2025年中考数学专题52 一次函数背景下的将军饮马问题（解析版）

模型介绍模型介绍方法点拨一、求线段之和的最小值1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.例题精讲例题精讲【例1】．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（3，）．解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y＝﹣x+4，∴x＝3时，y＝，∴点E坐标（3，），故答案为：（3，）．变式训练【变1-1】．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A．（1，） B．（，） C．（，） D．（，）解：如图，连接AC交OB于K，作KH⊥OA于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥OB，A、C关于对角线OB对称，∴PC＝PA，∴PC+PD＝PA+PD，∴当D、P、A共线时，PC+PD的值最小，在Rt△OAK中，∵OK＝2，OA＝5，∴AK＝＝，∵KH⊥OA，∴KH＝＝2，OH＝＝4，∴K（4，2），∴直线OK的解析式为y＝x，直线AD的解析式为y＝﹣x+1，由，解得，∴OB与AD的交点P′（，），∴当点P与P′重合时，CP+DP最短时，点P的坐标为（，），、故选：D．【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为（，0）．解：点A向右平移2个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，∵PQ＝2，DE＝CE＝2，AE＝，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，设CQ＝x，则NQ＝6﹣2﹣x＝4﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝4﹣x，∴，解得：x＝，∴BP＝6﹣2﹣＝，故点P的坐标为：（，0）．故答案为：（，0）．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），点B坐标为（4，1），点C在x轴上，点D在y轴上，则以A、B、C、D为顶点的四边形的周长的最小值是+．解：如图，作点A关于y轴的对称点A′，点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′交x轴于C，交y轴于D，连接AD，CD，BC，AB，四边形ABCD的周长最小．由作图可知：AD＝DA′，BC＝CB′，A′（﹣1，3），B′（4，﹣1）∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝AB+B′C+CD+DA′＝AB+A′B′＝+＝+，故答案为+．变式训练【变2-1】．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA上的动点，则△CDE的周长的最小值是（）A．4 B．10 C．4 D．12解：作点C关于y轴的对称点C'，作点C关于y＝﹣x+7的对称点C''，连接C'C''，则△CDE的周长的最小值为C'C''的长；∵C（1，0），∴C'（﹣1，0），设C''（m，n），则有＝﹣+7，＝1，∴m＝7，n＝6，∴C''（7，6），∴C'C''＝10；故选：B．【变2-2】．如图，正比例函数的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P（，0），使PA+PB最小．解：设A点的坐标为（a，b），则，∴ab＝k，∵，∴∴k＝2，∴反比例函数的解析式为．根据题意画出图形，如图所示：联立得，解得，∴A为（2，1），设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，﹣1）．令直线BC的解析式为y＝mx+n∵B为（1，2），将B和C的坐标代入得：，解得：∴BC的解析式为y＝﹣3x+5，当y＝0时，，∴P点为（，0）．故答案为：（，0）．1．如图，一次函数y＝x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C（﹣2，0）是x轴上一点，点E，F分别为直线y＝x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（）A．E（﹣，），F（0，2） B．E（﹣2，2），F（0，2） C．E（﹣，），F（0，） D．E（﹣2，2），F（0，）解：作C（﹣2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y＝x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，如图：∴DE＝CE，CF＝GF，∴CE+CF+EF＝DE+GF+EF＝DG，此时△CEF周长最小，由y＝x+4得A（﹣4，0），B（0，4），∴OA＝OB，△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∵C、D关于AB对称，∴∠DAB＝∠BAC＝45°，∴∠DAC＝90°，∵C（﹣2，0），∴AC＝OA﹣OC＝2＝AD，∴D（﹣4，2），由D（﹣4，2），G（2，0）可得直线DG解析式为y＝﹣x+，在y＝﹣x+中，令x＝0得y＝，∴F（0，），由得，∴E（﹣，），∴E的坐标为（﹣，），F的坐标为（0，），故选：C．2．如图所示，直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是OB的中点，D，E分别是直线AB和y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是2．解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，∵直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，∴A（0，4），B（﹣4，0），C（﹣2，0），∴BO＝4，OG＝2，BG＝6，OA＝OB，∴∠ABC＝45°，∴△BCF是等腰直角三角形，∴BF＝BC＝2，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DF+DE+EG＝FG，此时△DEC周长最小，∵Rt△BFG中，FG＝＝2，∴△CDE周长的最小值是2．故答案为：2．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段AB上，PC⊥x轴于点C，则△PCO周长的最小值为3+3．解：设点P（m，m+3），则PC＝m+3，OC＝﹣m，△PCO周长＝OP+OC+PC＝OP+m+3﹣m＝3+PO，即△PCO周长取得最小值时，只需要OP最小即可，故点O作OD⊥AP，当点D、P重合时，OP（OD）最小，△AOB为等腰直角三角形，则BOD也为等腰三角形，设：OD＝a，则DO＝BD＝a，由勾股定理得：2a2＝（3）2，解得：a＝3＝OD＝OP，故△PCO周长的最小值＝3+PO＝3+3，故答案为：3+3．4．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是10．解：如图，点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″，∵直线AB的解析式为y＝﹣x+7，∴直线CC″的解析式为y＝x﹣1，由解得，∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，3），∵K是CC″中点，∴可得C″（7，6）．连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，△DEC的周长＝DE+EC+CD＝EC′+ED+DC″＝C′C″＝＝10．故答案为10．5．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为P（，）．解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解得，，∴P（，），故答案为：（，）．6．如图，平面直角坐标系中，直线y＝x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．动点P为CD上一点，PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关于点A的对称点，当BP+PH+HQ值最小时，点P的坐标为（﹣4，4）．解：BP+PH+HQ有最小值，理由是：∵直线y＝x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，∴OB＝8，OA＝6，OC＝4，连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图，∵四边形PHCB是平行四边形，∴PB＝CH，∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+4，∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，∴只需CH+HQ最小即可，∵两点之间线段最短，∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，∵点Q是点B关于点A的对称点，∴OA是△BQM的中位线，∴QM＝2OA＝12，OM＝OB＝8，∴Q（﹣12，﹣8），设直线CQ的关系式为：y＝kx+b，将C（0，4）和Q（﹣12，﹣8）分别代入上式得：，解得：，∴直线CQ的关系式为：y＝x+4，令y＝0得：x＝﹣4，∴H（﹣4，0），∵PH∥y轴，∴P（﹣4，4），故答案为：（﹣4，4）．7．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；（2）在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短．解：（1）如图,△A′B′C′即为所求．（2）如图，点P即为所求．8．如图，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣2，﹣2），C（3，0），点P在线段AC上移动．当点P坐标为（1，m）时，请在y轴上找点Q，使△PQC周长最小．解：∵A（0，4），C（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4；∵点P在线段AC上移动，点P坐标为（1，m），∴m＝﹣×1+4＝，∴P（1，），作P点关于y轴的对称点P′，连接P′C交y轴于Q，此时PQ+QC＝P′C，根据两点之间线段最短，Q就是使△PQC周长最小的点；则P′（﹣1，），设直线P′C的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线P′C的解析式为y＝﹣x+2，∴Q点的坐标为（0，2）．9．如图，直线l1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）在x轴上求作一点M，使BM+CM的和最小，直接写出M的坐标．解：（1）∵直线l1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，当y＝0时，x＝1，∴D（1，0）．（2）设直线l2的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴y＝x﹣．（3）如图，由，解得，∴C（，﹣），作点C关于x轴的对称点C′（，），∴直线BC′的解析式为y＝﹣x+，∴M（，0）．10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+10与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线y＝x交于点A，点M是y轴上的一个动点，设M（0，m）．（1）若MA+MB的值最小，求m的值；（2）若直线AM将△ACO分割成两个等腰三角形，请求出m的值，并说明理由．解：（1）直线y＝﹣2x+10与x轴交于点B，与y轴交于点C，∴B（5，0），C（0，10），解得，∴A（4，2），∴A点关于y轴的对称点A′（﹣4，2），如图1，连接A′B，交y轴的交点为M，此时MA＝MA′，MA+MB＝MA′+MB＝A′B，MA+MB的值最小，设直线A′B的解析式为y＝kx+b，把A′（﹣4，2），B（5，0）代入得，解得k＝﹣，b＝，∴直线A′B的解析式为y＝﹣x+，把M（0，m）代入得，m＝；（2）如图2，∵A（4，2），B（5，0），C（0，10），∴OA2＝42+22＝20，AC2＝（4﹣0）2+（2﹣10）2＝80，OC2＝102＝100，∴OA2+AC2＝OC2，∴△OAC是以OC为斜边的直角三角形，若M点是OC的中点，则AM＝OC，此时直线AM将△ACO分割成两个等腰三角形，∴M（0，5），∴m＝5．11．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．（1）求AB的长；（2）求△ABC的周长的最小值；（3）若D（3，4），连接AD、CD，是否存在点C，使得△ACD的面积与6？若存在，求出点C，若不存在，说明理由．解：（1）作AD⊥OB于D，如图1所示：则∠ADB＝90°，OD＝1，AD＝4，OB＝3，∴BD＝3﹣1＝2，∴AB＝＝2．（2）如图2中，要使△ABC的周长最小，AB一定，则AC+BC最小，作A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点C，点C即为使AC+BC最小的点，作A′E⊥x轴于E．由对称的性质得：AC＝A′C，则AC+BC＝A′B，A′E＝4，OE＝1，∴BE＝4，由勾股定理得：A′B＝＝4，∴△ABC的周长的最小值为2+4．（3）存在．如图3中，设C（m，0）．由题意：×2×|m﹣4|＝6，解得m＝10或﹣2，∴满足条件的点C的坐标为（0，10）或（0，﹣2）．12．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，使∠BAC＝90°．（1）分别求点A、C的坐标；（2）在x轴上求一点P，使它到B、C两点的距离之和最小．解：（1）作CD⊥x轴，∵∠OAB+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，在△ABO和△CAD中，，∴△ABO≌△CAD（AAS）∴AD＝OB，CD＝OA，∵y＝﹣x+2与x轴、y轴交于点A、B，∴A（3，0），B（0，2），∴点C坐标为（5，3）；（2）作C点关于x轴对称点E，连接BE，则E点坐标为（5，﹣3），将（0，2）（5，﹣3），代入y＝ax+c中，，解得：∴直线BE解析式为y＝﹣x+2，设点P坐标为（x，0），则（x，0）位于直线BE上，∴点P坐标为（2，0）．13．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，2）．（1）求该一次函数的表达式．（2）O为坐标原点，D为AB的中点，OC＝1，点P为y轴上的动点，求PC+PD的最小值，并求出此时点P的坐标（用两种不同的方法求解）．解：（1）设一次函数表达式为y＝kx+b，将A（4，0）B（0，2）代入得，解得：，所以一次函数表达式为y＝﹣x+2；（2）法1：过点D作DE⊥OA，交OA于点E，∵A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，又∵D为AB中点，DE∥OB，∴DE为△BOA的中位线，∴DE＝OB＝1，OE＝OA＝2，∴D（2，1），作点D关于y轴的对称点D′，连接D′C交y轴于点P′，即为所求，∴D′（﹣2，1），∵∠D′＝∠P′CO，∠D′HP′＝∠P′OC，∴△D′HP′∽△P′OC，∴＝＝2，∴OP′＝，∴P′坐标为（0，），最小值为＝；法2：求点D′的坐标部分同方法一，也可用中点坐标公式直接可得，设直线CD′的表达式为y＝mx+n，把D′（﹣2，1），C（1，0）代入得：，解得：，∴y＝﹣x+，当x＝0时，y＝，则P′（0，），最小值为＝．14．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（1，﹣3）．求：（1）求一次函数的表达式；（2）求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积；（3）请在x轴上找到一点P，使得PA+PB最小，并求出P的坐标．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，把A（﹣1，﹣1）B（1，﹣3）代入得：﹣k+b＝﹣1，k+b＝﹣3，解得：k＝﹣1，b＝﹣2，∴一次函数表达式为：y＝﹣x﹣2；（2）设直线与x轴交于C，与y轴交于D，把y＝0代入y＝﹣x﹣2，解得x＝﹣2，∴OC＝2，把x＝0代入y＝﹣x﹣2，解得：y＝﹣2，∴OD＝2，∴S△COD＝×OC×OD＝×2×2＝2；（3）作A与A1关于x轴对称，连接A1B交x轴于P，则P即为所求，由对称知：A1（﹣1，1），设直线A1B解析式为y＝ax+c，得﹣a+c＝1，a+c＝﹣3，解得：a＝﹣2，c＝﹣1，∴y＝﹣2x﹣1，令y＝0得﹣2x﹣1＝0，解得：x＝﹣，∴P（﹣，0）．15．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，且A（2，0）、B（3，3），BC交y轴于M，（1）求点C的坐标；（2）连接AM，求△AMB的面积；（3）在x轴上有一动点P，当PB+PM的值最小时，求此时P的坐标．解：（1）如图1，作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAD+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ACD，在△CDA和△AEB中，，∴△CDA≌△AEB（AAS），∴CD＝AE，AD＝BE，∵A（2，0）、B（3，3），∴OA＝2，OE＝BE＝3，∴CD＝AE＝1，OD＝AD﹣OA＝1，∴C的坐标是（﹣1，1）；（2）如图2，作BE⊥x轴于E，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵B点的坐标为（3，3），C点的坐标是（﹣1，1），∴，解得，，∴直线BC的解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝，∴OM＝，∴△AMB的面积＝梯形MOEB的面积﹣△AOM的面积﹣△AEB的面积＝×（+3）×3﹣×2×﹣×1×3＝；（3）如图3，作M关于x轴的对称点M′（0，﹣），连接BM'，交x轴于点P，此时PB+PM的值最小，设直线BM′的解析式为y＝mx+n，则，解得，，∴直线BM′的解析式为y＝x﹣，点P在x轴上，当y＝0时，x＝1，∴点P的坐标为（1，0）．16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连接CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；（3）如图2，连接OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：，∴，把x＝3代入，得y＝4，∴