2025年中考数学专题50 12345专题（解析版）

模型介绍模型介绍初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。而在直角二角形中，345的三角形比含有30°的直角二角形的1：：2以及含有45°的直角三角形的1：1：更加特殊更加重要。因为345不仅仅是自己特殊，更是可以在变化中隐藏更加特殊的变化(1：2：及1：3：)，综合性非常大，深受压轴题的喜爱。现在带领大家领略一下，345的独特魅力`【引入】如图，在3×3的网格中标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2＝ 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，BD＝3，DC＝2，AD的长为 . 第2题 第3题A（0,6）B（3,0）在X轴上有一点P，若∠PAB=45°，则P点坐标为.【“123”+“45”的来源】 此外，还可以得到

例题精讲例题精讲【例1】．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（）°（点A，B，P是网格交点）．A．30 B．45 C．60 D．75解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故选：B．变式训练【变式1-1】．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF的长为（）A．2 B．3 C． D．解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝3，CB＝6，∴BE＝＝＝3，∴AE＝3，设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，∴EF＝＝，∴（9﹣x）2＝9+x2，∴x＝4，即AF＝4，∴GF＝5，∴DF＝2，∴CF＝＝＝2，故选：A．【变式1-2】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝．（1）求CD的长；（2）求sinα的值．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，∴tanB＝．设AC＝3x，则BC＝4x．∵BC2+AC2＝AB2，∴（3x）2+（4x）2＝52．∴x＝1．∴AC＝3，BC＝4．∴CD＝BC﹣BD＝4﹣1＝3．（2）如图，过点B作BE⊥AD于点E．∴∠BED＝90°．∴∠BED＝∠ACD．∵∠BDE与∠CDA是对顶角，∴∠BDE＝∠CDA．∴△BDE∽△ADC．∴．在Rt△ACD中，∠C＝90°，∴AD＝．∴．∴BE＝．∴∠BED＝90°，∴sinα＝．【例2】．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为2．解：法一：由题意可得，△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，即BE＝2，法二：设BE＝x，连接GF，如下图所示，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABE＝∠GCF＝90°，∵△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴∠GAF＝90°，GA＝FA，∴△GAF为等腰直角三角形，∵∠EAF＝45°，∴AE垂直平分GF，∴∠AEB+∠CGF＝90°，∵在Rt△AEB中，∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CGF，∴△BAE∽△CGF，∴，∵CF＝CD﹣DF＝6﹣3＝3，GC＝BC+BG＝BC+DF＝6+3＝9，∴，∴x＝2，即BE＝2，故答案为：2．变式训练【变式2-1】．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是．解：取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，连接AG，∵点M，点N是AD，BC的中点，∴AM＝MD＝BN＝NC＝4，∵AD∥BC，∴四边形ABNM是平行四边形，∵AB＝AM＝4，∴四边形ABNM是菱形，∵∠BAD＝90°，∴四边形ABNM是正方形，∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°，∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH，∴△ABG≌△AMH（SAS），∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH，∵∠EAF＝45°，∴∠MAH+∠BAE＝45°，∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°，又∵AG＝AH，AE＝AE∴△AEG≌△AEH（SAS）∴EH＝GE，∴EH＝2+MH，在Rt△HEN中，EH2＝NH2+NE2，∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4，∴MH＝∵MN∥CD，∴△AGM∽△AFD，∴∴DF＝×＝，故答案为：．【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m（m≠0）分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（3，0）．点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝45°，则m的值是18．解：作OD＝OC＝3，连接CD．则∠PDC＝45°，如图，由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝45°．当m＜0时，∠APC＞∠OBA＝45°，所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．∴m＞0．∵∠CPA＝∠ABO＝45°，∴∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°，即∠OPC＝∠BAP，∴△PCD∽△APB，∴，即，解得m＝18．故答案是：18．1．如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（）A．3 B． C．5 D．解：∵矩形ABCD，∴∠BAD＝90°，由折叠可得△BEF≌△BEA，∴EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，在Rt△ABD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，根据勾股定理得：BD＝10，即FD＝10﹣6＝4，设EF＝AE＝x，则有ED＝8﹣x，根据勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，则DE＝8﹣3＝5，故选：C．2．如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（）A．2 B．2.5 C．3.5 D．4解：如图，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝AB＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠得，AF＝AB，GF＝BG＝BC＝3，∠AFG＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFE＝180°﹣∠AFG＝90°，∴∠AFE＝∠D，∵AE＝AE，∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），∴DE＝FE，设DE＝EF＝x，则CE＝6﹣x，EG＝EF+FG＝x+3，在Rt△CGE中，由勾股定理得，EG2﹣CE2＝CG2，∴（x+3）2﹣（6﹣x）2＝32，∴x＝2，∴DE＝2，故选：A．3．如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A．2 B． C． D．3解：如图，延长EH交CF于点P，过点P作MN⊥CD于N，∵将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，∴BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，在△CPH和△CPN中，，∴△CPH≌△CPN（AAS），∴NP＝PH，CH＝CN＝4，∵∠B＝∠BCD＝90°，MN⊥CD，∴四边形BCNM是矩形，又∵CN＝CB＝4，∴四边形BCNM是正方形，∴MN＝BM＝4，∴EM＝2，∵EP2＝EM2+PM2，∴（2+NP）2＝4+（4﹣NP）2，∴NP＝，∵tan∠DCF＝，∴，∴DF＝2，故选：A．4．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（）A． B． C． D．1解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，∴四边形BHFK是正方形，∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，∴∠DEA＝∠EFH，∵∠A＝∠EHF＝90°，∴△DAE∽△EHF，∴，∵正方形ABCD的边长为3，BE＝2AE，∴AE＝1，BE＝2，设FH＝a，则BH＝a，∴，解得a＝1；∵FK⊥CB，DC⊥CB，∴△DCN∽△FKN，∴，∵BC＝3，BK＝1，∴CK＝2，设CN＝b，则NK＝2﹣b，∴，解得b＝，即CN＝，∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，∴△ADE∽△BEM，∴，∴，解得BM＝，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3﹣﹣＝，故选：B．5．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB的值为．解：过点B作BD⊥AO，垂足为D，由题意得：AB＝2，OB＝＝2，AO＝＝2，∵△ABO的面积＝AO•BD＝×2×2，∴BD＝，在Rt△BOD中，sin∠AOB＝＝＝，故答案为：．6．如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点．将△ABC折叠，使A点与点D重合．若EF为折痕，则sin∠BED的值为，的值为．解：设Rt△ABC的直角边AC＝a，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∵△DEF是△AEF沿EF折叠而成，∴∠A＝∠FDE＝∠B＝45°，∵∠2+∠B＝∠1+∠FDE，∠FDE＝∠B＝45°∴∠1＝∠2，∵D是BC的中点，∴CD＝，设CF＝x，则AF＝DF＝a﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得，DF2＝CF2+CD2，即（a﹣x）2＝x2+（）2，解得x＝，∴DF＝a﹣x＝a﹣＝，∴sin∠1＝＝＝，∴sin∠2＝，即sin∠BED的值为；过D作DG⊥AB，∵BD＝，∠B＝45°，∴DG＝BD•sin∠B＝×＝，∵∠2＝∠1，∠C＝∠DGE，∴△EDG∽△DFC，∴＝＝＝．故答案为：，．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点E（6，﹣2）都在反比例函数y＝的图象上，如果∠AOE＝45°，那么直线OA的表达式是y＝﹣2x．解：∵点E（6，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝6×（﹣2）＝﹣12，∴反比例函数为y＝﹣，如图，OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，∵点E（6，﹣2），∴D（﹣2，﹣6），∵∠AOE＝45°，∴∠AOD＝45°，∵OD＝OE，∴OA⊥DE，DF＝EF，∴F（2，﹣4），设直线OA的解析式为y＝mx，把F的坐标代入得，﹣4＝2m，解得m＝﹣2，∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，故答案为y＝﹣2x．8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是y＝x﹣1．解：∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，∴令x＝0，得y＝﹣1，令y＝0，则x＝，∴A（，0），B（0，﹣1），∴OA＝，OB＝1，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB＝AF，∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，∴∠ABO＝∠EAF，∴△ABO≌△FAE（AAS），∴AE＝OB＝1，EF＝OA＝，∴F（，﹣），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，∴，∴，∴直线BC的函数表达式为：y＝x﹣1，故答案为：y＝x﹣1．9．如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF＝2，则DF＝6．解：过A作AM⊥DF于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠FDC＝90°，∵∠ADF+∠MAD＝90°，∴∠FDC＝∠MAD，∵∠AMD＝∠DFC＝90°，∴△AMD≌△DFC，∴DM＝FC＝2，由折叠得：AB＝AE，BP＝PE，∵AB＝AD，∴AE＝AD，∴DM＝EM＝2，∠EAM＝∠MAD，∵P是BC的中点，∴PC＝BC＝AD＝PE，设∠MAD＝α，则∠EAM＝α，∠BAP＝∠PAE＝45°﹣α，∴∠APE＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α，∵∠EAM＝∠DAM，∠BAP＝∠PAE，∴∠PAE+∠EAM＝∠BAD＝45°，过P作PH⊥AM于H，过E作EG⊥PH于G，∴△PAH是等腰直角三角形，∴∠APH＝45°，∴∠HPE＝α＝∠MAD，∵∠PGE＝∠AMD＝90°，∴△PGE∽△AMD，∴＝＝＝，∴＝＝，∴GE＝1，AM＝2PG，设PG＝x，则AM＝2x，∴AH＝2x﹣1，∵AH＝PH，∴2x﹣1＝2+x，x＝3，∴PG＝3，AM＝6，∵△DAM≌△CDF，∴DF＝AM＝6．10．如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为（﹣1，﹣6）．解法一：如图所示，过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，根据点A（2，3）和点B（0，2），可得直线AB的解析式为y＝x+2，由A（2，3），可得OF＝1，当x＝﹣1时，y＝﹣+2＝，即P（﹣1，），∴PF＝，将△AGP绕点A逆时针旋转90°得△AEH，则△ADP≌△ADH，∴PD＝HD，PG＝EH＝，设DE＝x，则DH＝DP＝x+，FD＝1+2﹣x＝3﹣x，Rt△PDF中，PF2+DF2＝PD2，即（）2+（3﹣x）2＝（x+）2，解得x＝1，∴OD＝2﹣1＝1，即D（1，0），根据点A（2，3）和点D（1，0），可得直线AD的解析式为y＝3x﹣3，解方程组，可得或，∴C（﹣1，﹣6），故答案为：（﹣1，﹣6）．解法二：如图，过A作AD⊥y轴于D，将AB绕着点B顺时针旋转90°，得到A'B，过A'作A'H⊥y轴于H，由AB＝BA'，∠ADB＝∠BHA'＝90°，∠BAD＝∠A'BH，可得△ABD≌△BA'H，∴BH＝AD＝2，又∵OB＝2，∴点H与点O重合，点A'在x轴上，∴A'（1，0），又∵等腰Rt△ABA'中，∠BAA'＝45°，而∠BAC＝45°，∴点A'在AC上，由A（2，3），A'（1，0），可得直线AC的解析式为y＝3x﹣3，解方程组，可得或，∴C（﹣1，﹣6），故答案为：（﹣1，﹣6）．解法三：如图，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，则△ABF为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB，设BD＝a，则EF＝a，∵点A（2，3）和点B（0，2），∴DF＝2﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，∵AE+OD＝3，∴2﹣a+2﹣a＝3，解得a＝，∴F（，），设直线AF的解析式为y＝k'x+b，则，解得，∴y＝3x﹣3，解方程组，可得或，∴C（﹣1，﹣6），故答案为：（﹣1，﹣6）．11．如图，已知正方形ABCD的边长为，对角线AC、BD交于点O，点E在BC上，且CE＝2BE，过B点作BF⊥AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为．解：如图，作OG⊥OF交AE于G，∴OA＝OB，∠FOG＝90°，∵AC，BD是正方形的对角线，∴∠AOB＝90°，∴∠AOG＝∠BOF，∵BF⊥AE，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∵∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE∴∠OBF＝∠ABF﹣∠ABD＝90°﹣∠BAE﹣∠ABD＝90°﹣∠BAC+∠CAE﹣∠ABD＝∠CAE，在△AOG和△BOF中，∴△AOG≌△BOF，∴OG＝OF，∴△OFG是等腰直角三角形，∵CE＝2BE，BC＝，∴BE＝，根据勾股定理得，AE＝，∵∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠ABF＝∠AEB，∵∠AFB＝∠ABE，∴△ABF∽△AEB，∴，∴，∴BF＝1，AF＝3，∴AG＝BF＝1，∴GF＝AF﹣BF＝2，∴OF＝．故答案为．12．如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，求tan∠ABM．解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，∵∠ABM+∠MBT＝90°，∠OTB+∠MBT＝90°，∴∠ABM＝∠OTB，∴△BAM∽△TOB，∴＝，∴MB2＝2AM•BT①令DN＝1，CT＝MD＝k，则：AM＝2﹣k，BM＝，BT＝2+k，代入①中得：4+（2﹣k）2＝2（2﹣k）（2+k），解方程得：k1＝0（舍去），k2＝．∴AM＝2﹣＝．∴tan∠ABM＝＝．13．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．（1）求证：△ABF≌△EDF；（2）若AB＝6，BC＝8，求AF的长，（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，由折叠得：DE＝CD，∠C＝∠E＝90°，∴AB＝DE，∠A＝∠E＝90°∵∠AFB＝∠EFD，∴△ABF≌△EDF（AAS）（2）解：∵△ABF≌△EDF，∴BF＝DF，…4分设AF＝x，则BF＝DF＝8﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF2＝AB2+AF2，即（8﹣x）2＝x2+62x＝，即AF＝14．如图，二次函数y＝﹣x+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由；（3）设点D为直线AC上方抛物线上一点（与A、C不重合），连BD、AD，且BD交AC于点E，△ABE的面积记作S1，△ADE的面积记作S2，求的最小值．解：（1）令x＝0，得y＝2，令y＝0，得﹣x2﹣，∴x1＝﹣4，x2＝，∴A（﹣4，0），B（），C（0，2），设直线AC的解析式为y＝kx+2，则0＝﹣4k+2，∴k＝，∴直线AC的解析式为y＝x+2；（2）∠CAB＝2∠CBA，理由如下：作点B关于y轴的对称点B′，连接CB′，∴CB＝CB′，∴∠CBA＝∠CB′O，∵A（﹣4，0），B（），C（0，2），∴B′（﹣），∴AB′＝，CB′＝＝，∴AB′＝CB′，∴∠CAB＝∠ACB′，∵∠CB′O＝∠CAB+∠ACB′＝2∠CAB，∴∠CAB＝2∠CBA；（3）过点D作DM⊥x轴交AC于点M，过点B作BN⊥x轴交AC于点N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴，∴，设点D的横坐标为a，∴D（a，﹣），∴M（a，a+2），∵B（），∴N（），∴DM＝﹣a2﹣﹣（a+2）＝﹣a，BN＝，∴＝，当a＝﹣2时，﹣（a+2）2+4取得最大值，最大值为4，此时，有最小值，最小值为．15．下面图片是八年级教科书中的一道题．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：AG＝CE；（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．（1）解：∵点E为BC的中点，∴BE＝CE，∵点G为AB的中点，∴BG＝AG，∴AG＝CE，故答案为：AG＝CE；（2）证明：取AG＝EC，连接EG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AG＝CE，∴BG＝BE，∴△BGE是等腰直角三角形，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△GAE≌△CEF（ASA），∴AE＝EF；（3）解：k＝时，四边形PECF是平行四边形，如图，由（2）知，△GAE≌△CEF，∴CF＝EG，设BC＝x，则BE＝kx，∴GE＝kx，EC＝（1﹣k）x，∵EP⊥AC，∴△PEC是等腰直角三角形，∴∠PEC＝45°，∴∠PEC+∠ECF＝180°，∴PE∥CF，∴PE＝（1﹣k）x，当PE＝CF时，四边形PECF是平行四边形，∴（1﹣k）x＝kx，解得k＝．16．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA＝∠E时，求点Q的坐标．解：（1）把x＝﹣1，y＝0代入y＝x2﹣2x+c得：1+2+c＝0∴c＝﹣3∴y＝x2﹣2x﹣3＝y＝（x﹣1）2﹣4∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）如图1，连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，由x2﹣2x﹣3＝0得x＝﹣1或x＝3∴B（3，0）当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3∴C（0，﹣3）∴OB＝OC＝3∵∠BOC＝90°，∴∠OCB＝45°，BC＝3又∵DF＝CF＝1，∠CFD＝90°，∴∠FCD＝45°，CD＝，∴∠BCD＝180°﹣∠OCB﹣∠FCD＝90°．∴∠BCD＝∠COA又∵∴△DCB∽△AOC，∴∠CBD＝∠OCA又∵∠ACB＝∠CBD+∠E＝∠OCA+∠OCB∴∠E＝∠OCB＝45°，（3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点∵∠PMA＝45°，∴∠EMH＝45°，∴∠MHE＝90°，∴∠PHB＝90°，∴∠DBG+∠OPN＝90°又∴∠ONP+∠OPN＝90°，∴∠DBG＝∠ONP∴∠DGB＝∠PON＝90°，∴△DGB∽△PON∴＝，即：＝∴ON＝2，∴N（0，﹣2）设直线PQ的解析式为y＝kx+b则解得：∴y＝﹣x﹣2设Q（m，n）且n＜0，∴n＝﹣m﹣2又∵Q（m，n）在y＝x2﹣2x﹣3上，∴n＝m2﹣2m﹣3∴﹣m﹣2＝m2﹣2m﹣3解得：m＝2或m＝﹣∴n＝﹣3或n＝﹣∴点Q的坐标为（2，﹣3）或（﹣，﹣）．17．已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交⊙O于点E，连接BE，BE交AC于点D．（1）如图1，求证：∠CDE+∠BAC＝135°；（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交⊙O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：OG∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN＝，求AG的长．（1）证明：如图1，过点O作OP⊥BC，交⊙O于点P，连接AP交BE于Q，∴＝，∴∠BAP＝∠CAP，∵点N为AC的中点，∴＝，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠QAB+∠QBA＝×90°＝45°，∴∠AQB＝∠EQP＝135°，△AQD中，∠EQP＝∠CAP+∠ADQ＝135°，∴∠CDE+∠BAC＝135°；（2）证明：在△DGO和△DBO中，，∴△DGO≌△DBO（SSS），∴∠ABD＝∠DGO，∵DG⊥BE，∴∠GDB＝90°，∴∠ADG+∠BDC＝90°，∵∠BDC+∠CBE＝90°，∴∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，∴OG∥AD；（3）解：如图3，过点G作GK⊥AC于K，延长GO交BC于点H，由（2）知：OG∥AC，∴GH∥AC，∴∠OHB＝∠C＝90°，∴OH⊥BC，∴BH＝CH，∵∠K＝∠C＝∠OHC＝90°，∴四边形GHCK是矩形，∴CH＝GK，设GK＝y，则BC＝2y，ON＝GK＝y，由（2）知：∠ADG＝∠DBC，在△GKD和△DCB中，，∴△GKD≌△DCB（AAS），∴GK＝DC＝y，∵OE∥BC，∴∠E＝∠DBC，∴tan∠DBC＝tanE，∴，即＝，∴EN＝，∴AN＝CN＝y+，ON＝y，由勾股定理得：AO2＝ON2+AN2，∴（y+）2＝y2+（y+）2，解得：y1＝﹣（舍），y2＝，∴AG＝＝＝2．18．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2﹣2ax+c中，，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，当时，y＝4，∴D（1，4）；（2）如图1，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，∴x＝﹣1，或x＝3，∴B（3，0）．设BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点C（0，3），B（3，0）代入，得，解得，∴y＝﹣x+3．∵EF⊥CB．设直线EF的解析式为y＝x+b，设点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），将点E坐标代入y＝x+b中，得b＝﹣m2+m+3，∴y＝x﹣m2+m+3，联立得．∴．∴．把x＝m代入y＝﹣x+3，得y＝﹣m+3，∴G（m，﹣m+3）．∵BG＝CF．∴BG2＝CF2，即．解得m＝2或m＝﹣3．∵点E是BC上方抛物线上的点，∴m＝﹣3，（舍去）．∴点E（2，3），F（1，2），G（2，1），，，∴；（3）如图2，过点A作AN⊥HB于N，∵点D（1，4），B（3，0），∴yDB＝﹣2x+6．∵点A（﹣1，0），点C（0，3），∴yAC＝3x+3，联立得，∴，∴．设，把（﹣1，0）代入，得b＝，∴，联立得，∴，∴，∴＝，，∴AN＝HN．∴∠H＝45°．设点P（n，﹣n2+2n+3）．过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS＝PR，∴∠RSP＝45°且点S的坐标为（﹣n2+3n+3，0）．若∠OPB＝∠AHB＝45°在△OPS和△OPB中，∠POS＝∠POB，∠OSP＝∠OPB，∴△OPS∽△OBP．∴．∴OP2＝OB•OS．∴n2+（n+1）2（n﹣3）2＝3•（﹣n2+3n+3）．∴n＝0或或n＝3（舍去）．∴P1（0，3），，．19．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一个动点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折得到△FBE．（1）如图1，若点F落在对角线BD上，则线段DE与AE的数量关系是DE＝AE；（2）若点F落在线段CD的垂直平分线上，在图2中用直尺和圆规作出△FBE（不写作法，保留作图痕迹）．连接DF，则∠EDF＝75°；（3）如图3，连接CF，DF，若∠CFD＝90°，求AE的长．解：（1）DE＝AE，理由如下：在正方形ABCD中，∠ADB＝45°，∠A＝90°，由折叠