27.2.2 相似三角形的判定 提升训练（解析版）

27.2.2相似三角形的判定提升训练1．如图，在中，，BE、CF分别是AC、AB边上的高，连接EF，则的值为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】先证明得到，接着可以判断得到比例式，再利用含的直角三角形三边的关系得到，即，可得到的值．【详解】∵BE，CF分别是AC，AB边上的高，∴，∵，∴，，即.又∵，∴，∴.∵在中，，∴，.故选项A正确.【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质与判定及含有的直角三角形具有的特殊边的关系．2．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（）A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）【答案】B【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝，MO＝3，进而得出答案．【详解】如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，过点C作CM⊥x轴于点M．∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO=90°，∴△AEO∽△OMC，∴，∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中，，∴△ABN≌△OCM（AAS），∴BN=CM．∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，∴BN，∴CM，∴，∴MO=3，∴点C的坐标是：（3，）．故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.3．如图，把菱形向平移至的位置，作，垂足为与相交于点的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④，则正确的结论有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先证明，再根据直角三角形性质和菱形性质以及相似三角形的判定即可一一判断．【详解】解：∵把菱形向右平移至的位置，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，故①正确；∵DE=DH，∴∠DHE=∠DEH，∵四边形CDFE是菱形，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，故②正确；∵，∴，∵，∴，∵，∴是的中位线，∴，∴，故③正确；∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴．故④正确；正确的有：①②③④，故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质、平移变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．4．如图，AB、DE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=20°，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转α°（0＜α＜180），当α=______时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．【答案】50、70或160【分析】分三种情况，当，，时，直径DE在△ABC中截得的三角形都与△ABC相似，既如图1，2，3，数形结合即可得出结果．【详解】解：如图1所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE交BC于点F，连接OC，是的直径，故当时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．如图2所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE与BC交于点F，连接OC，是的直径，故当时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．如图3所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE与AC交于点F，连接OC，是的直径，故当时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．故答案为：50、70或160．【点睛】本题主要考查了三角形相似的知识，涉及到图形的旋转，分三种情况讨论，数形结合是解此题的关键．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．【答案】【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得，即可求解．【详解】解：如图，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴∴CQ＝，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相似比计算线段的长度是常用的方法．6．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边BC，CD上，且CE＝DF，DE，AF交于点G，AF的中点为点H，连接BG，DH．现有以下结论：①AF⊥DE；②△ADG∽△DEC；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．其中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②【分析】证明△ADF≌△DCE，再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到∠DGF=90°，可判断①②；如图所示，连接AE，得到A、B、E、G四点共圆，则∠AEB=∠AGB，当∠AED=∠DEC时，可证明，又E是BC上任意一点，则∠AED不一定等于∠DEC，即可判断③；△DHF是等腰三角形，而G点是动点，△ABG不一定是等腰三角形，即可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，又∵DF=EC=，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC，∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠EDC+∠AFD=90°，∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，故①正确；∴∠DGA=∠ECD=90°，又∵∠DAG=∠EDC，∴△ADG∽△DEC，故②正确；如图所示，连接AE，∵∠ABE=∠AGE=90°，∴A、B、E、G四点共圆，∴∠AEB=∠AGB，∵点H是AF的中点，∴AH=HF=DH，∴∠HDF=∠HFD，∴∠DHF+2∠AFD=180°，当∠AED=∠DEC时，则∠AEB+2∠DEC=180°，∴∠AEB=∠DHF=∠AGB，∴，又∵E是BC上任意一点，∴∠AED不一定等于∠DEC，∴DH与BG不一定平行，故③错误；∵△DHF是等腰三角形，而G点是动点，△ABG不一定是等腰三角形，∴△ABG与△DHF不一定相似，故④错误；故答案为：①②．故答案为：①④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，四点共圆，圆周角定理，直角三角形斜边中线定理，知识点较多，有一定难度，解题时注意利用线段和角度关系．7．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接为上一点，且(1)求证：(2)若，，求的长【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）利用平行四边形的性质可得到，结合条件可证得；（2）利用平行四边形的面积公式，结合勾股定理可求得AE；【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，∴，∴∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵∴，∴，∴；【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．注意方程思想的应用．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；（2）若CE＝5，，BD＝6．求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断；（2）解直角三角形求出，，利用相似三角形的性质求出，即可．【详解】（1）证明：，，为边上的高，，，，是的