浅谈魔方中的数学思想

浅谈魔方中的数学思想学生姓名：之花127一、引言魔方是一种休闲益智玩具.生活中人们所熟知的魔方(Rubik’scube)是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克(Rubik)教授于年创造的教学道具.这种方魔(Rubik’scube)是由个块方的成组,个每块方都能绕心中转意任向方的体方立.总来的说,方魔的法玩就是转动魔方令其上每个面的方块颜色一致(复原)或排列组合出有规律的图案.魔方转动一次相当于魔方一层上所有的方块(有限元素)进行了一次数学意义上的变换.所以,魔方的构造与操作过程中蕴含着一定的数学思想.简而言之一些数学思想比方变换、坐标、组合等都可以在魔方上找到现实具体的运用.二、魔方的根底知识〔一〕魔方的历史与结构生活中人们所常见的魔方(Rubik’scube)是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克(Rubik)教授于1974年设计的教学道具.这种魔方是由个方块组成的,每个方块都能绕中心转任意方向的立方体.经过近40年的开展,原始的传统意义上的魔方已经创造性的衍生出了由方块组成的各个方向都能够转动的多种多样的几何体魔方玩具.在外形设计的角度,传播最早的魔方(Rubik’scube)也可以称作三阶立方体魔方,继相有还阶二、阶四、阶五等种多数阶的体方立方魔,目前络网上一方魔者好爱计设并造制了高最的阶十七体方立方魔(2011).除体方立方魔外之有还它其体面多方魔和型异方魔.设计各种外形的几何体魔方时使其各个组成局部具有良好的旋转性是根本要求.这就使得魔方的内部结构的设计丰富多样、精简巧妙.1.阶从外形设计来看,立方体魔方每条棱上方块数目就是该魔方的阶数.因此,生活中人们普遍见到玩赏的方魔可称作阶三体方立方魔.最初魔方在作为增加学生空间方位感觉的教学道具设计时,魔方创造人Rubik教授考虑到从数学思维角度来说,(即二阶立方体魔方)理论上是外形结构最简单的体方立魔方,然而在过经验实后作操现发他,在械机计设的度角上虑考话的,魔方在部内造构上是最易容现实块方各度角转旋并备具最单简械机构结的体方立魔方.2.轴中心块棱块角块如图1所示，在拆开三阶立方体魔方后,可以观察到它的内部构造.一个以可各向方动转的项六头接在处的魔方的心中.其上个六头接是即方魔的轴.一个块方分别用螺丝、垫片、弹簧固定在每个接头,这个方块称为中心块.所以从内部构造的度角阶三方魔被也作称阶三轴六魔方.六个中心块被固定在魔方的六个轴上,而同一面上的四个中心块可以绕垂直于这个面的两个轴旋转.所以中心块之间的相互位置不会在转魔方过程中改变.综上,块心中的色颜以可定确它面在所的色颜,这就示表在面该它其块方的色颜的断判上以应块心中的色颜为准基.实际上,魔方是由个方块〔除去中心的一块〕组成.除了以上所说的个中心块以外,其它个方块中:个方块是两个面涂有颜色,它们的正确位置和朝向将由两个中心块决定,称之为棱块;个方块有三个面涂有颜色(以下把涂有颜色的面称为有色面),它们的正确位置和朝向由三个中心块决定,称之为角块.如图1在计设上块棱和块角都有具出突的脚小,块棱的侧两有都装弧的口缺,这些脚小和口缺与都块心中扣紧在一起.这样棱块和角块就能够随着所在层的转动而向各个方向转动,并且紧扣在中心块上而不会在转动时从魔方上脱落.〔二〕魔方的玩法魔方的作操,即针时顺或针时逆动转魔方的某层一或层两.作操单简得使玩方魔起来看易容.不过玩过的人都明白玩魔方并不容易,而且玩魔方需要记忆一些步骤.对大局部人来说初始接触的魔方都是三阶魔方,它有正方体的外形,个面上都有个有色块.大体上而言使每个面的有色块的颜色都相同是玩魔方的游戏目标,也就是复原魔方.自然的,各个有色块是组成魔方的方块的一局部.实际操作魔方,即转动魔方的过程中,方块之间能够互换位置或者方块自身会变换朝向.事实上,Rubik教授在制造出世界上第一个魔方后随意转动之后想要复原魔方就花费了三个多月的时间.复原魔方的困难之处就在于:移动一个方块时伴随着其它多个方块的移动(中心块除外).在复原的初始阶也许这构不成较大的困难，然而随着多数方块到达正确的位置,这时新的转动必然会使这些方块离开正确的位置,如何在转动中不断复原已完成好的局部是个难题.在学数的域领就应对着有元限的换变和逆换变问题.今当的方魔是一种不仅闲休的力智具玩,玩方魔更展发为成了技竞动运.为作技竞动运的魔方法玩富丰样多.种各魔方玩的界世录记不断被新刷,如快最原还魔方录记者持保为生出于亚利澳大岁FeliksZemdegs,他的最快记录为秒(2010年).魔方的种类除了传播最早的魔方(Rubik’scude)也可以称作三阶立方体魔方,相继还有二阶、四阶、五阶等多种阶数的立方体魔方,前目络网上些一魔方者好爱计设并造制了高最的阶十七体方立魔方.除体方立魔方外之有还它其体面多魔方和型异魔方.魔方的数轴、向轴、数阶、状形在魔方者好爱断不试尝与造创中得变富丰彩多.三、魔方中的数学思想〔一〕排列组合的思想“意随的动转魔方使魔方的面个六原还能可吗?”通过魔方旋转其上的色块一共可以组合出多少种图案,利用组合的数学思想,我们可以得到魔方可以变换种案图.首先,易容到想果如动不转魔方层间中,魔方的个六块心中的置位会不变改,相对的旋转上下两层相当于旋转中间层.通过这种方式可以固定魔方的空间位置,即立建一个间空系标坐.其次,在这个系标坐中个块角的置位全列排为,又因为每个角块有三个有色面,所以角块所有的图案组合为中.同理,魔方上的棱块有个,每个棱块有个有色面,棱块全部图案有个.再次,魔方上不存在以下的操作结果:只有一个角块或一个棱块的有色面变换了朝向,只有一对角块或者一对棱块相互交换了位置.所以除以.最后得到以上结果.如果人的平均寿命为年每秒转动魔方下,除去重复的图案,每个人吃饭睡觉都在转,亿人经过亿年时间就可以转出所有不同的图案.所以通过随意转魔方而复原魔方有人可能终其一生都无法完成.“拆开重新组装的魔方一定正确吗?”首先,个中心块固定在魔方中心的六个接头上.其次,剩下的个方块有:个角块和个棱块.个角块的位置,以及每个角块有个有色面,一共有种安装角块的方式.同理,共有种安插个棱块的方法.魔方有种组装方法.相对于魔方转动变换出的图案种类魔方组装的图案要多很多.比照上文可以得到正确组装一个魔方的概率为.可以想到,在复原魔方的过程中试图通过拆卸魔方方块而简化复原步骤的方法是不可行的.〔二〕群论的思想1.魔方中的对称生活中,几何体的镜面对称(关于某个平面的对称)是很常见的,魔方的结构也表达了这种对称性.然而,对称的含义远远超出了镜面对称,需要用到群论的思想作为研究的工具.关于面平称对,假设一个体何几被某面平成劈分部两,其中任一分部都是另一分部于关给所面平的面镜像映,那么该体何几关于面平称对,即该体何几成面镜称对.关于线直称对,假设一个体何几上的点每于关线直的点称对在该体何几上,那么个这体何几关于该直线对称,即这条直线是该几何体的二阶对称轴.反过来讲,如果一个几何体具有二阶对称轴,那么该几何体围绕轴转后与本身重合.类似的,假设几何体围绕一条直线旋转后与本身重合,那么这条直线称为该几何体的n阶对称轴.关于点称对,即心中称对,假设段线的点中点为,那么点段于关点成心中称对.如果某体何几上的每点一个都以可在该体何几上找到于关给点定成心中称对的点,那么就称该体何几关点于称对.如图=2\*Arabic2体方正有具阶轴称对(如图=2\*Arabic2)、阶轴称对(如图=2\*Arabic2)、阶轴称对(如图=2\*Arabic2),同时正方体关于中心(即正方体体对角线的交点)点对称.三阶魔方的外形正是这种具有仅次于球体的对称性质的正方体.2.魔方中的变换魔方的变换为旋转魔方是方块位置的变换,而在立体空间中,平移、旋转和镜面映像为三种不改变几何体大小的空间运动.在空间中任取一直线,假设空间中点与点关于直线相互对应,那么点或点绕轴转一个确定的角度后与另一个相重合.所以间空换变转旋是一一应对的换变.同时,在转旋化变中持保了转旋点的轴到离距不变.设合集,是的一个集子,为的一个换变,假设集子中每点一个的在换变用作为仍下的中点.那么集子是变不的或称对的,或者说换变画刻了集子的称对性.设为集合中保持不变的所有变换的集合,那么满足以下的性质:=1\*GB3①,,;=2\*GB3②;=3\*GB3③中必有含等恒换变,有意任素元与等恒换变运作持保变不,那么含有位单元;=4\*GB3④,,,.3.群的一般概念设空非合集中定规一个算运“”,假设该算运足满下以的个四质性,群就为说.封闭律,;结合律,;单位元,;④逆元律,.据此上文所描述的对称的变换的全体在规定运算后构成一个群,那么称该群为对称变换群.通过构建对称变换群的形式来研究几何体的对称性是有效的,例如：三阶魔方的外形是正六面体,因此正六面体对称群成为了魔方的变换研究方面的数学依托.4.魔方群构造魔方有上种六色颜和类三块方,块角有个面色有,个面色有着随块角的动转而换互置位,每交换一次要动转,此为阶对称轴的性质,棱块有个有色面,每交换一次转动,这是阶对称轴的性质.一般的以可用字数来表代量变,从而可以用数字的置换代替变量的置换.如正三角形的称对换变用可字数的换置表示:所以三角正形的称对换变为群.假设把魔方每一个有色面用数字标记出来(中心块除外),那么有个有色面被标记.如果任何两个有色块能够相互调换位置,那么个有色面的置换的数目就是.称这些换置的体全为次换置群,作记.到得可:面六正体的称对群是,那么面六正体的称对群的阶为.魔方换变的体全为称群方魔(下文证明〕.群方魔是群子的一个.原因于在魔方在上块角能只与块角生发置位的换互,不能与块棱进行置位换互,同样块棱也只可以和块棱行进换互位置.例如,顺时针把图3中的所在面转动时,就会得到如下置换:用示来表魔方面色有动转的换置,那么自然地,可以写出其它个面上顺时针旋转置换:可以得到,群方魔由是、、、、、六个换置在群子中成生的.由一个素元成生的群称为群环循.形如的素元成构群环循.这些素元为称的幂方,即,,..上述的六个置换可生成群,就是魔方群.即中含有所有的魔方变换.不难想到,原还魔方的程过使魔方从始初态状,过经干假设后的魔方换变,到回始初态状的程过中表达了魔方变换的循环以及魔方变换的逆变换.魔方变换都可以屡次重复操作中实现魔方状态的循环.例如,如图=5\*Arabic5中所示魔方依次完成图中所示的旋转可以现实魔方一层点顶、小弯拐、字一、字十的案图循环.5.魔方群性质.,共.,,,.,.:,.因此,中心块可以代表它所在的面,这也建立了一个固定的参考系.,.,:,.().,.根据以上的描述中心块建立了一个固定的参考系,如果用表示对应面的中心块,那么角块可以用表示其方位,其含义为:位于面面面相交处的方块.如表示(上)面(前)面(左)面相交的方块.类似地,用表示棱块,含义为:面面相交处的边块...如,.用表示魔方状态,即各方块和有色面的方位,用表示魔方在状态经过操作后所生成的新状态.同时,合成运算是从左向右的,有.证明中的任何元素都能够表示为假设干根本旋转的合成,那么中任意两个元素的合成仍然是有限个根本宣战的合成.所以中的合成运算满足封闭律.用表示魔方状态,那么有:,,.,,.,.,,.,.=1\*GB2⑴交换性...证明.,.,,.证明魔方群中,相对面旋转变换是不相交的.根据定理=2\*Arabic2,相对面的旋转变换是可交换的,那么有.=2\*GB2⑵作用传递性轨道,,,,,.证明魔方群,有:,,.,;:..、、、.、、、.证明以魔方前面左下方的角块为例,用表示.操作旋转:,后角块将沿着转动的路径通过全部角块的位置,最终返回起始点.因此在,.、、..,,.引理=3\*Arabic3.引理=4\*Arabic4.,.=3\*GB2⑶共轭换位子魔方的复原是一个复杂的旋转操作过程,因为需要到数目较多的置换合成.假设没有方案的随意乱转,一定会把魔方状态便得更加复杂.一下描述共轭和换位子在魔方复原中的作用.共轭在魔方复原中是一种常见的手法.引理=4\*Arabic4说明把映射到,那么的共轭把映射到..,,,,,.在论群中,子位换是以可来用量衡合集素元的性换交,来起看与方魔原还有没点一系关,事实上,换位子在魔方复原中反而起着简化复原步骤的作用.根据上文每个旋转作用是由个长度为的不相的交循环合成的.在复原魔方时,每旋转一次,就有个有色面重新排列,因此在无规律的连续旋转后的魔方状态会十分混乱,人们希望尽可能的保持已经复原的局部不变,在这方面换位子的重要性就显现出来了.魔方群中换位子定义的实际操作构成,假设和是魔方相邻两面的旋转,表示在转动之后再旋转,最后因为和旋转而改变的局部方块或有色面可以复原到旋转之前.从而换位子简化了魔方的复原过程.