24.3.2 正多边形和圆 教学设计

24.3.2正多边形和圆教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用正多边形和圆的关系密切，根据圆心角定理可知，画正多边形可以通过等分圆周来实现．这实际上是圆的性质的应用．本课用等分圆周的方法来画正多边形，在画正多边形和利用正多边形设计图案的过程中，感受正多边形和圆的和谐美．概念解析本节主要介绍了正多边形的画法，画正多边形的关键是等分圆周．而等分圆周的方法主要有两种，即用量角器等分圆周和用尺规作图等分圆周．思想方法正多边形的画图通过等分圆周来实现，体现了将正多边形的问题转化为圆的问题的思想方法．知识类型画正多边形的方法属于原理与规则的知识．教学重点本节课的教学重点为：正多边形的画法．教学目标解析教学目标：1．理解正多边形和圆的关系，会利用等分圆周的方法画正多边形．2．在画正多边形和利用正多边形设计图案的过程中，感受正多边形和圆的和谐美．目标解析：达成目标1的标志是能通过等分圆周作出正多边形并进行证明，会利用量角器等分圆周（可以画任意正多边形）和用尺规作图等分圆周（只能画特殊的正多边形）的方法画一些特殊的正多边形．达成目标2的标志是在画正多边形和利用正多边形设计图案的过程中，发展观察、比较、分析、概括及归纳的思维能力，体验数学与生活的紧密相连，感受正多边形和圆的和谐美．教学问题诊断分析具备的基础学生在七年级已经掌握了用量角器画五角星的方法，已经初步具备了用量角器等分圆周作正多边形的条件和基础，但是熟练程度有待加强．同时，学生在这之前也已经多次接触过尺规作图，对尺规作图也不陌生．与本课目标的差距分析画正多边形实际上是借助于圆的性质来得以实现的，学生对于为什么这么画、这么画的原理是什么不能很好地进行推理表述．存在的问题：理解画正多边形的原理，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，从而找到画正多边形的思路与方法．应对策略：在教学过程中，引导学生动手来画正多边形，特别要重视图形之间的关系，要引导学生联系圆的性质画正多边形，并且通过动手实践对等分圆周的方法有一个较深的认识．教学难点本节课的教学难点为：等分圆周作正多边形的原理的理解．教学支持条件分析作图可借助直尺、圆规、量角器等作图工具，由于尺规作图不能使用刻度尺和量角器，所以可以利用几何画板等动态几何软件，进行画图，提高教学中作图的效率和规范性．也可以借助同屏技术将学生利用等分圆周设计出来的图案展示出来，体现数学美．教学过程设计课前检测用量角器画五角星.设计意图：（1）检查学生对之前学习的用量角器等分圆周的掌握程度，为接下来等分圆周画正多边形做好铺垫．情境引入在实际生活中，经常会遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图，画一个五角形等，这些问题都与等分圆周有关，要制造如图中零件，也需要等分圆周．那么怎样画一个正多边形呢？合作探究问题1：请画一个边长为2cm的正五边形，你能找到画图的思路吗？师生活动设计：我们知道在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等．所以我们可以通过作相等的圆心角或者通过作相等的弦就可以来等分圆周，从而得到相应的正多边形．在正五边形ABCDE中（如图），O为正五边形的中心，我们知道，所以．我们可以按以下步骤作出满足条件的正五边形．（1）作线段AB，使AB的长等于2cm；（2）以AB为边，利用量角器，在线段AB的同侧作和，使，得到等腰三角形OAB．（3）以OA为半径作一个⊙O，用圆规量出AB的长，在圆O中依次作出与AB等长的弦的端点，这样就能得到圆的5个等分点，顺次连接各分点，即可得出正五边形．问题2：还有其他方法画一个边长为2cm的正五边形吗？师生活动设计：由于正多边形的内角都相等，我们还知道在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．所以我们可以通过作相等的弧就可以来等分圆周，从而得到相应的正多边形．我们先利用直尺和量角器，作出底边长为2cm，两底角为54°的等腰三角形OAB，以OA半径作一个⊙O，用量角器画一个等于的圆心角，它就对着一段弧，然后用圆规在圆上依次截取与这段弧相等的弧，就能得到圆的5个等分点，顺次连接各分点，即可得到正五边形．问题3：从前面两个操作过程中，你能归纳一下如何借助量角器画出正多边形？师生活动设计：借助量角器画已知边长的正n多边形的方法主要有三个：方法一：利用画等腰三角形，作出正多边形的外接圆，依次画出相等的中心角来等分圆周．方法二：利用画等腰三角形，作出正多边形的外接圆，先用量角器画一个的中心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧，同样能得到圆的n等分点，顺次连接各分点，即可得到正n边形．显然用量角器可以画出任意的正n多边形.方法三：先作出一条长度等于正多边形边长的线段，以这线段的端点为顶点，这条线段所在直线为角的一边，用量角器画一个大小等于的角，在这个角的另一边上以角的顶点为端点截取等于边长的线段，依此方法，依次画出正多边形的各边．设计意图：归纳用量角器作正多边形的三种方法，并且能够说出这么做的原理，由此加深对于正多边性质的认识．巩固新知例1：已知⊙O的半径为2cm，请用多种不同的方法画出圆的内接正六边形．师生活动设计：引导学生借助量角器用两种不同的方法来画出正六边形．追问1：还有其他方法画一个边长为2cm的正六边形吗？师生活动设计：其实对于一些特殊的正多边形，我们还可以用圆规和直尺来更加精确地作图.借助量角器用两种不同的方法来画出正六边形．由于正六边形的边长等于半径，所以在圆上依次截取等于半径2cm的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到正六边形．追问2：正n多边形是不是都能用尺规作图画出来？如果不能，你能用尺规作图画出哪些正多边形？师生活动设计：不是所有的正n多边形都能用尺规作图画出来的，只有一些特殊的正多边形才能用尺规作图画出来．比如正方形可以通过尺规作图作出两条互相垂直的直径，比如正三角形可以在正六边形的基础上，在6个等分点中，每隔一个选取等分点，连接三个等分点即可得到正三角形.当然还可以画出正八边形、正十二边形等等．如图，请你用尺规画出正三角形、正方形、正六边形、正八边形．请同学们课后去探究能用尺规作图画出正五边形．设计意图：通过设置例1以及追问，一方面巩固用量角器作正多边形的两种方法，另一方面介绍尺规作图作正多边形的方法.同时明确用量角器可以做出任意的正多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形.数学文化：用尺规作正多边形曾经在数学发展中引起数学家的高度关注，究竟哪些正多边能用尺规作图的方法画出？曾经困扰许多数学家．著名的德国数学家、物理学家和天文学家高斯（1777─1855年），在大学二年级时得出正十七边形的尺规作图的方法，证明可以按这个方法用尺规画出正17边形，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．解决了自欧几里得时代起就困扰着历代数学家的尺规作图这一难题．第一个真正的正十七边形尺规作图法是在1825年由约翰尼斯·厄钦格（JohannesErchinger）画出．测评1：已知⊙O的半径为2cm，请用多种不同的方法画圆的内接正八边形．师生活动设计：学生独立完成，教师再次巩固等分圆周作正多边形的方法．设计意图：①巩固等分圆周作正多边形的两种方法．；②检测目标（1）是否达成．例2：请用等分圆周的方法画出下列图案：师生活动设计：学生通过等分圆周的方法设计出上述图案，通过同屏技术将设计成果进行展示．设计意图：在画正多边形和利用正多边形设计图案的过程中，发展观察、比较、分析、概括及归纳的思维能力，体验数学与生活的紧密相连，感受正多边形和圆的和谐美．测评2：已知线段及如图形状的图案.（1）用直尺和圆规做出图中的图案，要求所作的图案中圆的半径为（保留作图痕迹）.（2）当=6时，求图案中阴影部分正六边形的面积.师生活动设计：学生独立完成，教师详细讲解．设计意图：（1）巩固等分圆周作图的方法；（2）能进行正六边形的面积，解决度量问题．

课堂小结回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）如何用等分圆周的方法画正多边形？（2）等分圆周画正多边形的原理是什么？设计意图：通过具体问题的思考，引导学生牢记用等分圆周的方法画正多边形的方法和步骤．目标检测设计1．从一个半径为10的圆形纸片上裁出一个最大的正六边形，此正六边形的边心距是（）A．5B．10C．5D．102．正方形的边长为2，则正方形外接圆的半径是（）A．1B．C．D．23．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）4．有一个边长为40cm的正方形洞口，要用一个圆