28.1.3 特殊角的三角函数值 提升训练（解析版）

28.1.3特殊角的三角函数值提升训练1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝BC，若∠BAC＝45°，∠B＝75°，则下列等式成立的是（

）A．AB＝2CD B． C． D．【答案】B【分析】连接OB、OC，过O作AB的垂线，垂足为E，交CD于点F．由已知可得AB∥CD，则OF⊥CD，且∠BOC=90°，E、F分别是AB、CD的中点；易证△BOE≌△OCF，从而BE与CF的关系，即可得AB与CD的关系．【详解】如图，连接OB、OC，过O作AB的垂线，垂足为E，交CD于点F．∵AD=BC，∴，∴∠ACD=∠BAC=45°．∴AB∥CD．∵OE⊥AB，∴AB=BE，OF⊥CD．∴CD=2CF．

∵∠BAC、∠BOC对着同一弧，∴∠BOC=2∠BAC=90°．∴∠EOB+∠COF=90°．∵∠EOB+∠OBE=90°，∴∠OBE=∠COF．∵∠OEB=∠CFO=90°，OB=OC，∴△BOE≌△OCF．∴OE=CF．∵OB=OC，∴∠OBC=45°．∵∠ABC=75°，∴∠OBE=∠ABC-∠OBC=30°．∴．∴．∵AB=2BE，CD=2CF，∴．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，构造辅助线并证明△BOE≌△OCF是问题的关键．2．如图，已知点M，N分别是矩形边和的中点，点E在边上，将沿折叠，使点C恰好落在线段上的点F处，得到三角形，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先证四边形是矩形，得到，由折叠的性质可，，，得到，可以得到，则，得，即可得到答案．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，∵点M，N分别是矩形边和的中点，∴，，∴四边形是矩形，∴，∵沿折叠，使点C恰好落在线段上的点F处，得到三角形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、特殊角的三角函数、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接AC'，首先求出tan∠BAC，然后根据勾股定理求出AC的长，最后根据S阴＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′代入数值即可求解．【详解】连接AC'，在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝1，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝30°，∵旋转角为30°，∴A、B′、C共线．∴AC＝＝＝2，∵S阴＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，∴S阴＝﹣＝﹣，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积，锐角三角函数，关键是要作出辅助线将阴影面积转化成扇形面积减去三角形面积．4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积______．【答案】【分析】首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB的面积，继而求得阴影部分面积．【详解】解：如图，连接OD，根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，∴OB=OD=BD，即△OBD是等边三角形，∴∠DBO=60°，∴∠CBO=∠DBO=30°，∵∠AOB=90°，∴OC=OB•tan∠CBO=6，∴S△BDC=S△OBC=×OB×OC=×6×=6，S扇形AOB=π×62=9π，∴整个阴影部分的面积为：S扇形AOB-S△BDC-S△OBC=9π-6-6=9π-12，故答案为：.【点睛】本题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．5．如图，四边形是正方形，以为边向外作为上的一点，连接．若四边形是菱形，则的度数为________．【答案】##15度【分析】过点作的垂线，垂足分别为，四边形是矩形，得出，可得，进而即可求解．【详解】∵四边形是正方形，∴，，如图，过点作的垂线，垂足分别为，∴四边形是矩形，∵四边形是菱形，∴∴，∴，∴．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，特殊角的三角函数值，求得是解题的关键．6．如图，中，，顶点A，B分别在反比例函数与的图象上，则的度数为______．【答案】##60度【分析】过A作轴于C，过B作轴于D，得到，根据反比例函数的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出与的比值，从而得到的值，即可得到的值【详解】过A作轴于C，过B作轴于D，则，∵顶点A，B分别在反比例函数与的图象上,∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作，垂是为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B(1)求证：；(2)若，求∠ADE的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）易证∠ADF=∠CED和∠AFD=∠DCE，即可证明△ADF∽△DEC．（2）根据平行四边形对边相等可求得CD的长，根据△ADF∽△DEC可得，即可求得DE的长，根据勾股定理可以求得AE的长，根据tan∠ADE=即可解题．(1)证明：∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠DCE=180°，∠ADF=∠CED，∵∠B=∠AFE，∠AFD+∠AFE=180°，∴∠AFD=∠DCE，∴△ADF∽△DEC；(2)解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB，AD∥BC，∴，∵∴AE⊥AD，∵△ADF∽△DEC，，∴，即，∴DE=12，∵在RT△ADE中，AE2=DE2-AD2，∴AE=6，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形对边平行且相等的性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△ADF∽△DEC，学会转化的思想．8．已知：如图，在中，，cm，cm，为边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为cm/s；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为cm/s．设运动时间为．解答下列问题：(1)当为何值时，；(2)当中点在上时，求的值；(3)设四边形的面积为，求与的函数关系式，并求最小值；(4)是否存在某一时刻，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)s；(3)，取得最小值为；(4)存在某一时刻s，使得【分析】（1）证明得到，即，求出t即可；（2）设与相交与点，则为中点，过作于点，利用三角函数求出，进而得到，，，求出，得到，求出t；（3）根据求出函数解析式，利用二次函数的性质解答；（4）当时，过作交于，利用等腰三角形三线合一的性质得到，表示出AN、AP，利用三角函数求出t．（1）由题意可知，，，，，，解得，当时，；（2）设与相交与点，则为中点，过