专题01 平面向量-【好题汇编】备战2023-2024学年高一数学下学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第二册）（解析版）

专题01平面向量平面向量的概念1．（11-12高一上·陕西·期末）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.对于B，因为，故，故B正确.对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.对于D，因为交于，故不成立，故D错误，故选：D.（多选）2．（23-24高一上·辽宁·期末）下列命题正确的是（

）A．数轴上零向量的坐标为0B．若与都是单位向量，则的最小值为0C．若，则D．若，则线段的中点坐标为【答案】ABD【详解】数轴上零向量的坐标为正确.若与都是单位向量，当方向相反时，的最小值为正确.若，则，错误.若，则线段的中点坐标为，正确.故选：ABD.（多选）3．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）下列命题中正确的是（

）A．单位向量的模都相等B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】AD【详解】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确；根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误；向量不能够比较大小，故C错误；根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确.故选：AD.线性运算1．（17-18高一上·北京西城·期末）如图，在矩形中，（）

A． B． C． D．【答案】B【详解】在矩形中，.故选：B2．（10-11高一下·山东济南·期末）已知，，，且与垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，与垂直，，解得：.故选：C.3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量．(1)若，求证：三点共线；(2)若与共线，求实数k的值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由，得,,所以，且有公共点B，所以三点共线.（2）由与共线，则存在实数，使得，即，又是不共线的两个非零向量，因此，解得，或，实数k的值是基本定理及坐标运算1．（23-24高一下·广东·期末）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图所示，延长交于，由已知为的重心，则点为的中点，可得，且，又由，可得是的四等分点，则，因为，所以，，所以．故选：C.2．（22-23高一下·河北·期末）已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，与共线的单位向量是．故选：A．3．（23-24高一下·广东·期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为．【答案】【详解】由向量和，可得，则在上的投影向量的坐标为．故答案为：.4．（21-22高一下·全国·期末）如图，在梯形中，，点是的中点，点在线段上，若，则的值为.

【答案】/【详解】由题意得，，因为，D，F三点共线，所以，解得.故答案为：向量的数量积1．（21-22高一下·北京海淀·期末）已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由向量，是两个单位向量，且与的夹角为锐角，可设.则，因为，所以，所以，故“与的夹角为锐角”是“”的充分条件；若，则，但此时，不是锐角，所以“与的夹角为锐角”是“”的不必要条件.总之，“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件.故选：A2．（22-23高一下·西藏林芝·期末）已知向量，为单位向量，且与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为向量，为单位向量，且与的夹角为，所以，所以向量在向量上的投影向量为，故选：D.3．（18-19高一上·福建福州·期末）设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意是两个单位向量，且，所以，解得，由，所以.故选：C.4．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知等边的边长为6，D在上且，E为线段上的动点，求的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设，则，，设，又，则，，，，所以时，取得最小值12，时，取得最大值28，所以的取值范围是，故选：B．5．（22-23高一下·山西大同·期末）已知，，.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值．【答案】(1)(2)【详解】（1），由，得，所以.（2）因为，，所以，.令向量与的夹角为θ，则，即向量与夹角的余弦值是.极化恒等式1．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知平面向量满足，，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则夹角的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因，则，依题意，恒成立，而，为不共线的单位向量，即有，于是得恒成立，则，即有，又，解得，所以夹角的最小值是.故选：B2．（16-17高一下·辽宁沈阳·期末）在锐角中，，，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：以为原点，所在直线为轴建立坐标系，，，，设是锐角三角形，，，即在如图的线段上（不与，重合），，，.则，的范围为.故选：A.3．（22-23高一下·广东深圳·期末）四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为.【答案】【详解】因为，，又点分别是的中点，所以，所以，，又，所以，又点分别是的中点，所以，因为，所以，即，设，，则，所以，所以，所以当即时，有最大值1，即有最大值为.故答案为：4．（20-21高一下·浙江·期末）已知为单位向量，平面向量，满足，则的最小值为.【答案】【详解】解：取单位向量，以点为圆心，1为半径作圆，在圆周上任取两点、，令，，如图所示；设，则，；作圆的垂直于的切线分别交直线于、两点，易得，，；所以，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立，即；综上知，的取值范围是，．故答案为：．5．（18-19高一下·河南鹤壁·期末）在中，.以为圆心，2为半径作圆，线段为该圆的一条直径，则的最小值为.【答案】-10【详解】由题线段为该圆的一条直径，设夹角为，可得：，当夹角为时取得最小值-10.故答案为：-10等和线1．（22-23高一下·福建三明·期末）设为的内心，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】取的中点，连，因为，，所以，，所以的内心在线段上，为内切圆的半径，因为，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所以.

故选：B.（多选）2．（22-23高一下·江西景德镇·期末）在平行四边形中，点为边中点，点为边上靠近点的三等分点，连接，交于点，连接，点为上靠近点的三等分点，记，，则下列说法正确的是（

）A．点，，三点共线B．若，则C．D．，为平行四边形的面积【答案】ACD【详解】如图所示:

平行四边形中，因为点为上靠近点的三等分点，所以,,所以,设,所以，又有公共点，所以点三点共线，故A选项正确；设,，故，所以，故B选项错误；,因为，所以，故，C选项正确；因为，，故D选项正确.故选：ACD.(多选)3．（22-23高一下·福建漳州·期末）已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（

）A．若是中点，则B．若，则C．与不共线D．若，则【答案】ABD【详解】对于A，连接交于点，则点是的中点，是中点，连接，所以，所以，可得，故A正确；

对于B，取的中点，连接、，因为点为外心，所以，所以，若，则，所以，故B正确；

对于C，因为点为垂心，所以，因为，所以，而，所以与共线，故C错误；

对于D，分别做、交、于、点，连接延长交于点，可得，设内切圆半径为，则，所以，，所以，即①，，所以，即②，由①②可得，在中由余弦定理可得，因为，可得，所以，故D正确.

故选：ABD.（多选）4．（22-23高一下·河北唐山·期末）如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（

）

A．满足的点有且只有一个B．满足的点有两个C．存在最小值D．不存在最大值【答案】BC【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形的边长为1，，则，所以，，由，得，所以，所以，①当点在上时，，且，所以；②当点在（不含点B）上时，则，所以，化简，所以，因为，所以，即；③当点在（不含点C）上时，，且，所以，即，所以；④当点在（不含点A、D）上时，则，所以，化简，所以，因为，所以，所以；对于A，由①知，当时，，此时点与点重合；由④可知当时，，，此时点在的中点处；其它均不可能，所以这样的点有两个，所以A错误，对于B，由②知，当时，，，此时点在的中点；由③知，当时，，，此时点在点处；其它均不可能，所以这样的点有两个，所以B正确，对于CD，由①②③④可得：当，即点为点时，取到最小值0；当，即点为点时，取到最大值3，所以C正确，D错误，故选：BC.

5．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为.

【答案】【详解】因为，所以，所以，又，，所以，因为，，三点共线，所以，由图可知，，所以，当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为.

故答案为：6．（23-24高一上·辽宁·期末）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．(1)若，求的值；(2)若，，求的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，因为是线段的中点，所以，又因为，设，则有，因为三点共线，所以，解得，即，所以．（2）因为，，由（1）可知，，所以，因为三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．奔驰定理（多选）1．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（

）．A．若，则O为的重心B．若，则C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则D．若，，，则【答案】ABC【详解】对于A，设的中点为D，则，

即三点共线，则，设为的中点，同理可得，故O为的重心，A正确；对于B，若，结合，可知，B正确；对于C，，，，又O为（不为直角三角形）的垂心，设延长后交与G，则,同理，则，即，同理，

故，同理，又，，又O为（不为直角三角形）的垂心，则，故，即，同理，则，同理，故，又，可得，C正确；对于D，中，，，则，又，故，则，故，D错误，故选：ABC（多选）2．（22-23高一下·新疆昌吉·期末）有下列说法其中正确的说法为（

）A．若，，则B．若，则存在唯一实数使得C．两个非零向量，，若，则与共线且反向D．若，，分别表示，的面积，则【答案】BCD【详解】对于A项，若，当时，不一定有，故A项错误；对于B项，若，则存在唯一实数使得，故B项正确；对于C项，两个非零向量，若，则与共线且反向，故C项正确；对于D项，因为，整理得，如图所示：

分别取BC，AC的中点E，F，故，即，所以三点共线，故，,所以，，，故，故D项正确.故选：BCD.（多选）3．（19-20高一下·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的是（

）A．对于向量，，，有B．在中，向量与满足，且，则△ABC为等边三角形C．若，分别表示的面积，则D．在中，设D是BC边上一点，且满足，则λ+μ＝0【答案】BCD【详解】对A，平面向量不满足乘法结合律，A错误；对B，因为，所以的平分线垂直于BC，所以AB=AC，又因为，所以△ABC为等边三角形，B正确；对C，如图：因为，延长OA到，使得，延长OC到，使得，可得O为的重心，设的面积分别为，则的面积分别为，由重心性质可知，所以，C正确；对D，因为，而，所以,所以，所以λ+μ=0，D正确.故答案为：BCD.（多选）4．（19-20高一下·广东东莞·期末）已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（

）A．B．直线必过边的中点C．D．若，且，则