二项分布与超几何分布

7.4二项分布与超几何分布

7.4.1二项分布

课标要求素养要求

1.通过具体实例了解伯努利试验，掌握

通过学习二项分布的概念及研究其数字

二项分布及其数字特征.

特征，提升数学抽象及数据分析素养.

2.能用二项分布解决简单的实际问题.

课前预习知识探究

新知探究

A情境引入

“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是在中国民间流传很广的一句谚语，这句谚语是非常

有道理的，下面我们从概率的角度来探讨一下这个问题：

假如刘备手下有诸葛亮和9名谋士组成的智囊团，假定对某事进行决策时，每名

谋士决策正确的概率为0.7,诸葛亮决策正确的概率为0.85,现在要为某事能否

可行征求每位谋士的意见，并按照多数人的意见作出决策，试比较诸葛亮和智囊

团决策正确概率的大小.

问题上述情境中的问题，假如让你猜想的话，你能得到正确的答案吗？

提示智囊团决策正确的概率要大于诸葛亮决策正确的概率，具体怎么计算的通

过学习本节课的内容即可解决.

上知识梳理

1.〃重伯努利试验的概念

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行

n次所组成的随机试验称为〃重伯努利试验.

2.〃重伯努利试验具有如下共同特征

(1)同一个伯努利试验重复做n次；

(2)各次试验的结果相互独立.

3.二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(O<p<l),

用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：

P(X=k)=Cripk(1—p)"~k,k=Q,1,2,…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记

作X〜8(〃，〃).

4.一般地，可以证明：如果X〜8(〃，〃)，那么E(X)=迎，D(X)^np(l-p).

拓展深化

「微判断］

1.在〃重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响.(J)

2.在〃重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同.(X)

提示在〃重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率均相同.

3.如果在1次试验中某事件发生的概率是p,那么在〃次独立重复试验中这个

事件恰好发生2次的概率1(X=A)=CV(l-p)"f,k=Q,1,2,…，〃.(J)

［微训练］

243

2.连续掷一枚硬币5次，恰好有3次出现正面向上的概率是.

32

解析设出现正面向上的次数为X,则X〜8(5,，，故P(X=3)=C，9(z1一,=

5

16'

答案尚

3.某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击，此人至少有两次击中

目标的概率为.

解析设击中目标的次数为X,则X〜3(3,0.6).

故P(X22)=P(X=2)+P(X=3)=d0.62(l-0.6)+C^0.63=0.648.

答案0.648

［微思考］

1.你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗？

提示两点分布是特殊的二项分布，即X〜8(〃，p)中，当”=1时，二项分布便

是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式.

2.在〃次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？

提示在〃次独立重复试验中，各次试验的结果相互之间无影响.因为每次试验

是在相同条件下独立进行的，所以第i+1次试验的结果不受前i次结果的影响(其

中z=l,2,…，〃-1).

■■■课堂互动二:题型剖析删

题型一〃重伯努利试验的判断

【例1】判断下列试验是不是n重伯努利试验：

(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；

(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；

(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出

4个白球.

解⑴由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是〃重伯努利试验.

(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是〃重伯努利试验.

⑶每次抽取时，球的个数不一样多，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不

是〃重伯努利试验.

规律方法〃重伯努利试验的判断依据

(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行.

(2)每次试验的结果相互独立，互不影响.

【训练1】下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环"与''射中8环”；

②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙

两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在

相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标.

其中是“重伯努利试验的是()

A.①B.②

C.③D.@

解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是〃重伯

努利试验.

答案D

题型二〃重伯努利试验概率的求法

【例2】某气象站天气预报的准确率为80%,计算：(结果保留到小数点后第2

位)

(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；

(2)”5次预报中至少有2次准确”的概率.

解(1)记“预报一次准确”为事件4则P(A)=0.8.

5次预报相当于5次伯努利试验.

“恰有2次准确”的概率为

P=CgX0.82X0.23=0.0512心0.05,

因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.

(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1

次准确”，其概率为

P=Cgx0.25+Cix0.8x0.24=0.00672.

所以所求概率为1—P=1—0.00672=0.99.

所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.

规律方法〃重伯努利试验概率求解的关注点

(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立

事件的概率公式.

(2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否

为〃重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结

果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率

都相等，然后用相关公式求概率.

3

【训练2】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率都为本且每

次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：

⑴其中只在第一、三、五次击中目标的概率；

⑵其中恰有3次击中目标的概率；

⑶其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率.

解(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情

况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又

因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为

⑵该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，符合〃重伯努利试验概率模型.故

所求概率为

,、3/、2

p=cgx(|)x(i—|)=怨

⑶该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，

应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有C3种情况.

32

故所求概率为P=c3x(|)义［1一|)言.

题型三二项分布的均值与方差

【例3］为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某

人一次种植了〃株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p,设X

为成活沙柳的株数，均值取为为3,标准差吊0(X)为乎.

(1)求〃和〃的值，并写出X的分布列；

(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.

解由题意知,X〜B(〃,p),P(X=k)=3pk(i—p)n%%=o,］,…，n

(1)由E(X)=〃p=3,£)(X)=«p(l—p)=|,

得1—从而n=6,p=1.

X的分布列为

X0123456

131551531

P

64326416643264

(2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(XW3),

得尸⑷磊+专+卷+若3或P(A)=1—P(X>3)=1—图+专+专)=芸所

以需要补种沙柳的概率为差21.

规律方法解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入

相应的公式求解.若X服从两点分布，则E(X)=p,D(X)=p(l-p);若X服从二

项分布，即X〜8(〃，p),则E(X)=”p,D(X)—np{\~P)-

【训练3】某厂一批产品的合格率是98%.

(1)求从中抽取一件产品为正品的数量的方差；

(2)求从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差

及标准差.

解(1)用丫表示抽得的正品数，则y=o,1.

y服从两点分布，且尸(y=o)=o.o2,p(y=i)=o.98,

所以D(y)=p(l-p)=0.98X(1-0.98)=0.0196.

(2)用X表示抽得的正品数，则X〜8(10,0.98),

所以0(X)=10X0.98X0.02=0.196,

标准差为、。(X)

口.44.

素养达成逐步落实

一'素养落地

1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养.

2.n重伯努利试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；

第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件

要么发生，要么不发生.

3.如果1次试验中某事件发生的概率是p,那么〃重伯努利试验中这个事件恰

好发生人次的概率为长伏)=(2加人(1一0)广级=0,1,2,…，〃)，此概率公式恰为

[(1—p)+p]"展开式的第％+1项，故称该公式为二项分布公式.

二、素养训练

4

1.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率都为5,那么播下3粒种子恰有2

粒发芽的概率是()

1248

AA125Bn125

C也D型

J25u125

2

解析播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为C3(1)X(l—§=需.

答案B

2.某电子管正品率为3本次品率为;1，现对该批电子管进行测试，设第X次首次

测到正品，则尸(X=3)等于()

2.2

A.x|B.x|

,、2、2

唱D©

2

解析P(X=3)=(?x1.

答案c

3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X,

则D(X)等于()

1515

ATB彳

5

C，2D.5

解析抛掷两枚均匀硬币，两枚硬币都出现反面的概率为

则易知X〜B(10,I],

故£)(%)=10X(X(1—3)=?

答案A

35

4.设乂~8(2,p),若尸(X21)=%,贝Up=.

解析因为X〜8(2,p),

所以P(X=©=CM&l-p)2%k=o,1,2.

所以尸(X21)=l一尸(X<1)=1-P(X=O)

35

=1-c9/?o(1-pY=1-(1-p)2=3^,

结合0<p<l,

解得p=a

答案I

5.甲队有3人参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答

错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为2余且各人答对正确与否相互之间没

有影响.用X表示甲队的总得分，求随机变量X的分布列.

解由题意知，X〜5(3,|),

故P(X=O)=C§X(I—|)=3,

2

2,2、2

P(X=1)=CiX2xI1—r|=-,

《iA-，)-，、(3j—27，

所以X的分布列为

X0123

1248

p

279927

课后作业巩固提高

基础达标

一、选择题

1.若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是:，则在5次测量中恰好出现

2次正误差的概率是()

A得

B5

C1D圭

解析P=cgx

答案A

2.若X〜5(10,0.8),则P(X=8)=()

A.C?oXO.88XO.22B.C?oXO.82XO.28

C.0.88X0.22D.0.82X0.28

解析P(X=8)=CfoXO.88XO.22.

答案A

3.设随机变量X〜；

则P(X=3)等于()

A上

A16B16

C.iD.1

oo

解析YX〜4,

，P(X=3)=

cgx

答案A

4.设随机变量X的分布列为尸(X=k)=Ci[j),k=Q,1,2,…，〃，且

E(X)=24,则D(X)的值为()

A.^B.8

C.12D.16

解析由题意可知X〜B(〃，|

2

所以］〃=及X)=24.所以/?=36.

2(2、21

所以—2j=36X-X-=8.

答案B

5.某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是上且在各

路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若丫=3X+5,则丫

的标准差为（）

A.^6B.3

C.小D.2

解析因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独

立重复试验，即x〜03,；）,则x的方差。（X）=3X：X（1—2=|,所以y的方

差。（y）=32.D（x）=9Xg=6,所以丫的标准差为（丫）=水.

答案A

二、填空题

6.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,则服用这种新药的4个病人中

至少3人被治愈的概率为（用数字作答）.

解析至少3人被治愈的概率为C^X0.93X0.1+0.94=0.9477.

答案0.9477

7.已知随机变量X+Y=8,若X〜3（10,0.6）,则E（Y）,o（y）分别是（）

A.6和2.4B.2和2.4

C.2和5.6D.6和5.6

解析因为x+y=8,所以y=8—x.

因此，求得E（y）=8-E（x）=8-10X0.6=2,

£>（y）=（-l）2£>W=10X0.6X0.4=2.4.

答案B

8.设随机变量X〜8（2,p）,丫〜8（4,p）,若「（X2l）=5,则。（y）=.

解析由随机变量X〜伙2,P）,且P（X21）=/,得P（X21）=1—P（X=0）=l—

C9x（i-p）2=|,易得由y〜/,；）,得随机变量Y的方差r）（y）=4x|

答案I

三、解答题

9.某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率都是0.5(相

互独立)，求一天内至少3人同时上网的概率.

解记A『(r=0,1,2,6)为“/•个人同时上网”这个事件，则其概率为尸(4)

=C8O.5<1—0.5)6。=C8O.56==C8."一天内至少有3人同时上网”即为事件

A3UA4UA5UA6,因为A3,A4,4,4为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公

式，得“一天内至少有3人同时上网”的概率为P=

P(A3UA4UA5UAe)=尸(A3)+P(4)+P(A5)+P(A6)=*(C?+C2+Cl+Cg)=表

21

X(20+15+6+1)=五

10.两个人射击，甲射击一次中靶概率是:，乙射击一次中靶概率是弥

(1)两人各射击1次，两人总共中靶至少1次就算完成目标，则完成目标的概率

是多少？

(2)两人各射击2次，两人总共中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率

是多少？

⑶两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率是否超过99%?

解(1)共三种情况：乙中靶甲不中靶，概率为1义3=:；

121

甲中靶乙不中靶，概率为］义］=3

甲、乙全中靶，概率为

23O

「1112

故所求概率是

(2)共两类情况：

共中靶3次，概率为

共中靶4次，概率为

。2⑸⑸XC2®®=k

,一117

故所求概率为d+石=石.

(3)两人总共中靶至少1次的概率为-C*[XC《|)=1—击=翡＞0§9.

所以两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率超过99%.

能力提升

11.若随机变量X〜8(5,，，则尸(X=Z)最大时，攵的值为()

A.1或2B.2或3

C.3或4D.5

解析依题意P(X=A)=C§X(WX4，k=0,1,2,3,4,5.

32808040

可以求得P(X=0)=243,P(X=1)=243,尸(、=2)=右3，尸(X=3)=次P(X=

4)=弟，P(X=5)=圭.故当女=1或2时尸(X=攵)最大.

答案A

12.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方

图，如图所示.

频率

组距

006

005

004

003

002

O5()10()150200250日销售量/个

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

⑴求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日

销售量低于50个的概率；

(2)用X表示在未来3