宁夏平罗县新高考压轴卷数学试卷及答案解析

宁夏平罗县新高考压轴卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，若点的横坐标为，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．若为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（）A．E B．F C．G D．H3．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为A．4 B．5 C．6 D．74．设椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（）A． B． C． D．5．已知实数集，集合，集合，则（）A． B． C． D．6．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：），则该几何体的表面积为()A． B．C． D．7．已知集合，，若，则实数的值可以为（）A． B． C． D．8．双曲线的渐近线方程为()A． B．C． D．9．已知直线：与椭圆交于、两点，与圆：交于、两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．10．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（）A．12个月的PMI值不低于50%的频率为B．12个月的PMI值的平均值低于50%C．12个月的PMI值的众数为49.4%D．12个月的PMI值的中位数为50.3%11．在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A． B．6 C．4 D．512．函数的图象大致是()A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量服从正态分布，若，则_________.14．已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.15．已知随机变量服从正态分布，，则__________．16．已知集合，，则_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知；.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为真命题且为假命题，求实数的取值范围.18．（12分）椭圆：的离心率为，点为椭圆上的一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的实数，直线的斜率之积为定值.19．（12分）在直角坐标系x0y中，把曲线α为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点M在上，点N在上，求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.20．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）函数，若对于，使得成立，求的取值范围.21．（12分）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角锐角的余弦值．22．（10分）已知六面体如图所示，平面，，，，，，是棱上的点，且满足.（1）求证：直线平面；（2）求二面角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由题意得，即可得点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.【详解】如图，连接OP，AM，由题意得，点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.2、C【解析】

由于在复平面内点的坐标为，所以，然后将代入化简后可找到其对应的点.【详解】由，所以，对应点.故选：C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.3、B【解析】考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：Si是否继续循环循环前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后当i＜5时退出，故选B．4、C【解析】

连接，为的中位线，从而，且，进而，由此能求出椭圆的离心率.【详解】如图，连接，椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B在第二象限，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点为的中位线，，且，，解得椭圆的离心率.故选：C【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.5、A【解析】

可得集合,求出补集,再求出即可.【详解】由,得,即,所以,所以.故选:A【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.6、C【解析】

由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5，底面直径是6，据此可计算出答案.【详解】由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5，底面直径是6，该几何体的表面积.故选：C【点睛】本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.7、D【解析】

由题意可得，根据，即可得出，从而求出结果．【详解】，且，，∴的值可以为．故选：D．【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．8、A【解析】

将双曲线方程化为标准方程为，其渐近线方程为，化简整理即得渐近线方程.【详解】双曲线得，则其渐近线方程为，整理得.故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.9、A【解析】

由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率与坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围.【详解】设，且线过定点即为的圆心，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.10、D【解析】

根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.【详解】对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为，故A正确；对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确；对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，；对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误故选：D.【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.11、D【解析】

由对数运算法则和等比数列的性质计算．【详解】由题意．故选：D．【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键．12、B【解析】

根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设，，则的定义域为.，当，，单增，当，，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.4【解析】

因为随机变量ζ服从正态分布,利用正态曲线的对称性，即得解.【详解】因为随机变量ζ服从正态分布所以正态曲线关于对称，所.【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性在求概率中的应用，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.14、【解析】

求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长．【详解】抛物线E:的准线为，焦点为（0，1），把焦点的坐标代入圆的方程中，得，所以圆心的坐标为，半径为5，则圆心到准线的距离为1，所以弦长．【点睛】本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式．15、0.22.【解析】

正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。【详解】【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．16、【解析】

根据交集的定义即可写出答案。【详解】，，故填【点睛】本题考查集合的交集，需熟练掌握集合交集的定义，属于基础题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】

（1）根据为真命题列出不等式，进而求得实数的取值范围；（2）应用复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.【详解】（1），且，解得所以当为真命题时，实数的取值范围是.（2）由，可得，又∵当时，，.∵当为真命题，且为假命题时，∴与的真假性相同，当假假时，有，解得；当真真时，有，解得；故当为真命题且为假命题时，可得或.【点睛】本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18、（1）；（2）证明见解析【解析】

（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程；（2）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值．【详解】（1）因为，所以，①又椭圆过点，所以②由①②，解得所以椭圆的标准方程为.（2）证明设直线：，联立得，设，则易知故所以对于任意的，直线的斜率之积为定值.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题．19、（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）最小值为，此时【解析】

（1）由的参数方程消去求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得的直角坐标方程.（2）设出点的坐标，利用点到直线的距离公式求得最小值的表达式，结合三角函数的指数求得的最小值以及此时点的坐标.【详解】（1）由题意知的参数方程为（为参数）所以的普通方程为.由得，所以的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离，因为．当且仅当时，取得最小值为，此时的直角坐标为即．【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用曲线参数方程求解点到直线距离的最小值问题，属于中档题.20、（1）当时，在上增；当时，在上减，在上增（2）【解析】

（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，确定单调区间；（2）题意说明,利用导数求出的最小值，由（1）可得的最小值，从而得出结论．【详解】解：（1）定义域为当时，即在上增；当时，即得得综上所述，当时，在上增；当时，在上减，在上增（2）由题在上增由（1）当时，在上增，所以此时无最小值；当时，在上减，在上增，即，解得综上【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想，本题恒成立问题转化为，求出两函数的最小值后可得结论．21、（1）证明见详解；（2）.【解析】

（1）取中点为，通过证明//，进而证明线面平行；（2）取中点为，以为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.【详解】（1）证明：取的中点，连结，，如下图所示：在中，因为为的中点，，且，又为的中点，，，且，，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面，即证.（2）取中点，连结，，则，平面，以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：则，，，，，，，，设平面的一个法向量，则，则，令．则，同理得平面的一个法向量为，则，故平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.22、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）连接，设，连接.通过证明，证得直线平