辽宁省铁岭市银州区第三中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

铁岭三中2023-2024八年级下学期期中测试考试时间120分钟试卷满分120分一、选择题（每题只有一个选项是正确的，请把正确选项填在下面表格里，每小题3分，共30分）1.若是最简二次根式，则的值可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【详解】解：∵是最简二次根式，

∴a≥0，且a为整数，中不含开的尽方的因数因式，

故选项中-2，，8都不合题意，

∴a的值可能是2．

故选：B．【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．2.韩师傅到银州区某加油站加油，如图是所用加油机上的数据显示屏，其中自变量是（）A.金额 B.油量 C.单价 D.金额和油量【答案】B【解析】【分析】本题考查了自变量，因变量，常量的定义，熟练掌握以上定义是解题的关键．根据定义判断即可．【详解】金额随油量的变化而变化，所以油量是自变量，金额是因变量．单价是不变的，所以单价是常量．故选：B．3.若a=2+3，b=2﹣3，则下列等式成立的是（）A.ab=1 B.ab=﹣1 C.a=b D.a=﹣b【答案】B【解析】【分析】根据已知a、b的值求出ab、﹣b的值，再判断即可．【详解】解：∵a＝23，b＝23，A、ab＝（23）×（23）＝8﹣9＝﹣1，故选项错误，不符合题意；B、ab＝（23）×（23）＝8﹣9＝﹣1，故选项正确，符合题意；C、2+32﹣3，故选项错误，不符合题意；D、﹣b＝﹣（23）＝3﹣23，故选项错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，能根据运算法则正确求出ab和﹣b的值是解答此题的关键．4.下列函数：①；②；③；④；⑤．其中y是x的正比例函数的有（）A1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】本题考查的是正比例函数的识别，形如，这样的函数是正比例函数，根据定义逐一分析即可．【详解】解：是正比例函数；当时，是正比例函数；是一次函数；不是正比例函数，不是正比例函数．故是正比例函数的有①③，共2个，故选：B．5.若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案．【详解】∵直线（是常数，）经过第一、第三象限，∴，∴的值可为2，故选：D．【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．6.如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的长是（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出边是解题的关键．根据作图可知平分，结合，由三线合一求出长，根据勾股定理求出长，再根据直角三角形斜边中线的性质求出长，即可解答．【详解】由作图可知，平分，∵，，，，，点F为的中点，，故选：A．7.下列说法中，正确的是（）A.有一组邻边相等的四边形是正方形 B.有一个角是直角的平行四边形是正方形C.有一个角是直角的菱形是正方形 D.有一组邻边相等的平行四边形是正方形【答案】C【解析】【分析】此题考查了矩形的判定、正方形的判定、菱形的判定等知识，根据相关判定进行解答即可．【详解】解：A．有一组邻边相等的矩形是正方形，故选项错误，不符合题意；B．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项错误，不符合题意；C．有一个角是直角的菱形是正方形，故选项正确，符合题意；D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误，不符合题意．故选：C．8.若点在函数的图象上，则的值是（）A.1 B.－1 C. D.【答案】A【解析】【分析】将x=-2代入一次函数解析式中求出m值，此题得解．【详解】当x=-2时，y=-×（-2）=1，∴m=1．故选A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键．9.一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（）A.5L B.3.75L C.2.5L D.1.25L【答案】B【解析】【详解】每分钟的进水量为：20÷4=5（升），每分钟的出水量为：5-（30-20）÷（12-4）=3.75（升），故选B．10.如图，在正方形中，E，F分别在，边上，四边形与关于直线对称，且点在边上，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】结合正方形的性质和轴对称的性质，过点作交于，交于，则为矩形，可证明，，，可判断①正确；利用直角三角形两锐角互余可判断②正确；延长交于，与交于点，连接，，证明，，在同一直线上，过点作交与，可知，，，证明，进而可证，则为等腰直角三角形，得，可知，再利用平行线的性质结合，可得，可判断③正确；延长使得，可证，结合，可证，得，而，进而可得，可判断④正确；即可求解．【详解】解：在正方形中，，，过点作交于，交于，则为矩形，∴，，由轴对称可知，，则，∴，∴，∴，，故①正确；由轴对称可知，，，则，∴，又∵，∴，故②正确；延长交于，与交于点，连接，，由轴对称可知，，，，又∵，∴，∴，，则，又∵，∴，∴，，则由轴对称可知，点与点关于对称，则，，∴又∵，∴，即，，在同一直线上，则，过点作交与，可知，，，∴，∴，又∵，∴，∴，则为等腰直角三角形，∴，则，∴，又∵，∴，由上可知，，∴，故③正确；延长使得，又∵，，∴，∴，，∵，∴，由上可知，，∴，又∵，∴，∴，而，∴，故④正确；综上，正确的有①②③④，共4个，故选：D．【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质等，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11.函数中，自变量的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【详解】依题意，得x-3≥0，

解得：x≥3．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12.在中，，则的度数为______．【答案】##150度【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质．由，根据平行四边形的对角相等可得的度数，再根据平行四边形的邻角互补即可．【详解】解：四边形是平行四边形，∴，，，∴，∴．故答案为：．13.如图，在菱形中，边上的高交对角线于点F，且，若，则的周长为______．【答案】##【解析】【分析】连接交于点，根据菱形性质可证得，得，进而可知，即可证明，得，易知是等边三角形，得，则，根据的周长为即可求解．【详解】解：连接交于点，在菱形中，，，，∵，∴，又∵，，∴，∴，，则，即：，又∵，，∴，∴，∴等边三角形，∴，则，∴的周长为，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．14.如图，在矩形中，，，P为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点B落在边的B处，将沿线段平移，当点与点C重合时，得，与交于点Q，则的长为______．【答案】2【解析】【分析】由矩形的性质和折叠的性质，可知，，则，在中，，列出方程求得：，即，连接，过点作交延长线于，则，由平移可知，，，，则四边形为矩形，，得，，由此可知，由延平移所得，则，得，设，则，根据，，列出方程即可求解．【详解】解：在矩形中，，，，由折叠可知，，，则，∴，设，则，中，，即：，解得：，即，连接，过点作交延长线于，则，由平移可知，，，，则四边形为矩形，，∴，，由此可知，由延平移所得，则，∴，设，则，∴，，则，解得：，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平移的性质等知识点，利用平移的性质得，由此建立方程求解是解决问题的关键．15.如图，在中，，，，P为边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B，C的对应点分别为，，过的中点E作交于点F，连接，若，则的面积是______．【答案】【解析】【分析】过交于，过作交的延长线于，过作交的延长线于，延长交于，连接、、，由直角三角形的特征得，，，由勾股定理得，同理可求：，，，设，，，由勾股定理得，，可得，求出，由即可求解．【详解】解：如图，过交于，过作交的延长线于，过作交的延长线于，延长交于，连接、、，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，同理可求：，，，，是的中点，，，，由折叠得：，设，，，，，，解得：，，，，，；故答案：．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握相关性质，根据题意作出恰当的辅助线，构建直角三角形并熟练利用勾股定理求解是解题的关键．三、解答题（16题10分，17题6分，共16分）16.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后利用二次根式的加减计算法则求解即可；（2）先利用二次根式的性质化简，然后利用二次根式的混合计算法则求解即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，二次根式的性质化简，熟知相关计算法则是解题的关键．17.我们在地理课上学过，海拔高度每上升，温度下降．某时刻，A市地面温度为．设高出地面处的温度为．（1）写出y与x之间的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；（2）已知A市一山峰高出地面的，则这时山顶的温度大的是多少？（3）此刻，有一架飞机飞过A市上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为，则飞机离地面的高度为多少?【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确求出函数的解析式是解题关键．（1）求出高出地面，温度会下降，由此即可得；（2）将代入（1）的结论，求出的值即可得；（3）将代入（1）的结论，求出的值即可得．【小问1详解】解：由题意可知，高出地面，温度会下降，则．【小问2详解】解：，将代入得：，答：这时山顶的温度大约是．【小问3详解】解：将代入得：，解得，答：飞机离地面的高度是．四、解答题（18题8分，19题8分，共16分）18.如图，在中，点D，E分别为，的中点，连接．（1）若，，，求证：是直角三角形；（2）在（1）的条件下，若点F是的中点，连接，判断四边形的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）四边形是矩形，理由见解析【解析】【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形中位线定理，矩形的判定．熟练掌握勾股定理逆定理和矩形的判定定理是解题关键．（1）根据勾股定理逆定理证明即可；（2）由三角形中位线定理可知，，即证明四边形为平行四边形，再根据即证明四边形为矩形．【小问1详解】证明：∵，，，∴，∴是直角三角形；【小问2详解】解：四边形是矩形，理由如下：∵点D，E分别为，的中点，点F是的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，由（1）可知，，∴四边形是矩形．19.在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化．例如：．（1）用上述方法化简；（2）．【答案】（1）（2）2024【解析】【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．（1）根据例题的方法，分母有理化即可求解；（2）将每一项都分母有理化，继而即可求解．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．五、解答题20.如图，在中，于点E，于点F，且．（1）求证：是菱形；（2）若，，求的面积．【答案】（1）见解析（2）24【解析】【分析】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键．（1）由平行四边形的性质可知，由垂直可知，进而利用证明，得，即可证明结论；（2）连接交于，根据菱形的性质，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题.【小问1详解】证明：在中，，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴是菱形；【小问2详解】解：连接交于，∵四边形是菱形，，∴，，，∵，则，∴，∴的面积．六、解答题21.如图，在正方形中，为边上一点，于点，于点，连接．（1）求证：；（2）若，正方形的面积为10，求的周长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定理是解答本题的关键．（1）由正方形的性质可知，，由垂直可知，根据互余可证，再利用即可证明结论；（2）由题意可知，在中，由勾股定理求得，由全等三角形的性质可知，得，在中，由勾股定理求得，即可可求解．【小问1详解】证明：在正方形中，，，则，∵，，∴，则，∴，在与中，，∴；【小问2详解】解：∵正方形的面积为10，∴，在中，，∴，∵，∴，则，在中，，∴的周长．七、解答题22.为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．x…11.5234.569…y…107.56.566.57.510…列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示.（1）观察所描出点的分布，用一条光滑的曲线将点顺次连接起来，作出函数图象．（2）已知点(x₁，y₁)、(x₂，y₂)在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题(填“>”“=”或“<”)：①若，则；②若，则；③若，则（3）某农户要用一些围栏建造一个的长方形鸡圈，设鸡圈的一边长为，所需围栏长度为．①请直接写出y与x之间的函数关系式；②若围栏的单价为50元/m，且该农户买围栏的预算不超过750元，在不考虑其他影响因素的情况下，鸡圈的一边长x应控制在什么范围内?【答案】（1）图象见解析（2）①②③（3），②【解析】【分析】（1）用光滑的曲线将点顺次连接起来即可；（2）根据函数图象的增减性即可求解；（3）①设鸡圈的一边长为，则另一边长为，再根据长方形周长公式即可求解；②根据“预算不超过750元”列不等式即可求解．【小问1详解】解：函数图象如下所示：【小问2详解】解：由函数图象可知，当时，y值随x的增大而减小，当时，y值随x的增大而增大，因此若，则；若，则；若，则，故答案为：①②③；【小问3详解】解：①设鸡圈的一边长为，则另一边长为，因此y与x之间的函数关系式为：；②由题意知：，整理得：，即，解得．【点睛】本题主要考查反比例函数的实际应用、从函数的图象获取信息、一元二次方程的应用等，解题的关键是能够从函数图象获取相关信息．八、解答题23.数学活动课上，张老师出示了一个问题：如图1，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，，求证：．①小芳同学由已知条件中点想到了如图2的辅助线．②小琳同学由已知条件中点想到了如图3的方法．（1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；【类别分析】（2）小迪同学受此问题启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图4，点C的对应点为点，连接并延长交于点K，在此基础上，小芮同学想：线段与之间会有怎样的数量关系呢?请你判断，并证明；【学以致用】（3）小怡同学突发奇想，将沿着过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为点使于点H，折痕交于点M，交于点N．小怡提出一个问题：若的面积为20，，，请直接写出的面积与的面积的比．【答案】（1）见解析；（2），理由见解析（3）【解析】【分析】（1）选小芳同学：延长，交于点，结合平行四边形的性质可证，得，即为的中点，由，，结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半可证明结论；选小琳同学：分别取、中点、，连接，，根据三角形中位线的性质及平行四边形的性质可证、、三点在同一直线上，进而可证明垂直平分，即可证明结论