湘豫联考2023-2024学年高三年级下册第四次模拟考试数学试题

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湘豫名校联考

2024届春季学期高三第四次模拟考试

数学

注意事项：

1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填

写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条

形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应

的答题区域内.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在复数范围内方程必―2%+2=0的两个根分别为毛,%，贝叶/+29|=（）

A.1B.A/5C.A/7D.V10

2.已知集合4={.用2尤—14）（尤—5）<0},B={xeZ|2r>100},则A（飒=（）

A.{4,5,6,7}B.{4,5,6}C.{5,6,7}D.{5,6}

22

3.已知椭圆石：：+方=1（。〉6〉0）与矩形A8C。的四条边都相切，若A5=4,AD=2,则E的离

心率为（）

,V311

A.----B.-旦D.

22c,23

4.已知sin[e+]，则5<6»_方]=(

)

5511

A.——B.-C.——D.——

9999

5.在某次游戏中，甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭.已知甲、乙中靶的概率分别为0.5,

0.4,且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（）

71

6.如图，A,5和C,。分别是函数/（%）=2sinCOXH---（-刃＞0）图象的两个最低点和两个最高点，若四

6

边形A8CQ的面积为8兀，且/（九）在区间亍上是单调函数，则实数a的最大值是（）

7.已知函数〃尤）=1083（32X+1）—无，则满足了（2%—1）＞/（%）的彳的取值范围为（）

A.（1,+co）B.[-。0]]。,+8）

C.Q,1D.1-。0,-；）（L+00）

8.中国古代建筑中重要的构件之一一一柱（俗称“柱子”）多数为木造，属于大木作范围，其中，瓜棱柱

是古建筑木柱的一种做法，即木柱非整根原木，而是多块用柳卯拼合而成.宁波保国寺大殿的瓜棱柱，一

部分用到了“包镶式瓜棱柱”形式，即在一根木柱周围，根据需要再用若干根一定厚度的木料包镶而成的

柱子，图1为“包镶式瓜棱柱”，图2为此瓜棱柱的横截面图，中间大圆木的直径为2R外部八根小圆木的

直径均为2r，所有圆木的高度均为/?,且粗细均匀，则中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为（）

图1图2

A.74+2夜-1B.4+2及-2,4+2及

C.3D.5+2应-24+2应

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知加，"（mW”）为实数，随机变量X〜N（1,CJ2）,且P（XW〃Z）=P（X2〃），则（）

A.mn<lB.2"'+2">4C.m2+/i2<2D.—+->2

mn

10.已知四棱锥P—A5CD的底面ABC。是边长为4的正方形，E4_L平面ABC。，且QA=4,E,F,G

分别为PB,PD,8c的中点，点。是线段必上靠近点尸的四等分点，则（）

A.EG〃平面PCD

B.直线PG与A8所成的角为30°

C.EQ//FG

D.经过E,F,G的平面截四棱锥P-ABCD所得到的截面图形的面积为5遍

11.已知抛物线r:丁=2px（p>0），点4（1,2）为z■上一点，直线/与7交于8,C两点（异于A点），与

无轴交于M点，直线AC与A8的倾斜角互补，则（）

A.线段BC中点的纵坐标为—2

3兀

B.直线/的倾斜角为三

4

C.当叫•眼。|=忸。|时，M点为r的焦点

D.当直线/在y轴上的截距小于3时，△ABC的面积的最大值为七叵

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量〃=（百"），/?=（0,-1）,若。在匕上的投影向量为一〃，则几的值为.

13.设5“是各项均为正数的等比数列｛4｝的前〃项和，若&=10,则鼠=____.

$2”S”

2'—l,xe[0,l）,

14.已知函数/•（》）=R—l,xe[l,2）,的图象在区间[2“—2,2〃]（“eN*）内的最高点对应的坐标

2/（^-2）,xe[2,+oo）

为（七,以）,则集合｛M"=%„,+1,1<"<1000,^^1'<>,%6?>｝*｝中元素的个数为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,且Zasin?-----bcosA=c-b.

2

（1）证明：a+b=2c；

（2）若3=3，△ABC的面积为4石，求b.

3

16.（本小题满分15分）

如图，在三棱锥尸-ABC中，平面以C,平面PBC,ZXRIC和△ABC均为等腰直角三角形，且

PA=PC=y[l,=.

(1)证明：平面ABC_L平面以C；

(2)设BF=2BP,0<2<l,若平面BAB与平面ACF夹角的余弦值为若，求实数2的值.

17.(本小题满分15分)

连续抛掷一枚质地均匀的骰子eN*)次，第左,V凡左eN*)次抛掷落地时朝上的点数记为知，

ake(1,2,3,4,5,6}.

(1)若〃=4,记出现软为奇数的次数为X,求随机变量X的分布列和期望；

(2)若〃=5,求事件“64%+1(，=1,2,3,4)”的概率.

18.(本小题满分17分)

22

已知。为坐标原点，双曲线C:会—2=1(。〉0涉〉0)的左、右焦点分别为耳，工，过C上一点尸作C

的两条渐近线的平行线，分别交y轴于M,N两点，S.\OM\-\ON\=1,△甲岑内切圆的圆心到y轴的距

离为

(1)求C的标准方程；

(2)(i)设点。(%,%)为C上一点，试判断直线号-yy0=l与C的位置关系，并说明理由；

(ii)设过点居的直线与C交于A,8两点(异于C的两顶点)，C在点A,8处的切线交于点E,线段

的中点为。，证明：O,D,E三点共线.

19.(本小题满分17分)

在平面直角坐标系。孙中，定义：如果曲线G和G上分别存在点M，N关于无轴对称，则称点〃和点N

为G和G的一对“关联点”.

(1)若G：/+町+/=6上任意一点P的“关联点”为点Q,求点。所在的曲线方程和|。阳+|。。|的

最小值;

（2）若和：（/+力2=4移2&2%>0）上任意一点5的“关联点”为点八求⑹刀的最大值；

（3）若C：y=21nx—2奴和G：y=l—（a+l）f在区间（0,七»）上有且仅有两对“关联点”，求实数a

的取值范围.

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2024届春季学期高三第四次模拟考试

数学参考答案

题号1234567891011

答案DDACBCBDABACDABD

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.D【解析】由小—2%+2=0,得（x—1）2=—1,解得x=l土i,

即X]=l+i,%2=1—i或％i=l—i，%2=l+i.

所以X1+2%=3土i,所以J%+2x?=.故选D.

2.D【解析】因为A={xwN|（2x—14）（x—5）V0}={xwN|5«xV7}={5,6,7},

B={xeZ|2r>100}={xeZ|x>7},所以&5）={xeZ|x<7},

所以A（53）={5,6}.故选D.

3.A【解析】根据题意，得勿=4,2b=2,则a=2,b=l,

所以c=6.所以£的离心率为e=£=Y3.故选A.

a2

4.C【解析】sin"，一；[=sin]2，+看一?

=—cosf20+—|=-1+2sin2[0+—|=-1+2x—=――.故选C.

I6jI12；99

5.B【解析】设事件A=“甲中靶"，B=“乙中靶"，C="弓箭靶被射中”，

则P（A）=0.5,P（B）=0.4,所以P（A^）=0.5x0.6=0.3,P（AB）=0.5x0.4=0.2,

P（AB）=0.5x0.4=0.2.所以P（C）=P（AB）+P（AB）+P（AB）=0.3+0.2+0.2=0.7.

所以P（A国C）=H粤="=3.故选B.

I17P（c）0.77

OjT

6.C【解析】由题意，得四边形A3CD为平行四边形，且|A5|=2X3,

CD

2冗

A5与CD之间的距离为4,则4x2x——=8兀，解得G=2.

CD

函数y=sin2x在区间上是增函数，对于/(x)=sin2［x+^1］,

71

将函数y=sin2x的图象向左平移已个单位长度，

即得/(x)=sin2(x+土］的图象，所以°的最大值是空—△=%.故选c.

112J12126

2Vv

7.B【解析】由题易得/(%)的定义域为R,/(%)=log3(3'+1)-%=log3(3+3-).

vv

因为/(-x)=log3(3-+3-)=/(x),所以/(x)偶函数.

当xNO时,令〃(%)=3、+3-,,则M(x)=(3,-37)111320,

所以M(x)在［0,+oo)上单调递增，所以/(X)在［0,+8)上单调递增.

由/(2x—l)>/(%),得忖)，所以|2x—l|〉W，

两边平方并整理，得3/—4x+l>0,解得8,；］(l,+oo).故选B.

8.D【解析】八根小圆木截面圆的圆心构成一个正八边形，边长为2厂，

7T

相邻两根小圆木圆心与大圆木圆心构成一个底边长为2r,腰长为R+r,顶角为士的等腰三角形.

4

方法一：根据余弦定理，得4/=2(R+r)2—2(7?+r)2义也，解得凶=,4+2应一1,

2r

所以中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为

^^•=£=("+20_1)2=5+20_24+2应.

__rpyr「,兀兀［c・2兀

方法—.：因为------sin—，cos——1—2sin——---，

R+r8482

mirx/2-V2u-R+rR1r_T-/r7

所以---------------.所以------bl-y4+2yl2，

R+r2rr

所以0=,4+2后—l,所以"言=£=5+20-2“+2/.故选D.

rnrhr

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.AB【解析】由正态曲线的对称性，可得加+〃=2,因为相，〃，

所以相巴]=1|]=1,A正确；21n+2">242~2"=26^=4,B正确；

2（/n2+n2）>（77i+n）2=4,即机2+/>2,c错误；

112

由于当初=—1,〃=3时，满足加+〃=2,但1—=<2,D错误.故选AB.

mn3

10.ACD【解析】因为EG是△P8C的中位线，所以EG〃PC,

又£6<2平面PCDPCu平面PCD,所以EG〃平面PC。，A正确.

如图，取B4的中点跖连接心，BM,则0M=AM=2,MF〃AD且MF=2.

因为BG〃AD且BG=2,所以吹〃5G且ME=BG.

所以四边形MPG2为平行四边形，所以BM〃EG,

所以/MBA或其补角即为直线网?与A8所成的角.由抬，平面ABCD,

得A4LAB.因为tanNMBA=&^=2=L,

AB42

所以FG与A3所成角的正切值为工，B错误.由题意，得。是PM的中点，

2

所以又MB〃BG,所以EQ〃尸G,C正确.

显然E,G,F,。四点共面，取C。的中点H,连接FH,GH,

可得四边形EGHf1为平行四边形，所以E,G,H,尸四点共面，

所以E,G,H,F,。五点共面，即五边形EGHF。即为所求的截面.

设ACGH=T,则QT〃PC,且QT=>PC=>义=36，

~44

EG=LPC=26,GH=~BD=2y[l.

22

因为以_15£）,ACLBD,PAAC=A,所以平面以C.

所以5£>_LPC.又BD〃GH,EG//PC,所以£G，GH,

所以S五边形EGHFQ=EGXGH+yFX（QT—EG）=2昌2也+；义272（3百一26）=5痣，

D正确.故选ACD.

11.ABD【解析】将A（l,2）代入V=2内，可得p=2,所以7的方程为V=4x.

设5（4x）,C（x2,y2）,贝””=*1=—=-同理的c=-

1-^11_y1_2+x2+y2

4

因为直线AC与AB的倾斜角互补，所以KB+Ke=0，

即一--+---=―16：4（%:%）_=Q,解得/+%=-4,且％为w4,

2+弘2+%4+2（%+%）+%%

所以8c中点的纵坐标为—2,A正确.因为原c=%二&=蛰二"=^^=—1，

再一％%+%

44

37r

所以/的倾斜角为丁，B正确.设〃（加,0）,则/的方程为％=—y+根，

由〈‘4"得y2+4y-4加=0.

x=-y+m,

根据A=16（l+"z）>0,解得初>一1,所以弘+为=-4,/％=一4m，

则忸Cj=夜上一%|=夜xV16+16m=4A/2XJl+c,

\MB\­\MC\=后,|•应国=2|%%|=8帆，所以4夜xjl+m=8帆，

解得加=—g或加=1,c错误.当/在y轴上的截距小于3时，即—1<m<3.

因为点A至"的距离为%4,所以AABC的面积为

S=gxx40Jl+m=2x|3-m|Jl+m=2-^（1+m）（m-3）2.

设函数/z（根）=（1+m）（加-3）2,-1<m<3,则/（m）=（3加-1）・（m—3）,

令〃（m）=0,得加=g或加=3（舍去）.

当加£1一1,；）时，/zr（m）>0,/z（m）单调递增；

当机时，〃（根）<0,/z（加）单调递减，所以加=；时，/?（加）取得最大值等,

所以S的最大值为-----,D正确.故选ABD.

9

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.1【解析】由题意，得d在匕上的投影向量为普•，!=—少，

HH

即上『.结合已知，得一丸=—1,解得2=1.

13.13【解析】设数列｛凡｝的公比为q,由题意，显然4〉0,q〉0且

.(T)

则邑J4=]+/=]0,解得q"=3,

S2”.(1-/)

"q

.(1_力

所以&=—>—q=]+/+/”=1+3+9=13.

S"%(1T)

i-q

14.10【解析】作出函数y=/(x)在区间[0,2)上的图象，

如图，根据函数的单调性，此时/(%)2=/"⑴=1.

又当x»2时，/(%)=2/(%-2),所以当％之2时，/(x)=1/(x+2),

部分函数图象如图，由图象可得X]=l,x2=3,X3—5,•••,xn—2n-i,

%=1,%=2，乂=4,…，4=2"，即2*T=2相，即根=2匕€[i』000]，

解得2W左W11,即左=2,3,4,­■,10,11,

故集合｛耳九=七，+1,1Vm<1000,左wN*,meN*｝中的元素个数为H—2+1=10.

共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【解析】(1)由已知，^#a(l-cosB)-bcosA=c-b,

由正弦定理，得sinA(1—cos5)-sin5cosA=sinC-sin5,

即sinA+sin5—(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

即sinA+sinB-sin(A+B)=sinC.

由A+5+C=TI,得sin(A+5)=sinC,

所以sinA+sin5=2sinC.由正弦定理，得Q+Z?=2c.

(2)因为=g〃csinB=#^c=4j5,所以QC=16①.

由余弦定理，^b2=a2+c2-2accosB,BPb2=a2+c2-ac.

由(1),得b-2c—a,所以/+4/—4-cic—4+/—,

化简，得。=。，代入①，得c=〃=4,所以b=4.

16.【解析】(1)由题意，得PCLB4,所以AC=《P曾+PC?=’(可+(3)2=2•

因为平面K4CL平面P2C,且平面PAC〕平面？fiC=PC,B4u平面阴C,

所以上4_L平面PBC.

因为？Su平面P8C,BCu平面PBC,所以上PA1BC.

所以AB?+=8,即AB=2后.

又因为△ABC为等腰直角三角形，AC=2<AB,

所以AC=5C=2,AC±BC.

因为R4u平面E4C,ACu平面B4C,PA\AC=A,所以BCJ_平面E4C.

又因为BCu平面ABC,所以平面ABC，平面PAC.

(2)取AC的中点。，的中点E,连接尸O,OE,

则OE〃5C,AC±PO,所以ACLOE.

由(1)知平面ABCJ_平面E4C,

因为平面ABC1平面K4C=AC,尸Ou平面B4C,所以尸0,平面A2C.

因为0£u平面ABC,所以尸O_LO石，

如图，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，

则P(O,O,1),4(—1,0,0),B(1,2,0),C(l,0,0).

所以AP=(1,O,1),BP=(-1,-2,1),AC=(2,0,0).

由BE=ABP=(-2,-22,2),得/(1—42—244),

所以AF=(2—Z2—242).

设平面PAB的法向量为m=（Xi，%,zJ,

m-AP=0,九1+4=0,

则即＜

m-BP=0,、一石_2y1+z1=0.

令X]=1,则平面E48的一个法向量为加=（1,一1,一1）-

设平面ACF的法向量为〃=（X2，%，Z2），

n•AF-0,（2—X）%2+（2-2X）%+Xz2—0,

则即《

n,AC=0,2X2=0.

令为=九，则平面Ab的一个法向量为〃=（0,422—2）.

设平面PAB与平面ACF的夹角为。，

则c°s8=|cosg,力|=制一/|2-322|V15

IT

?||〃|A/3xyjA—oA+4

i4

整理，得IOa?—134+4=0,解得4=—或/=—.

25

14

所以/I的值为二或士.

25

17•【解析】（1）由题易得，抛掷一枚骰子1次，出现出.为奇数的概率为工,

2

出现怎不是奇数的概率也为L,X的可能取值为0,1,2,3,4.

*2

—,P（X=l）=C：xL

因为P（X=0）=C；

16''214

22

P（X=2）=C",P（X=3）=C：x

1

P（X=4）=C：x

16,

所以X的分布列为

X01234

1£3£1

P

1648416

1,1c3c1“1c

所以E（X）=0x----F1x—F2x—F3x—F4x——2.

1648416

（2）记事件A为事件«=1,2,3,4）”，

则事件A包含以下5种情况：

①抛掷5次出现的点数相同，有6种可能;

②抛掷5次出现的点数有2个数字,有4xC：=60种可能;

③抛掷5次出现的点数有3个数字,有6xC：=120种可能;

④抛掷5次出现的点数有4个数字,有4xC：=60种可能;

⑤抛掷5次出现的点数有5个数字,有C，=6种可能,

6+60+120+60+67

所以尸(A)=

65216

7

即事件(i=1,2,3,4)”的概率为——.

216

22

18•【解析】(1)设？(%,%)，则表—得=1.

Ah

不妨设直线PM的方程为y-yp=-(x-xpy则直线PN的方程y—y尸二一一(x—/).

aa

令％=0,得V[o,-2%p+%],N\Q,—bxp+p

aa

22

所以|QMJQN|=yP-^\\yP+—==^xj-b=b=l.

a\\aaaa

设△耳PE的内切圆(圆心为D分别与P£,PF2,耳工切于点心S,T,

则2a=归耳|-|尸剧=||网+|班|-阀-解国|即|-朋口|用-|叫『

所以T为C的顶点，所以/T,九轴，/的横坐标为土a,所以a=Q.

故C的标准方程为土=i.

3

-2-1

-?一yj

(2)(i)由<得(3y；-a；*+6%0%―9-9y；=0,

?f0=l,

结合工;—3y；=3,得一一a%。%+%；=0,所以A=4片—4%；=0.

所以直线其-yy0=1与C相切.

(ii)由题易得直线A8的斜率不为0.

设直线AB的方程为％=夕+2,代入必―3^=3,

,,广一3H0,

得(产_3)/+4h+]=0,其中

、7[A=16?2-4(Z2-3)=12(?2+1)>0,

设A(X]，M),3(%,%),则为+%=;^^,

I—Jt—3

由(i),。在点A,3处的切线方程分别为玉=3,93y2y=3.

两式联立，得*=3（%-y）3(%-%)_3(%-%):3

(阴+2)%-(y+2)%2(%-%)2

X

y—,即E

3(%-%)3(%-%)214-

所以直线。£的方程为丁=：》.

-6

x=ty+2,X—~~z

3—6—2t]

由＜解得<即直线AB与OE的交点为3

t2

丁=尸，-Itt-3'r-3)

p_%+%_-2tc-2?c-6

又％=^^=涔二，芍%+2=K+2=不

即。/恚,总］'所以。与"重合•

故。，D,E三点共线.

19•【解析】（1）设点Q（x,y）,则点Q的“关联点”为P（x,—y）,

代入x?+孙+y?=6,得尤2+x(-y)+(-y)2=6,§Px2-+y2=6,

所以点。所在的曲线方程为x2-xy+y2^6.

根据对称性，|OP|=|OQ|,则10H+\OQ\=2\OQ\=2旧+/.

2222

2222

由一呼+y2=6,x+y=xy+6>_x+6,BPx+y>」+6,

解得必+_/24,当且仅当x=—y且f-xy+_/=6,

即x=J5,y=—或x=—J5,y=J5时取等号.

故当x=J^,y=-叵或x=f,y=e'时，(\OP\+\OQ\)m,n=4.

（2）设S«y）,则根据对称性，得好?=2|讣

设d+丁2=加2(加>0),x-mCos0,y=<6<]

代入(%2+y2『=4盯2,得加=4cos8sin2e,

所以y=msin^=4cos<9sin3<6<]).

(5、3

方法一：令cose=/Q<t<—,则=—/)2,

3o」

所以(«)=4(1—//x/>x(-2?)

当0</<；时，/'")>0；当g<r<乎，/'")<0,

所以/(，)在［o，g)上单调递增，在1，与上单调递减,

所以是/⑺的最大值点，即/⑺晔

故同)=2乂空=基

、I!/max42

方法二：y1=16cos29sin66^=—x3cos29xsin29xsin29xsin26

3

lx^Scos2+sin20+sin20+sin24—27