初中数学竞赛专家讲座：数与代数式

目录

第1讲数轴与绝对值....................................................................2

第2讲有理数计算.......................................................................7

第3讲实数的性质......................................................................11

第4讲进位制与新定义运算..............................................................14

第5讲代数式化简与求值................................................................18

第6讲整式乘除........................................................................22

第7讲乘法公式........................................................................25

第8讲综合除法、余数定理.............................................................29

第9讲因式分解技巧....................................................................33

第10讲因式分解应用...................................................................37

第11讲分式化简、求值...............................................................40

第12讲分式运算.......................................................................44

第13讲二次根式.......................................................................48

第1讲数轴与绝对值

范例精讲

[例1]下列选项，()的解集如图1-1所示。

-7—1

图1-1

A.|x-4|<3B.|x-4|>3.|x+4|<3D.|x+4]>3

【例2】如果|m-3|+(〃+2)2=0,则方程3〃?x+l=x+〃的解是o

【例3】|x+l|+|x—2|+|x—3|的最小值时是多少?

1

【例4】(1)已知|"—2|+|〃—2|=0,求’+——!-----F——+------------

b。(他@3b+(〃四部b+

的值。

(2)设a,b,c为整数，且|a-b|+|c-a|=l,求|c一〃|+|。一。|+|〃一。|的值。

【例5]阅读下列材料并解决有关问题：

x(x>0),

我们知道|x|=0(x=0),,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化

-x(x<0).

筒代数式|x+l|+|x-2|时，可令x+1=0和元-2=0,分别求得％=-1和x=2(称-1,2分别

为|x+l|与|工-2|的零点值)。在有理数范围内，零点值x=-1和x=2可将全体有理数分成不重

复且不遗漏的如下三种情况：①元<-1;②(3)x>2o从而化简代数式|x+l|+|x-2|

可分以下三种情况：

(1)当x<—1时，原式=—(x+1)—(x—2)=-2x+1；

(2)当-lWx<2时，原式=%+1—*-2)=3；

(3)当xN2时，原式=1+1+工一2=21一1。

2

—2.x+1(x<—1),

综上讨论，原式=<3(-l<x<2),

2x-\(x>2).

通过以上阅读，请你解决以下问题：

(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值;

(2)化简代数式|x+2|+|x-4|。

【例6】(1)阅读下面材料：

点A,3在数轴上分别表示数a,瓦且A,2两点之间的距离表示为|A8|。当A,8两点

中有一点在原点时，不妨设点4在原点，如图1-2(1)所示，|A8|=|08R"=|4-6|。当4,B两

点都不在原点时：

①图1-2(2)所示，点A,B都在原点的右边，|A8|=|O8|-|OA|=|/——。=|“一勿；

②如图1-(3)所示，点4,B都在原点的左边，\AB\^OB\-\OA\=\b\-\a\=-b-(ra)^a-h\；

③如图1-2(4)所示，点A,B在原点的两边，|48|=|。4|+|08|=|。1+1。1=。+(-。)=1。一。1。

综上，数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a-〃|。

D/082

把Ao

-♦♦0

TA"O力

0(3(

图1-2

(2)回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是

,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；

②数轴上表示x和-1的A和B两点之间的距离是,如果|AB|=2,那么x为；

③当代数式|x+11+1x-21取最小值时，相应的x取值范围是；

④试求|x-l|+|x-2|+|x-3|++1工-1997|的最小值。

赛题训练

1.|x+l|+|x-l|的最小值是()

3

A.2B.0C.1D.-1

2.如果实数mb,c在数轴上的位置如图1-6所示，那么代数式+而彳+l〃+c|可

以化简为（）

1।____।____।»

ba0c

图1-6

A.2c-aB.2a-2bC.-aD.a

3.如图1-7所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位、点A,B,C,。对应的数分别

是要数a,h,c,d,且d-2a=10,那么数轴的原点应是（）

ABCD

图1-7

A.A点B.B点、C.C点D.。点

4.如图1-8所示，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF,则与点C所表示的数最接近

的整数是（）

ABCDEF

1I_________I_________111一

-5II

图1-8

A.-1B.0C.1D.2

5.一滴墨水洒在一个数轴上，根据图1-9中标出的数值，可以确定墨迹盖住的整数有（）

图1-9

A.285个B.285个C.287个D.288个

6.某足球学校有3位教练带着学员一起胞步，如果学员每2人一行，那么最后一行只有1人；如果

学员每3人一行，那么最后一行只有2人；如果教练和学员合解来部5人一行，那么刚好可以路成

一个方阵，已知学员人数均为250,那么跑步的人有（）

A.230人B.250人C.260人D.280人

7.已知S=|x-2|-4|x|+|x+2|,且-14x42,则S的最大值与最小值的差是。

2

8.已知a,b,c,d都是整数，且|a+b|+|/2+c|+|c+d|+|d+a|=2,则|a+d|=（,

9.己知y=|x-b|+|x-20|+|x-6-20],其中0<8<20,h<x<20,那么y的最小值为。

10.（1）整数a,b,c,d满足a=2b+8,b=3c-18,c=5J+10,则|d+7al的最小值为。

4

(2)设由1到8的自然数写成的序列4外,,为，贝I

&一生1+1%-。31+143-441+1%-“51+145-a61+14-/1+1%-%l+lg+4I的最大值为

________O

11.(1)已知|x|=5,|y|=l,那么||x-y|-|x+y||=。

(2)非零整数神，“满足|川+|川-5=0,所有这样的整数组(m,n)共有组。

12.(1)数轴上有A,B两点，如果点A对应的数是-2,且A,B两点的距离为3,那么点3对应的

数是o

(2)点A,B分别是数-3,-1在数轴上对应的点，使线段48沿数轴向右移动到次夕，且线段4c

2

的中点对应的数是3,则点A对应的数是，点A移动的距离是0

13.已知数轴上有A,2两点，A,8之间距离为1,A与原点。的距离为3,求所有满足条件的点8

与原点。的距离的和。

14.如图1-10所示，已知数轴上点A,B,C所对应的数a,b,c都不为0,且C是AB的中点，如

果|a+。|-1a-2c,|+1-2c,|-1a+/?-2cl=0,试确定原点O的大致位置。

ACB

111»

acb

图i-io

15.在数轴上把坐标为1,2,3,…，2006的点称为标点。一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动

后回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由。

16.电子跳蚤落在数轴上的某一点K。,第一步从K。向左跳1个单位到&,第二步由风向右跳2个

单位到(，第三步由(向左跳3个单位到K、，第四步由(向右跳4个单位到…，按以上规

律跳了100步后，电子跳蚤落在数轴上的点K“,0所表示的数恰是19.94,试求电子跳蚤的初始位置(

点所表示的数。

17.已知实数a,b,c满足a+，+c=2,abc=4o

5

(1)求a,b,c中的最大者的最小值;

(2)求la求|以+©的最小值。

6

第2讲有理数计算

范例精讲

【例1】方程|X-2|+|X-3|=1的实数解的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.多于3个

r111—\—则与A最接近的正整数是（

【例2】设A=48x2+2)

|^3-44-41002-4j

A.18B.20C.24D.25

13£-4-5+6—7

d弓一吗卜（35）1123A2-I

【例3】4710子—x—x[(-4.)2+41=

1322311

3--9-+13-

275

【例4】计算：(-0.25)4X(-83)+卜3；)--J1X(-6.5)+(-2)4^(-6)

【例5】化简999x999+1999。

“个〃个〃个

赛题训练

1.将。=3?2,h=4'4,c=9'°,d=8">由大到小的排列顺序是（）

A.a>c>d>bB.a>c>b>dC.c>d>b>aD.a>b>c>d

2.在以2,3,5,10,…开始的数列中，从第二项起，每一项都是前面各项之和。这一数列的第10

项是（）

A.47B.170C.640D.1280

3.算式13X2=26中的各数字重新排列后可形成16X2=32和31X2=62两个算式。下列算式，不能

再重排而得到另外的正确算式的是（）

A.12x3=36B.12x7=84C.26x3=78D.16x3=48

4.张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式下表所

示：

7

欲购买的衣服原价（元）优惠方式

一件衣服420每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券

一双鞋280每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券

一套化妆品300付款时可以使用购物券，但不返购物券

请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案，此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出

的钱的总数为（）

A.500元B.600元C.700元D.800元

设S-2491222

5.H-----=--+-+-4-H---则S-T等于（

1x33x55x797x9935799

8.乒乓球比赛结束后，将若干个兵乓球发给优胜者。取其中的一半加半个发给第一名；取余下的一

半加半个发给第二名；又取余下的一半加半个发给第三名；再取余下的一半加半个发给第四名；最

后取余下的一半加半个发给第五名，兵乓球正好全部发完。这些乒乓球共有。

9.按如图2-1所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x"到''结果是否＞487?”为

一次操作，如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是。

图2-1

10.如图2-2所示，在3X3的方格表中填入九个不同的正整数：1,2,3,4,5,6,7,8和x,使

得各行、各列所填的三个数的和都相等，请确定x的值，并给出一种填数法。

图2-2

11.出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大道上进行的，如果规定向东为正，向

8

西为负，他这天下午的需运情况依次为(单位:千米):+15,-3,+14,-11,+10,-12,+4,-15,+16,

-18。

(1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车地点的距离是千米;

(2)若汽车耗油量为a升/千米，则这天下午汽车共耗油升。

12.请你阅读“龟兔赛跑新传”比需规程，解答问题。

赛程：全程5.2千米；

限速：兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米；

跑法：乌龟不停地跑；但兔子却边跑边玩，它先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩15

分钟，又跑了3分钟然后玩15分钟，再跑4分钟然后玩15分钟……

通过计算说明：

(1)它俩谁光到达终点？

(2)先到达终点的比后到终点的要快多少分钟？

13.“减去一个数，等于加上这个数的相反数。”这是有理数的减法法则，在生活中应用这个法则还

有一定的教育意义呢！请你编一个与此有关的富有教育意义的情景对话。

说明：答案不唯一。(只要情景对话积极、健康、能将法则嵌人得比较自然，又有教育意义即可。)

14.在正整数A的右边添上3个数字，组成一个新数，这个新数等于从1到A的所有正整数之和,

求Ao

15.沿圆周按顺序依次写下从1至N(N>2)的正整数，同时每对相邻的两个数，按十进制数表示法,

它们至少有1个数字相同，求N的最小值。

9

16.计算:

(1)5.7xO.(X)O36-(0.19x0.006-5700x0.000000164)o

「7-2-37哈碍-5

(2)17——+27----11——

271739

1

(3)1+—+4-d-----------------------------------

1+21+2+31+2+3++100

17.有人编了一程序：从1开始，交错地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次

加法将上次的运算结果加2或加3；每次乘法将上次的运算结果乘2或乘3。例如，30可以这样得

至1J：1458510-301—.

请你按上述要求，求证：

(1)可以得到22。

(2)可以得到2'°°+2"-2o

10

第3讲实数的性质

范例精讲

【例1】己知a=5/2—1,Z?=G-夜,c=\/6—2,那么a,b,c的大小关系是()

A.a<h<cB,a<c<bC.h<a<cD.b<c<a

【例2】若a,6满足3G+5|勿=7,则S=2&-3|勿的取值范围是。

【例3】(1)已知mb为有理数,x,y分别表示5-S的整数部分和小数部分，且满足叼，+⑥？=1,

求4+Z?的值。

(2)设X为一实数，［X］表示不大于X的最大整数，求满足［-77.66力=［-77.66］无+1的整数X的值。

【例4】已知在等式竺心=5中，a,b,c,d都是有理数，x是无理数，解答:

cx+d

(1)当a,b,c,d满足什么条件时，s是有理数；

(2)当a,b,c,d满足什么条件时，s是无理数。

【例5］［x］表示不超过实数x的最大整数，令{x}=x-［x］。

(1)找出一个实数x,满足&}+(，=1；

(2)求证：满足上述等式的x,都不是有理数。

赛题训练

1.如果”=-2+夜，那么1+―的值为()

2+—

3+a

A.-&B.A/2C.2D.2后

2.化简,+2夜—J一夜的结果是(

)

V17+12>/2J17-12夜

11

A.72B.-应C.2D.-2

..…J3+J5—vl3+，48,,,.to1-.z、

3.化简VVY-----的结果是（）

V6+V2

A.&B.—C.2D.-

22

4.下面有3个结论：

①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；

②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；

③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数。

其中，正确的结论有（）

A.0B.1个C.2个D.3个

5.设尤，y都是有理数，且满足方程[；+q[x+（g+]]y-4-i=0,那么，x—y的值是

6.如果实数a,6满足条件/+/=1,|l-2a+b|+2a+l=b2-则“+。=。

7.A/7X2+9x+13+V7X2-5X+13=lx,则苫=。

8.以[x]表示不大于x的最大实数，又设{x}=x-[x],当。=[>/6-91],匕=c={ViO},

d=时，求浦+cd的值。

9.已知9+屈与9-J河的小数部分分别是“和6,求ab-3a+4b+8的值。

10.计算11-222的值。

V2n^”个2

11.已知〃个正整数网，x2,­••,工〃满足%+々++怎=2008,求这〃个正整数乘积玉w七的

最大值。

12

12.已知b为正数，a为。的小数部分，SLa2+h2=21,求a+6的值。

13.若实数a,h,c满足关系式，Ia-199+6，199-a-b=，3a+56-2-c+J%+39-c,试确定

c的值。

14.求|x+V5|+|2x+4月|的最小值的整数部分。

15.已知三个不同的实数a,b,c满足a-b+c=3,方程V+ar+1=0和f+〃x+c=O有一个相同

的实根，方程x?+x+a=0和W+cx+%=0也有一个相同的实根。求〃，b,c的值。

16.已知x=2,a,匕为互质的正整数，且a<8,^2-l<x<y/3-1.

a

(1)试写出一个满足条件的X；

(2)求所有满足条件的X。

17.若两个不同的实数小〃使得/+8和。+/都是有理数，则称数对(小b)是“和谐”的。

(1)试找出一对无理数a,h,使得(a,b)是“和谐”的；

(2)求证：若(a,b)是“和谐”的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；

(3)求证：若(a,b)是“和谐”的，且人都是有理数，则小人都是有理数。

13

第4讲进位制与新定义运算

范例精讲

【例1］对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对（a,b）与（c,d）之间的运算为（a,

b）△（c,d）=（ac+bd,ad+bc）»如果对于任意实数u,v,都有（"，v）△（x,y）=（〃，v）,

那么（x,y）为（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（-1,0）D.（0,-1）

【例2】设x*y定义为x*y=（x+l）x（y+l）,尤*?定义为x*?=》*X，贝lj多项式3*（x*2）-2*x+1在广2

时的值为（）

A.19B.27C.32D.38

【例3】化（27九为二进制数。

21_27

213........1（右起第一位数字）

26........1（右起第二位数字）

23........0（右起第三位数字）

21.......1（右起第四位数字）

0........1（右起第五位数字）

所以（27篇=（11011）2。

【例4】化八进制数（1532%为四进制数。

【例5】计算:(1)(1110110)2x(10111)2；

(2)(110110)24-(110)2；

(3)(101101),^-(111)2；

(4)[(1110)2+(1010)2]+(1()0001)24-(1011)2。

【例6】用一个尽可能小但比1大的整数乘以1997,使其乘积中出现5个连续的9,求这个乘积。

14

赛题训练

1.整数〃小于10,并且满足等式］+］+《=〃，其中卜［表示不超过X的最大整数，这样的正

整数〃为()

A.2B.3C.12D.16

2.对于任意实数x,y,z,定义运算"X”为x※产3心+产y+X，+45。且丫※丫※%小※历※z,

(x+l)+(y+1)-60

则2013X2012※…※3X2的值为()

A607D1821心5463C16387

A•---D.----------C•-----------l_z•-------------

967967967967

3.定义新运算“*”为a*b=a+b-二幺那么20*20*2005*5*5等于()

4

A.0B.25C.15625D.2005

4.定义新运算“△”为4△b=a+(a+l)+(a+2)+…+3+F1),其中b为正整数，如果(xZ\3)Z\(2x)=13,

则x等于()

A.1或，B.1或0C.—D.1

88

5.在甲组图形的四个图中，每个图是由四种图形A,B,C,D(不同的线段或圆)中的某两个图形

组成的，例如由A,8组成的图形记为A%。在乙组图形的(a),(b),(c),(d)四个图形中，表示

“A*£>”和“A*C”的是()

A*BB^CC*DB*D

(a)(b)(c)(d)

A.(a),(b)B.(b),(c)C.(c),(J)D.(4),Ca)

6.在二进制数中，M表示1；(IO))表示2；(11%表示3；(IO。%表示4；(lol%表示5；…;那么

在六进制数中，(1111%所表示的十进制数为。

7.规定：a㊉b=标+b,a®b={a+b\a-b),若切是最小的质数，〃是大于100的最小的合数，

则，〃<8)(m-")=,m㊉(〃？®n)=。

8.当"是正整数时，规定〃!=〃x(〃-l)xx2xl,称为"的阶乘(例如

15

10!=10x9xx2xl=3628800)o那么，在2010!中，末尾共含有零的个数是。

9.对于实数“，v,定义一种运算“*”为〃*v=w+v。若关于x的方程x*(a*x)=-工有两个不同

的实数根，则满足条件的实数〃的取值范围是。

10.规定运算a*b满足："*a=l(ax0),a*(b*c)=(a*b)c,其中〃，cWO,a,b,c为实数,则

方程V*19=99x的解x=。

11.规定AOB表示A,B中较大的数,表示A,B中较小的数。若(AO5+B43)><(BO5+4a3)=96,

且A,B均为大于0的自然数，AX8的所有取值为o

12.化(0.78125端为二进制小数。

13.化(53.84375均为二进制小数。

14.求证：2'5-2|4+2,3-2|2+2"-2|0++2-1能被5整除。

15.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数帅c(a,b,c依次是这个数的百位、十位、

个位数字)，并请这个人算出5个数abc,bac,bca,ca匕与仍。的和N,把N告诉魔术师。于是魔

术师就可以说出这个人所想的数诙，现在设N=3194。请你做魔术师，求出数次来。

16.计算：

(1)(11011010)2+(1011011)2；

(2)(1101101)2-(1010110),；

(3)(1000000)2-(10011)2-(101101)2,.

16

17.计算：

(1)(lll)2x(101)2；

(2)(100011),4-(101)2»

17

第5讲代数式化简与求值

范例精讲

【例1】若例=3/一8孙+9y2-4x+6y+13(x,y是实数)，则用的值一定是()

A.正数B.负数C.零D.整数

【例2】设”>0>6>c,a+/?+c=Ltn=p=丝惚，贝!|，小”，p之间的关系是()

abc

A.m>n>pB.n>p>mC.p>m>nD.m>p>n

【例3］已知实数a,6,x,y满足a+6=x+y=2,ax+by=5,则(〃+b2)xy+ab(x2+y2)=。

【例4】五位数”满足以下四个条件：

(1)”是回文数，(数字反向排列仍等于自身的正整数称为回文数，例如33,252,1060k)

(2)〃是完全平方数。

(3)〃的各位数字之和《也是完全平方数。

(4)A是两位数，A的两位数字之和，也是完全平方数。

那么，n=o

【例5】己知f=3-2x,解题的关键是通过变形，把待求式中小,一两项用f=3-2x表示，降次

整体代人。

［例6］在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司的赞助款购买一一批奖品，若以1台NS计算器和

3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品，若以I台NS计算器和5本《数学竞赛讲

座》书为一份奖品，则可购买80份奖品，问：这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，

可各买多少？

赛题训练

1.用min(a⑼表示。方两数中的较小者。用max(〃⑼表示a,b两数中的较大者。例如：min(3,5)=3,

max(3,5)=5；min(3,3)=3,max(5,5)=5o设〃，b,c,d是互不相等的自然数,min(a,6)=p,

min(c,d)=q,max(p,q)=x,max(a,Z?)=m,max(g〃)=〃，min(/??,«)=y,贝ij()

A.x>yB.x<yC.x=yD.x>y和都有可能

18

2.教师报出一个五位数，同学们将它的顺序倒排后得到的五位数减去原数，学生甲、乙、丙、丁的

结果分别是34567,34056,23456,34956,教师判定4个结果中只有1个正确，答对的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

3.已知有理数A,B,x,y满足A+BwO,且(A+B):(A-B)=(2x+y):(x-y),那么A:(A+B)为

()

A.3x:(2x+y)B.3x:(4x+2y)C.x:(x+y)D.2x:(2x+y)

4.已知实数x,y满足@_2008)(y-抄-2008)=2008,贝ij3x2-2y2+3x-3y-2007的值为

)

A.-2008B.2008C.-1D.1

5.设n（〃》2）个正整数q,%，6，任意改变它们的顺序后，记作2，仇，…，b…若

)

P=(4—4)(%一%)(%3一％)U也),则（

A.P一定是奇数B.P一定是偶数

C.当〃是奇数时,P是偶数D.当〃是偶数时，P是奇数

,.11111111

6.已知—I--------=一,—I--------=—-4-—»则--1--H----的值为（）

xy+z2yz+x3Zx+y4xyz

A.1B-1C.2D-1

7.已知实数小b,x,y满足a+〃=x+y=2,cvc+by=5f则（c『+〃）孙+^仇/卡＞2）=o

8.若代数式同时满足条件：①含字母。，/7;②含有关于字母4,2的加、减、乘、除和乘方运算；

③当。=_1,b=3时，该代数式的值为-7。

请写出一个这样的代数式o

9.已知a,b,c为整数，且Q+6=2006,C-Q=2005。若贝!JQ+/?+C的最大值为。

10.已知a+A+c=O,6Z2+Z?2+c2=4,那么/+"+/的值等于。

11.设正实数小b,c满足a+6+c=9及」一+二一+」一=W,则，-+上+，的的值为

a+bb+cc+a9b+cc+aa+b

,T+2，+1V24+34+l，99'+1004+l

的值为.

F+22-1+2?+32-l992+1002-1

13.小明在黑板上写有若干个有理数。

（1）若他第一次擦去。个，从第二次起，每次都比前一次多擦去1个，则6次刚好擦完。请你用代

数式表示小明在黑板上所写的有理数的个数。（结果要求化简。）

（2）若他每次都擦去a个，则9次刚好擦完。请你求出小明在黑板上共写了多少个有理数。

19

14.如图5-1所示，每个圆周上的数是按下述规则逐次标出的：

第一次先在圆周上标出上，白两个数(如图5-1(1)所示)；第二次又在第一次标出的两个数之

99

间的圆周上，分别标出这相邻两数的和(如图5-1(2)所示)；第三次再在第二次标出的所有相邻两

数之间的圆周上，分别标出这相邻两数的和(如图5-1(3)所示)；按照此规则，以此类推，一直标

下去。

(1)(2)(3)

图5-1

(1)设〃是大于1的自然数，第次标完数字后，圆周上所有数字的和记为第〃次标

完数字后，圆周上所有数字和记为猪想并写出5“与S,I的等量关系；

(2)请你求出S心的值。

15.现看“根长度相同的火柴裤，按如图5-2(1)所示握放可摆成胆个正方形，按如图5-2(2)所

示摆放可摆成2n个正方形。

(1)用含"的代数式表示，小

(2)当这。根火柴棒还能摆成如图5-2(3)所示的形状时，求“

mn

(2)

图5-2

16.(1)已知5|x+9y(x,y为整数)，求证：5|8x+7y；

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(2)求证：每个大于6的自然数〃都可表示为两个大于1且互质的自然数之和。

17.有一张纸，第1次把它分制成4张，第2次把其中的1张分割成4张，以后每一次都把前面所

得的其中一张分割成4张，如此进行下去，试问：

(1)经5次分割后，共得到多少张纸片？

(2)经〃次分割后，共得到多少张纸片？

(3)能否经若干次分割后共得到2093张纸片，为什么？

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第6讲整式乘除

范例精讲

【例1】若实数x，y使得x+y,x-y,孙这四个数中的三个数相等，则|y|-|x|的值等于（）

y

113

A.――B.0C.-D.-

222

【例2】已知m=1+夜，n=,且（7加一14m+a）（3〃2-6〃-7）=8,则a的值等于（）

A.-5B.5C.-9D.9

【例3】（1）如果/+%一1=0,贝1］丁+2炉+3=；

2

（2）把（V+尤一1）6展开后得q2M2+4然"++a2x+ayX+a（）,则

出+4（）+%+4+&+%+4）=。

［例4］已知实数a,b9x,y满足a+b=x+y=2,ar+by=5,则（cJ必2》诋（），+）=o

【例5】已知（x+l）?*?-7）3=%+4。+2）+4（*+2）2++4（x+2）8,则

4一%/一4+%-4+%=c

【例6】设小b,c,d都是自然数，且〃5=/,03=1，a—c=i7,求的值。

赛题训练

1.化简2「（2"港+3二）」得（）

77

B,-2,,+IC.-D.-