浙江省余姚市2024届中考模拟联考数学试题含解析

浙江省余姚市2024年中考联考数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知一次函数丁=丘-3且丁随x的增大而增大，那么它的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.某城2014年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，到2016年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长

率为x,由题意所列方程正确的是（）.

A.300（1+%）=363B.300（1+%）2=363C.300（1+2x）=363D.300（1-x）2=363

3.如图，AB与。O相切于点B,OA=2,ZOAB=30°,弦BC〃OA,则劣弧5c的长是（）

兀4兀

A.B.-C.一D.-

2346

4.如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T形管道，则其俯视图正确的是（

A.

C.[—I-------

D0

5.在△ABC中，AD和BE是高，NABE=45。，点F是AB的中点，AD与FE,BE分别交于点G、H.ZCBE=ZBAD,

2

有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；（3）BC«AD=72AE；@SABEC=SAADF.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.下列算式的运算结果正确的是()

A.m3»m2=m6B.m5-?m3=m2(m/0)

C.(m-2)3=m-5D.m4-m2=m2

7.如图，甲圆柱型容器的底面积为30cm2,高为8cm,乙圆柱型容器底面积为xcn?,若将甲容器装满水，然后再将

甲容器里的水全部倒入乙容器中（乙容器无水溢出），则乙容器水面高度y（cm）与x（cn?）之间的大致图象是（）

8.如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是（）

9.不等式组［12x+<9>61x+l的解集为“<2.贝”的取值范围为（）

A.k<\B.k31C.k>lD.k<l

10.由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的左视图和俯视图,如图所示，则搭成该几何体的小正方形的个数最少

是（）

左视图俯视图

A.4B.5C.6D.7

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在

k

边DE上，反比例函数y=—（k#0,x>0）的图象过点B,E.若AB=2,则k的值为.

x

12.如图，已知点A（a,b）,0是原点，OA=OAi,OA±OAi,则点Ai的坐标是

13.如果a?-b?=8,且a+b=4,那么a-b的值是—.

14.若一段弧的半径为24,所对圆心角为60。，则这段弧长为.

15.指+（&-6）=_.

16.因式分解：x2-10x+24=.

三、解答题（共8题，共72分）

/八、j包cos30°-cot45°

17.（8分）计算：sin30°,tan60°H-----------------------..

cos60°

18.（8分）科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程.①在科研所到宿舍

楼之间修一条高科技的道路；②对宿含楼进行防辐射处理；已知防辐射费y万元与科研所到宿舍楼的距离xkm之间的

关系式为丫=2*+1）（0*与）.当科研所到宿舍楼的距离为1km时，防辐射费用为720万元；当科研所到宿含楼的距离为

3km或大于3km时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理，设修路的费用与xZ成正比，且比例系数为m万元，配

套工程费亚=防辐射费+修路费.

⑴当科研所到宿舍楼的距离x=3km时，防辐射费丫=一万元，a=,b=；

⑵若m=90时，求当科研所到宿舍楼的距离为多少km时，配套工程费最少？

⑶如果最低配套工程费不超过675万元，且科研所到宿含楼的距离小于等于3km,求m的范围？

19.(8分)如图，AB是OO的直径，点E是上的一点，ZDBC=ZBED.

(1)求证：BC是。O的切线；

(2)已知AD=3,CD=2,求BC的长.

20.(8分)已知二次函数y=a(x+m)2的顶点坐标为(-1,0),且过点A(-2,-1).

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)点B(2,-2)在这个函数图象上吗？

(3)你能通过左，右平移函数图象，使它过点B吗？若能，请写出平移方案.

21.(8分)已知抛物线y=a(x+3)(x-1)(a邦)，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C,经过

点A的直线y=-芯x+b与抛物线的另一个交点为D.

(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式；

(2)若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；

(3)在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE.一动点Q从点B出发，沿线段BE以每

秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒斗个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，

点Q在整个运动过程中所用时间最少？

X

(1)。=,点6坐标为

⑵在X轴上找一点P,在y轴上找一点。，使5P+PQ+QA的值最小，求出点p、Q两点坐标

23.（12分）如图，抛物线y=ax?+bx+c（a>0）的顶点为M,直线y=m与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰

直角三角形，我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称

>0）对应的碟宽在x轴上，且AB=1.

①求抛物线的解析式；

②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp,yp）,使得NAPB为锐角，若有，请求出yp的取值范围.若没有,

请说明理由.

24.先化简，再求值：—--土土，其中x=01.

%+4%+4x+2x+2

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解题分析】

根据一次函数的性质：k>0,y随x的增大而增大；k<0,y随x的增大而减小，进行解答即可.

【题目详解】

解：•.,一次函数y=kx-3且y随x的增大而增大，

，它的图象经过一、三、四象限，

，不经过第二象限，

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数所经过的象限与k、b的值有关是解题的关键.

2、B

【解题分析】

先用含有x的式子表示2015年的绿化面积，进而用含有x的式子表示2016年的绿化面积，根据等式关系列方程即可.

【题目详解】

由题意得，绿化面积平均每年的增长率为x,则2015年的绿化面积为300(1+x),2016年的绿化面积为300(1+x)

(1+x),经过两年的增长，绿化面积由300公顷变为363公顷.可列出方程：300(1+x)2=363.故选B.

【题目点拨】

本题主要考查一元二次方程的应用，找准其中的等式关系式解答此题的关键.

3、B

【解题分析】

解：连接QB,OC.为圆。的切线，/.ZABO=90°.在RtZkABO中，OA=2,ZOAB=30°,：,OB=1,

ZAOB=60°.,:BC〃OA,：.NOBC=NAOB=60°.又.,.△5。。为等边三角形，.\/3。。=60。，则劣弧3c

点睛：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键.

4、B

【解题分析】

试题分析：三视图就是主视图(正视图)、俯视图、左视图的总称.从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图(正

视图)——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物

体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状.故选B

考点：三视图

5、C

【解题分析】

根据题意和图形，可以判断各小题中的结论是否成立，从而可以解答本题.

【题目详解】

•.,在AABC中，AD和BE是高，

:.ZADB=ZAEB=ZCEB=90°,

••,点F是AB的中点，

11

；.FD=—AB,FE=-AB,

22

/.FD=FE,①正确；

VZCBE=ZBAD,NCBE+NC=90。，ZBAD+ZABC=90°,

/.ZABC=ZC,

.\AB=AC,

VAD±BC,

/.BC=2CD,ZBAD=ZCAD=ZCBE,

ZAEH=ZCEB

在AAEH和ABEC中，(AE=BE,

ZEAH=ZCBE

/.△AEH^ABEC(ASA),

/.AH=BC=2CD,②正确；

VZBAD=ZCBE,ZADB=ZCEB,

/.△ABD^ABCE,

ABAD

•♦---=----，即anBC・AD=AB,BE,

BCBE

VZAEB=90°,AE=BE,

.,.AB=72BE

BC«AD=72BE・BE,

/.BC«AD=V2AE2；③正确；

设AE=a,则AB=y/2a,

，CE=&a-a,

CEBE

•SBEC_2_CE_亚a-a_2-垃

2

即SBEC=¥SABC，

1

VAF=-AB,

2

•**SADF=-SAB0=—SABC,

•"•SABEC^SAADF,故④错误，

故选：C.

【题目点拨】

本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题

意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

6、B

【解题分析】

直接利用同底数塞的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案.

【题目详解】

A、m3»m2=m5,故此选项错误；

B、m54-m3=m2(m#0),故此选项正确；

C(nr?)3加6,故此选项错误；

D、m4-m2,无法计算，故此选项错误；

故选：B.

【题目点拨】

此题主要考查了同底数嘉的除法运算以及合并同类项法则、积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键.

7、C

【解题分析】

根据题意可以写出y关于x的函数关系式，然后令x=40求出相应的y值，即可解答本题.

【题目详解】

解：由题意可得，

30x8240

y=---=--,

xx

当x=40时，y=6,

故选c.

【题目点拨】

本题考查了反比例函数的图象，根据题意列出函数解析式是解决此题的关键.

8、D

【解题分析】

根据勾股定理求出四边形第四条边的长度，进而求出四边形四条边之比，根据相似多边形的性质判断即可.

【题目详解】

解：作AE_L3C于E,

：.EC=AD=1,AE=CD=3,

：.BE=4,

由勾股定理得，寿=5,

，四边形的四条边之比为1：3：5：5,

D选项中，四条边之比为1：3：5：5,且对应角相等，

故选D.

【题目点拨】

本题考查的是相似多边形的判定和性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.

9、B

【解题分析】

求出不等式组的解集，根据已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可.

【题目详解】

2%+9>6%+1x<2

解：解不等式组

x-k<lx<k+1

:不等式组［2一x+9<>16x+l的解集为xV2,

.\k+l>2,

解得QL

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式组的解集和已知得出关于k的不等式，难度适

中.

10>C

【解题分析】

试题分析：由题中所给出的左视图知物体共两层，每一层都是两个小正方体；从俯视图可以可以看出最底层的个数

所以图中的小正方体最少2+4=1.故选C.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、6+275

【解题分析】

解：设E(XQ),

.,.B(2,x+2),

•反比例函数y=&(际0,x>0)的图象过点B.E.

X

/.x2=2(x+2),

Xy=1+A/5,%=1—(舍去)，

...左=/=(1+扃=6+2逐，

故答案为6+2不

12、(-b,a)

【解题分析】

解：如图，从A、Ai向x轴作垂线，设Ai的坐标为(x,y),

设NAOX=(x,ZAiOD=p,Ai坐标(x,y)贝a+0=”9()Osina=cosP"cosa="sin0"sina=；^=cos0=7^

同理cosa=j^7=sinp=7^

所以x=-b,y=a,

故Ai坐标为(-b,a).

【点评】重点理解三角函数的定义和求解方法，主要应用公式sina=cos0,cosa=sin|L

13、1.

【解题分析】

根据(a+b)(a-b)=a1-b1,可得(a+b)(a-b)=8,再代入a+b=4可得答案.

【题目详解】

Va'-b^S,

:.(a+b)(a-b)=8,

Va+b=4,

•*.a-b=l,

故答案是：1.

【题目点拨】

考查了平方差，关键是掌握(a+b)(a-b)=a1-b1.

14、8n

【解题分析】

试题分析：•••弧的半径为24,所对圆心角为60。,

・・・弧长为仁驾里竺=8九.

故答案为87r.

【考点】弧长的计算.

15、近.

【解题分析】

根据去括号法则和合并同类二次根式法则计算即可.

【题目详解】

解：原式=娓+也-屈

=A/2

故答案为：0

【题目点拨】

此题考查的是二次根式的加减运算，掌握去括号法则和合并同类二次根式法则是解决此题的关键.

16、(x-4)(x-6)

【解题分析】

因为(-4)x(—6)=24,(—4)+(—6)=-10,所以利用十字相乘法分解因式即可.

【题目详解】

x2-10x+24=x2-10x+(—4)x(—6)=(x-4)(x-6)

【题目点拨】

本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、走一2

2

【解题分析】

试题分析：把相关的特殊三角形函数值代入进行计算即可.

"_1

试题解析：原式=LG+3—=-+73-2=--2.

2122

2

18、(1)0,-360,101；(2)当距离为2公里时，配套工程费用最少；(3)0<m<l.

【解题分析】

(1)当x=l时，y=720,当x=3时，y=0,将x、y代入y=ax+b,即可求解；

⑵根据题目：配套工程费w=防辐射费+修路费分0WxW3和x>3时讨论.

①当gxW3时，配套工程费W=90x2-360x+101,②当后3时，W=90x2,分别求最小值即可；

180180180

(3)0<x<3,W=mx2-360x+101,(m>0),其对称轴x=-----,然后讨论：x=------=3时和x=------>3时两种情况m

mmm

取值即可求解.

【题目详解】

解：(1)当x=l时，y=720,当x=3时，y=0,将x、y代入y=ax+b,

解得:a=-360,b=101,

故答案为0,-360,101；

⑵①当0<x<3时，配套工程费W=90x2-360x+101,

.•.当x=2时，Wmi„=720；

②当在3时，W=90x2,

W随X最大而最大，

当x=3时，Wmin=810>720,

.•.当距离为2公里时，配套工程费用最少；

(3)-3,

180

W=mx2-360x+101,(m>0),其对称轴x=——，

m

180

当x=-----W3时，即：m>60,

m

180,180

W=m(——)2-360(——)+101,

minmm

VWmin<675,解得：60<m<l；

ion

当x=----->3时，即m<60,

m

当x=3时，Wmin=9m<675,

解得：0VmV60,

故：0<mWL

【题目点拨】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最值问题常利函数的增减性来解答.

19、⑴证明见解析

(2)BC=710

【解题分析】

(l)AB是。O的直径，得NADB=90。，从而得出NBAD=NDBC,即NABC=90。，即可证明BC是。。的切线;

BeCD

(2)可证明△ABCS/\BDC,则——=—,即可得出

CABC

【题目详解】

(1)；AB是。O的切直径，

.\ZADB=90°,

又,.•/BAD=NBED,ZBED=ZDBC,

.\ZBAD=ZDBC,

:.ZBAD+ZABD=ZDBC+ZABD=90°,

；.NABC=90。，

...BC是。O的切线；

(2)解：VZBAD=ZDBC,ZC=ZC,

/.△ABC^ABDC,

:.——=——，BPBC2=AC»CD=(AD+CD)»CD=10,

CABC

.,.BC=V10.

考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定和性质.

20、(1)y=-1(x+1)%(1)点B(1,-1)不在这个函数的图象上；(3)抛物线向左平移1个单位或平移5个单

位函数，即可过点B；

【解题分析】

(1)根据待定系数法即可得出二次函数的解析式；

(1)代入B(1,-1)即可判断；

(3)根据题意设平移后的解析式为丫=-^(x+l+m)I代入B的坐标，求得m的植即可.

【题目详解】

解：(1)•.•二次函数y=a(x+m)】的顶点坐标为(-1,0),

m=l,

・••二次函数y=a(x+1)I

把点A(-1,--)代入得a=--,

22

则抛物线的解析式为：y=-1(x+1)I

19

(1)把x=l代入y=--(x+1)i得y=-5#-1'

所以，点B(L-1)不在这个函数的图象上；

(3)根据题意设平移后的解析式为y=-g(x+l+m)I

把B(1,-1)代入得-1=-'(i+i+m)i,

2

解得m=-1或-5,

所以抛物线向左平移1个单位或平移5个单位函数，即可过点B.

【题目点拨】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及图象与几何变换.

21、(1)y=-A/5(X+3)(x-1)=-小x。-2书x+3书;(2)(-4,-岑)和(-6,-3步)(3)(1,-4行).

【解题分析】

试题分析：(1)根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，求出直线的解析式，求出点D的坐标，求出抛物线的解

析式；(2)作PHLx轴于H,设点P的坐标为(m,n),分△BPAs^ABC和△PBAs/\ABC,根据相似三角形的

性质计算即可；(3)作DM〃x轴交抛物线于M,作DN_Lx轴于N,作EFJ_DM于F,根据正切的定义求出Q的运

动时间t=BE+EF时，t最小即可.

试题解析：(1)Vy=a(x+3)(x-1),

，点A的坐标为(-3,0)、点B两的坐标为(1,0),

V直线y=-/^x+b经过点A,

•"=-3次，

•'•y=--3正，

当x=2时，y=-5y,

则点D的坐标为(2,-5遂)，

•••点D在抛物线上，

Aa(2+3)(2-1)=-5后，

解得，a=-

则抛物线的解析式为y=-V3(x+3)(x-1)=-/gx2-2火x+3次;

(2)作PHJ_x轴于H,

设点P的坐标为(m,n),

当^BPA^AABC时，ZBAC=ZPBA,

/.tanNBAC=tanNPBA,即更理，

0AHB

/.———=------,BPn=-a(m-1),

3-m+1

.jn二一a(m-1)

n=(m+3)(ID-1)

解得，mi=-4,m2=l(不合题意，舍去)，

当m=-4时，n=5a,

VABPA^AABC,

AAC=ABgpAB2=AC.PB

ABPB

•*-4y9a2+9刃25屋+25,

解得，a尸垣(不合题意，舍去)，a2=-迎5,

1515

贝!In=5a="

3

•••点P的坐标为(-4,-迎5)；

3

当APBA^AABC时，ZCBA=ZPBA,

/.tanNCBA=tanNPBA,即义三,

OBHB

——=-----,EPn=-3a(m-1),

1-nrf-1

.fn=一3a(mT)

]n=a(m+3)(m*1)'

解得，mi=-6,m2=l（不合题意，舍去）,

当m=-6时，n=21a,

VAPBA^AABC,

2

ABC=ABgpAB=BC»PB,

BAPB

；•42=Vl+9a2,772+（-21a）2-

解得，ai=g（不合题意，舍去），32=-近,

77

则点P的坐标为（-6,-近），

7

综上所述，符合条件的点P的坐标为（-4,-逗）和（-6,-乂2）；

37

(3)作DM〃x轴交抛物线于M,作DN_Lx轴于N,作EF_LDM于F,

则tanNDAN=^=^^=«,

AN5

NDAN=60°,

/.ZEDF=60°,

:.DE=————=2V3EF,

sin/EDF3

DE

AQ的运动时间1=些+2M=BE+EF,

1T-

.•.当BE和EF共线时，t最小，

贝!)BE_LDM,E(l,-4«).

22、(l)a=3,网―3,1)；⑴尸(-2,0),Q(0,2).

【解题分析】

(1)由点A在一次函数图象上，将A(-l,a)代入y=x+4,求出a的值，得到点A的坐标，再由点A的坐标利用待

定系数法求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标；

(1)作点A关于y轴的对称点A，，作点B作关于x轴的对称点B，，连接A，B，，交x轴于点P,交y轴于点Q,连接

PB、QA.利用待定系数法求出直线A，B，的解析式，进而求出P、Q两点坐标.

【题目详解】

解：(1)把点A(-1,a)代入一次函数y=x+4,

得：a=-l+4,解得：a=3,

・••点A的坐标为(-1,3).

把点A(-1,3)代入反比例函数y=8,

X

得：k=-3,

3

・•・反比例函数的表达式y=—.

x

?=x+4

联立两个函数关系式成方程组得：_3

y=----

__X——1-3

解得：\或｛1

[y=3[y=l

.•.点B的坐标为(-3,1).

故答案为3,(-3,1)；

(1)作点A关于y轴的对称点A，，作点B作关于x轴的对称点B，，连接A，B，，交x轴于点P,交y轴于点Q,连接

PB、QA,如图所示.

,点B、B，关于x轴对称，点B的坐标为(-3,1),

.,.点B，的坐标为(-3,-1),PB=PB\

•.•点A、A，关于y轴对称，点A的坐标为(-1,3),

.•.点A，的坐标为(1,3),QA=QA\

:.BP+PQ+QA=BT+PQ+QA，=A，B，，值最小.

设直线A，B，的解析式为y=mx+n,

〃=3

把A。B，两点代入得：\。1

-3m+zz=-l

m=l

解得：

n=2

二直线A，B，的解析式为y=x+l.

令y=0,则x+l=O,解得：x=-l,点P的坐标为(-1,0),

令x=0,则y=l,点Q的坐标为(0,1).

【题目点拨】

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、轴对称中的最短线路问题，解题的关键是：

(1)联立两函数解析式成方程组，解方程组求出交点坐标；(1)根据轴对称的性质找出点P、Q的位置.本题属于基

础