九年级数学下《二次函数应用拓展》教案设计

九年级数学下《二次函数应用拓展》教案设计

一、教案背景

1、面向学生：国中学口小学

2、学科：数学

3、课时：1课时

4、学情：学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数

及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上

启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。

二、教材分析

课时目标：

1.使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y=ax?的关系式。

2.使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

3.让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。

重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y=ax?、y=ax2

+bx+c的关系式是教学的重点。

难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。

三、教学过程

（一）情景导入：看一下图片上房顶的形状

百度图片：

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l&word=%C5断）7%CE%EF%CF%DF%D0%CD%20*CE%DD%B6%A5%20%CD%BC版6%

AC&in=16830&cl=2&lm=T&st=&pn=6&rn=l&di=70266962910&ln=1738

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（设计意图）：增加学生的感性认识

如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线A0B）的薄壳屋顶。它的拱高AB为

4m,拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？

分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式,

然后根据这个关系式进行计算，照样画图。

1、如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点0的y轴的垂线为x轴，建立直角坐

标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设

它的函数关系式为：y=ax2（a＜。）（1）

因为y轴垂直平分AB,并交AB于点C,所以CB=2（m）,又C0=0.8m,所以点B的坐

标为（2,—0.8）o

因为点B在抛物线上，将它的坐标代入（1）,得一0.8=aX22所以a=—0.2

因此，所求函数关系式是y=—0.2x2。

问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立

直角坐标系？你能求出其函数关系式吗？

分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为（0,0）,B点坐标为（4,0）,0C所

在直线为抛物线的对称轴，所以有AC=CB,AC=2m,0点坐标为（2；0.8）□即把问题转化

为：已知抛物线过（0,0）、（4,0）；（2,0.8）三点，求这个二次函数的关系式。

二次函数的一般形式是丫=a*2+6乂+心求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函

数的关系式一样，关键是确定a,b,c,已知三点在抛物线上，所以它们的坐标必须适合所

求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。

解：设所求的二次函数关系式为y=ax?+bx+c。

因为0C所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC=CB,AC=2m,拱高0C=0.8m,

所以0点坐标为（2,0.8）,A点坐标为（0,0）,B点坐标为（4,0）。

由已知，函数的图象过（0,0）,可得c=0,又由于其图象过（2,0.8）>（4,0）,

'0.8=4a+2b

可得到方程组t0=16a+4b。解这个方程组，得a=-0.2,8=0.8。所以，所求的二次函数的关

系式为y=-0,2X2+0.8XO

（目的）让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线

为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。

问题2：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系的方式能使解决问

题来得更简便？为什么？

（第一种建立直角坐标系的方式能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待

定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易）

二、引申拓展

百度图片：运动员跳水实际图片

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%D4%Bl%CC%F8%CB%AE&in=16558&cl=2&lm=-l&st=-l&pn=93&rn=l&di=87344887845&ln=1978&f

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02.htni&W550&H413&T8482&S52&TPjpg

某跳水运动员进行10米台跳水的训练时（将运动员看成一点），在空中的运动路线如图所

示，为坐标系中经过原点0的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）在跳某个规定动作

2

时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面1丐米，入水处距池边的距离为4米，同时,

运动员在距水面高度小于5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就

会出现失误。

（1）求这条抛物线的解析式。

（2）在某次试跳时，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空

3-

中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为5米，则此次跳水会不会失误，通过计算说明理

由。

分析：要求抛物线的解析式，应找出三个独立条件，图像过原点0（0,0）,定点的坐标

I31

为3,经过点（2,-10）,要判断此次跳水会不会失误，就要看距池边的水平距离为5米

时，距水面的高度是否小于5米，若小于5米，则会出现失误，若不小于5米，一般不会失

误。

解：（1）在给定的坐标系中，

入水对应的点的坐标为（2,-10）,

22

抛物线顶点的纵坐标为1丐一10=3,

设所求抛物线的解析式为『="2+M+c(a<0)

f-[25

-10=4a+2ba=

a=-£3~~6

4ac-b?2解溥b--210

4a3'3

c=0c=0c=0

士。

抛物线对称轴在y轴的右侧，•••2a,即a,b异号。

或=-"8=旦

a<0,/.b>0,/.6,3

y=-巴2+%

抛物线的解析式为y63

31X=3^-2=§

（2）当运动员距池边的水平距离为5米时，55

y_（_25产210816

65353

—一、10--=—<5

此时运动员距水面的距禺为33

此次跳水会出现失误。

（三）练习巩固：

［中考链接］

（2003年辽宁）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏

损到盈利的过程，如图所示的二次函数图像刻画了该公司年初以来累计利润x（万元）与销

售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）。

根据提示的信息，解答下列问题。

（1）由已知图像上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系

式。

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元

（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

分析：（1）在图像上选择三点（1,-1.5）,（2,-2）,（5,2.5）,代入5=#+比+,

中，求出a,b,c的值，（2）将s=30代入解析式中，求出t的值，（3）将t=7和t=8

代入解析式中，分别求出s的值。

解：（1）设s与t之间的函数关系式为5=。尸+比+,

a+b+c=-1.5

4a+2b+c=-2

由题意得:25a+5b+c=2.5

£

a

2

-2

c0

解得：I

2f

出把5=30代入户/-"中，得3°=广2f

解得与=10也=-6（舍）

・•.截止到10月末公司累积利润可达到30万元。

⑶把t=7代入，得S=%2-2X7=?=10.5

把t=8代入，W5=ix82-2x8=16

16-10.5=5.5,.•.第8个月公司所获利润是5.5万元。

小结：图像是数与形的联系纽带，本题若选取（0,0）,（2,-2）,（4,0）三点代

入5=盘2+%+。中，将更为简捷。

（四）小结提高

（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃

销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如数据:

销售价X（元/千・・・2222・・・

克）5432

销售量y（千克）…200250300350•・・

0000

（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x,y）所对应的点.连接各点并观察

所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；

（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函