小学数学竞赛 简单的排列问题

7-4-1.简单的排列问题

E1

1.使学生正确理解排列的意义；

2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；

3.掌握排列的计算公式；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等.

且加恒阂惊度彘

一、排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就

是排列问题.在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关.

一般地，从〃个不同的元素中取出加(加《几)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从〃个不同元素中

取出小个元素的一个排列.

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同.如果

两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺

序不同，它们也是不同的排列.

排列的基本问题是计算排列的总个数.

从〃个不同的元素中取出相(加工〃)个元素的所有排列的个数，叫做从〃个不同的元素的排列中取出m个

元素的排列数，我们把它记做

根据排列的定义，做一个加元素的排列由根个步骤完成：

步骤1:从〃个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有〃种方法；

步骤2:从剩下的(〃-1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(九-1)种方法；

步骤相：从剩下的［n-(m-l)］个元素中任取一•个元素排在第m个位置，有n-(m-1)=〃-根+1(种)方法;

由乘法原理，从几个不同元素中取出小个元素的排列数是〃•(几-2)・-(n-m+1),即

=n(n-l)(n-2)(n-m+1),这里，m<n,且等号右边从〃开始，后面每个因数比前一因数小1,共

有机个因数相乘.

二,排列数

一般地，对于掰="的情况，排列数公式变为?=小("-1)<〃-2)--3-2-1.

表示从"个不同元素中取〃个元素排成一列所构成排列的排列数.这种n个排列全部取出的排列，叫做"

个不同元素的全排列.式子右边是从〃开始，后面每一个因数比前一个因数小1,一直乘到1的乘积，记为加，

读做〃的阶乘，则以还可以写为：P"=«!,其中加-3-2-1.

他腥糜溺雷

模块一、排列之计算

【例1】计算:(1)代；⑵耳一P；.

【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答

【解析】由排列数公式以'=〃(〃—1)(〃—2)(力―相+1)知：

(1)代=5x4=20

(2)g=7x6x5x4=840,号=7x6x5=210,所以号-号=840-210=630.

【答案】⑴20(2)630

【巩固】计算：⑴耳;(2)泛-日

【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答

【解析】(1)V=3x2=6(2)P^-P^=6x5x4-10x9=120-90=30.

【答案】(1)6(2)30

【巩固】计算:⑴冏-吊；⑵3月-4.

【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答

【解析】⑴吊一片=14x13x12-14x13=2002；

(2)3E一芍=3x(6x5x4x3x2)-3x2x1=2154.

【答案】⑴2002(2)2154

模块二、排列之排队问题

【例2】有4个同学一起去郊游,照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？(照

相时3人站成一排)

【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答

【解析】由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站.由

于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3

个位置中的排列问题.要计算的是有多少种排法.

由排列数公式，共可能有：巧=4x3x2=24(种)不同的拍照情况.

也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：后1=4x3x2xl=24(种)不同的拍照情况.

【答案】24

【巩固】4名同学到照相馆照相.他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？

【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答

【解析】4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上.所以这是一个从4个元素中选4个，

排成一■列的问题.这时"=4,m=4.

由排列数公式知，共有g4=4x3x2xl=24(种)不同的排法.

【答案】24

【巩固】9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有吊种不同站法.而问题中，9

个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后

排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题.

方法一：由全省p列公式，共有咸=9x8x7x6x5x4x3x2x1=362880(种)不同的聿F法.

方法二：根据乘法原理，先排四前个，再排后五个.

-pl=9X8X7x6x5x4x3x2xl=362880

【答案】362880

【巩固】5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列

问题，且〃=4.由全排列公式，共有月=4x3x2x1=24(种)不同的站法.

【答案】24

【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少

种不同的站法？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排

列问题，且"=4.

由全排列公式，共有片=4x3x2xl=24（种）不同的站法.

【答案】24

【例3】5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有种？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】学而思杯，4年级，第8题

【解析】5个人全排列有5!=120种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是60种

【答案】60种

[例4]一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站（包括北京和上海）,这条铁路线共需要多少种

不同的车票.

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】1=14x13=182（种）.

【答案】182

【例51班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员.问:

有多少种不同的分工方式？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】卫=120（种）.

【答案】120

【例6】有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信

号？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置.我们的

问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题.由于信号不仅与旗子的颜色有关，

而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中"=5,m=3.

由排列数公式知，共可组成石=5x4x3=60（种）不同的信号.

【答案】60

【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少

种不同的信号？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】P：=3x2=6.

【答案】6

【巩固】在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号.如有红、黄、

绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同

的信号？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排

法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题.

由排列数公式，共可以组成弓=3x2xl=6（种）不同的信号.

方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；

其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗

中去取，有2种方法.剩下那面旗子，放在最低位置.

根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3x2xl=6（种）.

【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式

做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化.

【答案】6

模块三、排列之数字问题

【例7】用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？

【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答

【解析】这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知〃=8,加=4,根据排列数公式，一共可以组成

用=8x7x6x5=1680（个）不同的四位数.

【答案】1680

【巩固】由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？

【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答

【解析】Pl=120.

【答案】120

【例8】用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】（法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字

中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有厅种

方法.由乘法原理得，此种三位数的个数是：4x/f=48（个）.

（法2）:从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0的.从

0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为其中首位是0的三位数有片2个.三位

数的个数是：

ET=5x4x3-4x3=48（个）.

本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接

在排列的时候考虑这些限制因素.

【答案】48

【例9】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知〃=5,加=2,根据排列数公

式，一共可以组成芍=5x4=20（个）符合题意的三位数.

【答案】20

【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶

数？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2,4,6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的

5张中选二张，有尺2=5x4=20（种）选法.由乘法原理，一共可以组成3x20=60（个）不同的偶数..

【答案】60

【例10】由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的数，四位数有多少个？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为笈=6x5x4x3=360,由于0不能在千位

上，而以0为千位数的四位数有耳=5x4x3=60,它们的差就是由0,2,5,6,7,8

组成无重复数字的四位数的个数，即为：360-60=300个.

方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为4个步骤进行，

第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；

第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；

这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确

定了，思维过程如下:

千位百位十位个位

：第一步：珀定十位数第三步：珀定十位数

由干首位不能为因为千位和百位已从

;0.所以只轴从2.5.0.2,5.6,7.8+

!6.7,8中任选一个用£2个数半,所以十位

I敦丰.我布5村庭法，只能从朝下的款:丰中述

择,共考4种速法.

■解二步：粉定石■位数第四步：珀这个位数：

由干数丰不允许重臭使用.因为千位.百位和十

s所以干位用过的较丰E■位不能再也已从。,2.5.6.7.

:用.然而E■&可以是0.所以在8中的主3个数丰,所以

：2.5.6.7.8中击掉千位个位只能从舸下的歙丰中

S用去的一个敦丰，E■位共腐5时选择，共•有3种咫法.

!速法.

根据乘法原理，所求的四位数的个数是：5x5x4x3=300（个）.

【答案】300

【例11】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？

【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答

【解析】按位数来分类考虑：

⑴一位数只有1个3；

⑵两位数：由1与2,1与5,2与4,4与5四组数字组成，每一组可以组成8=2xl=2（个）不同

的两位数，共可组成2x4=8（个）不同的两位数；

⑶三位数：由1,2与3;1,3与5;2,3与4;3,4与5四组数字组成，每一组可以组成

琛=3x2xl=6（个）不同的三位数，共可组成6x4=24（个）不同的三位数；

（4）四位数：可由1,2,4,5这四个数字组成，有=4x3x2xl=24（个）不同的四位数；

⑸五位数:可由1,2,3,4,5组成，共有卫=5x4x3x2x1=120（个）不同的五位数.

由加法原理，一共有1+8+24+24+120=177（个）能被3整除的数，即3的倍数.

【答案】177

【例12】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？

【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答

【解析】可以分两类来看：

⑴把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有

后1=4x3x2xl=24（种）放法，对应24个不同的五位数；

⑵把2,4,5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可

以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有耳=6种选择.由乘法原

理，可以组成3x3x6=54（个）不同的五位数.

由加法原理，可以组成24+54=78（个）不同的五位数.

【答案】78

【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687

是第几个数？

【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答

【解析】从高位到低位逐层分类：

⑴千位上排1,2,3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数

字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、

个位可有代=9x8x7=504（种）排列方式.由乘法原理，有4x504=2016（个）.

⑵千位上排5,百位上排。~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个

数字中选择.也就是从8个元素中取2个的排列问题，即7f=8x7=56,由乘法原理，有

1x5x56=280（个）.

⑶千位上排5,百位上排6,十位上排0,1,2,3,4,7时，个位也从剩下的七个数字中选择，

有lxlx6x7=42（个）.

（4）千位上排5,百位上排6,十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0,1,2,3,4共5个.

综上所述，比5687小的四位数有2016+280+42+5=2343（个），故5687是第2344个四位数.

【答案】2344

【例13】用数字1〜8各一个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数.共有—_

种组成方法.

【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】填空

【关键词】走美杯，六年级，初赛，第7题

【解析】1〜8中被三除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件

的排列，一定符合“被三除所得余数以3位周期”，所以8个数字，第1、4、7位上的数被3除同余，

第2、5、8位上的数被3除同余，第3、6位上的数被3除同余，显然第3、6位上的数被3整除，

第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2,第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1,余

数的安排上共有2种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有3!x3!x2!=144种方

法.

【答案】144种

【例14］由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列.2008排在个.

【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答

【解析】比2008小的4位数有2000和2002,比2008小的3位数有2x3x3=18（种），比2008小的2位数有

2x3=6（种），比2008小的1位数有2（种），所以2008排在第2+18+6+2+1=29（个）.

【答案】29

【例15】千位数字与十位数字之差为2（大减小），且不含重复数字的四位数有多少个？

【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答

【解析】千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为2:9,对应的十位数字取0:7,

每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就

行了，因此总共有8><代个这样的四位数.⑵千位数字小于十位数字，千位数字取1：7,十位数字

取3:9,共有7义矮个这样的四位数.所以总共有+7x^=840个这样的四位数.

【答案】840

模块四、排列之策略问题

【例16】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9,

那么确保打开保险柜至少要试几次？

【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答

【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1,1,1,6;1,1,2,5;1,1,3,4；1,2,2,4;1,2,3,

3;2,2,2,3六种.

第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，

其余位置放1,共有4种选择；

第二种中，先考虑放2,有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1,共有

4x3=12（种）选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择.最后一种，与第一种的

情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2,共有4种选择.

综上所述，由加法原理，一共可以组成4+12+12+12+12+4=56（个）不同的四位数，即确保能打开

保险柜至少要试56次.

【答案】56

【例17】幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法?

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转

化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题.

由排列数公式，共有：代=6x5x4=120（种）不同的坐法.

【答案】120

【巩固】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】与例5不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个

位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题.

由排列公式，共有：发=6x5x4=120（种）不同的坐法.

【答案】120

【巩固】10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种

不同的坐法？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】把6辆碰碰车看成是6个位置，而10个人作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个元素中取

6个，排在6个不同位置的排列问题.

共有或=10x9x8x7x6x5=151200（种）不同的坐法.

【答案】151200

【例18】一个篮球队有五名队员A,B,C,D,E,由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以

分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：此题先确定做中锋的人选，除E以外的四个人任意一个都可以，则有4种选择，确定下

来以后，其余4个人对应4个位置，有耳=4x3x2xl=2《种）排列.由乘法原理，

4x24=96,故一共有96种不同的站位方法.

方法二：五个人分配到五个位置一共有W=5x4x3x2x1=120（种）排列方式，E能做中锋一共有

#=4x3x2xl=24（种）排列方式，则E不能做中锋一共有W-斤=120-24=96种不同的

站位方法.

【答案】96

【例19】小明有10块大白兔奶糖，从今天起，每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列，如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”，则将10块

糖分成了两部分.

我们记从左至右，第1部分是第1天吃的，第2部分是第2天吃的，…，

如:。。。|。。。。。。。表示第一天吃了3粒，第二天吃了剩下的7粒：

oooo|ooo|ooo表示第一天吃了4粒，第二天吃了3粒，第三天吃了剩下的3粒.

不难知晓，每一种插入方法对应一种吃法，而9个间隙，每个间隙可以插人也可以不插入，且相互独立，

故共有29=512种不同的插入方法，即512种不同的吃法.

【答案】512

且皿无载萼目掘

1.使学生正确理解排列的意义；

2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列;

3.掌握排列的计算公式；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等.

一'排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就

是排列问题.在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关.

一般地，从"个不同的元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从〃个不同元素中

取出加个元素的一个排列.

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同.如果

两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺

序不同，它们也是不同的排列.

排列的基本问题是计算排列的总个数.

从n个不同的元素中取出相(加W")个元素的所有排列的个数，叫做从〃个不同的元素的排列中取出根个

元素的排列数，我们把它记做月”.

根据排列的定义，做一个元素的排列由机个步骤完成：

步骤1:从〃个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有〃种方法；

步骤2:从剩下的(w-1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(〃-1)种方法；

步骤小：从剩下的［n-(m-1)］个元素中任取一•个元素排在第m个位置，有n-(m-l)=+1(种)方法;

由乘法原理，从〃个不同元素中取出m个元素的排列数是〃-(n-m+1),即

琛二〃(〃-1)(〃-2)(n-m+1),这里，m<n,且等号右边从〃开始，后面每个因数比前一个因数小1,共

有小个因数相乘.

二,排列数

一般地，对于的情况，排列数公式变为匕"="・(〃-1)-(〃一2)--3-21.

表示从〃个不同元素中取〃个元素排成一列所构成排列的排列数.这种九个排列全部取出的排列，叫做n

个不同元素的全排列.式子右边是从九开始，后面每一个因数比前一个因数小1,一直乘到1的乘积，记为加，

读做"的阶乘，则耳还可以写为：P；；=nl,其中加=小("一1)鼠〃一2)--3-2-1.

模块一'排列之计算

【例20】计算：(1)代；⑵P：-耳.

【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答

【解析】由排列数公式月"=水〃一1)(〃-2)("-机+1)知：

(1)P；=5x4=20

(2)闿=7x6x5x4=840,亨=7x6x5=210,所以耳1-厅=840-210=630.

【答案】⑴20(2)630

【巩固】计算：⑴厅；⑵

【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答

【解析】⑴蹊=3x2=6(2)代-吊=6x5x4-10x9=120-90=30.

【答案】(1)6(2)30

【巩固】计算：⑴用-吊;⑵3代-月.

【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答

【解析】⑴用一片=14x13x12-14x13=2002；

(2)3片一代=3x(6x5x4x3x2)-3x2x1=2154.

【答案】⑴2002⑵2154

模块二、排列之排队问题

【例21】有4个同学一起去郊游,照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照

相时3人站成一排）

【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答

【解析】由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站.由

于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3

个位置中的排列问题.要计算的是有多少种排法.

由排列数公式，共可能有：片=4x3x2=24（种）不同的拍照情况.

也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：代=4x3x2xl=24（种）不同的拍照情况.

【答案】24

【巩固】4名同学到照相馆照相.他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？

【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答

【解析】4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上.所以这是一个从4个元素中选4个，

排成'一列的问题.这时"=4,m=4.

由排列数公式知，共有6=4x3x2xl=24（种）不同的排法.

【答案】24

【巩固】9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有母种不同站法.而问题中，9

个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后

排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题.

方法一：由全省&列公式，共有E=9x8x7x6*5x4x3x2x1=362880（种）不同的才非法.

方法二：根据乘法原理，先排四前个，再排后五个.

Pg-pl=9X8X7X6X5X4X3X2X1=362880

【答案】362880

【巩固】5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列

问题，且〃=4.由全排列公式，共有巴*=4x3x2xl=24（种）不同的站法.

【答案】24

【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少

种不同的站法？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排

列问题，且"=4.

由全排列公式，共有片=4x3x2xl=24（种）不同的站法.

【答案】24

【例22】5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有种？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】学而思杯，4年级，第8题

【解析】5个人全排列有5!=120种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是60种

【答案】60种

【例23】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站（包括北京和上海），这条铁路线共需要多少种

不同的车票.

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】=14x13=182（种）.

【答案】182

【例24】班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员.问:

有多少种不同的分工方式？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】120（种）.

【答案】120

【例25】有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信

号？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置.我们的

问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题.由于信号不仅与旗子的颜色有关，

而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中〃=5,机=3.

由排列数公式知，共可组成月3=5x4x3=60（种）不同的信号.

【答案】60

【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少

种不同的信号？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】P-=3x2=6.

【答案】6

【巩固】在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号.如有红、黄、

绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同

的信号？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排

法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题.

由排列数公式，共可以组成月=3x2xl=6（种）不同的信号.

方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；

其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗

中去取，有2种方法.剩下那面旗子，放在最低位置.

根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3x2xl=6（种）.

【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式

做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化.

【答案】6

模块三'排列之数字问题

【例26】用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？

【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答

【解析】这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知〃=8,加=4,根据排列数公式，一共可以组成

穹=8x7x6*5=1680（个）不同的四位数.

【答案】1680

【巩固】由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？

【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答

【解析】=120.

【答案】120

【例27】用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】（法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字

中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有厅种

方法.由乘法原理得，此种三位数的个数是：4><厅=48（个）.

（法2）:从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0的.从

0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为耳，其中首位是0的三位数有厅个.三位

数的个数是：

耳-母=5x4x3-4x3=48（个）.

本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接

在排列的时候考虑这些限制因素.

【答案】48

【例28】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知〃=5,m=2,根据排列数公

式，一共可以组成6=5x4=20（个）符合题意的三位数.

【答案】20

【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶

数？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2,4,6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的

5张中选二张，有用=5x4=2O（种）选法.由乘法原理，一共可以组成3x20=60（个）不同的偶数..

【答案】60

【例29】由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的数，四位数有多少个？

【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为履=6x5x4x3=360,由于0不能在千位

上，而以。为千位数的四位数有片=5x4x3=60,它们的差就是由0,2,5,6,7,8

组成无重复数字的四位数的个数，即为：360-60=300个.

方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为4个步骤进行，

第一・步:确定千位数；第二步：确定百位数；

第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；

这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确

定了，思维过程如下：

千位百位十位个位

s第一步：珀定千®数第三步：珀支十位