《应用举例（2）》名师课件

28.2.2应用举例第二课时（2）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．（1）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，若∠C=90°，则，

，

.（4）30°、45°、60°角的三角函数值：（见下页）（3）含30°角的直角三角形的三边比为；含45°角的直角三角形的三边比为.30°45°60°sinαcosαtanα方位角的定义活动1探究一:什么是方位角、坡角？重点知识★1.方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角，如图所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方位角．2．说出下列射线的方向．射线OA是____________，射线OB是____________，射线OC是____________，射线OD是____________________.北偏东55°南偏东30°南偏西35°北偏西45°或西北方向坡角的定义活动2探究一:什么是方位角、坡角？重点知识★坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度的l的比叫做坡度．一般用i表示．坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．坡度i与坡角α之间的关系：

＝tanα.应用知识，解决问题活动1探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么应用？重点知识★例1.如图所示，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？解：如图所示，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝

，∴BD＝AD•tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，∴CD＝AD•tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD•tan55°＝20＋AD•tan25°.∴AD＝

≈20.79>10.∴轮船继续向东行驶，不会有触礁危险．点拨：触礁问题的本质是求点到直线的距离，一般作垂线，通过解两次直角三角形来求公共边长度（即距离）.应用知识，解决问题活动1例2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么应用？重点知识★解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵

，

，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)．FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB的坡度i＝tanα＝≈0.33，∴α≈18.43°，∵

＝sinα，∴AB＝

＝≈72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α约为18.43°，坝底宽AD为132.5m，斜坡AB的长约为72.7m.应用知识，解决问题活动1点拨：求解坡角相关的问题，一般作高把斜坡放到直角三角形中来求解.探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么应用？重点知识★方法总结活动2利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三

角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么应用？重点知识★构造单一直角三角形活动1探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★例1：平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A为54°，斜边AB的长为2.1m，BC边上露出部分的长为0.9m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．(结果精确到0.1m，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A

＝180°－36°－54°＝90°.在Rt△ABC中，sinA＝

，则BC＝AB•sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．构造母子三角形活动2解：没有触礁的危险．理由如下：作PC⊥AB于C，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8，设PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形．∴BC＝PC＝x.在Rt△PAC中，∵tan∠PAC＝

，∴AC＝

，即8＋x＝

，解得x≈10.92，即PC≈10.92.∵10.92>10，∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．例2：如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．(参考数据：≈1.73)探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★构造背靠背三角形活动3例3：如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离(结果精确到0.1)；(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111)探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★构造背靠背三角形活动3解：(1)过C作CD⊥AB于点D.根据题意得：∠ACD＝42°，∠BCD＝55°.设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，则AD＝x•tan42°.在Rt△BCD中，tan∠BCD＝

，则BD＝x•tan55°.∵AB＝80海里，∴AD＋BD＝80海里，∴x•tan42°＋x•tan55°＝80.解得x≈34.4答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里．(2)在Rt△BCD中，cos55°＝

，∴BC＝≈60(海里)．答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★与梯形有关的角直角三角形活动4例4：如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，斜面坡度i＝1∶是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果保留小数点后一位．参考数据：

≈1.732，≈1.414)探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★与梯形有关的角直角三角形活动4探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★解：过点A作AF⊥BC，垂足为点F.在Rt△ABF中，∠B＝60°，AB＝6，∴AF＝AB·sinB＝6·sin60°＝3，BF＝AB·cosB＝6·cos60°＝3.∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，∴四边形AFED是矩形．∴DE＝AF＝3，FE＝AD＝4.在Rt△CDE中，i＝

＝

，∴EC＝ED＝×3＝9.∴BC＝BF＋FE＋EC＝3＋4＋9＝16.∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)•DE＝(4＋16)×3≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0.（1）方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向