云南省曲靖市麒麟区二中新高考数学五模试卷及答案解析

云南省曲靖市麒麟区二中新高考数学五模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，那么是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知数列满足，则（）A． B． C． D．3．等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体EBCD的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得；（3）设二面角的平面角为，则；（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．下列函数中，值域为的偶函数是（）A． B． C． D．5．已知函数f(x)＝,若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A． B．C． D．6．已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．+17．记为等差数列的前项和.若，，则（）A．5 B．3 C．－12 D．－138．在棱长均相等的正三棱柱中，为的中点，在上，且，则下述结论：①；②；③平面平面：④异面直线与所成角为其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．49．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（）A． B． C． D．10．已知等边△ABC内接于圆：x2+y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（）A． B．1 C． D．211．复数（）．A． B． C． D．12．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有()A．18种 B．20种 C．22种 D．24种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的定义域是__________．14．已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按，编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母，的概率为________.15．若实数满足约束条件，设的最大值与最小值分别为，则_____．16．直线是圆：与圆：的公切线，并且分别与轴正半轴，轴正半轴相交于，两点，则的面积为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，坐标原点为，.（1）求抛物线的方程；（2）当以为直径的圆与轴相切时，求直线的方程.18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.（1）证明:平面（2）若，求二面角的余弦值.19．（12分）如图,在四棱锥中,底面是矩形,四条侧棱长均相等.（1）求证：平面;（2）求证：平面平面.20．（12分）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点.（I）求椭圆C的方程；（II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线交于点Q，且,求点P的坐标.21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.当与连线的斜率为时，直线的倾斜角为（1）求椭圆的标准方程；（2）若是以为直径的圆上的任意一点，求证：22．（10分）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）已知在处的切线与轴垂直，若方程有三个实数解、、（），求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由，可得，解出即可判断出结论．【详解】解：因为，且．，解得．是的必要不充分条件．故选：．【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2、C【解析】

利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.【详解】.当时，；当时，由，可得，两式相减，可得，故，因为也适合上式，所以.依题意，，故.故选：C.【点睛】本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.3、C【解析】

解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：dP﹣BC，因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．故选：C．点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.4、C【解析】试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．5、D【解析】

由已知可将问题转化为：y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直线y＝kx－和y＝lnx相切时，k＝；结合图象即可得解.【详解】若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－的下方．∴k×1－＞0，解得k＞.当直线y＝kx－和y＝lnx相切时，设切点横坐标为m，则k＝＝，∴m＝.此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，故所求k的取值范围是，故选D..【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题．6、B【解析】

以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，可求出点，则，整理计算可得离心率.【详解】解：以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，取第一象限的解得，即，则，整理得，则（舍去），，.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.7、B【解析】

由题得，，解得，，计算可得.【详解】，，，，解得，，.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前项和公式，考查了学生运算求解能力.8、B【解析】

设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断是的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线与所成角判断④的正误．【详解】解：不妨设棱长为：2，对于①连结，则，即与不垂直，又，①不正确；对于②，连结，，在中，，而，是的中点，所以，②正确；对于③由②可知，在中，，连结，易知，而在中，，，即，又，面，平面平面，③正确；以为坐标原点，平面上过点垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系；，，，，，；，；异面直线与所成角为，，故．④不正确．故选：．【点睛】本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．9、B【解析】

先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.【详解】如图所示：确定一个平面，因为平面平面，所以，同理，所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四边形故选：B【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.10、D【解析】

如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则.当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.11、A【解析】试题分析：，故选A.【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.12、B【解析】

分两类：一类是医院A只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案.【详解】根据医院A的情况分两类：第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有种不同分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，共有种不同分配方案；第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院，在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，共有种不同分配方案；共有20种不同分配方案.故选：B【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由，得，所以，所以原函数定义域为，故答案为.14、【解析】

根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】从袋中任意地同时摸出两个球共种情况，其中有种情况是两个球颜色不相同；故其概率是故答案为：．【点睛】本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15、【解析】

画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得的比值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线过点时，取得最大值7；过点时，取得最小值2，所以.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.16、【解析】

根据题意画出图形，设，利用三角形相似求得的值，代入三角形的面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设，由与相似，可得，解得，再由与相似，可得，解得，由三角形的面积公式，可得的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想.第一问，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1＋y2，y1y2，，代入到中解出P的值；第二问，结合第一问的过程，利用两种方法求出的长，联立解出m的值，从而得到直线的方程.试题解析：（Ⅰ）设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝1．（*）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则．因为，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y2－4my＋2＝1．y1＋y2＝4m，y1y2＝2．…6分设AB的中点为M，则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①又，②由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，解得m2＝3，．所以，直线l的方程为，或．…12分考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.18、（1）详见解析；（2）.【解析】

（1）连接，由菱形的性质以及中位线，得，由平面平面，且交线，得平面，故而，最后由线面垂直的判定得结论.（2）以为原点建平面直角坐标系，求出平面平与平面的法向量，，最后求得二面角的余弦值为.【详解】解：（1）连结∵，且是的中点，∴∵平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴又为菱形，且为棱的中点，∴∴.又∵，平面∴平面.（2）由题意有，∵四边形为菱形，且∴分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则设平面的法向量为由，得，令，得取平面的法向量为∴二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为【点睛】处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运用几何语言表示出来方才过关，一定要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直，才可以证得线面垂直，其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角问题，培养了学生的计算能力和空间想象力.19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】

证明：（1）在矩形中，，又平面，平面，所以平面．（2）连结，交于点，连结，在矩形中，点为的中点，又，故，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．20、（I）．（II）【解析】

（I）写出坐标，利用直线与直线垂直，得到.求出点的坐标代入，可得到的一个关系式，由此求得和的值，进而求得椭圆方程.（II）设出点的坐标，由此写出直线的方程，从而求得点的坐标，代入，化简可求得点的坐标.【详解】（I）∵椭圆的左焦点，上顶点，直线AF与直线垂直∴直线AF的斜率，即①又点A是线段BF的中点∴点的坐标为又点在直线上∴②∴由①②得：∴∴椭圆的方程为．（II）设由（I）易得顶点M、N的坐标为∴直线MP的方程是：由得：又点P在椭圆上，故∴∴∴或（舍）∴∴点P的坐标为【点睛】本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运算.属于中档题.在解题过程中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应该怎么得到，这些在读题的时候需要分析清楚.21、（1）；（2）详见解析.【解析】

（1）由短轴长可知，设，，由设而不求法作差即可求得，将相应值代入即求得，椭圆方程可求；（2）考虑特殊位置，即直线与轴垂直时候，成立