圆内极点与极线性质简证

1、圆内极点与极线性质简证原题 如图，过定点P作定O两条动割线PAB与PCD，连结AD与BC，交于点Q求证：动点Q在一条定直线上问题1 如图，过点P作O两条割线PAB与PCD，连结AD与BC，交于点Q，直线PQ交O于点E、F，点M为弦EF的中点求证：注：要证明的结论等价于，即“内分比外分比”，也即点P，E，Q，F构成调和分割。证法一：在射线PF上取点M，使PQ·PMPA·PBPC·PDPE·PF，则A，Q，M，B四点共圆，Q，C，D，M四点共圆因此 BMFBAD，DMFDCB，因此 BMFFMD，从而BODBMD，因此O，M，B，D四点共圆因此 OMDOBD

2、，又 ，OBOD，因此 FMDOMD90°即OMMF（另法：将OMF视为圆周角，则其所对的弧由两部分组成一个半圆）因此 点M为弦EF的中点证法二：在射线PF上取点M，使PQ·PMPA·PBPC·PD，延长DM交O于点N连结OM，BM，BN，EN由于 C，Q，M，D四点共圆，Q，A，B，M四点共圆因此 BQFNDCNBC因此NBEF因此NEBF，NEFBFE又NMEBCDBADBMF因此NMEBMF（AAS）因此EMFM，下略证法三：这题可以用“面积正弦法”解决，你可以随便找三角形来构成正弦比因此只要证明，这可以由下面的推导得到：（由BADBCD得PAQP

3、CQ）从而得证证法四：设直线PQ为x轴，直线AB，CD，AD，BC方程为，；P(p，0)，Q(q，0)，E(e，0)，F(f，0). 则圆O可表为.其中,是待定参数.令y = 0，得到(*) 两根为e，f，注意到一次方程， 的解均为x = p，故 (为待定系数).同理 (为待定系数).(*)可变为.将x e，f带入上式，消去待定系数，得到故.上述证明本质上证明了射影几何中的Desargues对合定理，但是并没有动用射影几何的概念，仅仅用了高中平面解析几何的二次曲线系和初中二次函数两点式理论，可以说是初等的.推广：如图，点P在O外，PAB、PCD、PEF为O的三条割线，A、B、C、D、E、F为割

4、线与O的交点，割线PEF交AD、BC于点S、T求证：证法一：分别过点A、C作割线PEF的平行线，交O于点L、N，连结AN、CL，分别交PF于X、Y取EF的中点M，连结OM，则OMPFBLPXAA、B、X、T四点共圆PX·PTPA·PBPE·PF同理，PYCLCNDC、D、Y、S四点共圆PY·PSPC·PDPE·PF注：当点S与点T重合为点Q时，点X与点Y则重合为中点M证法二：设割线PEF为x轴，直线AB，CD，AD，BC方程为，；P(p，0)，E(e，0)，F(f，0) ，S(s，0) ，T(t，0).则圆O可表为.其中,是待定参数.令y = 0，得到(*) 两根为e，f，注意到一次方程， 的解均为x = p，故 (为待定系数).而一次方程， 的解分别为x = s与x = t故 (为待定系数).(*)可变为.将x e，f带入上式，消去待定系数，得到即，由此得，整理得.问题2如图，过定点P的动直线交定O于点E、F，点M为弦EF的中点，求证：满足PE·PFPQ·PM的动点Q在一条定直线上证明：如图，作直线OP，交O于点、，取点H使连结OM因为 ，所以 因此 Q，H，O，M四点共圆，从而 QHOP下面证明点H为定点设O的半径为R，