2025年中考数学专题48 梯子最值与斜边中点专题（解析版）

【模型】梯子最值问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动的最值模型.【结论】线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ，QC，当O，Q，C三点共线时，OC取得最大值【简证】如图在Rt△AOB中，点Q是中点，∴OQ=AB.在Rt△ABC中，由勾股定理得CQ=.若OC要取得最大值，则O，Q，C三点共线，即OC=OQ+QC，即OC=AB+【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁例题精讲例题精讲【例1】．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC的最大值为4+2．解：取AB的中点E，连接OE，CE，∴AE＝4，在Rt△ACE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵∠AOB＝90°，点E为AB的中点，∴OE＝AB＝4，∵OC≤OE+CE，∴当点O、E、C共线时，OC最大值为4+2，故答案为：4+2．

变式训练【变式1-1】．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为（）A． B．2 C． D．解：如图，取AD的中点H，连接CH，OH，∵矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∵点H是AD的中点，∴AH＝DH＝2，∴＝＝，∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点，∴，在△OCH中，CO＜OH+CH，当点H在OC上时，CO＝OH+CH，∴CO的最大值为，故选：A．【变式1-2】．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为_______解：作CH⊥AB于H，连接OH，如图，∵AC＝BC＝13，∴AH＝BH＝AB＝5，在Rt△BCH中，CH＝＝＝12，∵H为AB的中点，∴OH＝AB＝5，∵OC≥CH﹣OH（当点C、O、H共线时取等号），∴OC的最小值为12﹣5＝7．

【例2】．如图，点A、B分别在y轴和x轴正半轴上滑动，且保持线段AB＝4，点D坐标为（4，3），点A关于点D的对称点为点C，连接BC，则BC的最小值为6．解：如图所示，取AB的中点E，连接OE，DE，OD，由题可得，D是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，∵点D坐标为（4，3），∴OD＝＝5，∵Rt△ABO中，OE＝AB＝×4＝2，∴当O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD﹣OE＝3，∴BC的最小值等于6，故答案为：6．

变式训练【变式2-1】．如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上的两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ＝4，点Q从点O出发沿OB方向运动过程中，动点C运动形成的路径长是π．解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，当Q点与O点重合时，PQ的中点C在OP的中点处，当P点与O点重合时，PQ的中点C在OQ的中点处，∵PQ＝4，∴C点运动轨迹是以O为圆心，2为半径的圆上，∴动点C运动形成的路径长＝π×4＝π，∴动点C运动形成的路径长是π，故答案为π．【变式2-2】．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，D为AC的中点，过点D作DE⊥DF，DE，DF分别交AB，BC于点E，F，求EF的最小值．解：∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴EF2＝DE2+DF2，∴当DE与DF的值最小时，EF长度的值最小，即当DF′⊥BC，DE′⊥AB时，线段E′F′值最小，如图，过D作DE′⊥AB于E′，DF′⊥BC于F′，则四边形DF′BE′是矩形，∴E′F′＝BD，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∵D是斜边AC的中点，∴BD＝AC＝2.5．∴E′F′＝BD＝2.5．∴EF的最小值为2.5．1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）A． B． C．2 D．解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，∵∠MON＝90°，∴OE＝AE＝AB＝×2＝1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE＝＝＝2，由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，此时，OD＝OE+DE＝1+2＝3，过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE＝＝，即＝，解得DF＝，∵OD＝3，∴点F是OD的中点，∴AF垂直平分OD，∴OA＝AD＝．故选：B．2．如图，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．∠BAC＝90°，D，E为AB，AC边上的两个动点，且DE＝6，F为DE中点，则BF+CF的最小值为（）A．2 B． C． D．解：如图，连接AF，在AB上截取AG＝1.5，连接FG，CG，∵∠BAC＝90°，F为DE中点，∴AF＝DE＝3，∴点F在以点A为圆心，AF为半径的圆上，∵＝，∠GAF＝∠BAF，∴△AGF∽△AFB，∴，∴GF＝BF，∴BF+CF＝GF+CF，∴当点G，点F，点C共线时，最小值为GC的长，∵CG＝＝＝，∴BF+CF的最小值为，故选：D．3．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为3和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（）A．2﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3解：连接BE，DE，由勾股定理得：BD＝＝，在Rt△MBN中，点E是MN的中点，∴BE＝MN＝2，∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为：﹣2，故选：C．4．如图，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，△ABC的面积是4，那△ACD的面积是．解：∵△ABC的面积为4，且BC＝3，∴ABC的高为，∵AD∥BC，且AD＝2．∴四边形ABCD是梯形，∴四边形ABCD的面积为：××（2+3）＝∴ACD的面积为：﹣4＝．故答案为：．5．如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动，若CD＝5，BC＝24，运动过程中，点D到点O的最大距离为25．解：如图，取BC的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵CD＝5，BC＝24，∴OE＝EC＝BC＝12，DE＝＝＝13，∴OD的最大值为：12+13＝25．故答案为：25．6．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为．解：如图所示：取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，在Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝8，点OE为斜边中线，∴OE＝B1E＝A1B1＝4，又∵B1C1＝BC＝4，∴C1E＝＝4，∴点C到原点的最大距离为：OE+C1E＝4+4．故答案为：4+4．7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，点M，N分别为边AB，BC上的点，且MN＝2．点D，E分别是BC，MN的中点，点P为斜边AC上任意一点，则PE+PD的最小值为2﹣1．解：如图，作点D关于AC的对称点D′，连接CD′，BD′，BD′交AC于点P′，DD′交AC于点F，则PD＝PD′，∵∠MBN＝90°，MN＝2，E是MN的中点，连接BE，∴BE＝MN＝1，即点E在以B为圆心，半径为1的圆位于△ABC的内部的弧上运动，∵PE+PD＝PE+PD′＝BE+PE+PD′﹣1，∴当B、E、P、D′四点在同一条直线上时，BE+PE+PD′＝BD′最小，即PE+PD＝BD′﹣1最小，∵D是BC的中点，∴CD＝BC＝2，∵点D、D′关于AC对称，∴AC垂直平分DD′，∴CD′＝CD＝2，∠D′CF＝∠DCF＝∠CDD′＝∠CD′D＝45°，∴∠DCD′＝90°，∴BD′＝＝＝2，∴PE+PD的最小值为2﹣1．故答案为：2﹣1．

8．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝6，E为AB中点（1）若CD＝2，求△CDE的周长和面积．（2）若∠CBD＝15°，求△CED的面积．解：（1）过E作EH⊥CD，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝6，E为AB中点∴CE＝3，ED＝3，CD＝2，∴EH＝，△CDE的周长＝2+3+3＝8，∴△CDE的面积＝，（2）∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝6，E为AB中点∴CE＝3，ED＝3，设∠CEA＝2x，∠DEA＝2（x+15）＝2x+30，∴∠CED＝30°∴△CDE的面积＝．9．如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的底端B向外滑出0.8米，那么木棍的顶端A沿墙下滑多少距离？（2）木棍在滑动的过程中，请判断A、O、B、P四点的所有连线中，哪些线段的长度不变，并简述理由．（3）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．解：（1）在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BO＝0.7m，则AO＝＝2.4m，∵DO＝OB+BD，∴OD＝1.5m，∵直角三角形CDO中，AB＝CD，且CD为斜边，∴OC＝＝2m，∴AC＝OA﹣OC＝2.4m﹣2m＝0.4m；∴木棍的顶端A沿墙下滑0.4m．（2）AB、AP、BP、OP均不变．理由：因为P为AB中点，所以AB、AP、BP不变；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变；（3）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时面积最大．如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP，故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大，此时，S△AOB＝AB⋅h＝×2.5×1.25＝1.5625（）．所以△AOB的最大面积为（1.5625）m2．10．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB＝12cm（1）若OB＝6cm．①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值＝12cm．解：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在Rt△AOB中，AB＝12，∠BAO＝30°，∴OB＝6，∴BC＝6，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，又∵∠CBA＝60°，∴∠CBD＝60°，∠BCD＝30°，∴BD＝3，CD＝3，所以点C的坐标为（﹣3，9）；②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO＝12×cos∠BAO＝12×cos30°＝6．∴A'O＝6﹣x，B'O＝6+x，A'B'＝AB＝12在△A'OB'中，由勾股定理得，（6﹣x）2+（6+x）2＝122，解得：x＝6（﹣1），∴滑动的距离为6（﹣1）；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：则OE＝﹣x，OD＝y，∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠DCB+∠BCE＝90°，∴∠ACE＝∠DCB，又∵∠AEC＝∠BDC＝90°，∴△ACE∽△BCD，∴，即，∴y＝﹣x，OC2＝x2+y2＝x2+（﹣x）2＝4x2，∴取AB中点E，连接CE，OE，则CE与OE之和大于或等于CO，当且仅当C，E，O三点共线时取等号，此时CO＝CE+OE＝6+6＝12，故答案为：12．第二问方法二：因∠ACB与∠AOB和为180度，所以∠CAO与∠CBO和为180度，故A，O，B，C四点共圆，且AB为圆的直径，故弦CO的最大值为12．11．如图，一个梯子AB斜靠在一面墙上，梯子底端为A，梯子的顶端B距地面的垂直距离为BC的长．（1）若梯子的长度是10m，梯子的顶端B距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端A向外滑动多少米？（2）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a＞b，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况？若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由．解：（1）由题意知：AB＝10m，BC＝8m，由勾股定理得：AC＝（m），当梯子的顶端下滑1m时，如图，∴CB'＝7m，由勾股定理得A'C＝（m），∴AA'＝A'C﹣AC＝（﹣6）m，∴梯子的底端A向外滑动（﹣6）m；（2）存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，设梯子底端向外滑动x米，则（a﹣x）2+（b