八年级数学上册全等三角形解答题练习

八年级数学上册全等三角形解答题练习

一.解答题(共30小题)

1.如图，已知AC=BD,求证：△ABg/\DCB.

2.如图，已知△ABC也△FEO,和/尸是对应角，C8和力E是对应边，AF=8,BE=2.

(1)写出其他对应边及对应角；

(2)判断4c与。尸的位置关系，并说明理由.

(3)求AB的长.

3.如图，在四边形ABCD中，E为A8的中点，DE//BC,NADE=NECB,

(1)求证：△/1£：£)也△EBC；

(2)当A8=6时，求CQ的长.

4.如图，已知：PA=PB,AC=BD,PC=PD,△P49和△PBC全等吗？请说明理由.

6.仔细阅读下面的解题过程，并完成填空:

如图，4。为△ABC的中线，已知AO=4a”，试确定4B+AC的取值范围.

解：延长AO到E,使。E=4O,连接BE.

因为A。为aABC的中线，

所以，

在△ACC和△EBD中，因为4D=Z)E,NADC=NEDB,CD=BD,所以(SAS).

所以BE=AC().

因为AB+BQAE(),

所以AB+AOAE.

因为AE=2A£)=8cvn,所以AB+AC>cm.

E

7.如图，AABC中，D,E分别是边AB,AC延长线上的点，AP平分NBAC,BP平分N

CBD,求证：CP平分/BCE.

证：过P分别作尸FJ_A。，PGLAE,PHA.BC,

；AP平分/BAC(),

JiPFLAD,PGLAE,

(角平分线上的点到角的两边的距离相等)，

••"2平分/制。，

且,

：.PF=PH,

：.(),

XVPG1AE,PH1,BC,

:.CP平分NBCE.

E.

AB

8.如图，。是A6上一点，DF交AC于点、E,DE=FE,ZB+ZBCF=180°，若AB=4,

CF=2.4,求BO的长.

9.如图，已知AB=AC,AD=AE,BE=CD.写出Nl,N2,Z3之间的数量关系，并予

以证明.

10.如图，ZB=10°，NAE£)=20°，AB=4cm,C为A£>的中点.

(1)求AE的长;

(2)求/BAE的度数.

11.如图，RtZVICB中，NACB=90°,△ABC的角平分线4。、BE相交于点P,过P作

PP_LAO交8C的延长线于点凡交AC于点H.

(1)求NAP8的度数为

(2)证明：AH+BD=AB.

12.如图，在四边形A8CC中，/ABC=/AQC=90°,AB^AD.

(1)求证：NEBD=NEDB.

(2)E是AC的中点，若/8芯。=120°,试判断△BOC的形状并说明理由.

13.已知，如图，AC平分NBA。，CELAB,CFA.AD,且CB=C£>,求证：DF=EB.

(1)若BC=3,CD=5,求AE的长；

(2)判断AB与。E所在直线的位置关系，并说明理由.

15.如图，在四边形ABC。中，连接对角线AC,AF既是△ABC的高又是△ABC的中线,

BE=CD,连接AE,AD=AE.

(1)求证：ZDAC=ZEAB；

(2)若BE平分NC84,NBAC=36°,求NOCA的度数.

16.如图，已知：AB^CD,AD=BC,EF过8。的上一点。与ZM、BC的延长线交于E、

F两点.

求证：ZE=ZF.

17.已知：如图，。是△ABC边8C上一点，点E在BC的延长线上，ERLA。于尸，且EF

平分/AEB,ZB=ZEAC.求证：

(1)ED=EA；

(2)4。是△48C的角平分线.

18.如图，已知AQ〃BC,NPAB的平分线与/C8A的平分线相交于E,CE的连线交AP

于D求证：AD+BC=AB.

19.如图，AO是aABC的高，E为AC上一点，点8E交AQ于F,且。C=F£>.AC=BF.

(1)证明：△BFD丝△ACD.

(2)若求AO的长.

A

20.如图，已知点C是NM4N的平分线上一点，CELAB于E,B、。分别在AM、AN上,

且2AE=AZ)+A8.问：/I和N2有何数量关系？并说明理由.

21.如图，点E在C。上，8C与AE交于点尸，AB=CB,BE=BD,Z1=Z2.

(1)求证：AE=CD；

(2)若/2=58°,求/3的度数.

22.如图，在RlZiABC和RlZ\AOE中，ZABC=ZADE=90°,8c与OE相交于点凡且

AB=AD,AC=AE,连接CQ,EB.

(1)求证：ZCAD^ZEAB；

(2)试判断CF与EF的数量关系，并说明理由.

23.如图，4,B,。依次在同一条直线上，在AO的同侧作NA=NO=Rf/,AC=BD,Z

ABC=/BED.

(1)求证：CB=BE.

(2)若AC=2,AD=f>,求CE的长.

24.在△ABC中，4B=AC,点。是射线CB上的一动点(不与点8、C重合)，以AD为

一边在AO的右侧作△ADE,使AD=AE,ZDAE=ZBAC,连接CE.

(1)如图1,当点。在线段C8上，且/BAC=90°时，判断BO和CE的数量关系和位

置关系，并说明理由；

(2)设NB4C=a,ZDC£=p.

如图2,当点。在线段CB上,NBACN90°时，请你探究a与。之间的数量关系，并

证明你的结论.

图2

25.如图1,在△ABC中，AB=AC,点。在AB上，点E在AC的延长线上，连接交

BC于F,DF=EF.

(1)求证：BD=CE；

(2)如图2,连接CD,若NDFB=45°,BC=6,求△BCD的面积.

A

A

图1图2

26.如图1,△ABC中，AB=AC,点。、E分别在A3、AC上，且B£>=CE,连接BE、CD

相交于点0.

(1)求证：08=0C；

(2)如图2,若NA=36°,BE平分/ABC,过点A作4/〃CO交BE的延长线于点凡

直接写出图中与EF相等的线段.

图1图2

27.如图，CALAB,垂足为点4,AB=12米，AC=6米，射线垂足为点B,动

点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点。为射线3M上一动点，随着E点运动而

运动，且始终保持ED=C5,当点E经过多少秒时，由点。、E、2组成的三角形与△8C4

全等？

28.已知在平面直角坐标系中A(0,2),P(3,3),且PALPB.

(1)如图1,求点B的坐标；

(2)如图2,若A点运动到Ai位置，8点运动到位置，仍保持P4LP81，求。与

-OAi的值.

29.如图，点。为AABC外一点，连接BD,E为8。延长线上一点，连接C。交A8于点F,

过点4作8c的垂线交BC于点O,已知O8=OC,ZABD=ZACD,AML8E于点M,

AN_LC£>于点N.

(1)求证：△ABM丝△4CN；

(2)求证：D4为/EQC的平分线；

(3)求证：CN=DN+BD.

30.以△ABC的A3、AC为边作△A3。和△ACE,且AE=AB,AC=AD,CE与BO相交于

M,ZEAB=ZCAD=a.

图1图2

(1)如图1,求证：△AEC四△ABD；

(2)在图1中，连接AM,则NEMB=,ZAMC=；(都用含a的代数

式表示)

(3)如图2,若a=50°,G、H分别是EC、8力的中点，求N4HG的度数.

参考答案

解答题(共30小题)

1.如图，已知NAC8=NOBC,AC=BD,求证：△ABC*4DCB.

证明：在△ABC与△OCB中，

'AC=BD

-ZACB=ZDBC-

BC=CB

:AABgADCB(SAS).

2.如图，已知△ABC丝△FED,NA和NF是对应角，C8和OE是对应边，AF=8,BE=2.

(1)写出其他对应边及对应角；

(2)判断AC与。F的位置关系，并说明理由.

(3)求43的长.

解：(1)：△ABC丝△FED,

和/£是对应角，/C和/。是对应角，AC和FO是对应边，A8和EE是对应边;

(2)AC//DF,理由如下：

△AB84FED,

：./4=/尸，

：.AC//DF；

(3)VAABC^AFED,

：.AB=FE,

：.AB-BE=FE-BE,

BPAE=BF,

；AF=8,BE=2,

：.AE+BF=AF-BE=6,

：.AE=3,

：.AB=AE+BE=5.

3.如图，在四边形ABC。中，E为AB的中点，DE//BC,NADE=NECB,

(1)求证：△/1£：£)也△EBC；

(2)当4B=6时，求CD的长.

(1)证明：:E为AB的中点,

：.AE=BE,

'：DE//BC,

：.NAED=NB,

在与△EBC中，

，ZADE=ZECB

-ZAED=ZB，

AE=BE

:.MAED^lXEBC(AAS)；

(2)解：\'DE//BC,

：.ZDEC=ABCE,

•：/\AED^/\EBC,

：.ED=BC,

在△OEC和ABCE中，

'DE=BC

<ZDEC=ZECB)

EC=CE

:.ADEgABCE(SAS),

:.CD=BE,

•.•点E为AB的中点，

：.BE=—AB=3,

2

：.CD=BE=3.

4.如图，已知：PA=PB,AC=BD,PC=PD,△PAO和△PBC全等吗？请说明理由.

解：理由如下：

'：AC=BD,

：.AC+CD=BD+CD,

BPAD=BC,

在△PA。和△P8C中，

，PA=PB

<AD=BC

PD=PC

:./\PAD空/XPBC(SSS).

5.如图，Z1=Z2,AB=AE,AC=AD.求证：BC=ED.

证明：；N1=N2,

；.Nl+/EAC=/2+/EAC,

即NBAC=NE4O,

在△ABC和△AE£)中，

<AB=AE

<ZBAC=ZEAD，

AC=AD

A/\ABC^/\AED(SAS),

：.BC=ED.

6.仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：

如图，AO为AABC的中线，已知A£>=4a〃，试确定AB+AC的取值范围.

解：延长AZ)到E,使。E=AQ,连接BE.

因为4。为AABC的中线，

所以BD=CD,

在△AC。和△EBO中，因为AO=£>E,ZADC=ZEDB,CD=BD,所以MACD9M

EBD（SAS）.

所以BE=AC（全等三角形的对应边相等）.

因为A8+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）,

所以4B+4OAE.

因为AE=2AO=8C7H,所以A8+4O8cm.

V

E

解：延长AD到E,使。E=AO,连接BE,

因为AO为AABC的中线，

所以

在△ACO和△£'8。中，AD=DE,ZADC=ZEDB,CD=BD,

所以△AC。9/XEB。（SAS）.

所以BE=AC（全等三角形的对应边相等），

因为4B+BEA4E（三角形两边之和大于第三边），

所以48+4O4E,

因为AE=2AO=8c7n,

所以AB+AC>8cm,

故答案为：BD=CD；△48岭△E8Z）；全等三角形的对应边相等；三角形两边之和大于

第三边；8.

7.如图，ZVABC中，D,E分别是边AB,AC延长线上的点，AP平分/BAC,BP平分N

CBD,求证：CP平分4BCE.

证：过P分别作PFJ_AO,PGLAE,PH±BC,

；AP平分NBAC（己知）,

J.PFLAD,PGLAE,

PG=PF（角平分线上的点到角的两边的距离相等），

平分/CB£）,

且尸一LAD,PH工BC,

；.PF=PH,

：.PG=PH（等量代换）,

PGLAE,PHA.BC,

；.CP平分/BCE.

证明：过P分别作PF_LA£>,PGLAE,PHVBC,

平分/BAC（已知），

JaPFVAD,PGVAE,

:.PG=PF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）,

■:BP平分NC2。，

且PFVAD,PHLBC,

：.PF=PH,

：.PG=PH（等量代换），

又：PG_LAE,PHYBC,

，CP平分N8CE.

故答案为：已知；PG=PF；PFYAD,PHLBC；PG=PH；等量代换.

8.如图，。是AB上一点，。尸交AC于点E,DE=FE,NB+NBCF=180°,若AB=4,

CF=2.4,求BO的长.

解：•.•/8+NBC尸=180°,

：.AB//CF,

：.ZA^ZECF,NADE=4F,

在和中，

'NA=NECF

<ZADE=ZF>

DE=FE

AAAED^ACfF(4AS),

：.AD=CF^2A,

'：AB=4,

：.BD=AB-AO=4-2.4=1.6,

；.B。的长是1.6.

9.如图，已知AB=4C,AD=AE,BE=CD.写出/I,Z2,/3之间的数量关系，并予

以证明.

解：Z3=Z1+Z2,

证明：在△ABE和△AC£>中,

rAB=AC

<AE=AD>

BE=CD

.'.△ABE丝△ACO(SSS),

：.ZBAE=Zl,NABE=N2,

：.Z3=ZBAE+ZABE=ZI+Z2.

10.如图，XAB8XADE、/B=10°,ZAED=20°,4B=4cvn,C为A。的中点.

(1)求AE的长：

(2)求/54E的度数.

解：(1)△ABC丝△4£>£；,ZB=10°,AB=4cm,

：.ZADE=ZB=\O°,ZEAD=ZCAB,AD=AB=4cm,

•点C为A。中点，

.'.AC——AD——X4=2(cm),

22

,,.AE=2cm,

(2)VZAED=20°,ZADE=W°,

...NEAD=180°-ZEAD-ZAED=180°-10°-20°=150°,

...NCAB=150°,

AZBA£=360°-150°-150°=60°.

11.如图，RtZ\AC8中，ZACB=90°,AABC的角平分线A。、BE相交于点P,过P作

PFLAO交BC的延长线于点凡交4c于点H.

(1)求NAPB的度数为135。；

(2)证明：AH+BD=AB.

⑴解:VZACB=90°,

：.ZCAB+ZCBA^90°,

「△ABC的角平分线A。、2E相交于点尸，

：.ZPAB=—ZCAB,ZPBA=—ACBA,

22

：.ZPAB+ZPBA=—CZCAB+ZCBA}=Z45°,

2

...NAPB=180°-45°=135°,

故答案为：135°；

(2)证明：VZAPB=135",

.•.ZBPD=45°,

\'PF±AD,

：.ZBPF=900+45°=135°,

；尸8平分/ABC,

NABP=NFBP,

在AAPB和△FP3中，

'/ABP=/FBP

-BP=BP，

ZAPB=ZFPB

/\APB^^FPB(SAS),

AP=FP,AB=FB,

YAP平分N8AC,

；.NBAP=NCAP,

：.ZF^ZCAP,

'：PF±AD,

：.NAPH=NFPD,

在和△FP£>中，

'/APH=/FPD

<AP=FP，

ZCAP=ZF

:.△APHgAFPD(ASA),

：.AH=^FD,

；.AH+BD=FD+BD=BF=AB.

12.如图，在四边形A8CQ中，/ABC=/AOC=90°,AB^AD.

(1)求证：ZEBD=ZEDB.

(2)E是AC的中点，若NBEO=120°,试判断△BZX?的形状并说明理由.

B

(1)证明：在RtaABC和RtAWC中,

fAC=AC

lAB=AD，

ARtAABC^RtAADC(HL),

：.CB=CD,

.•.点A、点C都在线段8。的垂直平分线上，

直线AC是线段BD的垂直平分线，

:.BE=DE,

：.ZEBD=ZEDB.

(2)解：△BOC是等边三角形，

理由：'；BE=DE,EA1,BD,NBED=120°,

NAEB=ZAED^—ZBED=60°,

2

VZABC=ZADC=90°,E是AC的中点，

：.BE=DE=AE=—AC,

2

：./\ABE.△AOE都是等边三角形，

：.ZEAB=ZEAD=60°,

：.ZDAB^ZEAB+ZEAD^]20Q,

：.ZBCD=360°-ZABC-ZADC-ZDAB=60a,

•：CB=CD,

.•.△BDC是等边三角形.

13.已知，如图，AC平分NBA。，CELAB,CFVAD,且CB=C力，求证：DF=EB.

证明：「AC平分/B4O,CELAB,CF±AD,

：.CF=CE9NCFD=NCEB=90°,

在RtACFD和RtACEB中，

fCF=CE

1CD=CB，

Z.RtACFD^RtACEB(HL),

：.DF=EB.

14.如图，AABC且ADEC,点B,C,。在同一直线上，点E在AC上.

(1)若BC=3,CD=5,求AE的长；

(2)判断48与OE所在直线的位置关系，并说明理由.

・・・BC=CE=3,AC=DC=59

•・•点E在AC上,

：.AE=AC-EC=5-3=2；

(3)A3与OE所在直线的位置关系AB，。区

理由：延长OE交48于凡

ZVIBC丝△DEC,

=/ACB=NDCE,

：.ZACB+ZDCE=180°,

AZDCE=—XI800=90。,

2

・・・ZAED=ZA+ZAFE=ZD+ZDCE,

：.ZAFE=ZDCE=90°,

：.AB_LDE,

A

/E

B

15.如图，在四边形ABC。中，连接对角线AC,AF既是aABC的高又是△ABC的中线,

BE=CD,连接4E,AD=AE.

(1)求证：NDAC=NEAB；

(2)若BE平分NC8A,ZBAC=36°,求NOCA的度数.

(1)证明：；AF既是AABC的高又是AABC的中线，

AZAFB=ZAFC=90°,CF=BF,

在△AFC与△AFB中，

'CF=BF

<ZAFB=ZAFC-

AF=AF

AAAFC^AAFB(SAS),

：.AC=AB,

在△ADC与△AEB中，

，AC=AB

•BE=CD)

AD=AE

A/XADC^/XAEB(SSS),

：.ZDAC=ZEAB；

(2)解：•.•NCA8+NACB+NABC=180°,NBAC=36°,

NACB+N4BC=144°,

；△AOCdAEB,

AZACB=ZABC,NDCA=NEBA,

/ABC=N4CB=72°,

平分NC8A,

，/ABE=/NABC=36。，

...NOC4=NA8E=36°.

16.如图，已知：AB=CD,AD=BC,EF过BD的上一点O与D4、BC的延长线交于E、

F两点.

求证：NE=NF.

E

证明：在△48。和△C£(8中

'AB=CD

-AD=BC，

BD=DB

:AABDq/XCDB(SSS),

Z.ZADB=ZDBC,

：.DE//BF.

：.4E=4F.

17.已知：如图，。是△ABC边BC上一点，点E在BC的延长线上，EFLAQ于F,且EF

平分NAEB,NB=NEAC.求证：

(1)ED=EA；

(2)A。是△ABC的角平分线.

NAEF=/DEF,

"：EF±AD,

:.NAFE=NDFE=90°,

在和△/)£'/中，

'NAEF=NDEF

<EF=EF，

ZAFE=ZDFE

:.△AEFg/\DEF(ASA),

：.EA=ED；

(2)VAAEF^AD£F,

NADE=NDAE,

•：ZADE=ZB+ZBAD,ZDAE=ZDAC+ZEAC,

：.NB+NBAD=NDAC+NEAC,

'：NB=ZEAC,

：.NBAD=ZDAC,

是△ABC的角平分线.

18.如图，已知AD〃BC,NPA8的平分线与NC8A的平分线相交于E,CE的连线交AP

于D求证：AD+BC=AB.

证明：如图，延长8E交4尸于点F,

'：AD//BC,

：.NAFE=NCBE,

■：ZPAB的平分线与/CBA的平分线相交于E,

ZFAE=ZBAE,ZCBE=NABE,

：.NAFE=NABE,

在△APE和△ABE中，

，ZAFE=ZABE

,ZFAE=ZBAE-

AE=AE

AAAFE^AABE(AAS),

：.FE=BE,AF^AB,

在△£)£：/和△CEB中，

'NDFE=NCBE

<FE=BE>

ZFED=ZBEC

：./\DEF^/\CEB(ASA),

:.DF=BC,

：.AD+BC=AD+DF=AF=AB.

19.如图，AO是△ABC的高，E为AC上一煎，点BE交AD于F,且DC=FD.AC=BF.

(1)证明：/\BFD妥/\ACD.

(2)若求的长.

(1)证明:是ABC的高,

:.NADC=/BDF=90°,

在RtAACD和RtABFD中，

[AC=BF

.,.RtAACD^RtAfiFD(HL)；

(2)解：VRtAACD^RtABFD,

：.AD=BD,

在Rtz^ACQ中，根据勾股定理得:

AD2+BD2=AB2,

：.2AD2^AB2=(A/14)2,

:.AD=ypj.

20.如图，已知点C是/MAN的平分线上一点，CEJ_AB于E,B、。分别在AM、AN上,

且2AE=AZ)+AB.问：N1和N2有何数量关系？并说明理由.

N

_______入

AEBM

解：Z1与N2互补.

理由：作CF_LAN于F(如图)，

VZ3=Z4,CE1.AM,

：.CF=CE,ZCFA=ZCEA=90°,

在RtAACF和RtA/lCE中，

rCF=CE

lAC=AC，

.".RtAACF^RtAACE(HL),

：.AF=AE.

•：AE=—(AD+AB)=—CAF-DF+AE+EB)=AE+—(BE-DF),

222

：.BE=DF,

在△£>&7和△BEC中，

'CF=CE

<ZCFD=ZCEB，

DF=BE

.♦.△OFC丝△BEC(SAS),

；.N5=N2,

VZ1+Z5=18O0,

.,.Zl+Z2=180°.

21.如图，点E在C。上，8c与AE交于点F,AB=CB,BE=BD,Z1=Z2.

(1)求证：AE=CD；

(2)若N2=58°,求N3的度数.

4

\冰

3\/\

-------£------、D

(1)证明：VZ1=Z2,

.".ZABE=ZCBD,

在△ABE和△C8O中，

'AB=CB

-ZABE=ZCBD«

BE=BD

:.AABE出ACBD(SAS),

."E=C£>；

(2)解：由(1)知，AABE注4CBD,

：.ZA=ZC,

"：ZAFB=ZCFE,

；.N1=N3.

.,.N3=/2=58°.

22.如图，在RtZ\A8C和RtAADE中，ZABC=ZADE=90a,8c与DE■相交于点F,且

AB=AD,AC=AE,连接C£>,EB.

(1)求证：ZCAD^ZEAB^

(2)试判断CF与EF的数量关系，并说明理由.

(1)证明：在RCA8C和RtZXADE中,

AB=AD

AC=AE'

,.RlAABC^RtAADf(HL),

J.ZCAB^ZEAD,

・・・ACAB-NBAD=ZEAD-/BAD,

：.ZCAD=ZEAB；

(2)解：CF=EF,

理由：连接CE,

・♦.ZACE=ZAEC,

・・・RtAABC^RtAADE,

・・.ZACB=ZAED1

：.AACE-ZACB=ZAEC-NAED,

：.ZFCE=ZFECf

:.CF=EF.

23.如图，A,B,。依次在同一条直线上，在AQ的同侧作NA=NO=RfN,AC=BD,Z

ABC=NBED.

(1)求证：CB=BE.

(2)若AC=2,AD=6,求CE的长.

(1)证明：在△ABC和△QE3中，

'/ABONDEB

,NA=ND，

AC=DB

A^ABC^^DEB(AAS),

:.CB=BE；

(2)解：Y△ABg/XDEB,AC=2,

：.AC=BD=29

：.AB=AD-BD=4f

VZA=90°,

BC=VAC2+AB2―V22+42―2V5,

；NABC+NDBE=NDEB+NDBE=90°,

/.ZCB£=90°,

C£=VCB2+BE2=V(2V5)2+(2V5)2=2^>

即CE的长为2m.

24.在△ABC中，AB=AC,点。是射线C8上的一动点(不与点8、C重合)，以AO为

一边在的右侧作△4£)£使AO=4E,NDAE=/BAC,连接CE.

(1)如图1,当点。在线段C8上，且NBAC=90°时，判断8。和CE的数量关系和位

置关系，并说明理由；

(2)设/B4C=a,ZDCE=^.

如图2,当点。在线段C8上，/BACW90。时，请你探究a与0之间的数量关系，并

证明你的结论.

图2

解：(1)BD=CE,BDLCE,

理由：'：ZDAE=ZBAC=90°,AB=AC,

：.ZACB=ZB=45°,NBAO=NC4E=90°-ZCAD,

在△A3。和△ACE中,

AB=AC

ZBAD=ZCAE«

AD=AE

：./\ABD^/\ACE(SAS),

:.BD=CE,ZB=ZACE=45°,

AZBCE=ZACB^-ZACE=90°,

：.BDLCE,

(2)a+p=180°,

证明：•・・ND4E=N84C=a,

AZDAE-ZCAD=ZBAC-ZCAD,

：.ZCAE=ZBAD.

在△CAE和△84。中，

<AE=AD

,NCAE二NBAE，

AC=AB

：.ACAE^ABAD(SAS),

・・.ZACE=ZB,

VZB=ZACB,

・・・ZACE=ZACB.

：.ZB+ZACB=ZACE+ZACB=/DCE=B，

VZBAC+ZB+ZACB=180°,

.\a+p=180°.

25.如图1,在△ABC中，AB=ACf点。在AB上，点E在AC的延长线上，连接交

BC于F,DF=EF.

(1)求证：BD=CE；

(2)如图2,连接CO,若NDFB=45°,BC=6,求△5CQ的面积.

A

A

图1图2

(1)证明：如图I,过点。作。G〃AE,交BC于点G,

：./FDG=/E,

在△OG/和中，

<ZDFG=ZEFC

,DF=EF，

ZFDG=ZE

:・4DGF之4ECF(ASA),

:,DG=CE,

9

\AB=ACf

：.ZB=ZACBf

■:DGIIXE,

:・NDGB=NACB,

:・/DBG=/DGB,

:・DG=BD,

:.BD=CE；

A

A

图2

（2）解：如图2,过点。作£>G〃AE,交8c于点G,过点。作于点儿

,:DB=DG,

:.BH=GH,

由（1）知△OGF丝凡

:.GF=CF,

：.HF^—BC^3,

2

'：DHA_BC,NQF8=45°,

...ADHF是等腰直角三角形,

:.DH=HF=3,

.,.SACOB=/XBC-DH=^-X6X3=9.

26.如图1,△4BC中，AB=AC,点。、E分别在AB、AC上，且8O=CE,连接BE、CD

相交于点0.

（1）求证：OB=OC；

（2）如图2,若/A=36°,BE平分NABC,过点A作A尸〃CO交的延长线于点片

直接写出图中与E/相等的线段.

AA

9

(1)证明：：AB=AC9

：.4ECB=4DBC,

在△Q8C与△ECB中，

'BD=CE

<NDBONECB，

BC=CB

AADBC^AECB(SAS),

・・・/DCB=NEBC,

：.OB=OC；

(2)与E/相等的线段有：CE,CO,BO,BD,

理由如下：

,.・A5=AC,ZA=36°,

/.ZACB=ZABC=12°,

〈BE平分NA8C,

；・NCBE=NABE=36°,

・・.NABE=NBAE=36°,

：.EA=EB,

,:OB=OC,

：.ZOCB=ZCBE=36°,

・・・NBOC=180°-36°-36°=108°,

：.ZBOD=ZCOE=12°,

VZ0CE=72°-36°=36°,

AZBE0=ZC£0=180°-72°-36°=72°,

:.BO=BD,CO=CE,

TA尸〃CD,

:./F=4B0D=TT,

VZAEF=ZCEO=72°,

AZF=ZAEF=12°,

在△8CE1和AAE/中，

<ZBEC=ZAEF

,ZBCE=ZF，

期二EA

AABCE^AAEF（A4S）,

：.EC=EF,

:.BO=BD=CO=CE=EF.

・••与EF相等的线段有：CE,CO,BO,BD,

27.如图，CA1.AB,垂足为点A,AB=12米，AC=6米，射线BM_LA5,垂足为点8,动

点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点。为射线8M上一动点，随着E点运动而

运动，且始终保持EO=C&当点E经过多少秒时，由点。、E、8组成的三角形与△8C4

解：①当E在线段A8上，AC=8E时，4ACB义MED,

VAC=6,

：・BE=6,

.\AE=2-6=6,

二点E的运动时间为6+2=3（秒）；

②当E在BN上,AC=8E时，

AC=12+6=18,

点E的运动时间为18+2=9（秒）；

③当E在线段A8上，A5=EB时，/\ACB^/\BDE,

这时E在A点未动，因此时间为0秒；

④当E在BN上，A8=E8时，△ACB好△8OE,

AE=12+12=24,

点E的运动时间为24+2=12(秒)，

故当点E经过0秒或3秒或9秒或12秒时，由点。、E、B组成的三角形与全等.

28.已知在平面直角坐标系中A(0,2),P(3,3),且

(1)如图1,求点B的坐标；

(2)如图2,若A点运动到4位置，8点运动到位置，仍保持P4LP81，求。与

-OAi的值.

解：(1)如图，过点P作PMLO8于扭，PNJ_y轴于N,

.•.则四边形网WON是正方形,

VA(0,2),

；.OA=2,

则四边形PMON是正方形，

；.NANP=NBMP=/MPN=90°,PN=PM=ON=OM=3,

：.AN=ON-0A=3-2=1,NAPN+NAPM=ZBPM+ZAPM,

ZAPN=ZBPM,

在△PAN和△P8M中，

，ZANP=ZBMP

<PN=PM，

ZAPN=ZBPM

.'.△PAN丝△P8M(ASA),

：.PA=PB,BM=AN=1,

OB=OM+BM=3+1=4,

:.B(4,0)；

(2)由(1)得PA=PB,

又•.•/APB=/AiP8i=90°,

：.NAPAi=NBPBi，

VZPAO+ZPBO=36G0-ZAOB-ZAPB=360°-90°-90°=180°,ZPBBx+Z

PBO=180°,