湖北省大冶市东片八校2024届中考数学五模试卷含解析

湖北省大冶市东片八校2024年中考数学五模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.关于x的方程（a-1）xlal+i-3x+2=0是一元二次方程，则（）

A.a#±1B.a=lC.a=-1D.a=±l

3.（2017・鄂州）如图四边形45。。中,4。〃5。,/5。。=90。,45=5。+4。,/。4。=45。,£为。。上一点,且/54£=45。.若

CD=4,则AABE的面积为（）

4.据统计，2018年全国春节运输人数约为3000000000人，将3000000000用科学记数法表示为（）

A.O.3xlO10B.3xl09C.30xl08D.300xl07

5.如图，A点是半圆上一个三等分点，3点是弧AN的中点，尸点是直径MN上一动点，。。的半径为1,则AP+

BP的最小值为

A.1B.正C.V2D.V3-1

2

6.某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）

动时间（小时）33.544.5

人数1121

A.中位数是4,平均数是3.75B.众数是4,平均数是3.75

C.中位数是4,平均数是3.8D.众数是2,平均数是3.8

7.如图，将△OAB绕O点逆时针旋转60。得到△OCD,若OA=4,ZAOB=35°,则下列结论错误的是（）

A.ZBDO=60°B.ZBOC=25°C.OC=4D.BD=4

8.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不

低于5%,则至多可打（）

A.6折B.7折

C.8折D.9折

9.已知两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（）

A.a+b>0B.ab<0C.a>bD.b-a>0

10.一元二次方程(x+3)(x-7)=0的两个根是

A.xi=3,X2=-7B.XI=3,X2=7

C.xi=-3,X2=7D.XI=-3,X2=-7

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.在ABC中，NA：NB：/C=l：2：3,CD，AB于点D,若AB=10,则BD=

12.已知。Oi、。。2的半径分别为2和5,圆心距为d,若。Ch与。Ch相交，那么d的取值范围是.

13.如图，。。的半径弦A3于点C,连结A0并延长交。。于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长

为_______

14.因式分解：9a3b-ab=.

15.如图，在小ABC中，DE〃BC,BF平分/ABC,交DE的延长线于点F,若AD=1,BD=2,BC=4,则EF=

16.北京奥运会国家体育场“鸟巢”的建筑面积为258000平方米，那么258000用科学记数法可表示为.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，一次函数丫=依+6的图象与反比例函数y的图象交于C,O两点，与x,y轴交于5,A两点，且

tan4450OB=4,OE=2,作轴于E点.

团求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；

（2J求△OCD的面积；

⑶根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围.

3

18.（8分）如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O,直线y=-工犬-6与x轴、y轴分别相交于A,B两点.

(1)求出A,B两点的坐标；

(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B,求此抛物线的函数

解析式；

(3)设(2)中的抛物线交T轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P,使得SAPDE=±SAABC?若存在，请求出点

P的坐标；若不存在，请说明理由.

19.(8分)某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元.根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时,

销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件.写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；写

出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76

元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？

20.(8分)随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟

通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统

计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

⑴这次统计共抽查了名学生，最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是一°;

⑵将条形统计图补充完整；

(3)运用这次的调查结果估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有多少名？

(4)甲、乙两名同学从微信，QQ,电话三种沟通方式中随机选了一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求

出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率.

21.(8分)如图，在△ABC中，ABAC,AE是N5AC的平分线，NABC的平分线交AE于点”，点。在A3

上，以点。为圆心，08的长为半径的圆经过点M,交于点G,交于点F.

(1)求证：AE为。。的切线；

(2)当5c=4,AC=6时，求。。的半径;

(3)在(2)的条件下，求线段5G的长.

22.(10分)如图，已知在RSABC中，NACB=90。，AOBC,CD是RtAABC的高，E是AC的中点，ED的延

长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF是BF和CF的比例中项；在AB上取一点G,如果AE・AC=AG・AD,求

证：EG»CF=ED«DF.

23.(12分)如图，在锐角△ABC中，小明进行了如下的尺规作图：

①分别以点A、5为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点尸、Q；

2

②作直线PQ分别交边AB.BC于点E、D.小明所求作的直线DE是线段AB的；联结AD,AZ>=7,sinZDAC

=1,BC=9,求AC的长.

7

24.某中学为了解学生平均每天“诵读经典”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计(设每天的诵读

时间为f分钟)，将调查统计的结果分为四个等级：I级(0V/V20)、II级(20</<40)、IH级(404/<60)、W级

(y>60).将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题:

所抽取学生每天“诵读经物情况统计图

(1)请补全上面的条形图.

(2)所抽查学生“诵读经典”时间的中位数落在_________级.

(3)如果该校共有1200名学生，请你估计该校平均每天“诵读经典”的时间不低于40分钟的学生约有多少人?

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解题分析】

根据一元一次方程的定义即可求出答案.

【题目详解】

。一1#0

由题意可知：I,,解得a=-l

刎+1=2

故选C.

【题目点拨】

本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型.

2、B

【解题分析】

由①得，x<3,由②得，x>l,所以不等式组的解集为：1q<3,在数轴上表示为：]J),故选B.

-2-101234

3、D

【解题分析】解：如图取CD的中点F,连接BF延长BF交AD的延长线于G,作FH±AB于H,EKLAB于K.作

BT±ADT.,JBC//AG,：.ZBCF=ZFDG,•:NBFC=NDFG,FC=DF,：./XBCF^/XGDF,:.BC=DG,BF=FG,

'：AB=BC+AD,AG=AD+DG=AD+BC,：.AB=AG,'：BF=FG,：.BF±BG,ZABF=ZG=ZCBF,"：FH±BA,FC±BC,

:.FH=FC,FBC^AFBH,△FAH^/\FAD,：.BC=BH,AD=AB,由题意AO=Z>C=4,设BC=TD=BH=x,在

R3AB7中，'JAB^BT^+AT2,：.(x+4)2=42+(4-x)2,：.x=l,：.BC=BH=TD=l,AB=5,AK=EK=y,DE=z,

'：AE2=AI^+EI^=AD2+DE2,BEZS/^+KEZEa+EC2,...42+z2=俨①，(5_1)2+y2=y+(4-%)2②，由①②可得产费,

.12050

..SAAB£=^5X7=7,故选D-

点睛：本题考查直角梯形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、勾股定理、二元二次方程组等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题.

4、B

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|<10,n为整数.

【题目详解】

解：根据科学计数法的定义可得，3000000000=3x109,故选择以

【题目点拨】

本题考查了科学计数法的定义，确定n的值是易错点.

5、C

【解题分析】

作点A关于“V的对称点4,连接4位，交MN于点P,则HL+PB最小，

连接OA'^A'.

•.•点A与4关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点,

:.ZA'ON^ZAON=60°,PA=PA',

•.,点3是弧ANA的中点，

，ZBON=3Q°,

：.ZA'OB^ZA'ON+ZBON=90°,

又•..04=OV=1,

；.A，B=6

：.PA+PB=PA'+PB=A'B=y[2

故选：C.

6,C

【解题分析】

试题解析：这组数据中4出现的次数最多，众数为4,

•••共有5个人，

.•.第3个人的劳动时间为中位数，

故中位数为：4,

3+3.5+4x2+4.5

平均数为:---------------------------=3.1.

5

故选C.

7、D

【解题分析】

由4OAB绕O点逆时针旋转60。得到△OCD知NAOC=NBOD=60。，AO=CO=4、BO=DO,据此可判断C；由4AOC、

△BOD是等边三角形可判断A选项；由NAOB=35。，NAOC=60。可判断B选项，据此可得答案.

【题目详解】

解：；AOAB绕O点逆时针旋转60。得到AOCD,

.\ZAOC=ZBOD=60°,AO=CO=4、BO=DO,故C选项正确；

贝！UAOC、△BOD是等边三角形，...NBDO=60。，故A选项正确；

VZAOB=35°,ZAOC=60°,AZBOC=ZAOC-ZAOB=60°-35o=25°,故B选项正确.

故选D.

【题目点拨】

本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心所连线

段的夹角等于旋转角.③旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质.

8、B

【解题分析】

设可打X折，则有1200X--800>800x5%,

10

解得X2.

即最多打1折.

故选B.

【题目点拨】

本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以2.解答本题的关键是

读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%,列不等式求解.

9、C

【解题分析】

根据各点在数轴上位置即可得出结论.

【题目详解】

由图可知，b<a<0,

A.''b<a<Q,.\a+b<0,故本选项错误；

B.,：b<a<0,：.ab>0,故本选项错误；

C.*.*Z»<a<0,'.a>b,故本选项正确；

D.\'b<a<0,：.b-a<0,故本选项错误.

故选C.

10、C

【解题分析】

根据因式分解法直接求解即可得.

【题目详解】

,:(x+3)(x-7)=0,

x+3=0或x-7=0,

/.xi=-3,X2=7,

故选c.

【题目点拨】

本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点选择恰当的方法进行求解是解题的关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、2.1

【解题分析】

先求出△ABC是NA等于30。的直角三角形，再根据30。角所对的直角边等于斜边的一半求解.

【题目详解】

解：根据题意，设NA、NB、NC为k、2k、3k,

贝！］k+2k+3k=180。，

解得k=30。，

2k=60°,

3k=90°,

；AB=10,

1

，BC=—AB=1,

2

VCD1AB,

/.ZBCD=ZA=30o,

1

/.BD=-BC=2.1.

2

故答案为2.1.

【题目点拨】

本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握30。角所对的直角边等于斜边的一半、求出

△ABC是直角三角形是解本题的关键.

12、3<d<7

【解题分析】

若两圆的半径分别为R和r,且电r,圆心距为d：相交，则R-r<d<R+r,从而得到圆心距O1O2的取值范围.

【题目详解】

•••和。02的半径分别为2和5,且两圆的位置关系为相交，

圆心距0102的取值范围为5-2<d<2+5,即3<d<7.

故答案为：3<d<7.

【题目点拨】

本题考查的知识点是圆与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握圆与圆的位置关系.

13、2713

【解题分析】

设。O半径为r,根据勾股定理列方程求出半径r,由勾股定理依次求BE和EC的长.

【题目详解】

连接BE,

D

设。O半径为r,则OA=OD=r,OC=r-2,

VOD±AB,

•,.ZACO=90°,

1

AC=BC=—AB=4,

2

在RtAACO中，由勾股定理得：r2=42+(r-2)2,

r=5,

.\AE=2r=10,

TAE为。O的直径，

.\ZABE=90°,

由勾股定理得：BE=6,

在RtAECB中，EC=y]BE2+BC2=762+42=2^3•

故答案是：2岳.

【题目点拨】

考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键.

14、ab(3a+l)(3a-l).

【解题分析】

试题分析：原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可.

试题解析：原式=ab(9a2-l)=ab(3a+l)(3a-l).

考点：提公因式法与公式法的综合运用.

2

15、-

3

【解题分析】

由DE//BC可得出△ADE^^ABC,根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可.

【题目详解】

'：DE//BC,

・•・ZF=ZFBC9

■:BF平分NA5C,

:.ZDBF=ZFBC,

：.ZF=ZDBF9

:.DB=DF9

•:DE〃BC,

:•△ADES/\ABC,

ADDE1DE

•>---------=----,即a-n-----=----,

AD+DBBC1+24

4

解得：DE=-,

'：DF=DB=2,

42

：.EF=DF-DE=2--=-,

33

2

故答案为彳.

【题目点拨】

此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由OE〃8C可得出△ADE^/XABC.

16、2.58x1

【解题分析】

科学记数法就是将一个数字表示成(axlO的n次塞的形式)，其中lW|a|V10,n表示整数.即从左边第一位开始，在

首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幕.258000=2.58x1.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)y=--x+2,y=-1；(2)8；(3)x<-2或0<x<6.

【解题分析】

试题分析：(1)根据已知条件求出A、5、C点坐标，用待定系数法求出直线A3和反比例函数的解析式；

(2)联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点。的坐标，从而根据三角形面积公式求解；

(3)根据函数的图象和交点坐标即可求解.

试题解析：解：(1)；05=4,OE=2,：.BE=2+4=1.

轴于点E,tanNABO=寤=：.OA=2,CE=3,...点A的坐标为(0,2)、点3的坐标为C(4,0)、点

C的坐标为(-2,3).

,一次函数y=ax+8的图象与x,y轴交于5,A两点，'，解得：［；=；.

故直线AB的解析式为y=-/+2.

kk6

•.•反比例函数y=：的图象过C,二3=与."=-1,.•.该反比例函数的解析式为y=J；

1

,y=-yc+2

(2)联立反比例函数的解析式和直线48的解析式可得：［16，可得交点。的坐标为(1,-1),则△80。的

y--.x

面积=4xl+2=2,△BOC的面积=4x3+2=l,故4OCD的面积为2+1=8；

(3)由图象得，一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围：x<-2或0Vx<L

点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立

成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.

18、(1)A(-8,0),B(0,-6);(2)y=-；f-4x—6；(3)存在.P点坐标为(-4+而,-1)或(-4-6,

-1)或(-4+收，1)或(-4-0,1)时，使得“荻=1sMsc•

【解题分析】

分析：(1)令已知的直线的解析式中x=0,可求出B点坐标，令y=0,可求出A点坐标；(2)根据A、B的坐标易得

到M点坐标，若抛物线的顶点C在。M上，那么C点必为抛物线对称轴与。O的交点；根据A、B的坐标可求出AB

的长，进而可得到。M的半径及C点的坐标，再用待定系数法求解即可；

(3)在(2)中已经求得了C点坐标，即可得到AC、BC的长；由圆周角定理：

ZACB=90°,所以此题可根据两直角三角形的对应直角边的不同来求出不同的P点坐标.

3

本题解析：(1)对于直线丫=——x-6,当尤=0时，y=-6；当y=0时，

4

所以A(-8,0),B(0,-6)；

22

(2)在RtAAOB中，AB=A/6+8=10,VZAOB=90°,...AB为。M的直径，

点M为AB的中点，M(-4,-3),•.•MC〃y轴，MC=5,AC(-4,2),

设抛物线的解析式为y=a(x+4)2+2,

把B(0,-6)代入得16a+2=-6,解得a=-',

2

11,

...抛物线的解析式为y=—](X+4)2,即y=—5/一4X—6；

(3)存在.

1

当y=0时，y=--(x+4)29+2,解得x,=-2,x,=-6,

AD(-6,0),E(-2,0),

SAABC=^AACM+S.CM=]'CMx8=20,

1

设P(t,一一%9—4/-6),

2

•S"DE~而^\ABC

1,_17.,1

/.—(—2+6)—t—4/—6=—x20,

2210

11

即|—t9—4-t-61=1,当—t9—4-t—6=-1,

22

解得4=—4+-\/6)?2=-4--\/6,

此时P点坐标为(-4+R,-1)或(-4-R,-1)；

当一;『—4f—6=1时，解得彳=-4+正，=-4-V2;

此时P点坐标为(-4+后,1)或(-4-0,1).

综上所述，P点坐标为(-4+后，-1)或(-4-R,-1)或(-4+0，1)或(-4-y[2,1)时，使得SAPQE=~^AABC,

点睛：本题考查了二次函数的综合应用及顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程的解法，本题的综合性较强，注

意分类讨论的思想应用.

19、(1)y=-20x+1800；(2)w=-20x2+3000%-108000;(3)最多获利4480元.

【解题分析】

(1)销售量y为200件加增加的件数(80-x)x20；

(2)利润w等于单件利润x销售量y件，即0=(x-60)(-20X+1800),整理即可；

(3)先利用二次函数的性质得到w=-20X2+3000X-108000的对称轴为x=75,而-20x+18002240,x<78,得76<x<78,

根据二次函数的性质得到当76sxs78时，W随x的增大而减小，把x=76代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得

的最大利润.

【题目详解】

(1)根据题意得,y=200+(80-x)x20=-20x+1800,

所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=-20X+1800(60<x<80);

(2)W=(x-60)y=(x-60)(-20x+1800)=-20x2+3000x-108000,

所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式为：

W=-20x2+3000x-108000；

(3)根据题意得，-20x+1800X40,解得正78,.176WxW78,

3000

w=-20x2+3000x-108000,对称轴为x=-----------=75,

2x(-20)

Va=-20<0,

.•.抛物线开口向下，，当76WxW78时，W随x的增大而减小，

；.x=76时，W有最大值，最大值=(76-60)(-20x76+1800)=4480(元).

所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元.

【题目点拨】

二次函数的应用.

20、(1)120,54；(2)补图见解析；(3)660名；(4)1.

【解题分析】

⑴用喜欢使用微信的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用360。乘以样本中电话人数所占比例；

⑵先计算出喜欢使用短信的人数，然后补全条形统计图；

(3)利用样本估计总体，用1200乘以样本中最喜欢用QQ进行沟通的学生所占的百分比即可；

(4)画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数，然后根据概率公

式求解.

【题目详解】

1Q

解：(1)这次统计共抽查学生24+20%=120(人)，其中最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是360°x—=54°,

120

故答案为120、54；

⑵喜欢使用短信的人数为120-18-24-66-2=10(A),

条形统计图为：

0电话短旗信2。其他沟通方式

66

(3)1200x——=660,

120

所以估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有660名；

(4)画树状图为：

微信8电话

微信/QQK电话微X信QNQ电话微信/rQQ-电话

共有9种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为3,

所以甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率g.

【题目点拨】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.也考查了统计图和用样本估计总体.

3

21、(1)证明见解析；(2)-；(3)1.

2

【解题分析】

(1)连接OM,如图1,先证明OM〃BC,再根据等腰三角形的性质判断AE_LBC,则OMJ_AE,然后根据切线的

判定定理得到AE为。O的切线；

(2)设。O的半径为r,利用等腰三角形的性质得到BE=CE='BC=2,再证明△AOMs/\ABE,则利用相似比得到

2

二=?,然后解关于r的方程即可；

26

一31

(3)作OHLBE于H,如图，易得四边形OHEM为矩形，则HE=OM=—，所以BH=BE-HE=—,再根据垂径定理

22

得至|JBH=HG=L,所以BG=1.

2

【题目详解】

解：(1)证明：连接OM,如图1,

•；BM是NABC的平分线，

/.ZOBM=ZCBM,

；OB=OM,

/.ZOBM=ZOMB,

.,.ZCBM=ZOMB,

，OM〃BC,

VAB=AC,AE是NBAC的平分线,

AAEIBC,

AOM1AE,

；.AE为。O的切线；

(2)解：设。。的半径为r,

VAB=AC=6,AE是NBAC的平分线,

1

/.BE=CE=-BC=2,

2

；OM〃BE,

/.△AOM^AABE,

OMAOr6-r3

-----=——，即an_=-----解得片大，

BEAB262

3

即设。O的半径为不；

2

(3)解：作OHLBE于H,如图,

VOM±EM,ME1BE,

二四边形OHEM为矩形，

3

.\HE=OM=-,

2

31

:.BH=BE-HE=2--=

22

VOH1BG,

1

；.BH=HG=-,

2

/.BG=2BH=1.

22、证明见解析

【解题分析】

试题分析：（1）根据已知求得/BDF=NBCD,再根据NBFD=NDFC,证明△BFDsaDFC,从而得BF：DF=DF：

FC,进行变形即得；

_EGBF

（2）由已知证明△AEGs^ADC,得至!JNAEG=NADC=9O。，从而得EG〃:BC,继而得——=——，

EDDF

,/、一