与正交矩阵定义5例4解定义向量的内积与正交矩阵定义由一组两两正交的非零向量组成的向量组，称为正交向量组.由单位向量构成的正交向量组称为标准(规范)正交向量组.例如都是正交向量组.向量的内积与正交矩阵例5解向量的内积与正交矩阵定理1证明向量的内积与正交矩阵例6解向量的内积与正交矩阵定义6例如123向量的内积与正交矩阵定理2向量的内积与正交矩阵第3章n维向量与向量空间3.5基、维数与坐标向量空间的基与维数定义1设有向量空间

V，如果在

V中能选出

r个向量例如说明自然基定义2例如向量空间的基与维数向量空间的基与维数c31c32向量空间的基与维数向量空间的基与维数例1解向量空间的基与维数向量空间的基与维数例2证明向量的坐标定义3例如说明例3解向量的坐标定义4说明向量的坐标向量的坐标例4解向量的坐标第3章n维向量与向量空间3.6线性方程组解的结构解的判定定理线性方程组解的判定定理定理1定理2定理3证明齐次线性方程组解的结构线性方程组解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系