人教版中考预测卷《数学卷》含答案解析

人教版数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

I.下列各数中，其相反数最大的数是（）

A.1B.OC.2D.兀

2.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体,在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（)

B.左视图X.俯视图△.主视图和左视图

3.下列式子中，可以表示为2-3的是（)

A.22+25B.25322

C.22x25D.(-2)x(-2)x(-2)

4.若JR，在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（

a

-W—o*b-T胪

5.若两个无理数的乘积是有理数，则称这两个数互为共班数.下列各数中，与2—6是共班数的是（）

A.2—6B.2+73C.4+73D.4-^/3

6如图,直线/〃，"，将含有45。角三角尺ABC的直角顶点C放在直线机上，则N1+N2的度数为（)

C.60°D.75°

7.如图，口ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,如果AC=12、BD=10、AB=m,那么m的取值范围是（）

D

A.l<m<llB.2<m<22C.10<m<12D.5<m<6

8.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济

收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不

正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

C.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

9.如图是边长为的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数

10.如图，在R/AA6O中，NOAB=90>,8（6,6）,点。在边A8上，4。=58□，点C为Q4的中点，点

P为边QB上的动点，则使四边形PC4D周长最小的点尸的坐标为（）

A.(3,3)B.(1,j)C.(|,|)D.(5,5)

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分

11.计算：2-1+sin30°=

12.若点A(1,0)在一次函数y=-2v+3Z?-4的图象上，则常数/?=__.

13.说明命题“若x<2,则是假命题的一个反例，则实数x的取值可以是

x2

14.如图，是根据某市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数是—

则点尸的坐标是

直线/：产丘+Z?的图象交于A,8两点，若AABO

三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.给出三个多项式：-x2+2x-l,-x2+4x+l,-x2-2x,请选择两个多项式进行加法运算，并把结果分

222

解因式（写出两种情况）.

18.如图，矩形A8CQ的对角线AC与8。交于点。，PC//BD,PD//AC.求证：四边形0cpe是菱形.

20.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,点A、B、C都在格点上.

（1）用尺规作出AABC外接圆的圆心O；

（2）用无刻度的直尺作口4CQ0,并证明为。。的切线.

21.如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A.甲从中山路上点B出

发，。米/分的速度骑车向北匀速直行；与此同时、乙从点A出发沿北京路以匕米/分的速度步行向东匀速直

行.设出发x分钟时，甲、乙两人与点A的距离分别为％、”米.已知yi、”，则）"、”与x之间的函数关

系如图②所示.

北京路

A

B3.757.5x/min

(图①）（图②）

（1）分别写出）］、”关于x的函数表达式（用含有〃、〃的式子表示）;

（2）求“、6的值.

22.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量（单位：加）和使用了节木龙头50天的日用水量，得到频数

分布表如下：

表1未使用节水龙头50天日用水量频数分布表

日用水量X0<x<0.10.1<x<0.20.2<^<0.30.3夕<0.40.4<x<0.50.5<x<0.606<x<0.7

频数13249265

表2使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量X0<x<0.10.1<x<0.20.24<0.30.3<x<0.40.4<x<0.50.5<x<0.6

频数151310165

(1)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3加的概率；

(2)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水?(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在范

围的组中值作代表.)

23.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(5,0),以原点O为圆心、3为半径作。O,。。与x轴交于点B、

C.点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为Ms).连结AP,将好沿AP

翻折，得到口APQ,求DAP。有一边所在直线与。O相切时。的值.

24.在正方形ABCQ中，AB=4,。为对角线AC、8。的交点.

(1)如图①，延长OC,使CE=OC,作正方形。EFG,使点G落在0。的延长线上，连接DE、AG.求证:

OE=AG；

GG'

A

（图①）

(2)如图②,将问题（1）中的正方形OEFG绕点。逆时针旋转a（0<X180）,得到正方形。石尸石。连接

AE、E'G'.

①当归30时,求点A到？G的距离;

②在旋转过程中，求△力E'G，面积的最小值，并求此时的旋转角a.

25.已知P（―1,0）,Q（0,—2）,点M（0,加）是线段OQ上一动点，抛物线（存0）经过点

M和点产.

（1）求抛物线y=av2+云+c与x轴另一交点N坐标（用含。、团的代数式表示）

（2）若RV=；时，抛物线>=以2+云+。有最大值机+1,求a的值；

（3）若抛物线y=ax2+bx+c与直线PQ始终都有两个公共点，求”的取值范围.

答案与解析

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.下列各数中，其相反数最大的数是（）

A.1B.OC.2D.兀

【答案】B

【解析】

【分析】

根据相反的定义，把每个数的相反数求出来再比较即可得到答案.

【详解】解：A.I的相反数是-1；

B.0的相反数是0；

C.2的相反数是-2；

D.兀的相反数是-兀；

因此，这几个是中相反数最大的是0,

故选B.

【点睛】本题主要考查了相反数的基本定义，相加为。的两个数互为相反数，掌握相反数的基本定义是解

题的关键.

2.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）

主心向

A.主视图B.左视图C.俯视图D.主视图和左视图

【答案】C

【解析】

【分析】根据所得到的主视图、俯视图、左视图结合中心对称图形的定义进行判断即可.

【详解】观察几何体，可得三视图如图所示：

可知俯视图是中心对称图形，

故选C.

【点睛】本题考查了三视图、中心对称图形，正确得到三视图是解决问题的关键.

3.下列式子中，可以表示为2-3的是()

A.22^-25B.25^22

C.22X25D.(-2)x(-2)x(-2)

【答案】A

【解析】

根据负整数指数基的运算法则可得2-3=5；选项A,22钞=2-3=最；选项B,25钞=23;选项

C,22x25=27；选项D,(-2)x(-2)x(-2)=(-2)3.故选A.

4.若《72在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是()

【答案】D

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2K),再解不等式即可.

【详解】•.•二次根式4T5在实数范围内有意义，

被开方数x+2为非负数，

...x+220,

解得：x2-2.

故答案选D.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.

5.若两个无理数的乘积是有理数，则称这两个数互为共规数.下列各数中，与2—6是共规数的是()

A.2-V3B.2+百C.4+V3D.4-V3

【答案】B

【解析】

【分析】

将2—分别与四个选项相乘，看结果是否为有理数，即可得出答案.

【详解】解：v（2-V3）（2-V3）=7-4V3,不是有理数，，A选项错误；

•••（2+6）（2-6）=4-3=1,是有理数与2+g互为共轨数，B选项正确；

•/（2-V3）（4+V3）=5-2^,不是有理数，；.C选项错误；

•.•（2-@（4—码=11-65不是有理数，,D选项错误；

故选B.

【点睛】本题考查了分母有理化以及平方差公式，根据平方差公式寻找有理化因式是解题的关键.

6.如图，直线/〃m将含有45。角的三角尺ABC的直角顶点C放在直线加上，则/1+/2的度数为（）

A.30°B,45°C,60°D.75°

【答案】B

【解析】

【分析】

首先过点B作BD〃I,由直线l//m,可得BD〃/〃m,由两直线平行，内错角相等，可得出N2=N3,N1=N4,

故Nl+N2=/3+N4,由此即可得出结论.

【详解】解：过点B作BD〃/,

•.•直线l//m,

AZ4=Z1,Z2=Z3,

AZ1+Z2=Z3+Z4=ZABC,

VZABC=45°,

.*.Zl+Z2=45°.

故选B.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质.注意辅助线的作法，掌握两直线平行，内错角相等定理的应用是

解题的关键.

7.如图，口ABCD中,对角线AC和BD相交于点0,如果AC=12、BD=10>AB=m,那么m的取值范围是（)

A.l<m<llB.2<m<22C.10<m<12D.5<m<6

【答案】A

【解析】

AB在AABO中，欲求AB的取值范围，需求OA、OB的长，由平行四边形对角线互相平分的性质可得

OA=-AC=6,OB=-BD=5.又根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，有OA

22

-OB<AB<OA+OB.所以6—5<m<6+5,即

“点睛”本题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，能够熟练求解此问题是解题关键.在运用

三角形的三边关系时，要注意“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，”的运用，以防解题出错.

8.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济

收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不

正确的是（）

建设后经济收入构成比例

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

C.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【答案】A

【解析】

【分析】

设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数

据推出结果.

【详解】设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.

A项，种植收入37%x2a-60%a=14%a>0,

故建设后，种植收入增加，故A项错误.

B项，建设后，其他收入为5%x2a=10%a,

建设前，其他收入为4%a,

故10%a+4%a=2.5>2,

故B项正确.

C项，建设后，养殖收入为30%x2a=60%a,

建设前，养殖收入为30%a,

故60%a+30%a=2,

故C项正确.

D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为

（30%+28%）x2a=58%x2a,

经济收入为2a,

故（58%x2a）+2a=58%>50%,

故D项正确.

因为是选择不正确的一项，

故选A.

【点睛】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力.

9.如图是边长为10。机的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数

据（单位：cm）不正确的（）

10

10

【答案】A

【解析】

试题分析：正方形的对角线的长是崎骋:以廉斛，所以正方形内部的每一个点，到正方形的顶点的距离都有

小于14.14,故答案选A.

考点：正方形的性质，勾股定理.

10.如图，在府ZVlgO中，ZOAB=90,,8(6,6),点。在边A3上，=点C为。4的中点，点

P为边05上的动点，则使四边形FOLD周长最小的点P的坐标为()

A.(3,3)B.(1,1)C.(|,|)D.(5,5)

【答案】C

【解析】

【分析】

如图(见解析)，在y轴上取点E,使得0七=3,连接CE、EP、ED,ED交0B于点Q,先根据等腰三角

形的三线合一性质得出0B是CE的垂直平分线，再根据两点之间线段最短得当点P与点Q重合时，四边形

PCAD周长最小，最后求直线ED与直线0B的交点即可.

【详解】如图，在y轴上取一点E,使得0E=3,连接CE、EP、ED,ED交0B于点Q

则点E的坐标为(0,3)

ZOAB=90°,8(6,6),AD=5BD

.-.OA=AB=6,AD=-AB=5,BD=-AB=1

66

.・•点D的坐标为(6,5),是等腰直角三角形

ZAOB=45°

•.♦NCOS=90°

・•.OB是NCOE的角平分线

•・•点C为Q4的中点

..OC=AC=3,即点C的坐标为(3,0)

:.OE=OC=3

是CE的垂直平分线(等腰三角形的三线合一性质)

:.PE=PC

四边形PCAD周长：/四边形pew=AC+AD+PC+PO=3+5+PC+PO=8+PE+PD

由两点之间线段最短得：当P与点Q重合时，PE+PD最小，最小值为££),此时四边形PCAD的周长最

小

设直线OB的解析式为y=^

将8(6,6)代入得6左=6,解得攵=1

则直线OB的解析式为y=x

设直线ED的解析式为y=ox+6

"AUf1

oa+b=5a=—

将。(6,5),E(0,3)代入得，解得3

b=3,0

i[0=3

则直线ED的解析式为y=；x+3

y=xx--9

联立I1,解得，2

卜亍+39

y=2

99

则点Q的坐标为(一,二)

22

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质、垂直平分线的性质、两点之间线段最短公理、利用待定

系数法求一次函数的解析式，利用垂直平分线的性质、两点之间线段最短公理确定使四边形PCAD周长最

小的点P的位置是解题关键.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分

11.计算：21+$访30。=.

【答案】1

【解析】

【分析】

根据整数的负指数幕运算法则以及特殊角的三角函数，即可得到答案.

【详解】解：原式=l+'=1,

22

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了整数负指数辕和特殊角的三角函数，是基础题，掌握负指数暴的运算法则和特殊

角的三角函数是解题的关键.

12.若点A(1,0)在一次函数y=-2x+3b—4的图象上，则常数%=

【答案】2

【解析】

【分析】

根据A(1,0)在一次函数产一2/38—4的图象上，用待定系数法列式求解即可得到答案.

【详解】解：•••点A(1,0)在一次函数产―2x+36—4的图象上，

.••0=-2+3匕—4,

解得：b=2.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式的参数，掌握待定系数法是求解是解题的关键.

13.说明命题“若x<2,则是假命题的一个反例，则实数x的取值可以是_____.

x2

【答案】答案不唯一，如；x=-l

【解析】

【分析】

根据命题“若X<2,则是假命题，从x<0中选取一个数直接举出反例即可.

x2

【详解】解：当x<0,时，都有

x2

因此只要x取一个负数即可，

故取x=T即可，

故答案为：x=-l

【点睛】本题考查的是证明一个命题是假命题，任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般

需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

14.如图，是根据某市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数是.

【解析】

【分析】

根据中位数的定义进行解答即可.

【详解】解：七个整点时数据为：22,22,23,26,28,30,31.

所以中位数为26,

故答案为：26.

【点睛】本题考查折线统计图、中位数的知识，解题的关键是熟练掌握中位数的基本概念，属于中考常考

题型.

【答案】（8,12）

【解析】

【分析】

先过点F作直线E4〃OG交y轴于点A，过点G作G〃_LE4于点”，证明NEGO=N"FG=NEE4,

根据cos/尸GO=0.6以及勾股定理即可得到答案.

【详解】过点F作直线E4〃OG交轴于点A，过点G作Ga_LE4于点，，如图：

:./FGO=/HFG（两直线平行，内错角相等），

又VNEFG=90。,

：.NAFE+NHEG=90。,

又：ZAF£+ZF£A=90°,

ZHFG=NFEA,

：.ZFGO=ZHFG=ZFEA,

在RtAAEF中，E尸=10,则

AE=10-cosNFE4=10x0.6=6

AF=V102—62=8（勾股定理），

777=17—8=9,

在RtAAGH中，FG=9-0.6=15,

=彳=12（勾股定理），

F（8,12）,

故答案为:（8,12）.

【点睛】本题主要考查了平行的性质（两直线平行，内错角相等）、勾股定理的应用以及三角函数，熟练学

握各知识点并灵活运用是解题的关键.

16.如图所示，反比例函数产一（＞0）与过点加（-2,0）的直线/：尸质+〃的图象交于A,B两点，若“B0

X

的面积为屿，则直线/的解析式为______.

3

【分析】

"3k

y=—164

解方程组《X，即可得出B(-3,-k),A(1,3k),再根据AABO的面积为一，即可得到k二一,

y=kx+2k33

48

进而得出直线1的解析式为y=-x+-.

【详解】解：把M(-2,0)代入y=kx+b,可得b=2k,

/.y=kx+2k,

'3k

y=—

由jX消去y得到x2+2x-3=0,

y-kx+2k

解得x=-3或1,

AB(-3,-k),A(1,3k),

AABO的面积为—，

3

1…1—16

•・.一・2・3k+—・2・k=——

223

4

解得k=—，

3

48

・・・直线1的解析式为y=-x+g.

48

故答案为y=-%+-.

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点、待定系数法、二元一次方程组等知识，解题的关键

是灵活运用所学知识解决问题.

三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.给出三个多项式：-x2+2x-l,-x2+4x+l,-x2-2x,请选择两个多项式进行加法运算，并把结果分

222

解因式(写出两种情况).

【答案】答案不唯一，详见解析

【解析】

【分析】

选择第一个与第二个，第一个与第三个，利用整式的加法运算法则计算，然后再利用提公因式法或平方差

公式进行因式分解即可.

1

X2

【详解】情形一:2-+2x-l+—x2+4x+l=f+6x=x(x+6)

情形二：一%2+2,x—1H—%2-2.x=X2-1=(x+1)(%—1)

22

【点睛】此题主要考查了多项式的计算，以及分解因式，关键是正确求出多项式的和，找出公因式.

18.如图，矩形A8CQ的对角线AC与8。交于点。，PC//BD,PD//AC.求证：四边形OOPC是菱形.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

先根据矩形的性质证明OC=O£>,再由PC//BD,尸。〃AC证明四边形ODPC是平行四边形，最后根据

菱形的判定定理即可证明.

【详解】证明；四边形ABCO是矩形，

AAC=BD,OC=-AC,OD=-BD.

22

OC=OD,

PC//BD,PD//AC,

：.四边形ODPC是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，

平行四边形。DPC是菱形.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定定理以及菱形的判定定理，掌握菱形的判定定理

是解题的关键.

19.解方程：一一+」-=1.

X"—1X+1

【答案】x=2是原方程的根.

【解析】

【分析】

先方程两边同乘(x+l)(x-l)去分母，再化简即可得到答案，把答案进行检验即可得到解;

【详解】方程两边同乘以(x+l)(x—l),得

l+x(x-l)=X2-1

即：1+X?—X=—1

解得：x=2

检验，当x=2时原方程的分母不为零，

；.x=2是原方程的根.

【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，能正确去分母是解分式方程的关键，注意最后的结果要进行检

验.

20.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,点4、B、C都在格点上.

(1)用尺规作出AABC外接圆的圆心O；

(2)用无刻度的直尺作口4C。。，并证明C。为。。的切线.

【答案】(1)如图所示，点O就是所求做的圆心，见解析；(2)口48。是所求做，证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据两条线的垂直平分线的交点是圆心，即可作出圆心O；

(2)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可做出口人。。。，再通过勾股定理证明AOC。是直

角三角形即可得到答案；

【详解】(1)如图所示，点。就是所求做的圆心.

（2）□AC。。是所求做.

连接OC,；由每个小正方形的边长为1,

根据勾股定理得：OC=®，CD=M，OD=2A/5.

OC2+CD2=（Vio）2+（Vio）2=20.

0。2=（20）2=20.

•••OC2+CD2^OD2.

.••△08为直角三角形（勾股定理得逆定理），

OCLCD且点。在口。上，

C。为口。的切线.

【点睛】本题主要考查了尺规作图、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握和运用勾股定理以及勾股定

理的逆定理是解题的关键.

21.如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A.甲从中山路上点B出

发，〃米/分的速度骑车向北匀速直行；与此同时.，乙从点A出发沿北京路以b米/分的速度步行向东匀速直

行.设出发x分钟时，甲、乙两人与点A的距离分别为y、”米.已知yi、”，则”与尤之间的函数关

系如图②所示.

中

山

路2

00

、

路

北

」

方

-1、

力

■"3.757.5x/min

（图①）（图②）

（1）分别写出"、”关于x的函数表达式（用含有。、6的式子表示）;

（2）求〃、6值.

【答案】（1）=|1200-ax|,必=灰；（2）a=240,即甲的速度为240m/min,b=80,即乙的速度为

80m/min.

【解析】

【分析】

(1)先根据题意判断出图②中其、为分别是哪条线，再结合图像即可得到?、户关于x的函数表达式;

(2)由图②知：X=3.75或7.5时，y=%，根据此列二元一次方程组求解即可得到答案

【详解】(1)解：•••甲从中山路上点B出发，a米/分的速度骑车向北匀速直行;

，由图像可知,在y轴的截距为1200,

1200-ax

••y=1

ax—1200

即：=|1200-or|,

；乙从点A出发沿北京路以b米/分的速度步行向东匀速直行,

图①

(2)由图②知：x=3.75或7.5时，乂=%，

1200-3.75。=3.75"

7.5。-1200=7.5仇

a—240,

解得：\

8=80.

答：甲的速度为240m/min,乙的速度为80m/min.

【点睛】本题考查了函数图象的读图识图能力以及二元一次方程组的求解，正确理解图象交点的含义，从

图象中发现和获取有用信息，提高分析问题、解决问题的能力.

22.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量(单位：加)和使用了节木龙头50天的日用水量，得到频数

分布表如下:

表1未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量X0<¥<0.10.1<x<0.202夕0<.30.3<x<0.40.44<0.50.5与<0.60.6<x<0.7

频数13249265

表2使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量X0<r<0.10.1<x<0.20.2<x<0.30.3<x<0.40.4士<0.50.5<x<0.6

频数151310165

(1)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3济的概率；

(2)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水?(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在范

围的组中值作代表.)

19

【答案】(1)使用后，50天日用水量少于0.3的频数为19,50天日用水量少于0.3的频率为笈；(2)估计使

用节水龙头后，一年可节水47.45加乙

【解析】

【分析】

(1)由该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.30m3的频率，估计该家庭使用节水龙头后日用水量小

于0.30?的概率的值.

(3)求出该家庭末使用节水龙头50天日用水量的平均数和该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均

数，由此能求出估计使用节水龙头后，一年可节省水的数量.

【详解】(1)由表2可知，使用后，50天日用水量少于0.3的频数=1+5+16=19,

1919

50天日用水量少于0.3的频率=去，从而估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3nP的概率为济.

(2)该家庭未使用节水龙头50天日用水量平均数：

1

—x(0.05x1+0.15x3+0.25x2+0.35x4+0.45x9+0.55x26+0.65x5)=0.48

该家庭使用节水龙头50天日用水量平均数：

I

—x(0.05x1+0.15x5+0.25x13+0.35x10+0.45x16+0.55x5)=0.35

，估计使用节水龙头后，一年可节水：(0.48—0.35)x365=47.45(nP)

【点睛】本题考查日用水量数据的频率分布直方图、概率、平均数的求法，考查古典概型、列举法等基础

知识，考查运算求解能力，是基础题.

23.如图，在平面直角坐标系中，已知点45,0),以原点。为圆心、3为半径作。0,。。与x轴交于点B、

C.点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为f(s).连结AP,将沿AP

翻折，得到口APQ,求DAPQ有一边所在直线与。O相切时/的值.

【答案】2或孕或X1L

347

【解析】

【分析】

分三种情况，先求得0Q,进而根据三角形面积公式求得AP,然后根据勾股定理列出方程，解方程即可.

【详解】解：当AQ与。。相切时，如图1,

设AQ切。。于点D,连接0Q,交AP于M,连接0D,

•；AD切。0于点D,

.-.0D±AQ,0D=3,

VOA=5,

AAD=4,

VA(5,0),

OA=AQ=5,

AQD=1,

.,.OQ=ylQD2+OD2=V10

•.,将aOAP沿AP翻折，ffJljAAPQ.

Vio

，OQ_LAP,OM=MQ=

~T~

,/OP=t,OA=5,

A—AP*OM=—OA.OP,即~!-AP・2^=L.5.3

22222

.-.AP=VWt,

在Rt-OP中,AP2=OP2+OA2,10t2=t2+25,

解得t=—；

3

当AP与。0相切时，如图2,

设AP切。O于点E,连接OQ,

•.•将AOAP沿AP翻折，得到aAPQ.

AOQ1AP,

AOQ经过点E,

.\OE±AP,

,/—AP・OE=—OA«OP,即3AP=5t,

22

5

；.AP=-t,

3

在Rt^AOP中，AP2=OP2+OA2,解(-t)2=t2+25,

3

解得t=与，

4

当PQ与（DO相切时，如图3,

Q

设PQ切。O于点E,连接OE,

AOE1PQ,

VAQ±PQ,

・・・OE〃AQ,

AAODE^AADQ,

.OE_OD3OD

......-------------即—=----------

AQOA+OD55+OD

.,.PD=DQ-PQ=^H-t,

2

V—OD»OP=—PD»OE,

解得t=an

7

综上，AAPQ有一边所在直线与。0相切时t值为°或?或士叵.

347

【点睛】本题考查了切线的性质，轴对称的性质，三角形的面积以及勾股定理的应用等，熟练掌握切线的

性质和轴对称的性质是解本题的关键.

24.在正方形A2CZ)中，A8=4,。为对角线AC、3。的交点.

(1)如图①，延长0C,使CE=OC,作正方形0E尸G,使点G落在0。的延长线上，连接OE、AG.求证:

DE=AG；

GG'

Aa

（图①）（图①）

(2)如图②,将问题（1）中的正方形OEFG绕点。逆时针旋转a（0<«<180）,得到正方形OE户61连接

AE'、E'G'.

①当方30时,求点A到EG，的距离;

②在旋转过程中，求△/E'G，面积的最小值，并求此时的旋转角a.

【答案】（1）见解析；（2）点A到E'G'的距离为3+6；（3）a=135°.

【解析】

【分析】

（1）根据正方形的性质得到（M=。。，OALOD,OG=OE，从而证明A4OG也AOOE，进而得到答案;

⑵①方法一：过点£'作EM_LAC交AC延长线于点M，点A作AN_LG'£于点N,结合正方形的性

质、旋转的性质以及勾股定理证明A4OG'乡&0EO,再利用三角函数值即可得到答案；方法二：过点£

作交AC延长线于点过点A作

AN工GE于点N,在AN上取点尸，使得AP=G'P,得到NE'MO=90°,先用旋转的性质和勾股定

理证明MOGNAME'O,再运用三角函数的知识和再次运用勾股定理即可得到答案；

②先证明当。4"LG'E'时，S»E&最小，再根据AH=OH-AH=4-20和

S^EG=AH=16-8后即可得到答案；

【详解】（1）•点。是正方形ABCO两对角线的交点，

AOA=OD,OALOD,

：.NAOG=NDOE=90°.

•••四边形OEFG正方形，

OG=OE,

^AOG^^DOE（SAS）,

AG-DE.

（2）①方法一：如图，过点£作E'MJ_AC交AC延长线于点M，点A作AN_LG'E'于点N,

则NE'MO=90°.

G'

,/正方形OEFG绕着。点逆时针旋转«(00<«<180°)得到正方形OE'F'G',

=a=30°,NGOE=90°

Z.OEM=90°-ZMOE'=60°.

又ZAOG'=ZAOD=a=60°,

；.ZAOG'=NME'O,OE=OE=2OC=4近,

：.OG=OE=A叵,

‘G'E'=ylOG'2+OE'2=8，

ME=L()E=2O=A0,

2

：.MOG'^^ME'O(SAS),

ZOAG'^NE'MO=90°,

AG'=OA-tanZAOG'=2瓜，

/.AM=OA+OM=2近+2限

•：-AG'AM^-E'G'AN,

22

.AG'-AM2右

E'G'

.♦.点A到E'G'的距离为3+JL

方法二：如图，过点£'作£M_LAC交AC延长线于点M,过点A作

AN工GE于点N,在AN上取点尸，使得AP=G'P,则NE'MO=90。

F'

正方形ABC。中，OA=OC=注A8=2近，

2

正方形OEFG绕着。点逆时针旋转a(0°<«<180°)得到正方形OE'F'G'

：.ZMOE'=ZDOG'=a=30°,NG'OE'=90°,

NOEM=90°-ZMOE'=60°,

又NAOG'=ZAOD-a=60°,

ZAOG=/OEM,

OE'=OE=2OC=46,

•••0G=E0=46,

，G'E'=ylOG'2+OE'2=8-

：.ME'=-OE'=2y[2=OA.

2

：.^AOG'^^MEO(SAS)

ZAG'O=ZMOE'=30°,ZOAG'=AE'OM=90°.

/.AG'=OA-tanZAOG'=2n.

在正方形OE'F'G'中，NOGF=45°.

ZAG'E'=ZAG'O+NOG'E'=75°.

ZNAG=90°-ZAG'E'^15°.

AP=G'P,

：.ZAG'P=ZNAG'=15°.

：.ZPG'N=ZAG'E'-ZAG'P=60°.

设GN=x,：.PN=GW-tanZPG'N=瓜

G'N

AP=G'P==2x.

cos60°

，AN=AP+PN=(2+@x.

在RtA/WG'中，AN2+NG2=AG2>

即［(2+&)xW=Rn『

f=12-6百，％2=9_66+3，/=(3-百>,

玉=3—g,々=—3+6(舍去)，

AN=(2+G)X=3+G.

点A到EG的距离为3+V3.

②：