人教A版（2019）选择性必修第一册新高考名师导学第一章复习参考题

人教A版（2019）选择性必修第一册新高考名师导学第一章

复习参考题1

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，空间四边形。4BC中，OA=a，OB=b，OC=c，且。暇=2M4,BN=NC,

贝！I旃=（）

1-171-

B.-ci-\—b—c

222

1-21-

C.——a+—b+—cD.—a——br+—c

332232

【答案】A

【分析】

根据丽=丽一两，再由。暇=2M4,BN=NC,得到

0M=|0A=|a,0]V=l（0B+0C）=l^+c）,求解,

【详解】

因为丽=两-两'，

又因为两=：西=|£,两=；（赤+反，

一---►2―1-1-

=-—a+—b+—c.

故选：A

二、解答题

2.如图所示，在平行六面体ABCD-ABC。中，AB=a,AD=b,AA=c9尸是CA的

中点，M是CD'的中点，N是C77的中点，点。在CA上，且CQ:QA=4:1用基底｛部启

表示以下向量.

(1)AP-,

⑵AMi

(3)AN;

(4)AQ.

【答案】(1)AP=^(a+b+c)；(2)AM=^a+b+^c；(3)AN=^a+b+c-(4)

=La+-b+-c..

555

【分析】

各空间向量转化在三角形中利用空间向量线性运算可解.

(1)/在△44'C中运用向量线性运算可得；

(2)由在△AD'C中运用向量线性运算可得；

(3)版在4AC"中运用向量线性运算可得；

(4)恋在△A4'C中运用向量线性运算可得;

【详解】

连接AC,AD'.

试卷第2页，共21页

A'D'

(1)「是C4的中点

AP=1(AC+A4;)=1(AB+AD+A4z)=1(a+&+c)

(2)M是CO的中点

AM=1(AC+A/y)=1(AB+2A5+A47)=^fl+^+1c

(3)N是CD的中点

AN=^(AC+AD!)=^(AA+AC+AD+A^)=^AA+AB+2AD+AA)=^a+b+c(.4)

点。在。r上，且CQ：QV=4：1

AQ=AC+Ce=AC+|c4;=AC+|(A4;-AC)=|ZC+|A4;=|(AB+AD)=|a+|&+!?

【点睛】

本题考查空间向量基本定理，属于基础题

3.如图，在直三棱柱ABC-A与G中，ZABC=90°,CB=1,CA=2,4\="，M

是CG的中点.求证：AM1BA,.

C

【答案】证明见解析

【分析】

以2为原点建立如图所示空间直角坐标系，证明瓯•同=0即可.

【详解】

由题可以B为原点建立如图所示空间直角坐标系,

则3(0,0,0),A(0,6,0),M1,0,，A（o,6,屈）,

则可二（0,后厢，丽7=（1,-

4.如图，正三棱柱ABC-44G的底面边长为.，侧棱长为

（1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点A,B,A，C的坐标;

（2）求AG与侧面山珥4所成的角.

【答案】（1）答案见解析；（2）?

O

【分析】

试卷第4页，共21页

取3c的中点为。，与G的中点为a,连结。a,连结。4,以。为原点，配砺，西为x、

y,Z轴的正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.

【详解】

取BC的中点为0,取BG的中点为a,连结。a,则，面ABC.连结。4,则OALBC.

以。为原点，砺，砺，西为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，由底面边长为m

侧棱长为亚a，则

0(0,0,0),A*a,0,0,B^0,1,0j,C^0,——,0^,Aj^^-a,0,y/2a,BX^0,—^0,——,y/2a^,

所以点A,3,A，G的坐标为：A二

）12—2）'2;

（2）

由（1）知：ACj=^-—,A/2<2,AB

=,4\=（0,0,拒0）,.

设；z=（x,y,z）为面小叫A的一个法向量

,.«-A4j=0+0+y/2a-z

则"=0,即—（有）.

\n-AB=0n-AB=------a-XH—y+0=0'

［〔2J2

不妨设无=1,则1=（1,后o）.

设A5与侧面4期4所成的角为外0<64)则

所以e=g,即AG与侧面A884所成的角为］

66

5.已知空间三点40,2,3),5(-2,1,6),C(l,-1,5)

(1)求以至，AC为边的平行四边形的面积；

(2)若向量£分别与血，而垂直，且|£|=石，求a的坐标.

【答案】(1)7普；(2)2=(1,1,1)或(-1,-1,-1)

【详解】

⑴•布=(-2,-1,3),定=(1,-3,2),

l^l=vrH,l4Cl=vrH,cosZBAC=J±-d£=2,ZBAC=60°,

|H0|*|HL|2

*"-S=|丽l4C|sinZBAC=7V3.

⑵设向量Z=(x,y,z),则由7而=0,a-AC=0,\Zl=V3,得

f-2x-y+3z=0,仔=1,(x=-1,

x-3y+2z=0,My=i或y=-L

x2+y2+z2=3,\z=l(z=-L

£=(1,1,1)或Gl,-1,-1).

【点睛】

本题主要考查向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示以及向量夹交余弦公式的应用,

属于中档题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：(1)两

向量平行；(2)两向量垂直.

6.设空间两个单位向量砺=(利”,0),砺=(0,〃,°)与向量反=(1,1,1)的夹角都等于7,

求cosZAOB的值.

【答案】cosZAOB=2+^cosZAOB=2~^.

44

【分析】

根据已知可得花•丽=1云川西1<05?=6*心孝=半=〃7+",次2=毋+“2=1，

再根据cos/AC2=0AoL=*,即可求得答案.

由此可以求出外

\OA\-\OB\

试卷第6页，共21页

【详解】

因为两个单位向量04=(九％0),赤=(0,w,p)与向量无=(1,1,1)的夹角都等于

:.ZAOC=ZBOC=~,\OC\=y/3,

4

|两二|砺|=1,

:.OCOA=\OC\\OA\cos-

4

A/2V6

=A/3x1X---=---

22

,.eOC-OA=m+n，

OA=m2+[2=],

22+6

m=--------

m+n=----口44

2解得〈或,

2-73

m2+n2=1n2

44

,/OAOB=n2

丽•砺

cosZAOB二n2

\OA\-\OB\

cosZAOB=或cosZAOB=

44

7.正三棱柱ABC-AAG的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点.在直线CG上

求一点M使

【答案】满足CN=；

O

【分析】

以A为原点建立空间直角坐标系，设N(0,l,f),魄力2,通过丽.鬲=0求解.

【详解】

如图，以A为原点建立空间直角坐标系,

£；,O1,A(O,O,O)，41/

则M

I44J(22J

设N(0,1J),砌2,

—正！

贝lj；,2

MN=一不彳,AB]2,

・.,MN1AB1,

:.MNAB.=--x^-+-x-+2t=0,解得♦=

42428

故可得满足CN=：即可.

o

8.如图，在棱长为1的正方体A3CD-a4GR中，E,F,G分别是BD,8月的

（2）求与CG所成角的余弦值；

（3）求CE的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）巫；（3）先

152

【分析】

（1）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，证明乔.彳=0即可;

(2)求出8$夕=®＜瓯诙＞卜即可;

（3）利用空间两点间距离公式即可求出.

【详解】

如图，以。为坐标原点建立空间直角坐标系,

试卷第8页，共21页

则E（O,O，m1；,O）,C（O,l,O）,G（l,q1.

22

1

⑴丽m2

11111

则EFCF=—X—+—X+xO=O,

22222

.-.EFCF，-EFVCF-,

（2）设E尸与CG所成角为凡

叵

J可

瓯

邮

<一4

CGn一

ICGI

------X-------

22

所以取与CG所成角的余弦值为书；

⑶CE=^（0-0）2+（0-l）2+Q-0^=

9.如图所示，直三棱柱ABC—A4G中，CA=CB=19ZBCA=90°,明=2,M、N

分别是A4、AA的中点.

（I）求证：\BVCXM；

(II)求线段3N的长度;

(in)求异面直线84与CB,的夹角余弦值.

【答案】(I)证明见详解；(H)73；(III)叵

10

【分析】

(I)先由题中条件，根据线面垂直的判定定理，证明平面441AB,进而可得

4B±C.M；

(II)根据题中条件，得到⑷VLAB,再由勾股定理，即可得出结果；

(IID连接AC,取8片的中点为尸，取AC的中点为。，连接OA1,OP,MP,根据

题中条件，得到NOMP即等于异面直线84与C4所成的角或所成角的补角，再由题中

数据，解三角形，即可得出结果.

【详解】

(I)因为直三棱柱A3C-A与G中，CA=CB=1,所以GA=GBI=1；

又M是A耳的中点，所以由；

又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以平面4瓦G；

又C|Mu平面A4G，所以

因为AACA耳=A，A&U平面9为台，A4u平面AA与B,

所以平面例与2,

因为ABu平面胡用5,所以

(ID因为直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以平面ABC；

又N分别是AA的中点，44,=2,

则AN_L平面ABC,AN=1；因为AB1平面45C,所以4V_L45,

因为G4=CB=1,ZBC4=90°,所以==

因止匕BN=yjAN2+AB2=每；

(III)连接AC,取2用的中点为P,4c的中点为0,连接OM,OP,MP,

因为M是A片的中点，

试卷第10页，共21页

所以M尸〃AB,OMIICB},J.MP==^AA^+AB-=,

OM=-CB.=-dCB2+BB.2=—,

2112

所以NOMP即等于异面直线BA}与CB,所成的角或所成角的补角；

取AC中点为S,连接OS,SB,则OS//44),且OS=：A4,,

因此OSHPB且OS=PB,因此四边形OSBP为平行四边形,

所以OP=SB=y/cS2+CB-=^1+1=5,

565

0加2+〃尸2一0尸2—।--------

444底

因此，在AOMP中,cosZOMP=

20MMp~w

22

所以异面直线B4与C4的夹角余弦值为招.

【点睛】

方法点睛:

立体几何体中空间角的求法：

（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助

线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；

（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法

向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹

角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.

10.如图，在平行六面体4?CD-A3'C'D'中，底面A3。是边长为a的正方形，侧棱

A4'的长为从1.ZAAB=ZAAD=120°.

求：（1）AC的长；

（2）直线3D与AC所成角的余弦值.

___________b

［答案］（1）\AC'\=yl2a2+b2-2ab；（2）万吞石•

【分析】

（1）利用基底表示向量祠，再利用数量积求模；（2）转化为利用向量数量积求直线

夹角的余弦值.

【详解】

AC=AB+AD+AA,

所以|箱卜J（而+布+砌2

=^AB+AD+A^+2^ABAD+AB-AN+ADA^^

—J26r+/?--2ab

初=丽+而+丽，

所以|阿=，（而+前+丽J

=JB^+BC2+3^2+2（BABC+BABBt+BCBB!）

—\l2a2+b2

AC=AB+BC,\AC\=>/2a

BD!-AC=［BA+BC+BB!y^AB+BC^=~ab,

BD'AC—ab-b

cos<Biy,Ac>=

瓯国d2als及a而+2b2'

b

所以直线BD'与AC所成角的余弦值为

^cr+1b2'

11.在长方体ABCD-A#CQ中，点E,尸分别在BBl,上，且AE，,A尸，AiD.

试卷第12页，共21页

（1）求证：AC^¥ffiAEF；

（2）当AD=3,AB=4,e=5时，求平面AE歹与平面，目四所成二面角的余弦

值.

【答案】（1）证明见解析；（2）”也.

25

【分析】

（1）利用向量证明AC，A£，ACLAP即可；

（2）首先建立空间直角坐标系，算出平面24瓦？的法向量，利用第一问的结论进一步

得到平面口的法向量，最后利用法向量的夹角求出二面角的余弦值.

【详解】

（1）证明：因为而.旗=（率+配）•通=配.通=就•（通+砺）=0

所以AC1AE

因为石.通=（丽+配）.*=配./=觉.（砺+而）=0

所以ACLAF

因为=所以AC，平面AEE

（2）分别以A3、AD,A4为了轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，连接AC,

由于：AB=4,AD=3,M=5

所以丽=(一4,3,0),函=(0,0,5)

设平面。88。的法向量为”=(x,y,z),则“•£)£>]=0,n-BD-0

f5z=0-.、

所以/2八，所以可取"=3,4,0

[一4元+3y=0'7

又由于：&G，平面AEb

ULUJL

所以：AC1看作是平面尸的法向量

苑=(4,3,-5)

n-AC112&

设平面AEV和平面所成的角为。，贝ijcos6>=

25

所以平面AEF和平面D}BiBD所成的角的余弦值为皂1.

25

12.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABC。满足ABLBC,SA_L底面ABCD,

且S4=AB=3C=1,AD=0.5.

试卷第14页，共21页

s

（1）求四棱锥S-ABCD的体积；

（2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.

【答案】（1）7；（2）逅.

43

【分析】

（1）先求底面面积，再结合锥体体积公式即可求解；

（2）分别以AD、AB.AS所在直线为了轴,丁轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，前为

平面SAB的一个法向量，且BC=（1,0,0），求平面SCD的一个法向量温,根据

|cos6»|=cos<BC,n）即可求得答案.

【详解】

（1）SA_L平面A£CD,AB_LAP,BC_LAB,且5A=AB=BC=1,AD=0.5

所以四棱锥S-ABCD的体积丫=35加°.54=；*；、+1卜卜1=；；

（2）分别以皿AB.AS所在直线为x轴,y轴、z轴,建立如图空间直角坐标系，

可得:A(0,0,0),8(0,1,0),C(l,l,0),D(1,0,0),S(0,0,l),

由⑴知5cl.平面S4B,

能为平面&LB的一个法向量，且配=(1,0,0)；

设7=(x,y,z)为平面SCD的一个法向量，

则A,皮工丽，

n-DC=0,n-SD=Q,

----►11

DC=(-,l,0),5D=(-,0,-l),

，乙

—x+y=0

■<2

1'

—x-z=0

12

令z=l,则x=2,y=T,

5=(2,-1,1),

设平面SCD与平面&LB所成的二面角为仇

|cos^|=cos(BC,ri)|=-^-=^-,

•••平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为星.

3

13.如图，把正方形纸片A3。沿对角线AC折成直二面角，E,歹分别为AD,3c的

中点，。是原正方形A5C。的中心，求折纸后NEO尸的大小.

【答案】120。

【分析】

可连接3。，。。，根据正方形的对角线互相垂直有80,AC,DO±AC,而折成的为

直二面角，从而平面ABC_L平面ADC,从而可得到8O_L平面ADC,可得出。£>,OC,

08三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为龙，,，z轴，建立空间直角坐标系.然

后求出空间一些点的坐标，从而可以得出向量施，小的坐标，这样可根据向量夹角的余

弦公式求出向量施,小的夹角，从而得出/EO尸的大小.

试卷第16页，共21页

【详解】

折起后的图形如下所示，连接B。，DO,则30J_AC,DO±AC；

又平面ABC_L平面ADC,平面ASCri平面ADC=AC；

BO_L平面AT＞C；

：.OD,OC,08三直线两两垂直，分别以这三直线为X,y,Z轴，建立空间直角坐

标系

设正方形的对角线长为2,则可确定以下点坐标：

0(0,0,0),A(0,-1,0),。(1,0,0),E(1,-1,0),3(0,0,D,C(0,1,0),

-11f11

OE=0),OF=(0,-,-)；

■网＜亦加＞=OEQF=一一

一由而612，

<OE,OF>=120°；

14.在正四棱锥S-MCD中,O为顶点在底面内的射影,P为侧棱SO的中点，且SO=OD.

求直线BC与平面PAC所成的角.

【答案】30°

【分析】

如图所示，以。为原点建立空间直角坐标系O-xyz,求得平面PAC的一个法向量和直线

BC的方向向量，结合线面夹角公式即可求解.

【详解】

如图所示，以0为原点建立空间直角坐标系O-xyz.

设OD=SO=OA=OB=OC=a(a>。),

则A(a,O,O),B(0,41,0),C(-a,0,0),P(0,-^,1).

则无=(2a,0,0),=,CB=(a,a,0).

设平面PAC的法向量为〃，则〃_LAP,n_LCA,

2ax=0

即,aa,得％=0,令V=l,贝!Jz=l

-ax—y+—z=0M

Ix2

/.n=(0,1,1)，

_CB,na1

贝cos<CB,n>=>一=~尸=二—.

\CB\\n\y/2-yl2a2

.\<CB,n>=60°.

・,・直线BC与平面B4C所成的角为90。一60。=30。.

15.如图，在四面体A3CD中，E,F,G,H分别是Ab,BC,CD,ZM的中点.

A

(1)求证：E,F,G,H四点共面;

(2)求证：B。//平面E/G”；

试卷第18页，共21页

(3)设“是EG和广〃的交点，求证：对空间任意一点0,有

OM=^-(0A+0B+0C+0D^.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析

【分析】

(1)根据题意得出方=旃可证；

(2)通过证明HE/ABD可得；

(3)可得四边形EPGH为平行四边形，”为EG中点，即可证明.

【详解】

(1)•••£,F,G,X分别是AB,BC,CD,ZM的中点，

—.1—>.1—.

：.EF=-AC,HG=-AC,；.EF=HG，

又E,F,G,H四点不共线，故E,F,G,〃四点共面；

(2)：E,H分别是AB,A。的中点，

—.1—.

HE=-DB,HE//DB,:.HE//BD,

・••HEu平面EFGH,BD<z平面EFGH,■■BD!/平面EFGH-,

(3)由(1)知四边形所GH为平行四边形，为EG中点，

G分别是AB,CO的中点，

:.OM=^(OE+OG)=^^(.OA+OB)+^OC+OD)^=^OA