2022-2023学年北京市海淀八年级（下）期中数学试卷

2022.2023学年北京市海淀外国语实验学校八年级（下）期中数

学试卷

一、单选题（每题3分，共24分）

1.（3分）下列根式是最简二次根式的（）

A.-V3B.在

C.Vo?5D.V8

2.（3分）若△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,下列不能判定△ABC为直角三角形的是

（）

A.a=32,/?=42,c=52B.a：b：c=5：12：13

C.（c+b）（c-b）=JD.NA+NB=NC

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.V9=±3B.7（-5）2=-5C.VZ64=-4D.3V2-V2=3

4.（3分）如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25

和169,则字母8所代表的正方形的面积是（）

5.（3分）如图，已知四边形A8C£>,对角线AC和8。相交于。，下面选项不能得出四边

形A8CO是平行四边形的是（）

A.AB//CD,且AB=COB.AB=CD,AD=BC

C.AO=CO,BO=DOD.AB〃C。，且AO=BC

6.（3分）如图，数轴上点A表示的实数是（）

A.V5-1B.V5+1C.V3+1D.V3-1

7.（3分）如图所示的圆柱形杯子的内直径为6c〃?，内部高度为小颖把一根直吸管放

入杯中，要使吸管不斜滑到杯里，则吸管的长度（整厘米数）最短是（）

A.9cmR.10cm0.11cmD.12cm

8.（3分）如图，ZXABC中，AB=8cm,4C=6cm，点E是BC的中点，若4。平分NB4C,

CD±AD,线段。E的长为（）

A.IcmB.2cmC.3cmD.4cm

二、填空题（每题3分，共24分）

9.（3分）若式子丑乱在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

10.（3分）已知点P的坐标是（-3,4）,则点P到原点。的距离是.

11.（3分）在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度

数分别是.

12.（3分）如图，平行四边形4EC。中，对角线AC、8。相交于点0,过点O的直线分别

交4ZX8C于点E、兄若平行四边形ABCO的面积为6,则图中阴影部分的面积是.

13.(3分)最简二次根式后彳与爽是同类二次根式，则。的值是.

14.13分)在平面直角坐标系中，已知点4(4,0),B(0,0),C(1,2),则以A,B,C

为顶点的平行四边形A8C。的第四个顶点。的坐标为.

15.(3分)如图，在。ABCD中，AB=5,AO=7,AE.。/分别平分NBA。、ZADC,则

破长为

16.(3分)如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=Scm,现将△ABC折

叠，使点5与点A重合，折痕为则CO的长为.

17.(8分)计算：

(1)473-712-718；

(2)(2-V3)2+(3W6)(3-V6)-

18.(6分)已知△ABC中，ZC=90°,AB=c,BC=a,AC=b.

(1)如果〃=7,b=24,求c：

(2)如果a=12,c=13,求儿

19.(4分)图①、图②均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形

的边长为I,点A,点3均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在

格点上.

(1)在图①中，以点4，B,C为顶点画一个等腰三角形.

(2)在图②中，以点A,B,D,E为顶点画一个面积为6的平行四边形.

*B

图①图②

20.（6分）已知：'ABC.

求作：直线40,使得AO〃BC.

作法：如图.

①分别以点A、点。为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、点N；

2

②作直线MN交AC于点E；

③以点E为圆心，8E长为半径画弧，交射线BE于点。；

④作直线人力.

所以直线AD就是所求作的直线.

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接cn

'：AE=.BE=.

・•・四边形ABCD是平行四边形.（）（填推理的依据）.

：.AD//BC（）（填推理的依据）.

21.（5分）如图，在四边形ABC。中，ZB=90°,AB=2,BC=®CD=5,AO=4,

求S园边形ABC。•

BA

C

D

22.（5分）已知，如图，在四边形A8CO中，AD//BC,点E,产为对角线AC上两点，且

AF=CE,DF//BE.求证：四边形4BCD为平行四边形.

23.（5分）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成

证明.

己知：如图，ZXABC中，D、E分别是A8、AC的中点.求证：DE//BC,且£>E=2BC.

2

方法一方法二

证明：如图，延长OE至点尸，使EF=DE,连接证明：如图，过点A作过点

CF.D作直线MN//AC交直线AM于M,

交3C于M

24.（6分）在等边△ABC中，D,E,尸分别是边48,BC,CA上的动点，满足。七=£：巴

且NDE尸=60°.作点E关于AC的对称点G,连接CG,DG.

（1）当点。，E,尸在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG

是平行四边形:

（2）当AOV8。，A8=&OE时，求NBOE的度数.

25.(7分)阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点4(xi,0)、B(X2,0)的距

离记作AB=\x\-X2|,如果A(xi>y\)>B(4，y2)是平面上任意两点，我们可以通过

构造直角三角形来求AB间的距离.如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线AMi、4M

和BM2、BN2,垂足分别是Mi、Ni、M2、Nz直线AM交8M2于点Q,在RlZXABQ中，

AQ=M-X2|,BQ=\y\-y2\,：-AB2=AQ2+BQ2=\XI-%2|2+|yi-(xi-xi)2+(ji-

(1)由此得到平面直角坐标系内任意两点A(xi,V)、B(X2,)2)间的距离公式为：

AB=.

(2)直接应用平面内两点间距离公式计算点A(1,・2),B(-2,2)之间的距离

为,利用上面公式解决下列问题：

(3)在平面直角坐标系中的两点4(-1,3),B(4,1),P为“轴上任一点，求见+PB

的最小值;

(4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式4x2+(y.2)2+J(x-3)2+(y-l)28J

最小值（直接写出答案）.

四、第二部分

26.（3分）我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明

了勾股定理.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正

方形.若图中的直角三角形的两条直角边分别是2和4,则中间小E方形的面积占大正方

形面积的.

27.（3分）使用手机支付宝付款时，常常需要用到密码.嘉淇学完二次根式后，突发奇想,

决定用“一次根式法”来产生密码.如,对于一次根式J朝，计算结果为13,中间加

一个大写字母X,就得到一个六位密码“169X13”.按照这种产生密码的方法，则利用二

次根式正无产生的六位密码是.

28.（6分）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务.

斐波那契（约1170・1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称

为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）.后来人们在研究它的过程中，

发现了许多意想不到的结果.在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）

的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也

有广泛的应用.

斐波那契数列中的第〃个数可以用二［（上走）”-（上区），表示（其中，”21）,

2

这是用无理数表示有理数的一个范例.

任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.

29.（8分）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形

拼成正方形,通过证明可得中间也是一个正方形.其中四个直角三角形直角边长分别为4、

b,斜边长为c.图中大正方形的面积可表示为（a+b）2,也可表示为C2+4XL。，即（a+b）

2=C2+4X工b,所以c^+tr=c2.

2

【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直

角三角形拼成一个直角梯形8COE,其中△BCAg/XAOE,NC=/O=90°,根据拼图

证明勾股定理.

【定理应用】在中，NC=90°,NA、NB、NC所对的边长分别为a、b、

求证：a2c>2+a2/?2=c4-b4.

2022・2023学年北京市海淀外国语实验学校八年级（下）期中数

学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（每题3分，共24分）

1.（3分）下列根式是最简二次根式的（）

A.-V3B.GC.Vo75D.V8

【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母.即

为最简二次根式，由此即可求解.

【解答】解：A选项：是最简二次根式，故该选项符合题意；

8选项：4考■，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；

C选项：疝亏=4=哼，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；

。选项：返二啦,不是最简二次根式，故该选项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键.

2.（3分）若△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,下列不能判定△ABC为直角三角形的是

（）

A.4=32,Z?=42,c=52B.a：b：c=5：12：13

C.（c+b）（c-b）=&D.NA+NB=NC

【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项3、C、。是否符合题意，根据三角形内角

和，可以判断选项5是否符合题意，本题得以解决.

【解答】解：«=32,b=42,c=52,则。2+扶工。2,故选项A符合题意；

2

当a：b：c=5：12：13时，设a=5x,b=12x,c=13x,则°2+庐=（5X）2+（[2x）=

J,故选项6不符合题意；

由（c+b）（c-b）整理得：。2+属=/,故选项c不符合题意；

由NA+N8=NC,可知NC=90°,故选项。不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答

本题的关键.

3.13分）下列计算正确的是（）

A.V9=±3B.1（_5）2=_5c.D.3V2-V2=3

【分析】根据算术平方根、立方根的定义和性质以及二次根式的加减法则逐项判断即得

答案.

【解答】解：卉±3,故本选项计算错误，不符合题意；

B、［（.5）2=5卉-5,故本选项计算错误，不符合题意；

c>^y_04=-4,故本选项计算正确，符合题意；

。、啦手&故本选项计算错误，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了算术平方根、立方根以及二次根式的加减等知识，属于基础题目，

熟练掌握上述基本知识是解题的关键.

4.（3分）如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25

和169,则字母8所代表的正方形的面积是（）

【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母8所代表的E方形的面积等于其它

两个正方形的面积差.

【解答】解：由勾股定理得：字母8所代表的正方形的面积=169-25=144.

故选：A.

【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟记：以直角三角形的两条直角边为边

长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积.

5.（3分）如图，已知四边形4BC。，对角线AC和BO相交于0,下面选项不能得出四边

形48C。是平行四边形的是（）

A

BC

A.AB//CD,KAB=CDB.AB=CD,AD=BC

C.AO=CO,BO=DOD.AB//CD,且4O=BC

【分析】根据平行四边形的判定逐个进行判断即可.

【解答】解：A、能推出四边形A8CO是平行四边形，故本选项错误；

B、能推出四边形48co是平行四边形，故本选项错误；

。、能推出四边形A8CO是平行四边形，故本选项错误；

D、不能推出四边形ABC。是平行四边形，故本选项正确；

故选：D.

【点评】本题考查了平行四边形的判定的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题

的关键，难度适中.

6.（3分）如图，数轴上点A表示的实数是（）

A.V5-IB.V5+1C.V3+ID.V3-1

【分析】先根据勾股定理求出斜边，再根据向右就用加法求解.

【解答】解：V1+22=V5

所以点A表示的数为：-1+V5，

故选：A.

【点评】本题考查了实数与数轴，掌握勾股定理是解题的关键.

7.（3分）如图所示的圆柱形杯子的内直径为6cm,内部高度为9c〃?，小颖把一根直吸管放

入杯中，要使吸管不斜滑到杯里，则吸管的长度（整厘米数）最短是（)

A.9cmB.lOcwC.WcmD.\2cm

【分析】运用勾股定理解题即可.

【解答】解：吸管长度为，62+92;/田〈11，

所以吸管的最短整数是Ilan,

故选：C.

【点评】本题考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键.

8.（3分）如图.八人/?。中,AR=^cm,点8是AC的中点，若A。平分/凡4c

CDA.AD,线段DE的长为（）

A.\cmB.2cmC.3cmD.4cm

【分析】延长CO交AB于凡利用“角边角”证明△?17）广和△ADC全等，根据全等三

角形对应边相等可得AF=AC,CD=FD,再求出8尸并判断出DE是△BC尸的中位线，

然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE」BF.

2

【解答】解：如图，延长C。交AB于F,

：,ZCAD=ZFAD,

VCD±AD,

AZADC=ZADF=90Q,

在△AO尸和△ADC中，

2CAD=NFAD

<AD=AD，

ZADC=ZADF=90"

/.△ADF^AADC（ASA）,

：,AF=AC,CD=FD,

：.BF=AB-AE=8-6=2刖，

又•・•点E为BC的中点，

・・・OE是△BC尸的中位线，

：•DE-yBF-yX2=lcn-

乙乙

故选：4.

【点评】本题考查了二角形的中位线平行于第二边并口等干第二边的一半.全等二角形

的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键.

二、填空题（每题3分，共24分）

9.（3分）若式子G记在实数范围内有意义，则x的取值范围是工2・6.

【分析】根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解不等式即可.

【解答】解：由式子G记在实数范围内有意义可得户620,

解得：-6,

故答案为：-6.

【点评】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式有意义被开方数非负是解题关键.

10.（3分）已知点P的坐标是（-3,4）,则点P到原点O的距离是5.

【分析】直接根据勾股定理进行解答即可.

【解答】解：•・•点P的坐标为（-3,4）,

点p到原点的距离=J^7^=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方

之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

11.（3分）在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度

数分别是一120。，60°.

【分析】根据平行四边形的性质，在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，设一个

角x,由四边形的内角和定理得到方程2x+4x=360°,解得x=6Q°,则它的邻角是2%

=120°

【解答】解：设一个角羽则另一个角为2x.

•・•平行四边形

A2（x+2x）=360°,即x=60°,则2x=120°

・•・这个平行四边形中两邻角的度数分别是120°,60°.

故答案为120°,60°.

【点评】本题考查平行四边形的性质以及四边形的内角和定理.运用平行四边形对边平

行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法.

12.（3分）如图，平行四边形A3CO中，对角线AC、8。相交于点。，过点。的直线分别

交AD、BC于点、E、F,若平行四边形ABC。的面积为6,则图中阴影部分的面积是3.

【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出

结果.

【解答】解：•・•平行四边形A6c。中，对角线AC、相交于点。，

:,SMFO=S4CEO,

，阴影部分面积等于△BCD的面积，即为048co面积的一半，

；・阴影部分面积为/X6=3，

故答案为：3.

【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解

题关键.

13.（3分）最简二次根式后彳与血是同类二次根式，则a的值是2.

【分析】根据同类二次根式的定义得出3a-4=2,求出即可.

【解答】解：•・•最简二次根式痴4与血是同类二次根式，

・・・3。-4=2,

解得：a=2,

故答案为：2.

【点评】木题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出3。

・4=2是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，

那么这几个二次根式叫同类二次根式.

14.(3分)在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),B(0,0),C(1,2),则以A,B,C

为顶点的平行四边形ABC。的第四个顶点力的坐标为⑸2).

【分析】根据题意画出图形，根据平行四边形的性质将点。向右平移4个单位得到。(5,

2),即可求解.

【解答】解：•・•点A(4,0),B(0,0),C(1,2),48co是平行四边形，

，CO=BA=4,AB//CD,

将点。向右平移4个单位得到O(5,2),

如图所示，

故答案为：(5,2).

【点评】本题考查了坐标与图形性质、平行四边形的性质，数形结合是解答本题的关键.

15.(3分)如图，在口A8CD中，A4=5,A0=7,AE."尸分别平分NH4。、乙ADC,则

所长为3.

【分析】由平行四边形的性质可得人O〃BC,结合角平分线的定义可求得CD

=CF,再由线段的和差可求得ER

【解答】解:

•・•四边形ABCD为平行四边形.

J.AD//BC,AB=CD,AD=BC,

...ZDAE=ZAEB,

T4E平分NBA。，

:./BAE=/DAE,

：.ZBAE=ZAEB,

[BE=BA=5,同理。产=。。=5,

：,EF=BE+CF-BC=5+5-7=3,

故答案为：3.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，利用条件求得A8=8E=C/是解题的关键.

16.(3分)如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6c/n、BC=8cm,现将△ABC折

叠，使点B与点A重合，折痕为OE,则CD的长为1cm.

【分析】首先根据折叠的性质可得设C0=xa“则A8=BO=(8-x)cm,

根据勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：由折叠的性质得：AD=BD,

设CD=xcm,则AO=8D=(8-x)cm,

由勾股定理得：62+^=(8-x)2,

解得：X=L.

4

故答案为：1cm.

4

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，由勾

股定理得出方程是解决问题的关键.

三、解答题(共52分)

17.(8分)计算：

(1)4V3-V12V18；

(2)(2-V3)2+(3W6)(3-V6)-

【分析】(1)首先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算，即可求解；

(2)首先根据完全平方及平方差公式进行运算，再进行加减运算，即可求解.

［解答］解：(1)473W12-V18

=4V3-273-3V2

=2>/3-3V2；

(2)(2-V3)2+(3W6)(3-V6)

=4-473+3+9-6

=10-4V3.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关

键.

18.(6分)已知△ABC中，ZC=90°,AB=c,BC=a,AC=b.

(1)如果〃=7,〃=24,求c：

(2)如果a=12,c=13,求儿

【分析】(1)利用勾股定理计下。=d@2+b2；

(2)利用勾股定理计算力="c2-a2・

【解答】解：(1)在RtZXABC中，ZC=90°,

由勾股定理得：

c=7a2+b2

=V72+242

=25；

(2)在RtZXABC中，

由勾股定理得：

Z>=7c2-a2

=7132-122

=5.

【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一

定等于斜边长的平方.即：如果直角三角形的两条直角边长分别是小b,斜边长为。，

那么。2+必=淋.注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

19.（4分）图①、图②均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形

的边长为1，点4,点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在

格点上.

（1）在图①中，以点A,B,C为顶点画一个等腰三角形.

（2）在图②中，以点A,B,D,E为顶点画一个面积为6的平行四边形.

IIIII

「丁一厂丁

图②

【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可（答案不唯一）.

（2）作底为2,高为3的平行四边形即可.

【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求（答案不唯一）.

（2）如图②中，四边形七即为所求.

图②

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判

定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题.

20.（6分）已知：AABC.

求作：直线A£>,使得AO〃BC.

作法：如图.

①分别以点A、点C为圆心，大于工/C长为半径画弧，两弧相交于点M、点N；

2

②作直线MN交AC于点E；

③以点E为圆心，BE长为半径画弧，交射线8E于点O；

④作直线AD.

所以直线AD就是所求作的直线.

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接8.

*：AE=EC.BE=ED.

・・・四边形48co是平行四边形.（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（填推理

的依据）.

C.AD//BC（平行四边形的对边平行）（填推理的依据）.

【分析】（1）根据要求作出图形即可;

（2）证明四边形48co是平行四边形，可得结论.

【解答】（1）解：如图，直线A。即为所求；

•：AE=EC.BE=ED.

・•・四边形4BC。是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

：.AD//BC（平行四边形的对边平行），

故答案为：EC,ED,对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行.

【点评】本题考查作图■基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟

练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.

21.（5分）如图，在四边形ABC。中，NB=90°,AB=2,BC=^5,8=5,40=4,

求S四边形

【分析】根据勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ACO是直角三角

形，然后利用四边形A8CZ）的面积=Z\A8C的面积+ZL4CZ）的面积，进行计算即可解答.

【解答】解：如图：

A4C=VAB2+BC2=722+(V5)2=3»

VCD=5,AQ=4,

：.AC2+AD2=32+42=25,C£>2=52=25,

:.AC2+AD1=CD2,

•••△CA。是直角三角形，

：.ZCAD=90°,

:.四边形ABCD的面积=Z\4BC的面积+A4CO的面积

=2A8・8C+4AC・4。

22

=JLX2XV5+—X3X4

22

=^5+6>

:.S四边形A8C7）为J^+6.

【点评】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题

的关键.

22.(5分)已知，如图，在四边形A8CQ中，AD//BC,&E,尸为对角线4c上两点，且

AF=CE,DF//BE.求证：四力形ABC。为平行四边形.

AB

【分析】首先证明△CEB丝尸。可得AO=BC,再由条件AO〃BC可利用一组对边平

行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABC。为平行四边形.

【解答】证明：・・・4D〃BC,

：.ZDAC=ZBCA,

,CDF//BE,

:・NDFA=NBEC,

在尸£＞和△CEB中

'/DAF=NBCE

•AF=CE，

DFA=ZBEC

:、△AFD9XCEB(ASA),

：.AD=CB,

,:ADUBC,

・•・四边形ABC。为平行四边形.

DC

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形

是平行四边形.

23.（5分）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成

证明.

己知：如图，△48C中，D、E分别是48、AC的中点.求证：DE//BC,且

2

方法一方法二

证明：如图，延长OE至点凡使连接证明：如图，过点A作A例〃3C,过点

CF.D作直线MN//AC交直线AM于M,

交3c于N.

【分析】选择方法一：根据题意，先证明△AOEg/XCFE,然后证明四边形OBC/是平

行四边形，即可得出结论.

【解答】解：选择方法一，证明如下:

根据题意,如图:

延长OE到尸点，使OE=ER

•IE是AC的中点，

：.AE=EC.

在aADE与△CFE中，

rAE=CE

<NAED=NCEF，

DE=EF

AADE^ACFE(SAS).

：.AD=CF,NADE=NCFE.

：.AB//CF,

,・，D是AB的中点，

：.BD=AD,

:.BD//CF,

・•・四边形。8CT是平行四边形，

:.DF//BC,DF=BC,

:,DE〃BC,DE=^BC.

2

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上

知识是解题的关键.

24.(6分)在等边△ABC中，。，E,尸分别是边AB,BC,CA上的动点，满足OE=ER

且NOEF=60°.作点E关于AC的对称点G,连接CG,DG.

(1)当点£尸在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形O8CG

是平行四边形；

(2)当AOV8O,AB=&DE时,求NBOE的度数.

图I

【分析】(1)根据题意即可补全图形；然后证明可得CE=BD,进而可

以解决问题；

(2)根据题意证明△£)£1尸是等边三角形，可得DE=D尸，由点E,点G关于4C对称,

可得E/=G尸，/FEC=NFGC,所以。尸=G尸，进而可以解决问题.

【解答】解：(1)如图1,即为补全的图形，

BEC

证明：在等边△A8C中，NA=N4=N4C8=60°,

•・•点E,点G关于AC对称，

・・・NACG=NACB=60°,CE=CG,

・•・NA=NACG,

J.AB//CG,

即BD//CG,

VZDEF=60°,ZBED+ZCEF+ZDEF=180",

：.ZBED+ZCEF=\20<),

在△BOE中，

/BDE+NBED=180°-Z5=120°,

JNBDE=NC£尸，

在△BDE与/中，

rZDBE=ZECF

<NBDE=NCEF，

DE=EF

:•△BDE9ACEF(AAS),

:・CE=BD,

：.CG=CE=BD,

,:BD〃CG,

・•・四边形DBCG是平行四边形；

(2)•・•四边形O3CG是平行四边形，

：.BC=DG,NOGC=NB=60°,

*：BC=AB,AB=^J'2DEf

：,DG=42DE,

,:DE=EF,NOE尸=60°,

尸是等边三角形，

:・DE=DF,

•:点E,点G关于4C对称，

:.EF=GF,4FEC=ZFGC,

:・DF=GF,

：.DG=^[2DF=^2GF,

在△Z)FG中，DG2=DF2+GF2.

/.ZDFG=90°,

•:DF=GF,

；・NFDG=NFGD=45°,

・•・NCGF=ZCGD-NFGD=150,

・•・NBDE=NCEF=NCGF=15°.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的

关键是得到△BDEg△CEF.

25.(7分)阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A(xi,0)、BCn,0)的距

离记作AB=\XI-X2\,如果A(xi,yi).B(%2,*)是平面上任意两点，我们可以通过

构造直角三角形来求48间的距离.如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AM

和6M2、BN2,垂足分别是MI、M、M2、N2,直线AM交6何2于点。，在RtAABQ中，

z1122

AQ=\x\-X2\t8Q=lyi-”|,：.AB=AQ+BQ=\x\-x2^+\y\-)2|=(xi-X2)+(ji-

”)2.

-5-

备用图

（1）由此得到平面直角坐标系内任意两点A（XI,#）、B（X2,）2）间的距离公式为：

AB=—4（4-乂2）2+6]-y2卢一

（2）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1,-2）,8（・2,2）之间的距离为

5_.利用上面公式解决下列问题：

（3）在平面直角坐标系中的两点A（・1,3）,8（4,1）,P为x轴上任一点，求秒1+P8

的最小值；

（4）应用平面内两点间的距离公式，求代数式式2+（厂2）2+，（乂-3）2+（丫-1）2的

最小值（直接写出答案）.

【分析】（1）（2）直接利用两点之间距离公式直接求出即可；

（3）利用轴对称求最短路线方法得出尸点位置，进而求出必+PB的最小值；

（4）根据原式表示的几何意义是点（x,y）到点（-2,-4）和（3,1）的距离之和，

当点（x,y）在以（-2,-4）和（3,1）为端点的线段上时其距离之和最小，进而求

出即可.

22

【解答】解：（1）阅读材料，^=J（X1-x2）+（y1-y2）-

2+2,

故答案为：^（x1-x2）（y1-y2）

（2）♦・♦平面直角坐标系内任意两点A（xi,yi）,B（月，”）间的距离公式为：

《2+仇_%）2.

22=5

，A（1,-2）,B（-2,2）之间的距离为：（-2）]+（-2-2）J

故答案为：5；

（3）作点8关于x轴对称的点8,，连接A8',直线A8'于x轴的交点即为所求的点

P,RHP8的最小值就是线段4"的长度，然后根据两点间的距离公式即可得到结论.

•.•8（4,1）,

二夕（4,-1）,

VA（1,3）,

：.PA+PB=PA+PB,=ABf=7（1-4）2+（3-1）2=V13>

即为PA+PB的最小值为W百.

（4）原式=Yx2+（y-2）2+J（x-3）2+（y-l）2,

故原式表示点（-y）到（0,2）和（3,1）的距离之和.由两点之间线段最短，点（x,

y）在以（0,2）和（3,1）为端点的线段上时，原式值最小.利用公式，原式记.

yM

5-

4-

-3

-4

-5

【点评】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数

式为两点之间距离问题是解题关键.

四、第二部分

26.（3分）我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明

了勾股定理.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正

方形.若图中的直角三角形的两条直角边分别是2和4,则中间小E方形的面积占大正方

形面积的_工_

5

【分析】首先利用勾股定理求得大正方形的面积，然后利用分割法求得中间小正方形的

面积，则易得答案.

【解答】解：如图，4=2,b=4.

由勾股定理知，?=«2+/>2=22+42=20.

所以大正方形的面积为20.

所以中间小正方形的面积为：20-4X-1-X2X4=4-

所以一£=工

205

所以中间小正方形的面积占大正方形面积的工.

5

故答案为：A.

5

【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是掌握正方形的面积公式，直角

三角形的面积公式.

27.（3分）使用手机支付宝付款时，常常需要用到密码.嘉淇学完二次根式后，突发奇想,

决定用“二次根式法”来产生密码.如，对于二次根式J演，计算结果为13,中间加

一个大写字母X,就得到一个六位密码“