河南省TOP二十2024届高三年级下册5月冲刺（一） 数学 含答案

2024届高三年级TOP二十名校冲刺一

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的

指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.若复数Z满足（1+1"=T+1,贝|Z=（）

A2-iB.2+iC.iD.-i

,1

2.已知集合人={犬£49％2<9},3={_1,0,5,2,3},则中元素的个数为（）

A.9B.8C.5D.4

3.若a,beR,则是"3"—3&>2&-2"”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数与直线x+y=0相切于点A,则点A的横坐标为（）

1

A.-B.1C.2D.e

e

5.设〃=10832,/?=108336,。=1。822血,1=2°49,则（）

A.a<b=c<dB.d<c—b<a

C.a<d<b=cD.c<a<d<b

6.在,ABC中，<2-ccosB=b-ccosA,则cABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

7.如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移>（单位：cm）与时间才（单位：s）之间的函数关系式是

/

y=Kcos（0/+o）[K>O,0>O,0e[—],]]J,其中4（0,1）,5（4,1）,振幅为2,则前3秒该质点走过

A.-百cmB.6cmC.(5-石卜111D.(7-后卜111

8.已知点P在水平面a内，从P出发的三条两两垂直的线段P。,PR,PS位于a的同侧，若Q,R,S到a的

_149

距禺分别为1,2,3,则而y+菽y+万科的值为()

A.1B.72C.73D.2

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A真否有关，调查了400人，得到如图所示的2x2列联表，其中

0=12。，则()

患疾病A不患疾病A合计

过量饮酒3ab

不过量饮酒a2b

合计400

参考公式与临界值表：上加记加+9

a0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

Xa

A.任意一人不患疾病A的概率为0.9

3

B.任意一人不过量饮酒的概率为?

8

C.任意一人在不过量饮酒条件下不患疾病A的概率为一

25

D.依据小概率值a=0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关

22

10.己知椭圆F]:=+'=1（。〉人〉0）的左，右焦点分别为耳，鸟，将心上所有点的横坐标与纵坐标分别

ab

伸长到原来的左（左＞。,左W1）倍得到椭圆心，则下列说法正确的是（）

bh+t

A.若%＞0,则一＜——

aa+t

B.若r\,「2的离心率分别为G©，则c=e2

C.若的周长分别为£，。2,则02=£

k

D.若乙的四个顶点构成的四边形面积为区黄，则八的离心率为2（、回-1）

11.将圆柱aa的下底面圆a置于球。的一个水平截面内，恰好使得a与水平截面圆的圆心重合，圆柱

OQ的上底面圆°2的圆周始终与球。的内壁相接（球心。在圆柱O1Q内部）.已知球。的半径为3,

3

OOX=-.若7?为上底面圆。2的圆周上任意一点，设RO与圆柱O1Q的下底面所成的角为a,圆柱。。2

的体积为£,则（）

A.a可以取到卜弓）中的任意一个值

2771

B.V=cos2«(l+2sin«)

C.丫的值可以是任意小的正数

8171

D匕ax

三、填空题：本题共3小题；每小题5分，共15分.

12.若a=(—5,12)1=(3,4),则cos(a,b)的值为

13.如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器，已知上、下底的面积分别为4cm2和9cm2,高为3cm.现

在搜集到的雨水平面与上、下底面的距离相等，则该地的降雨量为mm,（降雨量等于集雨器中积水体

积除以集雨器口的面积）

iIACI2

14.若点A在抛物线E:/=4x上运动，点B在圆（x—1）2+丁=—上运动，C（2,0）,则——的最小值

''4|AB|

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.在直四棱柱ABC。—A4G。中，底面为矩形，AB^^3AD=^3a,AAl=h,QE分别为底面的中

心和CD的中点，连接。£，4。，4£,。民。1。.

（1）求证：平面AOE,平面CDRG；

（2）若2=迈，求平面4。石与平面D15C所成角余弦值.

a2

16.某公司拟从水平相当的普通程序员中篮选出若干高级程序员，方法如下：首轮每位普通程序员被要求设

计难度相同的甲、乙、丙、丁四种程序，假设每位普通程序员每种设计合格的概率都为:，其中四种设计全部

合格直接晋升为高级程序员；至少有两种（包括两种）“不合格”的直接被淘汰，否则被要求进行二轮设计:

在A5c三种难度不同的程序中随机抽取两种进行设计，且抽取的两种设计都合格方可晋升为高级程序

员.已知每位普通程序员设计A5C合格的概率分别为1,工,工，同一普通程序员不同的设计相互不影响.

24

（1）已知A,5c设计合格的得分分别为80,90,100,不合格得。分，若二轮设计中随机抽取到3,C的得

分为X，求X的分布列和数学期望；

（2）求每位普通程序员晋升为高级程序员的概率.

17.在平面直角坐标系中，点产、E的坐标分别为卜2立,0）,（2夜,0）,以尸为圆心作一个半径为4的圆,

点〃是圆上一动点，线段的重直平分线与直线板相交于点P.

（1）求P的轨迹「的方程；

(2)已知4(—2,0)，点。是轨迹r在第一象限内的一点，A为QA的中点，若直线OR的斜率为石,

求点。的坐标.

18.已知函数〃x)=(x+A)ln缶1)一依,让［2,+动.

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)当〃cN*时，求证：+

19.在等差数列｛。“｝中，已知。3=7,。4，。5,4。2成等差数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)数列｛2""｝是否为等比数列？若是求其前九项和，若不是，请说明理由；

(3)设1卜(0<4<口,且X/keN*月"eN*,dit—Z=4+J+Z+2,所有取值.

2024届高三年级TOP二十名校冲刺一

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的

指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.若复数Z满足（1+1"=T+1,贝|Z=（）

A.2-iB.2+iC.iD.-i

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数除法法则计算出答案.

【详解】因为（l+i）z=—1+i,所以z=*i=T±D=i.

'71+i1+i

故选：C.

2.已知集合4={%62|必<9},3={—1,0,5,2,3},则中元素的个数为（）

A.9B.8C.5D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用列举法表示出集合A,再求出并集即可得解.

【详解】依题意，解不等式V<9,得—3MxM3,A={XGZ|-3<X<3}={-3,-2,-1,0,1,2,3），

而5={—1,0,g,2,3},因此A,B={-3,-2,-l,0,l,2,3,1}）

所以AuB中元素的个数为8.

故选：B

3.若a,beR,贝是“30-3”>2)—2"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数/(4)=3*+2*,根据函数单调性得到30+2°>3"+2J故”〉儿

【详解】构造函数〃x)=3*+2"则〃%)在R上单调递增，

所以30—3&>2〃—2"03"+2“>36+2〃o/(a)>〃。)oa>Z?.

故选：C.

4.函数/(x)=lnjr—x2与直线x+y=O相切于点A,则点A的横坐标为()

1

A.-B.1C.2D.e

e

【答案】B

【解析】

【分析】设出4(%，%)，求导，直线x+y=。的斜率为-1,根据导数的几何意义得到方程，求出横坐标

详解】设函数/(%)=1!^—%2与直线工+丁=0相切于点4(%,%),

直线x+y=O的斜率为-1,

f'(x)=--2x,所以'--2%=-1,所以%=1.

故选：B.

5.设〃=108321=108336,。=1。822直,4=2()49,则()

A.a<b=c<dB.d<c—b<a

C.a<d<b=cD.c<a<d<b

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数塞与对数的运算性质，分别求得的取值范围，即可求解.

详解】由a=log32<log33=l/=log33g=|,c=log22四=|,l=2°<d<2°-5=后，

即1<〃<忘<3,所以a<d<Z?=c.

2

故选：C.

6.在二ABC中，a-ccosB=b-ccosA,则_ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】

2,r2_22,72_2

【分析】利用余弦定理将a—ccos3=3—ccosA化简为"'一',从而可求解.

ab

22_A2i22_2

【详角星】由Q-CCOS3=/?-CCOSA,得a-cx@——-----=b-cx------———,

lac2bc

当〃+〃—/=0时，即4+/?2=o2,则直角三角形;

当片十^—02wo时，得a=b,则_A5C为等腰三角形;

综上：ABC为等腰或直角三角形，故D正确.

故选：D.

7.如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移>（单位：cm）与时间，（单位：s）之间的函数关系式是

y=Kcos（o/+0）K>O,0>O,°e[—其中4（0,1）,5（4,1）,振幅为2,则前3秒该质点走过

C.(5-白卜mD.^7-^^cm

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，求得y=2cos[_|/-]J,分别令。=：、/=：和f=3,求得相应的函数值，进而求得

前3秒该质点走过的路程，得到答案.

【详解】由函数y=Kcos(a+。)的图象，可得K=2,周期为T=4，

27r71I711

可得口=一=一，所以y=2cos|uf+O|，

42U)

因为A(0,l)在函数图象上，可得2cos。=1,即cos°=g,

又因为。e[一5,')，所以夕=土§,

7T(7171)

因为£=一1时，y<0,所以9=-耳，所以〉=2851万/一§),

717r2

令一%---=hi.keZ,贝"％=2k+—,keZ,

233

2Q

故函数图像在y轴右侧第一条对称轴和第二条对称轴分别为t=-,t=~,

33

令t=(,则y=2cos['xg_]]=2；令/=|，则y=2cos〔5x|一1]=_2；

令r=3,则y=2cos[5x3-]]=-6,

所以质点在0,g],|,|1,jj]的路程分别2—1=1,2—(—2)=4,—6—(—2)=2—百，

所以前3秒该质点走过的路程为(7-班卜111.

故选：D

8.已知点P在水平面&内，从尸出发的三条两两垂直的线段P。,PR,PS位于c的同侧，若Q,R,S到a的

149

距禺分别为1,2,3,则^八2的值为()

r\JrKrd

A.1B.y/2c.73D.2

【答案】A

【解析】

【分析】以｛P。,刊?,PS｝为空间的一个基底，由此表示出平面a的单位法向量，再利用数量积的运算律求

解即得.

【详解】由P。,PR,PS两两垂直，取空间的一个基底仍。,PR,闾，

设〃是平面a的一个单位法向量，依题意，可使〃与PQ、PR、PS的夹角都是锐角,

则存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得”=xPQ+yPR+zPS,

显然PQ,PR,PM在〃方向上的投影向量的长度分别为1,2,3,

21

于是〃PQ=1,即(xPQ+yPR+z尸S>PQ=1,贝小，。=1，

23123

同理y=------7,z=---,---因止匕〃=----7-PQ+——丁PR+——丁PS,

|P7?|2\PS\2\PQ\2।PR।一।PSr

\2

3

而同=1,所以F=•PR+-------,PS

[1尸。/\PS\2

=19

149

所以----7----------7---------7

\PQ\-\PS\-

故选：A

【点睛】关键点点睛：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立

体几何问题的关键，解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向

量.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A真否有关，调查了400人，得到如图所示的2x2列联表，其中

b=12a,贝I()

患疾病A不患疾病A合计

过量饮酒3ab

不过量饮酒a2b

合计400

参考公式与临界值表：/=即即即…

a0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

%

A.任意一人不患疾病A的概率为0.9

3

B.任意一人不过量饮酒的概率为g

O

24

C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为一

25

D.依据小概率值£=0.001独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关

【答案】ACD

【解析】

【分析】先求出。=108=120,利用古典概型概率公式求解判断AB,利用条件概率概念求解判断C,求

出％2的观测值，即可判断D.

【详解】由已知得4a+36=400,又b=12a,所以a=10力=120.

3b

任意一人不患疾病A的概率为——=0.9,所以A正确；

400

任意一人不过量饮酒的概率为^——=-,所以B错误；

4008

任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为二^=竺，所以C正确;

a+2b25

对于D,2x2歹!J联表如下:

患疾病A不患疾病A合计

过量饮酒30120150

不过量饮酒10240250

合计40360400

则/的观测值/=400X(30X240-120X10)2

=辿22667，由于26.67>10.828,

40x360x150x2503

依据小概率值1=0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关，所以D正确.

故选：ACD

22

10.已知椭圆［：=+三=1（。〉人〉0）的左，右焦点分别为々，工，将心上所有点的横坐标与纵坐标分别

ab

伸长到原来的左（左＞0#wl）倍得到椭圆的，则下列说法正确的是（）

,,八bb+t

A.右，＞0,则一＜----

aa+t

B.若「2的离心率分别为96,则6=4

C.若的周长分别为£，02,则

k

D.若乙的四个顶点构成的四边形面积为吗则二的离心率为2（、历-1）

【答案】AB

【解析】

【分析】利用糖水不等式判断选项A；根据椭圆离心率的定义式判断选项B；利用相似图形的相似比即可判

断出选项C；综合运用椭圆的几何性质和四边形的面积公式判断选项D即可.

Y=kxk―%

【详解】设点（］'»）为椭圆心上任意一点，则由题意知，7，即，，代入椭圆乙的方程得

一=kyz=y

［k-

=1.所以椭圆「2的方程为（c!=1(a>b>0).

kak^b

hh

因为a>Z?>0/>0,所以一<----,所以A正确;

aa+t

由已知得,---所以B正确;

ka

C1

由已知得,『J其相似比为I-所以百7,所以。2=2,因为八。,人1,所以C错误;

设。=《2因为乙的四个顶点构成的四边形的面积为画工，所以L2a二方二生产，所以

Y424

2ab=c1，所以2ad/=/，所以e,+4/—4=0，所以e?=4+"—=2（0—1）（负

舍），所以D错误.

故选：AB.

u.将圆柱OR的下底面圆Oi置于球。的一个水平截面内，恰好使得。与水平截面圆的圆心重合，圆柱

aa的上底面圆。2的圆周始终与球。的内壁相接（球心。在圆柱aa内部）.已知球。的半径为3,

3

00,=-.若A为上底面圆a的圆周上任意一点，设RO与圆柱的下底面所成的角为&,圆柱aa

的体积为K,则（）

a可以取到卜福）中的任意一个值

A.

B.cos2a(l+2sina)

2

C.V的值可以是任意小的正数

81兀

D.Lx

4

【答案】BCD

【解析】

3

【分析】先画出平面图，得到圆柱的底面半径厂=3costz,高为3sina+—,代入圆柱体积公式求解，再

2

过R作圆柱口。2的轴截面尸。KS,过。作“NLQQ交圆柱轴截面的边于M，N,

由RO与圆柱的下底面所成的角为a,则OA/=3cose,MR=3sina,所以

27jr

222

V=TIOM-QR=7i•(3coscr)(OO1+3sincif)=coscif(l+2sincr),

即V=~2~cos2a(1+2sina)=(l-sin2(z)-(l+2sin«),故B正确;

3兀

当点尸，。均在球面上时，角。取得最小值，止匕时。。1=。。2=—,所以。二一,

26

兀兀、

所以H故A错误；

L62)

0r7

所以V'=2(―6产一2,+2),另—6/—2%+2=0，

存力4曰加士曰—1-A/13—1+A/13

解得两根%=——『一/:——Y—，

所以V，=T(_6f2_2f+2)〈言x_6x[g]-2x|+2=_?<0,

所以V=———(―2/—/+2/+1)在，e5」]时单调递减，

所以嗑*=等义-一出+2义出+1=当，0<VW牛，故CD正确；

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：本题主要考查运用导数求最值的方法，难度较大，解决问题的关键在于先画出平面

3

图，得到圆柱的底面半径r=3costz,高为3sina+—,代入圆柱体积公式求解，再令/=sine,利用导

2

数求最值.

三、填空题：本题共3小题；每小题5分，共15分.

12.若a=(—5,12)1=(3,4),则cos(a,b)的值为.

33

【答案】57

【解析】

【分析】利用向量夹角余弦公式进行求解.

【详解】丽飞5+144xj9+16="=卧

33

故答案为：——

65

13.如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器，已知上、下底的面积分别为4cm2和9cm2,高为3cm.现

在搜集到的雨水平面与上、下底面的距离相等，则该地的降雨量为mm.(降雨量等于集雨器中积水体

积除以集雨器口的面积)

【分析】将三棱台补成三棱锥0-A31G，求得三棱锥O—ASC的体积为8cm3,再设耳G和

(\3

o-A4G的体积分别为％,乂，结合则»=，求得匕和K，根据乜户，即可求解.

匕/7+-4

I2J

【详解】如图所示，将三棱台补成三棱锥。-4四£,设三棱锥o-ASC的高为力，

则“一=、+,解得〃=6,所以三棱锥O—A5c的体积为』X4x6=8cm3,

/i+3V93

再设。—ABoCpO—AgG的体积分别为％,K,

/\3/\3

h86~1253

则一,所以——，所以?二——cm,

匕/7+-匕6+38

12y12)

同理,=［乙］,所以乂=(9、,义8=27cm3,

455

所以该地的降雨量为匕二%=^cm=----mm.

43216

455

故答案为：.

16

O

A

小食梦G

Bi

iIACF

14.若点A在抛物线E:9=4x上运动，点B在圆(x—1)2+丁=—上运动，C(2,0),则——^的最小值

'-4|AB|

为.

【答案】2

【解析】

【分析】设A(5,Z),根据抛物线焦半径得至同=s+l,利用两点间距离公式得到

1|AC|\?+4?+4_25

|AC|2=(s-2)2+/=1+4,根据|@14刊+,得到,变形得到—互

一S+25+2

利用基本不等式求出最小值.

【详解】抛物线V=4x的焦点E的坐标为(1,0),准线方程为x=—1,

(1,0)为圆(x—I)?+V=；的圆心，圆的半径为:，

设点A(sj),则由抛物线的定义得|AF|=s+"=4s,

|AC『=(s—2)2+/=S2—4S+4+4S=/+4,

由三角形三边关系得到用+j当且仅当All共线时，等号成立，

|AC|2|AC|2?+4

------>---------------

13

所以M-|AF|+\+'

1122

333

令5+二=彳2巳，则s=X—巳，

222

2553IAC\

当且仅当彳=二，即4=士2三时等号成立，故」f卜的最小值为2.

4222\AB\

故答案为：2

【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数

的最值或范围.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.在直四棱柱ABC。—A4CR中，底面为矩形，AB^j3AD=y/3a,AAl^h,QE分别为底面的中

心和CD的中点，连接OE,AQ,$E,，5,2C.

(1)求证：平面AOEL平面C£>〃G；

(2)若2="，求平面AOE与平面QBC所成角的余弦值.

a2

【答案】(1)证明见解析

⑵述

3

【解析】

【分析】(1)由线面垂直得到线线垂直，即。2,OE,进而得到OEL平面CDRG，证明出面面垂直；

(2)建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量4=(n,0,6),“2=］乎，0,6，利用法向量的夹角

余弦公式求出答案.

【小问1详解】

因为。E分别为底面的中心和CD的中点，

所以OE_LCD,

因为">1，平面ABC。，OEu平面A3CD,所以。

又因为DDjCD=D,D2，CDu平面CZ)2G，所以OEL平面CDDG，

因为OEu平面4。石，所以平面AOE，平面CDQG.

【小问2详解】

以A为空间坐标原点，AB,AD,A4,所在直线分别为苍％z轴建立空间直角坐标系.

「竺£o：，c

由已知得（九）,。（兄丸）,。a,a,Q\

40,0,10,22J

所以4。=，会一h,D、C=16。,0,一叶,

又3C=AD=(0,a,0),OE=o，W，o，

2J

设平面AOE与平面ABC的法向量分别为%=（%,x,4）,为=（%2，%，Z2），

6a,a

三王+,弘一姐=o,

解得X=o,令Z[=G，则％=三,

所以《

a

/a=。n，

(2h八

故々=—,0,

Va

<3ax)_hz)=4,八人/znlh

所以《22,解得%=。，令Z2=j3,则F=—

a

ay2=0,

故%=一,0,

\a

,0,6,

)

设平面A0£与平面。出C所成角的大小为a,

（而0,可格0,1

所以85。=第=^-----------J」3+3_272

同㈤师xJ|+3

16.某公司拟从水平相当的普通程序员中篮选出若干高级程序员，方法如下：首轮每位普通程序员被要求设

计难度相同的甲、乙、丙、丁四种程序，假设每位普通程序员每种设计合格的概率都为其中四种设计全部

合格直接晋升为高级程序员；至少有两种（包括两种）“不合格”的直接被淘汰，否则被要求进行二轮设计:

在A5C三种难度不同的程序中随机抽取两种进行设计，且抽取的两种设计都合格方可晋升为高级程序

员.已知每位普通程序员设计A,5c合格的概率分别为1,工,工，同一普通程序员不同的设计相互不影响.

24

（1）已知A,民C设计合格的得分分别为80,90,100,不合格得。分，若二轮设计中随机抽取到反C的得

分为X,求X的分布列和数学期望；

（2）求每位普通程序员晋升为高级程序员的概率.

【答案】（1）分布列见解析；期望为70

96

【解析】

【分析】（1）X的可能取值为0,90,100,190,分别求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可；

（2）综合运用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式求解即可.

【小问1详解】

X的可能取值为0,90,100,190,

由题意知,P（X=0）=1Jx『泻J（X=90）］x『扑|’

P（X=100）=（l—；£=/P（X=190）=；X冷,

X的分布列为

X090100190

3311

P

8888

311

E（X）=90X8+100X8+190X8=70.

【小问2详解】

因为同一普通程序员不同的设计相互不影响，所以每位普通程序员晋升为高级程序员的概率为

lxllxllxl13

P=++

242496

17.在平面直角坐标系中，点R、E的坐标分别为卜20,0）,（20,0）,以口为圆心作一个半径为4的圆,

点H是圆上一动点，线段EH的重直平分线与直线彼相交于点P.

(1)求尸的轨迹「的方程；

(2)已知4(—2,0),点。是轨迹「在第一象限内的一点，R为QA的中点，若直线OR的斜率为J5,

求点。的坐标.

22

【答案】(1)土_Z_=i

44

⑵(3,国

【解析】

【分析】(1)利用垂直平分线的性质及双曲线的定义可得答案；

(2)利用中点公式和的斜率为建立方程组，求解方程组可得答案.

【小问1详解】

由题意可知，点P在线段EH的垂直平分线上，所以闾=|尸耳，

又点〃是圆尸上一动点，所以恒川=4.

①当|尸叫>归同时，|咫—|PF|=|PH|—归耳==4；

②当1PHl<|尸同时，|PF|—|PE|=|PF|—|PW|=|M|=4,

所以P的轨迹r满足忸目―忸剧=4<I即=4夜,

根据双曲线定义可知，P点的轨迹「是以乱后为左、右焦点，实轴长为2。=4的双曲线,

22

可得c=2ji,a=2,b=^-cr=2，所以尸的轨迹「的方程为三—二=1.

44

【小问2详解】

设。(%%)，/>2,%>。，所以氏广—，今］，焉一尤=4,

因为直线OR的斜率为迅，所以=岔，即%=石(%-2),

与焉一¥=4联立解得飞=2(舍去)或3.

(x+k)ln(x+l)-依左

18.已知函数/（力=

x+kL

⑴讨论函数/（%）的单调性;

3A2

（2）当zzwN*时，求证：+

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出导函数，然后根据左=2和左＞2分类讨论，解导函数不等式即可求得单调区间;

⑵根据⑴的结论知g