三角形相似综合训练- 2024年中考数学重难点突破

专题07三角形相似综合训练

送整型

沙场点兵

1.如图，在矩形ABCD中，将△ADC绕点。逆时针旋转90。得到一EDE,B、F、E三点恰

好在同一直线上，AC与8E相交于点G,连接DG.以下结论正确的是（）

®AC±BE；②《BCG~GAD；③点尸是线段8的黄金分割点；④CG+也DG=EG

A.①②③B.①③C.①②③D.①③④

【答案】D

【详解】证明：

.FDEAADC,

^\AD=DF,DC=DE,ZDEF=ZDCA,

又回四边形ABC。是矩形，

团乙位）C=90。，

0ZZMC+ZDC4=9O°,

即NDAG+NDEF=90°,

0ZAGE=9O°,

即ACL5E,故①正确；

BAC.LBE,

0ZBGC=9O°,

即，BGC是直角三角形，而,AGO不是直角三角形,

回②错误；

在RtVFCB和RtAFDE中，

国NBFC=NEFC,

团RtFCBsRt_FDE,

「FCBC

团--=---,

DFDE

^\BC=AD=DF,DE=DC,

「FCDF

团--=---,

DFDC

回点P是线段8的黄金分割点，回③正确；

在线段E尸上作EG=CG,如图所示，连接OG,

^\DC=DE,NDEF=NDCA,

BZDEG'=ZDCG,

在ADCG和.DEG中,

DC=DE

/DCG=/DEG,

CG=EG'

团DCG%..DEG(SAS),

©DG=DG,/CDG=/EDG,

团NCDG+NGD4=90。，

团NEDG+NGZM=90。，

团NGDG'=90。，

团GDG是等腰直角三角形，

团GG=0OG，

也EG=CG,

国EG=EG+GG=CG+垃DG，回④正确，

故选：D.

【我思故我在】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的性质，全等三角形

的判定和性质等综合知识，关键是对知识的掌握和运用.

2.如图，在ABC中，D、E分别在AB边和AC边上，。石〃BC,M为BC边上一点（不与B、

C重合），连结AM交DE于点N,则（）

ADANBDMNDNNEDNNE

--=---

ANAEldN~~CE

【答案】C

【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得Z^ADN酿ABM,AANE0AAMC,再根据

相似三角形的性质即可得到答案.

DNANANNFDNNF

【详解】回DE〃BC,EEADNE0ABM,AANE00AMC,0—=—?——,故选

BMAMAMMCBMMC

【我思故我在】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握

平行线的性质、相似三角形的判定和性质.

一工冲天

3.如图，在AABC中，AC=2,BC=4,。为BC边上的一点，S.ZCAD=ZB.若AADC

的面积为。，则AABD的面积为（)

_7

A.2aB.—aC.3aD.—a

22

【答案】C

【分析】根据相似三角形的判定定理得到AACDABC4,再由相似三角形的性质得到答案.

【详解】I3/C4D=ZB,ZACD=ZBCA,

0AACDABC4,

E^=f—V,即1

SkBCAyBC）S^BCA4

解得，ABC4的面积为4a,

EIAABD的面积为：4a-a=3n,

故选C.

【我思故我在】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形

的判定定理和性质.

4.如图，在矩形ABC。中，E,尸分别为边BC、C。中点，线段AE,AF与对角线分别

交于点G,H.设矩形A8CD的面积为S,则以下4个结论中：①AG：GE=2：1②BG：

9

GH；HD=1：1：1；（3）51+S2+S3=-S；（4）邑：邑：$6=1父：4正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据相似三角形的判定与性质和线段中点的定义得：==差=2,可判断①正

确；同理根据相似三角形的判定与性质可得：BG=；BD,DH=；BD,可判断②正确；

③④设'=尤，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，等底同高三角形面积的关系

依次用x表示各三角形的面积，可作判断.

【详解】解：①团四边形A8C。是矩形，

0AD=BC,AD//BC,

SE是BC的中点，

SBE=-BC,

2

^AD//BE,

团BGEs,DGA,

嚏嚏嘴=2,故①符合题意;

②嚏嚏嘿=2,,

^\BG=-BD,

3

同理得：DH=；BD,

旦BG=GH=HD,

0BG：GH-.HD=1：1：1；故②符合题意;

③回AD〃3E,

SABEG^ADAG,

H1

回邑+S4-"

@BG=GH=HD,

团S5=邑=S3,设R=x,贝ljS5==S3=2x,

团S=12x,同理可得：S2=xf

回豆+邑+53=彳+》+2尤=4x=gs；故③错误，不符合题意;

④由③知：s6=12x-6x-x-x=4x,

052:54:S6=1:2:4,故④符合题意;

所以本题的3个结论符合题意；

故选：C.

【我思故我在】本题考查了矩形的性质，三角形相似的性质和判定，三角形面积等知识，解

题的关键是理解题意，等底同高三角形面积相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方.

5.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于E、

尸，连接3。、DP,与C尸相交于点给出以下结论：①=②一DFPBPH；

③DP，=「口•pC；④若AB=2,则其中正确结论的是（）

A.①②③④B.②③④C.①②④D.①③④

【答案】B

【分析】根据等边三角形和正方形的性质得NABE="CF=30。，则=可判定

①错误；通过导角能得出NFDP=NPBD,得ZDFP=NBPC=60。,从而证明，DFPBPH,

ripPH

可判断②正确；利用DPH~CPD,^―=—,可说明③正确；过点尸作尸MLCD于

M,PN1BC于N，将SAB.转化为S四边形He。-SABCD~S^PDC-SbBCD，从而判断④成立.

【详解】解：ABPC是等边三角形，

：.BP=PC=BCfZPBC=ZPCB=ZBPC=60°,

在正方形ABC。中，

AB=BC=CD,NA=NADC=NBCD=90。，

.\ZABE=ZDCF=30°9

:.BE=2AE,

故①错误；

PC=CD,"CD=30。,

ZPDC=75°f

..ZFDP=15°f

ZDBA=45°f

:.ZPBD=15°,

;.ZFDP=ZPBD,

ZDFP=ZBPC=60°,

"FP〜一BPH,

故②正确；

4DH=ZPCD=30。,ZDPH=ZDPC,

/.DPH~CPD,

.DPPH

…正一而‘

:.DP?=PHPC,

故③正确；

如图，过点P作物，8于M,PNLBC于N,

.正方形的边长A3为2,及卯。为正三角形，

.\ZPBC=ZPCB=60°,PB=PC=BC=CD=2,

:.ZPCD=30°,

...PN=P3sin600=2x^=若，PM=PCsin30°=l,

2

.c_c_c_c_c

…Q^BPD~u四边形PBC。°ABCD-QbPDC口ABCD，

.•.S=-x2xV3+-x2xl--x2x2=-s/3-l,

222

故④正确，

故选：B.

【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，含30。角的直角

三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键.

6.如图，在平行四边形ABCD中，点M,N分别是A。、3c上的点，且

AM=2DM,BN=2CN,点。是CM,£>N的交点，直线分别与。0,DN的延长线

交于点P,Q.若平行四边形ABC。的面积为144,则△尸。。的面积为（）

A.72B.216C.268D.300

【答案】D

【分析】由题意易得40=20%BN=2CN,则易证PA=2C£>=3Q,然后设平行四边形

ABCD的高为心则可得△尸。。的高为:人进而问题可求解.

O

【详解】解：回四边形ABCQ是平行四边形，

⑦CD=AB,CD//AB,

回炉s

APAM

团---=----,

DCDM

^\AM=2DM

APAM

回一二——=2,

DCDM

回AP=2CD,

同理可证2c0=5。，

^\PA=2CD=BQ,

国PQ=PA+AB+BQ=2CD+CD+2CD=5CD.

设0到CD的距离为4,设O到P。的距离为h2,平行四边形ABCD的高为则有九二4+均,

^\CD//AB,

团POQ,

hCD1

嵋=而=丁

团团尸。。的高为:力,

O

回SABCD=CD.h-144,

15152525

团S=-PQ--h=-x5CD^-h=—CD-h=-xl44=300；

Pp0nQn26261212

故选：D.

【我思故我在】本题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形

的性质及平行四边形的性质是解题的关键.

7.如图,在正方形ABCD中'点G是BC上一点，且黑=：‘连接DG交对角线AC于尸

点，过。点作OELOG交C4的延长线于点E,若AE=5,则。尸的长为()

D.孚

【答案】D

【分析】过点E作即_LA。，交延长线于〃，再根据正方形的性质，推出/"=

FHr)ij

根据同角的余角相等，推出N1=N3,证明.：DE”jDGC,推出笠=岩，AC是正方形

GCL)C

ABC。对角线，推出NE4H=ND4C=45。，求出E"=HA=述，进而求出。产的长度.

2

【详解】解：过点E作EH_LAD,交ZM延长线于H,

.\ZH=90°,

在正方形ABC。中，AB=BC=CD=AD,ZBAD=ZB=ZBCD=ZADC=9Q0,

.•.N2+N3=90。，/H=/BCD,

DE±DG,

.\^EDG=90°,

/.Z2+Zl=90°,

...Nl=/3,

...DEHsDGC,

EHPH

GC-DC

GC1

BG-2,

.•设GC=无，贝!]5G=2x,DC=BC=3x,

.EHPH

~GC~~ix

:.DH=3EH,

AC是正方形ABC。对角线,

.*.ZZMC=45°,

ZEAH=ZDAC=45°,

:.ZHEA=45°,

:.EH=HA,

.\EH2+H^=25.

，即“平

竽

:.AD=DH-AH=5y/2^

11

._or_An_5后

333

DG=VCD2+CG2=,

在正方形ABC。中，AD//BC,

.CGGF_1

一AD~^F~3

:.DF=3GF,

.“3八r31OA/55小

DF=—DG=—x---=----；

4432

故选：D.

【我思故我在】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判

定与性质、正方形的性质的综合应用，其中辅助线的做法、相似的证明、勾股定理的应用是

解题关键.

8.已知，如图，平行四边形ABCD中，CE.BE=1:3,且以EFC=1，那么S皿：=

A

D

BEC

【答案】20

【分析】先根据平行四边形的性质得到AD=3C,AD//BC,SACD=SABC,证明

CEEFCEEF1

△ADFsMEF,得到—=—,由GE:3E=1:3,得到CE:AD=1:4,贝IJ—=—=一,

ADDFADDF4

据此求出乙处=4,少诬=16,进而求出S3c=%8=20.

【详解】解：团四边形ABCD是平行四边形,

回—BC,AD//BC,S^ACD=S^ABC=­S平

^\AADF^/\CEF,

CEEF

团---=----,

ADDF

0CE;BE=1:3,

团CE:CB=1:4,

回CE:AD=1:4,

AD

~CE

回^AADC=+^/\CDF=2°，

团^AABC=^AACD=2。，

故答案为：20.

【我思故我在】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明

△ADFsMEF，得到生=其是解题的关键.

ADDF

9.尸是，ABC边上的任一点（尸不与A、B、C重合），过点尸的一条直线截ABC,如果截

得的三角形与.A8C相似，我们称这条直线为过点P的0ABe的"相似线".RtaABC中，

NC=90。，NB=30。，当点尸是边BC上一个三等分点时（尸3＞尸C）,过点尸的MC的“相

似线”最多有条.

A

【答案】4

【分析】根据相似线的定义，可知截得的三角形与有一个公共角，分①公共角为2

时；②公共角为时；③公共角为NC时；三种情况进行讨论，即可得出答案.

【详解】解：①当公共角为NA时，不存在；

②公共角为-3时，过点尸作PDL3C,交于点。，如图所示：

0ZZ)PB=ZC=90°,ZB=ZB,

0BPD^BCA-,

EIABPZ>^ABAC；

③公共角为-C时,

团AB=2AC,

设AC=a,贝ljAB=2a,

BC=VAS2-AC2=岛>

回点P是边BC上一个三等分点，BP>CP,

^CP=-BC=—a,

33

V3

AC_a_^/3

回CP与a_逝,

ACa3

CPAC

回一=

AC~BC

0ZC=ZC,

团ACP^,.BCA；

过点尸作尸交AC于点D,如图所示:

团尸D〃AB,

@ZDPC=/B,NPDC=ZA,

团_CDPs,c4B；

综上分析可知，过点尸的jABC的〃相似线〃最多有4条.

故答案为：4.

【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，解题的关键

是熟练掌握三角形相似的判定方法.

AFAF

10.如图，在ABC中，BC=6,—,动点P在射线所上，BP文CE于点、D,ZCBP

EBFC

的平分线交CE于点。当CQ=；CE时，叱+3尸的值为.

【答案】18

【分析】如图，延长所交的延长线于G.首先证明PB=PG,EP+PB=EG,由EG〃BC,

推出铛=黑=3，即可求出EG解决问题-

CD

【详解】解：如图，延长所交8。的延长线于G.

团--=---

EBFC

^EG//BC

回/G=NGBC

团团G8C=回G5尸

国NG=NPBG

aPB=PG

国PE+PB=PE+PG=EG

^\CQ=-CE

4

回£Q=3CQ

^\EG//BC

回△EQGS^CQB

团BC=6

团石G=18

团£P+尸5=£G=18

故答案为：18.

【我思故我在】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的

判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

11.如图，在矩形A3CD中，点E,尸分别是AB,8c上的点，

BE=3,CD=6,NFED=30°,NFDE=45。，则BC的长度是

【答案】66+3##3+66

【分析】作FNLOE于点M延长DE交CB的延长线于点M,先证AfM)是等腰直角三角

形，设FN=x,利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求出ON,EF,的长度，

再利用ASA证明AE4D段AEBM,推出=ME=DE=[1+6)x,最后再证

NEBMs空NM,利用对应边成比例求出则，即可得到5c的长度.

【详解】解：如图，作FNLDE于点、N,延长DE交CB的延长线于点M,

ZFDE=45°,

ZDFN=ZFDN=45。,

.•."W是等腰直角三角形.

由题意得：AB=CD^6,ZA=ZABC=ZABM=ZFNM=90°,BC=AD,

设FN=x,贝i|DN=x,

NEED=30。，ZFNE=90°,

:.EF=2FN=2x,

22

NE=-JEF-NF=-尤2=瓜,

DE=DN+NE=[l+^]x.

BE=3,AB=6,

/.AE=BE=3,

又二ZEAD=ZEBM,ZAED=ZBEM,

AEAD名AEBM(ASA),

:.AD=BM,ME=DE=(\+^x.

ZEBM=NFNM=9Q。,ZM=ZM,

NEBM^NFNM,

BMBE_%_=3

~MN~HF，（2^+1）X龙，

解得：BM=6号3,

BC=AD=BM=643+3,

故答案为：6g+3.

【我思故我在】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质,

含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用相关性质，作

辅助线构造直角三角形和全等三角形.

12.如图，在中，Afi=14,AC=6,在AC上取一点，使4)=2,如果在AB上取

点、E,使VADE和ABC相似，则4E=

【分析】本题应分两种情况进行讨论，①ABC-NAED-,②ABC7ADE；可根据各相

似三角形得出的关于AE、AE、AB.AC四条线段的比例关系式求出AE的长.

【详解】解：本题分两种情况：

①如图：

^1AB:AC=AE:AD,

0AB=14,AC=6,AD=2,

②如图:

此时VADE:NABC,

SAB:AC^AD:AE,

HAfi=14,AC=6,AD=2,

146

故答案为：可或

【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的性质.由于题中没有明确相似三角形的对应角

和对应边，因此本题要分情况进行讨论，以免漏解.

13.如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心。

的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片0B,此时各叶片影子在点M右侧

成线段CO.测得MC=8.5m,CD=13m,垂直于地面的木棒所与影子FG的比为2:3.则

点。、M之间的距离等于m；

bF

【答案】10

【分析】连接OM交AC于点H,过点C作CNLBD,通过证明AHMCs八EFSAHAO,

通过相似三角形对应边成比例即可解答.

【详解】解：连接交AC于点人过点C作。V13Q,

0HC//EG,

自/HCM=/EGF,

回ZHMC=ZEFG=90°,

国AHMCS^EFG,

HMEF2

回——=

MCFG-3

团MC=8.5m,

HM217

团——二--解得:HM=F

8.5

设斯=2x,FG=3x,则EG=JEE?+F@=屈x

EZEGF=ZNDC,ZEFG=ZCND,

©△CN4AEFG,

CNCDCN13

0=—，BPn-—-i——，

EFEG2x413X

解得：CN=2A/13,

回AB_LBN,AB_LAC,CN±BD,

团四边形ABNC为矩形，

团AB=CN=2万，

^OA=-AB=yJ13f

2

[?]ZAHB=ZMHC,ZOAH=ZHMC,

国AHMCs公EFG,

回△HA(Js/\EFG,

「OAOHRnV13OH

回——=——，即：--=-j=^

FGEG3x岳x

解得：0H='

^\0M=OH+HM=—+—=10,

33

故答案为：10.

【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是画出辅助线，构建

相似三角形.

14.如图，在平行四边形A3CQ中，点E在边3。上，连结AE并延长，交对角线于点

CF?FF

F、DC的延长线于点G.如果釜=［，求会的值.

匕匕JFAT

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD二BC,AD团BC,即可证得ZkADF豳EBF,

△GECMGAD,然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案.

【详解】团四边形ABCD是平行四边形，

团AD=BC,AD0BC,

RO1ADF团团EBF,△GECEEGAD,

°EF_BEEG_EC

团-------，---------,

AFADAGAD

CE2

团---=T，

BE3

BE3CE2

m团——=一，——=-,

AD5AD5

FE3EG2

团m=­，=­

AF5AG5f

「

团FE=—3,EG=­2

AE8AE3f

FE9

回m---=—.

EG16

【我思故我在】此题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质.解题关键在于注

意掌握数形结合思想的应用.

15.矩形A3CZ）中，AC,3。为对角线，AB=6cm,3c=8cm,E为0c中点，动点尸从

点A出发沿A3方向，向点B运动，动点。同时以相同速度，从点8出发沿方向向点C

运动，P、。的速度都是1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，

设运动时间为x秒.(0</<6)

(1)尸。〃AC时，求运动时间t-

(2)尸。JL3D时，求运动时间f；

⑶当f为何值时，以点P,B,Q为顶点的三角形与，QCE相似？

⑷连接PEAPQE的面积能否达到矩形A8CD面积的三分之一，若能求出f的值；若不能,

说明理由.

【答案】⑴"三24

(2)f=y

⑶，=2或”12^

2

(哈上叵

2

【分析】(1)先求出AP=r，BQ=t,BP=8-t,再证明"BCSAPB。，及二吗即

ABBC

==2,由此即可得到答案；

86

(2)证明△尸仗2s△88,得到等=空，即浮=:，据此求解即可;

nCCL)OO

(3)分当△BPQS/^CQE时，当△BPQs^cEQ时,两种情况利用相似三角形的性质讨

论求解即可；

(4)先求出=耳5矩形ABC。=16cm2,再由QE=S梯形PBCE-S/\PBQ-S^CQE，得到

3+6

(~0X8_£(£Z0_2(^2)=I6,解方程即可.

222

【详解】(1)解：由题意得，AP=t,BQ=t,则BP=AB—AP=6—t,

^PQ^AC,

^AABC^APBQ,

BPBQ6-tt

团一,即nn——=一,

ABBC68

解得:胃24;

(2)解：团四边形ABC。是矩形,

^\ZABC=ZBCD=90°,CD=AB=6cmf

^PQLBD,

团ZBPQ+ZPBD=90°=ZPBD+ZDBC,

⑦/BPQ=NCBD,

⑦△PBQS^BCD,

PBBQ6-/t

0一=—,即nn——二一,

BCCD86

解得f*;

,如图3-1所示,

SE是C£»的中点,

0CE--CD=3cm,

2

又回CQ=BC-BQ=8T,

6—tt

团---二—,

S-t3

回»_n/+i8=o,

解得t=2或t=9(舍去);

D

图3“

当△BP0sZkcE。时，则生=总,

回“177+48=0,

解得1=17-质(不合题意的值己舍去)；

2

综上所述，当/=2或f=17一炉时,以点p,B,。为顶点的三角形与，QCE相似

(4)解：由题意得S矩形钻8=AB-5C=48cm_2,

12

=

团S&QEgS矩形MC。=16cm,

团SMQE=S梯形PBCE_S/\PBQ_S丛CQE，

回3+(6”8J67)_3(8T)=]6,

222

"_山+16=0,

解得f=11一历(不合题意的值已舍去).

2

【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，一元二次方程与图

形面积，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键.

16.解答题

(1)如图1,ABC和VADE都是等边三角形，连接3D、CE,求证，BD=CE；

A

［类比探究］

(2)如图2,ABC和VADE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°,连接3D,CE.求

BD,,..

一的值.

［拓展提升］

Ap

(3)如图3,和VAT应都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,—=—=2.连接

ABAD

BD、CE,延长CE交8。于点孔连接AF.若ZAfC恰好等于90。，请直接写出此时

AF,BF,CF之间的数量关系.

【答案】①见解析

喈

⑶CF=2BF+召AF

【分析】(1)证明△54。四△心1£,从而得出结论；

(2)证明，&LDsCAE,从而得出结果；

(3)过点B作垂足为点H,令A3和CP相交于点。.通过证明AOBHSABCW

以及AAORSABOH,根据对应边成比例，即可将AF,BF,3三条线段表示出来，即可得

出结论.

【详解】(1)解：团ABC和VADE都是等边三角形，

SAB=AC,AD=AE,ZDAE=ZBAC=,

回ZZME—ZBAE=NR4C—NS4E,即：ZDAB=ZEAC,

在，54£>和VC4E中，

AB=AC

<ZDAB=ZEAC,

AD=AE

0Z\BAD四△C4E(SAS),

团BD=CE.

(2)解：团ABC和VAD后都是等腰直角三角形，

0ZZME=ZBAC=45°,ZADE=ZABC=90°,

0AABCszviDE,

ADAE.ADAB

回一=一,贝nU—=一，

ABACAEAC

0ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,即：ZDAB=ZEAC,

在和VC4石中，

团BADsCAE,

「BDAB

团--=---

CEAC

令AB=x,根据勾股定理可得：AC=y[2x

回些=丝=上="

CEAC也x2

A

D

F

OE

H-

C

(3)B图3

过点8作9,Cb,垂足为点H,令AB和b相交于点。.

ACAE

^\ZABC=ZADE=90°,——=——=2,

ABAD

团NAC3=NA£»=30。，ZBAC=ZDAE=60°,

0AACB^AAED,则NOAE=NBA。，

©ZDAE—/BAE=/BAC—/BAE,即：ZDAB:NEAC,

ACAEc

回一=—=2,

ABAD

0BADsCAE,

^\ZACE=ZABD,

在AR月和AAOC中，

ZACE=ZABD,ZFOB=ZAOC,

团NOFB=NQ4C=60。，

设=OH=y,则5b=2x,3"=氐,

0BH1CF,OB上BC,

⑦bOBHs/^BCH,

OH

回——=

BH|艮虚噜，s考

-3x23x2+xy

田CF=CH+FH=x+——=---------

yy

^\ZAFO=ZBHO=90°,ZAOF=Z.BOH,

⑦AAOFS^BOH,

AFOFAF

团----=-----,Bapni——=AF=叵W

BHOHV3xyy

团=2x,AF=瓜?一国",0q=3/+孙，

yy

回2BF=4x,V3AF="-3孙,

y

.3x2-3xy3x2+xy〜

04x+------------=----------=CF,

yy

^CF=2BF+y/3AF.

【我思故我在】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判

定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握"手拉手"模型及其变形.

17.在AABC中，ZACB=90,BE是AC边上的中线，点D在射线BC上.

（1）如图1,点D在BC边上，CD:3£）=1:2,AD与BE相交于点P,过点A作A尸BC,

交BE的延长线于点F,易得色的值为;

（2）如图2,在AABC中，NACB=90,点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE

Ap

的延长线交于点P,DC:BC^1:2,求而的值；

（3）在（2）的条件下，若CD=2,AC=6,则BP=.

32

【答案】（1）（2）|；（3）6

【分析】（1）易证回AEFH3CEB,贝！］有AF=BC.设CD=k,则DB=2k,AF=BC=3k,由AFI3BC可得

Ap

0APF00DPB,然后根据相似三角形的性质就可求出而的值；（2）过点A作A甩DB,交BE

的延长线于点F,设DC=k,由DC：BC=1：2得BC=2k,DB=DC+BC=3k.易证HAEFUBCEB,则

Ap

有EF=BE,AF=BC=2k.易证回AFP瓯DBP,然后根据相似三角形的性质就可求出而的值；

FPBF

（3）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据;二的值求出一的

值，就可求出BP的值.

图1

0AF0BC,

团团F=©EBC,

酿AEF二团BEC,AE=EC,

加AEF团团CEB(AAS),

团AF二BC.

设CD=k,则DB=2k,AF=BC=3k,

团AF团BC,

酿APF丽DPB,

PAAF3

团---=---=—,

PDBD2

3

故答案是：—；

设DC=k,由DC：BC=1：2得BC=2k,DB=DC+BC=3k.

团E是AC中点，

团AE=CE.

团AFR1DB,

fflF=01.

在国AEF和团CEB中,

ZF=Z1

<Z2=Z3,

AE=CE

团国AEF酿CEB,

团EF=BE,AF=BC=2k.

R1AF团DB,

回RJAFPRBDBP,

PAFPAF2k2

回而一而一法一获

(3)当CD=2口寸，BC=4,

0AC=6,

团EC=AE=3,

团EB二飞EC?+BC2=5

团EF=BE=5,BF=10.

「FP2

团———，

BP3

BF5

••—―，

BP3

33

0BP=-BF=-xlO=6.

55

故答案为6.

【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股

定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键.

18.在朋5C中，CA=CB,NACB=a,点尸在平面内不与点A,。重合，连接转，将线

段AP绕点尸逆时针旋转。得到线段。尸，连接

备用图

（1）如图①，当a=60。，器的值是,直线3D与直线CP相交所成的较小角的度数

是.

⑵如图②，当a=90。时，请写出器的值及直线3D与直线CP相交所成的较小角的度数,

并说明理由.

⑶当&=90。时，若点E,尸分别是CA,CB中点，点尸在直线E尸上，请直接写出当C,P,

。在同一直线上时，求方的值.

【答案】（1）1，60°

（2）72,45°,理由见解析

⑶2+0或2-夜

【分析】（1）证明4P丝△BAO,得到即可得解；利用全等，对应角相等，

以及对顶角相等，得到=即可得解；

（2）根据题意：AAPD,ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质证明

ADAB^APAC,利用相似的性质即可得解；

（3）分点。在线段PC上，和P在线段CD上两种情况分类讨论即可；

【详解】（1）解：如图，延长CP交3。的延长线于点E,设A3交EC于点。

^\CA=CB,ZACB=a=60°,

0A5c是等边三角形，

由题意可知=NCAB=a=60°,AP=DP,

回P4D是等边三角形，

^\ZPAD=ZCAB=60°,AP=DP=AD,

0ZCAP+ZPAB=ZBAD+ZPAB,BPZCAP=ZBAD,

在.C4P和-54。中，

CA=BA

<ZCAP=NBAD,

AP=AD

HACAP^ABAD（SAS）

0PC=BD,AACP=ZABD

^\ZAOC=ZBOE

团在,AOC和ABOE中，有Z.BEO=ZCAO=60°

回器=1,直线3D与直线CP相交所成较小角的度数是60°；

图①

（2）卷=血；直线3尸与直线CP相交所成较小角的度数为45。，理由如下:

0a=90°,

0ZACB=ZAPD=90°,

又国AP=PD,

0AAPD是等腰直角三角形，

fflZR4£>=ZPZM=45°,

AD=y/AP2+PD2=72AP，

EZACB=90°,且C4=C3,

0ABC是等腰直角三角形，

回NC4B=NCBA=45°,

0AB=Jac?+BC=叵AC，

...空=丝=0,/CAB=/PAD=45°

ACAP

0ZCAB+ZDAC=ZPAD+ZDAC,即ZZM5=/PAC,

.•.△ZMfis△取c,

BDABAD

0一=V2,ZDBA=ZPCA,

CPACAP

设BD交CP于点G,BD交C4于点a,

团在和中，ZBHA=ZCHG,NDBA=NPCA,

S\ZCGH=ZBAH=45°；

（3）—值为2-夜或2+0，理由如下：

当点。在线段尸。上，延长AO交3c的延长线于点〃，

回E*分别是CAC3的中点，即即是的中位线，

团砂〃AB,

^ZEFC=ZABC=45°,

团NB4O=45。，

国NPAO=NEFC,

国/POA=/FOH,

国NH=NAPO,

^ZAPC=90°,EA=EC,

回PE=EA=EC,

⑦ZEPA=NEAP=NBAH,

国ZH=ZBAH,

©BH=BA,

回NADP=NBDC=45。，

团NAZ汨=90。，

^BDLAH,

5^BH=BA,

回BO是—