江苏省海安市八校联考2024届中考数学最后一模试卷含解析

江苏省海安市八校联考2024学年中考数学最后一模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，在△ABC中，点D在BC上，DE〃AC,DF〃AB,下列四个判断中不正确的是（）

A.四边形AEDF是平行四边形

B.若NBAC=90。，则四边形AEDF是矩形

C.若AD平分NBAC,则四边形AEDF是矩形

D.若AD_LBC且AB=AC,则四边形AEDF是菱形

2.如图，小岛在港口P的北偏西60。方向，距港口56海里的A处，货船从港DP出发，沿北偏东45。方向匀速驶离

港口，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是（）

A.7/海里/时B.7G海里/时C.7指海里/时D.280海里/时

3.二次函数丫=（2x-l）2+2的顶点的坐标是（）

A.(1,2)B.(1,-2)C.(-,2)D.(----->—2)

22

4.T的相反数是（）

1£

A.4B.-4C.——D.

44

5.下列各组单项式中,不是同类项的一组是（）

A.和2肛〜B.3xy和—C.和—2yx?D.-32和3

6.一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（).

1112

A.—B.—C.一D.

7.下列几何体中，三视图有两个相同而另一个不同的是（）

D.(3)(4)

8.如图所示，a//b,直线“与直线》之间的距离是（）

A.线段M的长度B.线段尸3的长度

C.线段PC的长度D.线段。的长度

9.下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（）

A.事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件

B.体育彩票的中奖率为10%,则买100张彩票必有10张中奖

C.在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品

D.掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为工

3

10.下列运算正确的是（）

A.a124-a4=a3B.a4*a2=a8C.（-a2）3=a6D.a*（a3）2=a7

11.如图，矩形ABCD内接于。O,点P是A。上一点，连接PB、PC,若AD=2AB,则cosNBPC的值为（)

A6R2^5n375

55210

12,-2018的相反数是（）

1

A.-2018B.2018C.±2018D.----------

2018

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.已知关于x的方程£+2=白有解，则k的取值范围是.

14.分解因式：2a2-2=.

15.估计无理数而在连续整数一—与之间.

16.函数y=2的定义域是.

17.从一副54张的扑克牌中随机抽取一张，它是K的概率为.

18.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足SAPAB=GS矩形ABCD,则点P到A、B两点的

距离之和PA+PB的最小值为.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)如图，AABC内接于。，AB=AC,CO的延长线交A5于点。.

(1)求证：A0平分ZS4C；

3

(2)若BC=6,sinZBAC=-,求AC和CD的长.

2—x

20.(6分)已知：不等式一-<2+x

3

(1)求不等式的解；

(2)若实数a满足a>2,说明a是否是该不等式的解.

21.(6分)如图，已知：AB是。O的直径，点C在。。上，CD是。。的切线，ADLCD于点D,E是AB延长线

上一点，CE交。O于点F,连接OC、AC.

(1)求证：AC平分NDAO.

(2)若/DAO=105°,ZE=30°

①求NOCE的度数；

②若。O的半径为2近，求线段EF的长.

22.(8分)为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生

进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表.

组别分数段频次频率

A60<x<70170.17

B70<x<8030a

C80<x<90b0.45

D90<x<10080.08

请根据所给信息，解答以下问题：表中a=,b=；请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；已

知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两

名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率.

23.(8分)在平面直角坐标系中，点A(1,0),B(0,2),将直线A6平移与双曲线y=£(x>0)在第一象限的图象

(1)如图1,将AAOB绕。逆时针旋转90°得AEOFCE与4对应，口与3对应)，在图1中画出旋转后的图形并直接

写出E、尸坐标；

（2）若CD=2AB,

①如图2,当NO4C=135。时，求左的值;

②如图3,作CMLx轴于点M，9_1_，轴于点"，直线与双曲线丁=勺有唯一公共点时，上的值为

x

24.（10分）如图，在AABC中，NC=90。，/BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上，以点O为圆心，OA为

半径的圆恰好经过点D,分别交AC、AB于点E.F.试判断直线BC与。O的位置关系，并说明理由；若BD=24，

BF=2,求。O的半径.

25.(10分)观察下列算式：

①1x3-22="3"-4=-1

②2x4-32="8"-9=-1

(3)3X5-42="15"-16=-1

④___________________________

（1）请你按以上规律写出第4个算式；

（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；

（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由.

V—Z73

26.（12分）若关于x的方程二丁-一=1无解，求”的值.

x-1x

27.（12分）武汉二中广雅中学为了进一步改进本校九年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣.校教务处在九年级

所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查：我们从所调查的题目中，特别把

学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：“A-非常喜欢”、“3-比较喜欢”、“C-不太喜欢”、“D-很不

喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计.现将统计结果

绘制成如下两幅不完整的统计图.

所抽取学^™野习喜欢侬的调"计表

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；

(2)所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是—，图②中A所在扇形对应的圆心角是一；

(3)若该校九年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人?

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、C

【解题分析】

A选项，\•在AABC中，点D在BC上，DE〃AC,DF〃AB,

；.DE〃AF,DF〃AE,

...四边形AEDF是平行四边形；即A正确；

B选项，•..四边形AEDF是平行四边形，NBAC=90。，

二四边形AEDF是矩形；即B正确；

C选项，因为添加条件“AD平分NBAC”结合四边形AEDF是平行四边形只能证明四边形AEDF是菱形，而不能证明

四边形AEDF是矩形；所以C错误；

D选项，因为由添加的条件“AB=AC,AD_LBC”可证明AD平分NBAC,从而可通过证NEAD=NCAD=NEDA证得

AE=DE,结合四边形AEDF是平行四边形即可得到四边形AEDF是菱形，所以D正确.

故选C.

2、A

【解题分析】

试题解析：设货船的航行速度为X海里/时，4小时后货船在点3处，作于点Q.

由题意AP=56海里，PB=4x海里,

在RtAAPQ中，ZAPQ=60,

所以PQ=28.

在Rt△尸。8中，ZBPQ=45,

所以PQ=P3xcos45

所以受X=28,

2

解得：x=7后.

故选A.

3、C

【解题分析】

试题分析：二次函数丫=（2x-l）：+2即y=2（x—g）+2的顶点坐标为（：，2）

考点：二次函数

点评：本题考查二次函数的顶点坐标，考生要掌握二次函数的顶点式与其顶点坐标的关系

4、A

【解题分析】

直接利用相反数的定义结合绝对值的定义分析得出答案.

【题目详解】

-1的相反数为1,则1的绝对值是1.

故选A.

【题目点拨】

本题考查了绝对值和相反数，正确把握相关定义是解题的关键.

5、A

【解题分析】

如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项.

【题目详解】

根据题意可知：x2y和2xy2不是同类项.

故答案选：A.

【题目点拨】

本题考查了单项式与多项式，解题的关键是熟练的掌握单项式与多项式的相关知识点.

6、B

【解题分析】

朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.

【题目详解】

31

依题意得P（朝上一面的数字是偶数）=-=-

62

故选B.

【题目点拨】

此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.

7、B

【解题分析】

根据三视图的定义即可解答.

【题目详解】

正方体的三视图都是正方形，故（1）不符合题意；

圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是圆，故（2）符合题意；

圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形，故（3）符合题意；

三棱锥主视图是、左视图是,俯视图是三角形，故（4）不符合题意;

故选B.

【题目点拨】

本题考查了简单几何体的三视图，熟知三视图的定义是解决问题的关键.

8、A

【解题分析】

分析：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案.

详解:Va/Zb,AP±BC

二两平行直线a、b之间的距离是AP的长度

,根据平行线间的距离相等

二直线a与直线b之间的距离AP的长度

故选A.

点睛：本题考查了平行线之间的距离，属于基础题，关键是掌握平行线之间距离的定义.

9、C

【解题分析】

根据随机事件，必然事件的定义以及概率的意义对各个小题进行判断即可.

【题目详解】

解：A.事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是必然事件，故错误.

B.体育彩票的中奖率为10%,则买100张彩票可能有10张中奖，故错误.

C.在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品，正确.

D.掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为《，故错误.

2

故选:C.

【题目点拨】

考查必然事件，随机事件的定义以及概率的意义，概率=所求情况数与总情况数之比.

10、D

【解题分析】

分别根据同底数幕的除法、乘法和塞的乘方的运算法则逐一计算即可得.

【题目详解】

解：A、a12va4=a8,此选项错误；

B、a4.a2=a6,此选项错误；

C、(-a2)3=-a6,此选项错误；

D、a*(a3)2=a»a6=a7,此选项正确；

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查易的运算，解题的关键是掌握同底数易的除法、乘法和毒的乘方的运算法则.

11、A

【解题分析】

连接BD,根据圆周角定理可得cosNBDC=cosNBPC,又BD为直径，则NBCD=90。，设DC为x,则BC为2x,根

据勾股定理可得BD=J？x,再根据。05/15口©=器=太=,，即可得出结论.

【题目详解】

连接BD,

V四边形ABCD为矩形，

；.BD过圆心O,

VZBDC=ZBPC（圆周角定理）

/.cosZBDC=cosZBPC

VBD为直径，

，/BCD=90°,

..DC_]_

•BC~2,

...设DC为x,

则BC为2x,

BD=yj£）C2+BC2=Jx?+（2x）=也x,

.,DCxJ5

:.cosNBDC二---=/—,=——9

BD<5x5

VcosZBDC=cosZBPC,

.\cosZBPC=—.

5

故答案选A.

【题目点拨】

本题考查了圆周角定理与勾股定理，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与勾股定理的应用.

12、B

【解题分析】

分析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

详解：-1的相反数是L

故选：B.

点睛：本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、甲

【解题分析】

试题分析：因为二+2=白，所以Lx+2(x-2)=-k,所以Lx+2x-4=-k,所以x=3-k,所以x=3-E因为原方程有解,

所以x=3-LR2,解得左，1.

考点：分式方程.

14、2(a+1)(a-1).

【解题分析】

先提取公因式2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

【题目详解】

解：2a2-2,

=2(a2-1),

=2(a+1)(a-1).

【题目点拨】

本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分

解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

15、34

【解题分析】

先找到与11相邻的平方数9和16,求出算术平方根即可解题.

【题目详解】

解「邪〈历〈历,

，3〈而＜4,

无理数ViT在连续整数3与4之间.

【题目点拨】

本题考查了无理数的估值，属于简单题，熟记平方数是解题关键.

16、x>2

【解题分析】

根据二次根式的性质，被开方数大于等于0,可知：x-lK),解得x的范围.

【题目详解】

根据题意得：x-l>0,

解得：x>l.

故答案为：x>2.

【题目点拨】

此题考查二次根式，解题关键在于掌握二次根式有意义的条件.

2

17>—

27

【解题分析】

根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.

【题目详解】

一副扑克牌共有54张，其中只有4张K,

42

二从一副扑克牌中随机抽出一张牌，得到K的概率是瓦=万，

2

故答案为：—.

27

【题目点拨】

此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事

件A的概率P(A)=-.

n

18、472

【解题分析】

分析：首先由SAPAB=^S矩形ABCD,得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线1上，作A关于直线1的对称

点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，

即PA+PB的最小值.

详解：设△ABP中AB边上的高是h.

..1

・SAPAB=-S矩形ABCD,

11

/.-AB«h=-AB«AD,

23

2

；・h=—AD=2,

3

动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线1上，如图，作A关于直线1的对称点E,连接AE,连接BE,则

BE的长就是所求的最短距离.

AE=2+2=4,

：•BE=VAS2+AE-=V42+42=4A/2，

即PA+PB的最小值为4形.

故答案为40.

点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质.得出动

点P所在的位置是解题的关键.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、（1）证明见解析；（2）AC=3&U,CD=!1,

【解题分析】

分析：（1）延长AO交BC于H,连接BO,证明A、O在线段BC的垂直平分线上，得出AOLBC,再由等腰三角形

的性质即可得出结论；（2）延长CD交。O于E,连接BE,则CE是。O的直径，由圆周角定理得出NEBC=90。，

ZE=ZBAC,得出sinE=sin/BAC,求出CE=』BC=10,由勾股定理求出BE=8,证出BE〃OA,得出丝■=变，

3BEDE

259011

求出OD=—,得出CD=—,而BE〃OA,由三角形中位线定理得出OH=—BE=4,CH=-BC=3,在R3ACH中，

131322

由勾股定理求出AC的长即可.

本题解析：

解：⑴证明：延长AO交BC于H,连接BO.

VAB=AC,OB=OC,

AA,O在线段BC的垂直平分线上....AOLBC.

又；AB=AC,.20平分NBAC.

Dt

图1

⑵延长CD交。O于E,连接BE,则CE是。O的直径.

.\ZEBC=90o,BC±BE.

VZE=ZBAC,：.sinE=sinZBAC.

nr55

:.—CE=-BC=10.

flAX

/.BE=JcT_~=8,OA=OE=：CE=5.

VAH±BC,/.BE/7OA.

.OA_ODpn5__OD_

*'HI-ni,Bx-s—nD,

解得OD=Y^..\CD=5+：fl

VBE/7OA,即BE〃OH,OC=OE,.♦.OH是△CEB的中位线.

.*.OH=1BE=4,CH=BC=3./.AH=5+4=9.

)，

在RtAACH中，AC=7X177717=W；=3%伍.

点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角函数及圆的有关计算，(1)中由三线合一定理求解是解题的关键，

(2)中由圆周角定理得出NEBC=90。，ZE=ZBAC,再利用三角函数及三角形中位线定理求出AC即可，本题综合

性强，有一定难度.

20、(1)x>-l；(2)a是不等式的解.

【解题分析】

(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得.

(2)根据不等式的解的定义求解可得

【题目详解】

解：(1)去分母得：解烂3(2+x),

去括号得：2-xW6+3x,

移项、合并同类项得：-4x7,

系数化为1得：x>-l.

(2)Va>2,不等式的解集为壮-1,而2>-1,

•••a是不等式的解.

【题目点拨】

本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键

21、(1)证明见解析；(2)①NOCE=45。；②EF=2g-2.

【解题分析】

【试题分析】(1)根据直线与。O相切的性质，得OCLCD.

又因为ADLCD,根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得：AD//OC.NDAC=NOCA.又因为

OC=OA,根据等边对等角，得NOAC=NOCA.等量代换得：NDAC=NOAC.根据角平分线的定义得：AC平分NDAO.

(2)①因为AD//OC,ZDAO=105°,根据两直线平行，同位角相等得，ZEOC=ZDAO=105°,在AOCE中，NE=30。,

利用内角和定理，得：NOCE=45。.

②作OGLCE于点G,根据垂径定理可得FG=CG,因为OC=2后，NOCE=45。.等腰直角三角形的斜边是腰长的加

倍，得CG=OG=2.FG=2.在RtAOGE中，ZE=30°,得GE=2^3，则EF=GE-FG=262

【试题解析】

(1)I•直线与。O相切，AOCICD.

XVAD1CD,/.AD//OC.

ZDAC=ZOCA.

XVOC=OA,/.ZOAC=ZOCA.

ZDAC=ZOAC.

AAC平分NDAO.

(2)解：©VAD//OC,ZDAO=105°,/.ZEOC=ZDAO=105°

VZE=30°,AZOCE=45°.

②作OG_LCE于点G,可得FG=CG

,:OC=2.72，ZOCE=45°./.CG=OG=2.

，FG=2.

V在RtAOGE中，ZE=30°，：.GE=273.

/.EF=GE-FG=2A/3-2.

【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理,

难度为中等.

22、(1)0.3,45；(2)108°；(3)

6

【解题分析】

(1)首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、ft；

(2)B组的频率乘以360。即可求得答案；

(2)画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；

【题目详解】

30

(1)本次调查的总人数为17+为17=100(人)则。=——=0.3,6=100x0.45=45(人).

100

故答案为0.3,45；

(2)360°x0.3=108°.

答：扇形统计图中5组对应扇形的圆心角为108。.

(3)将同一班级的甲、乙学生记为A、B,另外两学生记为C、D,画树形图得：

开始

2I

•.•共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，二甲、乙两名同学都被选中的概率为二=：.

【题目点拨】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

23、(1)作图见解析，E(O,D,F(-2,0)；(2)①66；②一.

9

【解题分析】

(1)根据题意，画出对应的图形，根据旋转的性质可得OE=Q4=1,OF=OB=2,从而求出点E、F的坐标；

(2)过点。作£>GJ_x轴于G,过点C作轴于〃，过点。作CPLZX；于尸，根据相似三角形的判定证出

APCD^AOAB,列出比例式，设。(〃?,“)，根据反比例函数解析式可得〃=2m+4(I)；

①根据等角对等边可得AH=CH,可列方程根+1=〃-4(11),然后联立方程即可求出点D的坐标，从而求出k的值;

②用m、n表示出点M、N的坐标即可求出直线MN的解析式，利于点D和点C的坐标即可求出反比例函数的解析

式，联立两个解析式，令△=()即可求出m的值，从而求出k的值.

【题目详解】

解：(1)点A(1,0),B(0,2),

OA=1,OB=2,

如图1,

由旋转知，ZAOE=ZBOF=90°,OE=OA=1,OF=OB=2,

，点E在y轴正半轴上，点厂在x轴负半轴上，

.••£(0,1),砥-2,0)；

(2)过点。作£>GJ_x轴于G,过点C作CHLx轴于H,过点C作CPLDG于P,

:.PC=GH,ZCPD=ZAOB=90°,

CD!/AB,

ZOAB=ZOQD9

CP//OQ,

/.ZPCD=ZAQD,

:.ZPCD=ZOABf

ZCPD=ZAOB=90°9

:.\PCD^\OAB9

,PCPDCD

一~OA~~OB~^B9

OA=i,05=2,CD^IAB,

:.PC=2OA=2,PD=2OB=4f

：.GH=PC=2,

设D(m,ri),

/.C(m+2,n—4),

CH=n—49AH=m+2—l=m+l,

k

点C,。在双曲线y=—(x>0)上,

x

mn=k=(m+2)(〃—4),

/.n=2m+4(I)

①ZOAC=135°9

/.ZCAQ=45°,

ZOHC=90°,

:.AH=CH,

/.m+l=n-4(11),

联立(1)(II)解得：m=1>n—69

:.k=mn=6；

②如图3,

£)(m,ri),C(m+2,n—4),

Af(m+2,0),Ng,ri),

n=2m+4，

7V(0,2m+4),

「•直线脑V的解析式为y=-2x+2m+4(皿),

-33kmnm(2m+4)

双曲线y=_=——=----------(IV),

XXX

联立(ni)(w)得：—2x+2m+4=mQm+”,

x

即：x2—(m+2)x+(m2+2m)=0,

△=(加+2)2-4(m2+2m),

直线MN与双曲线y=月有唯一公共点，

X

△二0,

△=(m+2)2—4(m2+2m)=0,

2

加二一2(舍)或加=一,

3

c/c2i6

/.n=2m+4=2x—+4y=l——,

33

,32

/.k=mn=——.

9

32

故答案为：.

【题目点拨】

此题考查的是反比例函数与一次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、旋转

的性质、相似三角形的判定及性质是解决此题的关键.

24、(1)相切，理由见解析；(1)1.

【解题分析】

(1)求出OD〃AC,得至！JODLBC,根据切线的判定得出即可；

⑴根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.

【题目详