2024届海南省四校高三年级下册一模数学试题及答案

海南中学、海口一中、文昌中学、嘉积中学

2024届高三联考试题

数学

时间：120分钟满分：150分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试

卷上无效.

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.

第I卷选择题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A={Rd-6%-7WO},B={x||x-3|>1},则Ac5=（）

A.[-1,2）o（4,7]B.[-l,7]C.（-1,2）D（4,7）D.（2,4）

2.若古典概型的样本空间O={1,2,3,4},事件A={1,2},事件A,8相互独立，则事件B可以是（）

A.{1,3}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{2,3,4）

3.已知a,尸是两个不同的平面，祖,"是两条不同的直线，则下列命题错误的是（）

A.如果a〃4,a,那么〃〃夕

B.如果〃7,那么m

C.如果m〃%那么“_Lcz

D.如果用_L〃，机_La,〃〃夕，那么a_L〃

4.在锐角，A3c中，角A,5c的对边分别为a,"C,且a=3,A=60,则》的取值范围是（）

A.（O,6）B,（0,2A/3）C.（指,26）D,（A/3,6）

5.已知直线/:2x+3y—l=0的倾斜角为夕，则cos（e+兀）应!11—（）

996

A.—B.——C.—D.——

13131313

6.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A3存在如下关系:

唳”"1.若某地区一种疾病的患病率是0.05,现有一种试剂可以检验被检者是否患病.

已知该试剂的准确率为95%,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试

剂的误报率为0.5%,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽

取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（）

4959951021

A.------B.------C.—D.—

100010001122

7.已知三棱锥O-ABC的体积是看,43,C是球。的球面上的三个点，且/ACB=120,

AB=y/3,AC+BC=2,则球。的表面积为（）

A.36兀B.24兀C.12兀D.8兀

8.已知过抛物线C:/=2PMp>0）焦点厂的直线交C于A,8两点，点A,B在C的准线上的射影分别为

点4,与，线段的垂直平分线/的倾斜角为120，若|4团=4,则2=（）

1

A.-B.lC.2D.4

2

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若z=3+'i（i为虚数单位），则下列说法正确的为（）

22

A.|z|=lB.2-z=z2C.£3=iD.z2+z2024=0

10.已知函数〃%）=sins+£（0〉0）,则下列说法正确的是（）

A.若o=1,则H,0）是/（x）的图象的对称中心

B.若恒成立,则。的最小值为2

兀2

C.若/（力在0,-上单调递增，则0<0«]

D.若/（x）在［0,2可上恰有2个零点，则在40K在

11.已知定义在R上的奇函数/（x）,满足/（2x—1）=〃3-2力，当xe［0,l］时，f（x）=x,则下列结

论正确的是（）

A.函数/（x）的最小正周期为6

B.函数/■（x）在［2024,2025］上递增

22

c£f（k）=i

k=\

D.方程y（x）=log5|X有4个根

第n卷非选择题

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a,。满足|a|=1,||=3,a—匕=（2,,则Ra+4.

13.设等差数列｛4｝的前〃项和为Sn,若%+%=-10,S$=-42,则与=.

14.在「ABC中，A（-3,0）,3（3,0）,CDLAB于0,若H为ABC的垂心，且CD=9CH厕H到直线

x+>/2y+8=0距离的最小值是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

远程桌面连接是一种常见的远程操作电脑的方法，除了windows系统中可以使用内置的应用程序，通过输

入/尸地址等连接到他人电脑，也可以通过向日葵，anyviewer等远程桌面软件，双方一起打开软件，通过

软件随机产生的对接码，安全的远程访问和控制另一台电脑.某远程桌面软件的对接码是一个由-1,2,3”这

3个数字组成的五位数，每个数字至少出现一次.

（1）求满足条件的对接码的个数；

（2）若对接码中数字1出现的次数为X，求X的分布列和数学期望.

16.（本小题满分15分）

已知函数/=f-alnx+l,aeR.

（1）当a=l时，求曲线y=/（x）在点（1,/。））处的切线方程；

（2）当a>0时，若函数/（x）有最小值2,求a的值.

17.（本小题满分15分）

如图，四棱锥尸-A3CD的底面为矩形，平面PCD,平面A5CD,PCD是边长为2等边三角形，

3。=、/万，点E为的中点，点M为线段。石上一点（与点P,E不重合）.

（1）证明：AM1BD；

（2）当A"为何值时，直线A"与平面所成的角最大?

18.（本小题满分17分）

已知椭圆。：二+斗=1（。〉人〉0）的离心率为"，点P（0,2）在椭圆。上，过点P的两条直线尸APB

ab3

分别与椭圆C交于另一点48,且直线PAPB,AB的斜率满足kPA+kPB=4kAe（心丰0）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）证明直线AB过定点；

（3）椭圆C的焦点分别为耳，心，求凸四边形耳AgB面积的取值范围.

19.（本小题满分17分）

若有穷数列…4（〃是正整数），满足q=a,i+i（zeN,且"三耳，就称该数列为“S数列

（1）已知数列也｝是项数为7的S数列，且4也，色也成等比数列，4=2也=8,试写出也｝的每一

项；

（2）已知匕｝是项数为2左+1（左N1）的S数列，且，+1，/+2,…构成首项为I。。，公差为-4的等差数

列，数列｛c.｝的前2左+1项和为邑Z，则当左为何值时，s2Hl取到最大值？最大值为多少？

（3）对于给定的正整数相＞1,试写出所有项数不超过2m的S数列，使得1,2,2?…2“T成为数列中的连

续项；当相＞1500时，试求这些S数列的前2024项和S2024.

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2024届高三联考题答案

数学

第I卷选择题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

题号12345678

答案AADCBCAB

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案ACDABCBC

第II卷非选择题

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.37213.1014.73

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解：（1）当对接码中一个数字出现3次，另外两个数字各出现1次时，

c1A53x5x4x3x2xl“

种数为：看----------------------=60,

A；3x2x1

当对接码中两个数字各出现2次，另外一个数字出现1次时,

_3x5x4x3x2xl

种数为:=90,

2xlx2xl

所有满足条件的对接码的个数为150.

（2）随机变量X的取值为1,2,3,其分布列为:

C；A\C；A;5

I______ZDZD

AA62

P（X=1）=其-----22=—=2）=L

15015'''15015-5

故概率分布表为:

X123

722

P

15715

7?25

故E(X)=lx—+2x—+3x—=—.

v7155153

16.解：⑴当a=l时，/(x)=x2—膻+1,丁=/(同的定义域为(0,+"),

则/''(X)=2X—L,则==+l=

X1

由于函数“X)在点处切线方程为y—2=X—1,即y=x+l.

(2)/(x)=x2-alm.+l,aeR的定义域为(0,+“),

当a>0时，令/''(x)>。，解得：x>J|;令/''(x)<0,解得：0<x<

所以/(x)在0,J|］上单调递减，在jj|，+力上单调递增,

则令f=W>0,设g«)=f_rtnr_l,g'«)=_lnf,

令解得：/>1；令g'(f)>0,解得：0</<1,

所以g⑺在(0,1)上单调递增，在(1,+“)上单调递减，

所以/=0=1,解得：。=2.

2

(不说明唯一性猜”值扣3分)

17.(1)证明：连接AE，因为，PCD是等边三角形，且E是。C中点,

所以

又因为尸Eu平面PC£＞，平面。8_1_平面438,

平面PCDc平面ABCD=CD,

所以PE_L平面ABC。，

又因为皮）u面ABC。，所以石

因为。E=1,AD=行,48=2,匹=生，

ADAB

所以Rj-EDAsRtDAB,ZDAE=ZABD,

兀

所以/B4E+/A&）=—,即AEL5D，

2

因为班＞，PE,AEcPE=E,AEu平面？AE,PEu平面Q4E,

所以5。，平面Q4E，

又因为平面Q4E，所以

另证：（1）因为三角形尸8是等边三角形，且E是OC中点，

所以尸ELCD,

又因为尸Eu平面PCD，平面PCDJ■平面ABCD,

平面PCDc平面ABCD=CD,

所以PE,平面A3CD

设厂是A3中点，以E为原点，E尸所在直线为x轴，EC所在直线为》轴，石尸所在直线为z轴，建立

空间直角坐标系，

由已知得石（0,0,0）,川四,-1,0）,网包1,0）,。（0,-1,0）,网0,0,石）,

设河（0,0,加）（0＜加＜石），

则AM=（—五,1,73，加=（—形,_2,0）,4河.5£＞=2_2+0=0,

所以

（2）解：设厂是A3中点，以E为原点，EF所在直线为x轴，EC所在直线为》轴，石尸所在直线为z

轴，建立空间直角坐标系，

由已知得后（0,0,0）,4（&,-1,0）,网戊』,0）,」（0,—1,0）,网0,0,四）,

设河（0,0,加）（0＜加＜石），

则AM=（-立1,m），BD=（-V2,-2,0）,DM=（0,l,m）

设平面BDM的法向量为n=（a,b,c）,

n-BD=-y/2a-2b=0

n-DM=b+me=0

令Z?=1,有〃=

设直线A"与平面所成的角1，

（表达式2分，不等式1分）

当且仅当加=1时取等号，

当AM=2时，直线AM与平面所成角最大.

b=2

A/6

18.解：（1）由题设得＜

3

=b2+C

解得"=12,所以C的方程为土+匕=1

124

（2）由题意可设&）：y=乙+加（7篦。2）,设4（%,%）,3（%2，，2），

y=kx+m

由<%2y2,整理得（1+3左2卜2+6物a+3>—12=0,

1124

A=36左2m之一40+3左2）（3*—12）=1202左2—川+4）.

3m2—12—6mk

由韦达定理得再％=~Mie~,Xi+X1=Mie

y—2y—2

由勺左PB=4左4B得4----+—9—=4k,

石x2

kx.+m-2kx.+m-2,

即」-------+—--------=4Ak,

七超

所以（相一2）（%+x2）—2kxlx2=。

整理得2加左（加一2）=2（4—加2）%,因为kwO,得加2—加一2=0,

解得根=2或根二一1,

%=2时，直线AB过定点尸（0,2）舍去；

加=一1时，满足A=36（4左2+1）＞0,

所以直线AB过定点

（3）由（2）知

=］由与恒—%|二2夜|左|年一引

=2企附,14442：3色二12〃4k飞

111+3左21+3产

71,11

因为"&=荻，所以内＞§，所以0〈记＜8,

令t=J'+4/e（2,2百），

所以4%3=1201=12a二，在/€（2,26）上单调递减,

t

所以SFJF#的范围是当6,8点.

\7

19.解:(1)设｛<｝的公比为4,则&=刖2=2q?=8,相=4,

解得4=±2

当q=2时,数列色｝为2,4,8,16,8,4,2

当q=—2时，数列色｝为2,-4,8,-16,8,-4,2

(2)S2k+l=q+c2+-ck+ck+l+ck+2.......+c2jt+1

^2k+\=C；+C2+Ck+Ck+1+G+2+C2jt+1

(/、(k+l)k/、)

=2x1OO(Z:+1)+1——^--(-4)-100

I2)

=200左+200+(-4)左(左+1)—100

(492、

=—4左2_49左+—492+100

I4J+

=—d+2501

当左=24或25时，S2/+1取得最大值2500.

另解：当该S数列恰为4,81.96,100,96,.8,4

或0,