上海海事大学《线性代数》2023-2024学年第一学期期末试卷

上海海事大学《线性代数》2023-2024学年第一学期期末试卷考试课程：线性代数考试时间：120分钟专业：所有专业适用总分：100分---一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若矩阵A为m×n矩阵，且m<n，则以下说法正确的是：A.A不可能是满秩矩阵B.A的列向量组一定线性无关C.A的行向量组一定线性相关D.A的秩等于m2.若A是一个n阶可逆矩阵，则以下说法正确的是：A.A的行列式为0B.A的特征值全为0C.A的逆矩阵不存在D.A的行列式不为03.线性方程组Ax=b有唯一解的充要条件是：A.矩阵A的行列式不为0B.矩阵A的行数等于列数C.矩阵A的秩等于矩阵A的行数D.矩阵A的秩等于矩阵A的列数4.矩阵A和B可交换乘积，即AB=BA，则以下说法正确的是：A.A和B一定是方阵B.A和B的行列数相等C.A和B一定可逆D.A和B的特征值相同5.若向量组{v1,v2,...,vn}线性无关，则以下说法正确的是：A.向量组的秩小于nB.向量组中任意一个向量都可以由其余向量线性表示C.向量组中任意一个向量都不可以由其余向量线性表示D.向量组的秩大于n6.矩阵A的特征值是：A.A的所有行列式值B.A的所有行列式的特征根C.A的伴随矩阵的行列式值D.满足|A-λI|=0的所有λ7.若矩阵A为对称矩阵，则以下说法正确的是：A.A的特征值都是实数B.A的特征值都是虚数C.A的特征向量都是实数D.A的特征向量都是虚数8.若矩阵A的秩为r，则以下说法正确的是：A.A的列向量组线性相关B.A的行向量组线性相关C.A的列向量组的极大线性无关组有r个向量D.A的行向量组的极大线性无关组有r个向量9.若A为n阶矩阵，则A可对角化的充要条件是：A.A是可逆矩阵B.A有n个线性无关的特征向量C.A的秩等于nD.A的行列式不为010.矩阵A的行列式等于0，则以下说法正确的是：A.A一定可逆B.A的列向量组线性无关C.A的秩小于矩阵的行数或列数D.A的特征值全为0---二、判断题（每题2分，共20分）11.任何两个同阶矩阵都可以相乘。（）12.如果矩阵A的行列式为零，则矩阵A一定不可逆。（）13.线性方程组Ax=b有解的充要条件是矩阵A的秩等于增广矩阵的秩。（）14.对称矩阵的特征值一定是实数。（）15.若矩阵A是奇异矩阵，则存在矩阵B使得AB=BA=I。（）16.若向量组{v1,v2,...,vn}线性相关，则存在非零的系数使得这些向量的线性组合为零。（）17.若矩阵A可逆，则A的转置矩阵也可逆。（）18.若矩阵A和B行数相同，则它们一定可以相乘。（）19.如果矩阵A和B可交换乘积，则它们的特征值相同。（）20.对于任意方阵A，总存在一个对角矩阵D，使得A与D相似。（）---三、填空题（每题2分，共20分）21.若A为n阶方阵，则A可逆的充要条件是______。22.线性方程组Ax=b有解的条件是增广矩阵的秩等于______。23.矩阵A的特征值是______。24.若矩阵A是对称矩阵，则A的特征向量一定是______。25.矩阵A和B可交换乘积，即AB=BA，则A和B一定可以同时______。26.设A是n阶方阵，且A的秩为r，则r的取值范围是______。27.若向量组{v1,v2,...,vn}线性无关，则向量组的秩等于______。28.矩阵A的转置矩阵的行列式值是原矩阵A行列式值的______。29.若A和B是同阶矩阵，则(AB)^T=______。30.设A是一个n阶方阵，且A的行列式不为0，则A的秩为______。---四、简答题（每题10分，共40分）31.请简述矩阵的秩的定义及其几何意义。32.试述线性方程组的解的结构及其几何解释。33.请简述特征值和特征向量的定义及其在实际问题中的应用。34.试述矩阵可逆的条件及其判断方法。---考试说明：1.答题前请务必将姓名