8.5空间直线平面的平行5题型分类（原卷版）

8.5空间直线、平面的平行5题型分类一、平行线的传递性文字语言平行于同一条直线的两条直线平行图形语言符号语言直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c作用证明两条直线平行二、空间等角定理1.定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号语言OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.三、直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊄α，,b⊂α，,a∥b))⇒a∥α图形语言四、直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言五、平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，b⊂α，,a∩b＝A，,a∥β，b∥β))⇒α∥β图形语言六、两个平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言（一）平行线传递性的应用空间直线平行的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.题型1：平行线传递性的应用11．（2024高一·全国·课后作业）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．12．（2024高一·全国·课后作业）已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．13．（2024高一·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．（二）直线与平面平行的判定利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行线的传递性等.题型2：直线与平面平行的判定21．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，∥，，，，点在线段上，且，为线段的中点．求证：∥平面.22．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.

23．（2024高三·辽宁大连·学业考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，平面，、分别为、的中点.(1)求三棱锥的体积；(2)证明：平面.（三）直线与平面平行的性质线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.题型3：直线与平面平行的性质31．（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，为线段的中点，平面与棱相交于点.求证：.32．（2024高一·全国·随堂练习）木工小罗在处理如图所示的一块木料时，发现该木料表面内有一裂纹，已知平行于平面AC．他打算经过点M和棱将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗？

33．（2024高一·全国·课堂例题）如图，点A，B分别位于异面直线a，b上，过AB中点O的平面与a，b都平行，M，N分别是a，b上异于A，B的另外两点，MN与交于点P．求证：P是MN的中点．

34．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点．求证：.（四）平面与平面平行的判定两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行.题型4：平面与平面平行的判定41．（2024高一·全国·课后作业）如图，三条直线、、不共面，但交于一点，若，，，那么平面和平面的位置关系是．42．（2024高一下·辽宁阜新·期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：(1)E、F、D、B四点共面(2)平面平面.43．（2024高一·全国·专题练习）如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由．44．（2024高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面

(1)证明：为的中点；(2)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由.（五）平面与平面平行的性质利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条.(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出).(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上.(4)由定理得出结论.题型5：平面与平面平行的性质51．（2024高一·全国·课后作业）如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点．求证：．52．（2024高三·全国·专题练习）如图，平面ADE，．求证：．53．（2024高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：.54．（2024高三·全国·专题练习）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.点在线段上，且平面，试确定点的位置.一、单选题1．（2024高一·全国·课后作业）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（

）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直2．（2024高三上·宁夏·期中）若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（

）A． B．与相交C． D．以上三种情况都有可能3．（2024高二下·福建·学业考试）如图，四面体中，分别为的中点．则下列结论一定正确的是（

）

A． B．C．平面 D．平面4．（2024高一上·陕西渭南·期末）下列选项中，能判定平面和平面平行的是（

）A．内有无数条直线都与平行 B．内的任意一条直线都与平行C．与垂直于同一平面 D．与平行于同一直线5．（2024高一下·福建福州·期末）已知直线m，n和平面α，β，γ，下列条件中能推出的是（

）A．，， B．，C．，，， D．，6．（2024高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（

）

A．1 B．2 C． D．7．（2024高一下·辽宁锦州·阶段练习）已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（

）A． B． C． D．8．（2024高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（

）A． B． C． D．9．（2024高一下·全国·课后作业）在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（

）A．2 B．3 C．4 D．510．（2024高二下·陕西榆林·期末）设是两条直线，是两个平面，若，，则下列说法一定正确的是（

）A． B．C．是两条异面直线 D．11．（2024高三上·山东滨州·期末）平面与平面平行的充要条件是（

）A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线都与平行12．（2024高一·全国·课后作业）如图，空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形是（

）

A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形13．（2024高一下·全国·课后作业）已知，，，则（

）A． B．或C． D．或14．（2024高一上·全国·专题练习）15．（2024高一·全国·课后作业）已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定16．（2024高三上·河北衡水·期末）如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（

）A．

B．

C．

D．

17．（2024高三·全国·专题练习）已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（

）A． B． C． D．18．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）在空间中，直线平面的一个充要条件是（

）A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过19．（2024高三上·湖南湘潭·开学考试）已知直三棱柱的侧棱和底面边长均为分别是棱上的点，且，当平面时，的值为（

）A． B． C． D．20．（2024高一下·全国·课后作业）如图，四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，上，，G在上且平面平面，则（

）

A． B． C． D．二、多选题21．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为，则下列结论中一定成立的是（

）

A． B．C．平面 D．平面22．（2024高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在四面体中，截面是正方形，则下列判断正确的是（

）

A． B．平面C． D．点B，D到平面的距离不相等．23．（2024高一下·江苏盐城·期中）在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（

）

A．直线与直线AF异面 B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面是平行四边形 D．点C和点B到平面的距离相等24．（2024高三上·湖南衡阳·期末）若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（

）A．重合 B．相交于一点 C．两两平行 D．恰有两条交线平行25．（2024高三上·江西南昌·开学考试）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（

）A．

B．

C．

D．

26．（2024高一下·重庆酉阳·阶段练习）已知、是两条互相平行的直线，是一个平面．若要使得，则需添加下列哪些条件（

）A． B． C． D．三、填空题27．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，为平行四边形所在平面外一点，分别为上一点，且，当平面时，.

28．（2024高二上·上海闵行·期末）已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是.29．（2024高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，写出满足条件的一个平面：（1）与平面平行的平面为；（2）与平面平行的平面为；（3）与平面平行的平面为．30．（2024高三上·上海浦东新·期中）如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则．

31．（2024高一下·全国·单元测试）A是所在平面外一点，M是的重心，N是的中线AF上的点，并且平面BCD，当时，．

32．（2024高二上·安徽合肥·阶段练习）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，且，，，点为中点，若上存在一点使得平面，则长度为.33．（2024高一·全国·课后作业）已知，，是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③若平面，平面，则，一定是异面直线；④若，与成等角，则．其中正确的说法是（填序号）．34．（2024高一下·全国·课后作业）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是.35．（2024高二·全国·课后作业）若直线，c，d为不重合的两条直线，且，，则c与d的位置关系是．36．（2024高一·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是．37．（2024高一·全国·课后作业）如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是．（写出一种即可）38．（2024高一下·北京西城·期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件时，A1P平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)39．（2024高三上·河南·阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱上的点，，且平面，则.40．（2024高三上·湖北·阶段练习）四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为线段，上的点，，若平面，则.41．（2024高一下·湖北襄阳·阶段练习）正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，点，分别在和上，并且，平面，则线段的长为．42．（2024高二下·河南·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是上底面内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为.43．（2024高二上·北京海淀·阶段练习）在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列四个推断：

①平面；②平面；③平面；④平面平面，其中推断正确的序号是.44．（2024高二上·上海浦东新·期中）如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则.45．（2024高一下·全国·课后作业）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判断两个平面α与β平行的条件有个．46．（2024高二上·上海黄浦·阶段练习）下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是．（写出所有符合条件的序号）47．（2024高一下·全国·课后作业）已知三棱柱ABCA1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是.48．（2024高一·全国·课后作业）已知S是等边△ABC所在平面外一点，D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是．四、解答题49．（2024高三·全国·专题练习）已知四棱锥，底面为菱形，平面平面，证明：.

50．（2024高一·全国·课后作业）如图，从平面外一点，引射线、、，在它们上面分别取点、、，使得．(1)画出平面并判断两个平面的位置关系；(2)若点到平面的距离为2，求点到平面的距离．51．（2024高三上·江苏连云港·期中）如图，在几何体中，四边形是边长为3的正方形，平面与平面的交线为.(1)证明：；(2)若平面平面，H为的中点，，，，求该几何体的体积.52．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．求证：.

53．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，点是的中点，点在上，平面与平面相交于直线，∥，证明：是的中点．54．（2024高一下·全国·课后作业）已知正方体，点E为中点，直线交平面于点F．求证：点F为中点．55．（2024高一下·全国·课后作业）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.

56．（2024高二·全国·课后作业）如图，是棱长为正方体的棱上的一点，且平面，求线段的长．57．（2024高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．

(1)证明：直线平面；(2)若该四棱柱的体积为，求的长．58．（2024高一·浙江杭州·期末）如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．

59．（2024高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，E为的中点.(1)证明：平面；(2)设，，求点D到平面的距离.60．（2024高一下·福建宁德·期末）在四棱锥中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E为线段PA的中点.(1)求证：平面BDE.(2)求三棱锥的体积61．（2024高一下·内蒙古赤峰·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，，，分别是，，的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．62．（2024高一·全国·课堂例题）如图，在三棱柱中，M是的中点，平面平面，平面．求证：

(1)；(2)N为AC的中点．63．（2024高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在正方体中，E是的中点.

(1)求证：平面；(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．64．（2024高二上·天津静海·阶段练习）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，E、F分别是的中点．(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的余弦值．65．（2024高一下·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点E在线段上，平面.（1）求线段的长；（2）若平面平面，，直线与平面所成的角为，，求三棱锥的表面积.66．（2024高二上·上海·专题练习）如图，的各边对应平行于的各边，点E，F分别在边AB，AC上，且，试判断EF与的位置关系，并说明理由．67．（2024高一上·全国·专题练习）如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）求证：．68．（2024高一·全国·课后作业）如果，，那么与之间具有什么关系？69．（2