上海市黄浦区金陵中学2025届高一下数学期末质量检测试题含解析

上海市黄浦区金陵中学2025届高一下数学期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知实数满足，则的最大值为（）A．8 B．2 C．4 D．62．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．3．给出下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③若直线满足，则；④若直线，是异面直线，则与，都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．三棱锥中，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（）A． B． C． D．5．已知向量满足：，，，则（）A． B． C． D．6．化简的结果是()A． B．C． D．7．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1208．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A．8岁 B．11岁 C．20岁 D．35岁9．某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（）A．420人 B．480人 C．840人 D．960人10．已知等差数列的前n项和为，则A．140 B．70 C．154 D．77二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知是边长为的等边三角形，为边上（含端点）的动点，则的取值范围是_______.12．直线与圆交于两点，若为等边三角形，则______．13．在数列中，若，（），则________14．已知直线l与圆C：交于A，B两点，，则满足条件的一条直线l的方程为______.15．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．16．三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.18．已知函数.(1)求的最小正周期和最大值；(2)求在上的单调区间19．设是一个公比为q的等比数列，且，，成等差数列.（1）求q；（2）若数列前4项的和，令（），求数列的前n项和.20．(1)已知，且为第三象限角，求的值(2)已知，计算的值.21．已知数列的前项和为，且满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，数列的前项和为，求证：.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

设点，根据条件知点均在单位圆上，由向量数量积或斜率知识，可发现，对目标式子进行变形，发现其几何意义为两点到直线的距离之和有关.【详解】设，，均在圆上，且，设的中点为，则点到原点的距离为，点在圆上，设到直线的距离分别为，，，.【点睛】利用数形结合思想，发现代数式的几何意义，即构造系数，才能看出目标式子的几何意义为两点到直线距离之和的倍.2、D【解析】

取AB中点F,SC中点E，设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为，由，在四边形中，设，外接球半径为，则则可求，表面积可求【详解】取AB中点F,SC中点E,连接SF,CF,因为则为二面角的平面角，即又设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为则面，由在四边形中，设，外接球半径为，则则三棱锥的外接球的表面积为故选D【点睛】本题考查二面角，三棱锥的外接球，考查空间想象能力，考查正弦定理及运算求解能力，是中档题3、B【解析】

利用空间直线的位置关系逐一分析判断得解.【详解】①为假命题.可举反例，如a，b，c三条直线两两垂直；②平行于同一条直线的两条直线平行,是真命题；③若直线满足，则，是真命题；④是假命题，如图甲所示，c，d与异面直线，交于四个点，此时c，d异面，一定不会平行；当点B在直线上运动（其余三点不动），会出现点A与点B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面且相交.故答案为B【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4、B【解析】是线段上一动点，连接，∵互相垂直，∴就是直线与平面所成角，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大．此时，，在直角△中，．三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为，∴三棱锥的外接球的半径为，∴三棱锥的外接球的表面积为．选B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．5、D【解析】

首先根据题中条件求出与的数量积，然后求解即可.【详解】由题有，即，，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的模，属于基础题.6、D【解析】

确定角的象限，结合三角恒等式，然后确定的符号，即可得到正确选项．【详解】因为为第二象限角，所以，故选D.【点睛】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型．7、B【解析】试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴对应的学生人数是600×0.8=480考点：频率分布直方图8、B【解析】

九个儿子的年龄成等差数列，公差为1．【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为1．记最小的儿子年龄为a1，则S9=9故选B．【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．9、C【解析】

先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.【详解】由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C【点睛】本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.10、D【解析】

利用等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，即可求出结果.【详解】等差数列的前n项和为，.故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

取的中点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设点的坐标为，其中，利用数量积的坐标运算将转化为有关的一次函数的值域问题，可得出的取值范围.【详解】如下图所示：取的中点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则点、、，设点，其中，，，，因此，的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围，可以利用基底向量法以及坐标法求解，在建系时应充分利用对称性来建系，另外就是注意将动点所在的直线变为坐标轴，可简化运算，考查运算求解能力，属于中等题.12、或【解析】

根据题意可得圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式列方程解出即可.【详解】圆，即，圆的圆心为，半径为，∵直线与圆交于两点且为等边三角形，∴，故圆心到直线的距离为，即，解得或，故答案为或.【点睛】本题主要考查了直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．13、【解析】

由题意，得到数列表示首项为1，公差为2的等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解.【详解】由题意，数列中，满足，（），即（），所以数列表示首项为1，公差为2的等差数列，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列的定义和通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的定义，合理利用数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、（答案不唯一）【解析】

确定圆心到直线的距离，即可求直线的方程.【详解】由题意得圆心坐标，半径，，∴圆心到直线的距离为，∴满足条件的一条直线的方程为.故答案为：（答案不唯一）.【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题.15、【解析】以A,B,C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC交出三个扇形,当P落在其内时符合要求,∴P==.16、【解析】

由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为，所以，考点：几何体的体积.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

分析：（1）由，利用正弦定理可得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得；从而可得结果；（2）由余弦定理可得可得，所以.详解：(1)∵∴∴（2）∵∴∴点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18、（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为；（2）f(x)在上单调递增；在上单调递减．【解析】

（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得的最小正周期和最大值．（2）根据，利用正弦函数的单调性，即可求得在上的单调区间．【详解】解：（1）函数，即故函数的周期为，最大值为．（2）当时，，故当时，即时，为增函数；当时，即时，为减函数；即函数在上单调递增；在上单调递减．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．19、（1），（2）或【解析】

（1）根据，，成等差数列，得到，解得答案.（2）讨论和两种情况，利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）因为是一个公比为q的等比数列，所以.因为，，成等差数列，所以即.解得，.（2）①若，又它的前4和，得，解得所以，因为，（），∴，，∴，∴②若，又它的前4和，即，因为，（），所以.【点睛】本题考查了等比数列的计算，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.20、（1）；（2）【解析】

（1）由，结合为第三象限角，即可得解；（2）由，代入求解即可.【详解】（1）,∴,又∵是第三象限.∴（2）.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题.21、（1）见证明