函数性质的综合应用 解析版-2024年高考数学一轮复习

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m【考试提醒】

函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图

象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查.

B【核心题型】

题型一函数的奇偶性与单调

(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为了(g(c))>/仇(⑼),利用单调性把不等式的函数符号了”脱掉，得到

具体的不等式(组).

(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而

利用其单调性比较大小.

011(2024•吉林长春•模拟预测)己知函数/(乃=|3-3一,|,则不等式"2c—1)—/(,)>0的解集为

()

A.(-co,y)U(1,+co)B.(-CO,/)

c.(y,l)D.(l,+oo)

【答案】A

【分析】判断了(①)的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.

【详解】/(，)=♦—3寸£定义域为R,又/(—①)=I犷。-31=f(t),故y=f(工)为偶函数;

又当力>。时，g=3*,g=-3一,均为单调增函数，故g(/)=3*—3一°为(0,+8)上的单调增函数；

又g(0)=0,故当a;>0时，g(x)>0,则此时y=f(x)=g{x)为(0,+8)上的单调增函数，故/V0时，y

=/(力)为单调减函数；

J(2x—1)—J(T)>0,即/(2T—1)>/(x),则|26—1|>\x\,即(2x—1)2>x2,3力之一知+1>0,

也即(32—1)(力一1)>0,解得(―U(l,+oo).

故选：A

【变式训练】

题目叵(2024•辽宁大连•一模)设函数/㈤=simr/+e3-3_e3-3x_T+3则满足/⑶+/(3—2乃V4的力

的取值范围是()

A.(3,+8)B.(—8,3)C.(l,+oo)D.(—oo,1)

【答案】。

【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数g(力)=/(力+1)—2,利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性

和单调性，从而将所求转化为g(力—1)<g(2x—2)，进而得解.

【详解】因为/(T)=sin兀/+/T_e3-3，_力+3,

所以f(x+1)=sin(兀力+兀)+e3rc+3-3-e3-3a:-3-j:-1+3

——sin兀6+e，,—eix—x+2,

设g(rc)=f(x+1)—2=—simuN+e比一㊀一既一化，显然定义域为R,g(力一1)=/(T)—2,

又g^—x)=—sin(—7TT)+e~3x-e^x-\-x=—(―sirur/+e阮一e一阻一力)二—g(/),

所以g(劣)为R上的奇函数，

又g'3)——7ucos7ux+3e3/+3e-3cc—1TUCOS力+2A/3eix-3e~3x—1=5—TTCOS力>0,

所以gO)在A上单调递增，

又/(c)+y(3-2a;)<4,则A3)—2]+[y(3-2x)-2]<0,

所以g(宓—1)+g(2—2x)V0,即g(x—1)V—g(2—2x)=g(2x—2),

所以力一lV2c—2,解得x>1,

则满足/(T)+/(3—2力)V4的力的取值范围是(1,+8).

故选：C.

题目团(2024商三•全国•专题练习)已知定义在R上的函数/Q),其导函数为/'(,).若/(,)=/(—2)—

2sinrc,且当2>0时，有/(a?)+cos，>0成立，则不等式/(2+5)>/(/)+sino;—cosa;的解集为()

A.(-8昼)B.(与+8)C.(-8号)D.(-年,+8)

【答案】。

【分析】设g(/)=/(劣)+sina?,由题意，得出g{x)为定义在7?上的偶函数，且在[0,+8)上单调递增，再把不

等式/(力+>/(T)+sin6—cos/转化为g[x+>g{x},利用单调性求解.

【详解】设。(力)=/(力)+sin/,则g(—力)=/(—/)+sin(—X).

由于⑸=/(—/)—2sin/,得/(力)+sine=/(—/)+sin(—/)，所以g(/)为偶函数.

因为当力>0时，有g{x}=/'3)+cosa;>0成立，

所以g(r)在[0,+8)上单调递增，

又g(c)为偶函数，所以gQ)在(—oo,0)上单调递减，

因为于(劣+-|-)+cos/=/(力+-|-)+sin(/+今)>/(/)+sin力，即g(力+

所以卜+同>\x\,解得X>—十.

故选：。,

题目⑶(2024•全国•模拟预测)已知定义在(—8,0)U(0,+8)上的函数/(6)，对于定义域内任意的如y,

都有/(咫/)=/(为+/3),且/(2)在(0,+s)上单调递减，则不等式/(力)<1。82与^的解集为.

【答案】{力出V—1或力>1}

171+]

【分析】由/(曲)=/(力)+/Q),利用赋值法，得到函数/⑺的奇偶性，构造函数尸(a;)=y(x)—iog2----,

19^1-I-1

研究其单调性和奇偶性，再由F(l)=0,将不等式/(乃VlogzR—转化为F(a;)<F(l)求解.

【详解】由/(M=/0)+/(y),令①=?=1,得/⑴=/⑴+/⑴，所以/⑴=0.

令工=y=—1,得f(—l)=0.令y=—l,得f(—x)=/(x)+/(-1)=/(c),所以函数/(①)为偶函数.

1+1

构造函数F(力)=/(力)—log2-一--，因为尸(一])=干(])，所以尸(。)为偶函数，且在(0,+oo)上为减函数.

因为F(l)=/(1)—1082甘工=0,

所以不等式/(劣)Vlog2^一等价于F(力)=/(0?)-log2^^一<0=F(l),

所以F(|T|)<F(1)，即㈤>1,所以x<—1或力>1,•••

故不等式/(2)<log2—^—―的解集为{x\x<—l或1}.

故答案为:{x\x<—l或.>1}.

题型二函数的奇偈性与周期性

周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转

化到已知解析式的函数定义域内，或己知单调性的区间内求解.

血]1(2024・内蒙古赤峰・一模)已知是定义在五上的偶函数,且周期T=6.若当ce[-3,0]时，/⑸

=4-7则/(2024)=()

A.4B.16C.±D.1

164

【答案】B

【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可.

【详解】因为-2024)=/(6X337+2)=/(2)=/(-2)=42=16.

故选：B.

【变式训练】

(题目|1](多选)(2024•重庆•模拟演浏)己知定义在R上的奇函数外r)满足：/(2+2)=/⑸+/(—1),则

()

A./(1)-0C./(c+4)=-/⑺D./(X)

【答案】48

【分析】对4:令c=T,结合函数是奇函数，即可求得结果;对B:令/=-],结合函数是奇函数，即可判断；

对C:根据B中所求/(立+2)=/(2),即可判断；对。:取满足题意的特殊函数，即可判断.

【详解】对I:对/Q+2)=/(x)+/(-1),令c=-1,可得〃1)=2/(-1),

又/(力)在R上是奇函数，故/(I)=—2/(1),解得/(I)=0,故A正确；

对3对/(工+2)=/(2)+/(—1)，令工=—£，可得/居)=/(-y)+/(-l)，

又/⑸在R上是奇函数，故/居)=一/(5)—/⑴，即//)+/(9)=-/(1)，

由人可知，/⑴=0,故/居■)+/居)=0,故B正确；

对C：因为/(-1)=-/(1)=0,则f{x+2)=/(,)+/(—1)即/('+2)=JQ),

则/(窜+4)=/(必+2)=/(工)，即/(0+4)=/(3),故。错误;

对。：由。可知，/(乃为周期为2的奇函数，

不妨画出满足题意的一个/(①)的图象如下所示：

显然f⑸&_/•(]),故D错误.

故选：AB.

题目区(多选)(2024•湖南邵阳•二W已知函数/(0在R上可导，且/(c)的导函数为g(c).若/(c)=4

—/Q+ZbgQc—1)为奇函数,则下列说法正确的有()

2024

A.ff(l)=0B.A2)=0C./(2)=/⑻D.£/(i)=4048

i=l

【答案】ACD

【分析】根据已知条件可得"=/(，)的周期，由g(2x—1)为奇函数可得g(x)的对称性，利用导数公式及函

数的周期性、对称性可判断各选项.

【详解】对于，由f(x)+f(x+2)=4,所以/(2+2)+f(x+4)=4,即/(c)=f(x+4),

所以g=/(a;)的周期为4,

且〃1)+/(2)+/(3)+/(4)=[/(I)+/(3)]+[/(2)+/(4)]=8,

20244

所以W7⑴=506W7⑴=4048,故D正确；

i=li=l

对于/，由g(2o；—1)为奇函数知g(c)关于(一1,0)对称，所以g(-l)=0,

由/(2)+/O+2)=4得/(,)+/'0+2)=0,即g(x)+g(c+2)=0,

故gQ)的周期为4且g(—l)+g(l)=0,可得g(l)=0,故人正确；

对于B。，由上知g(c)的周期为4且g(c)关于(一1,0)对称，所以g(rc)关于(3,0)对称，

则有g{x}+g(6一①)=0,即fQ)+/(6—X)=0,所以/(土)—/(6—x)—c,

令c=3,得c=0,故/(t)—/(6—x)=0,所以/(田)关于a:=3对称，

又/⑵+/(4)=4,所以/(2)=/(4)=2,故B错误;

又/(4)=。(8),所以/(2)=/(8),故。正确.

故选：ACD.

【点睛】本题关键是利用函数的周期性和对称性，结合函数的导数即可判断各选项.

1题目叵)(2024高三•全国•专题练习)已知定义在R上的函数/(,)对任意rc,geR均有：/(,+“)+

f(x—y)=2Kx)f(y)且/(①)不恒为零.则下列结论正确的是.①/(0)=0;②/(0)=1；③/(0)=0

或/(0)=1；④函数/(，)为偶函数;⑤若存在实数aWO使/(a)=0,则/(,)为周期函数且2a为其一个周

期.

【答案】②④

【分析】根据赋值法及抽象函数的奇偶性、周期性——判定结论即可.

【详解】令沙=0,则Va;CR,2f(x)=2f(a)f(0)恒成立,

因为/(c)不恒为零，所以/(0)=1,即②正确，①③错误；

令2=0,则VyeR,f(y)+f(-y)-2f(y)f(0)=2f(y)=/(一沙)恒成立，

所以函数/(rc)为偶函数，即④正确；

令V=a■，则/(，+a)+f(x-a)=2f(x)f(a)=0,

所以/(£+2a)+f(x)=O,f(x+4a)+f(x+2a)=0=>f(a;+4a)=f(x),

则/(c)为周期函数且4a为其一个周期，即⑤错误.

故答案为：②④

题型三函数的奇偈性与对称性

由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等.

脚11(23-24方三下・上海•阶段练习)已知函数/(力及其导函数广(土)的定义域均为儿记仪力=广(。).

若/既—2,),g(2+,)均为偶函数，则()•M

A./（O）=OB.g（-方）=0C./（-2）=f（l）D.g（—l）=g⑵

【答案】B

【分析】根据/（弓一2t）,g（2+⑼为偶函数得到等式关系，可判断C,。;根据函数的对称轴可求得函数的

极值点，结合极值点的性质可判断选项B;根据函数/（⑼的图象的不确定性，可判断选项A.

【详解】—2工）为偶函数，可得/（卷_22）=/管+2工）,

关于2；=.对称，

/（—2）=/（5）,故。不正确；

Vg（2+x）为偶函数,

:.g（2+力）=g（2—x）,g（x）关于%=2对称，故。不正确;

Vf｛x｝关于力■对称，，6=~|~是函数/（e）的一个极值点，

・・・函数/Q）在得力）处的导数为0,即g（9）=呜）=0,

又/.g（x）的图象关于力=2对称，,g信）=9倍）=0,

函数/（1）在的导数为0,

.,・力二年是函数/（劣）的极值点，又/㈤的图象关于力二1■对称，

:.（."）关于力=■的对称点为（.1）,

由/=］是函数/（力）的极值点可得力=｝是函数/（力）的一个极值点，

进而可得g传）=9怎）=0,故土=日是函数/㈤的极值点，

又了㈤的图象关于2=5对称，

关于”=今的对称点为（"/一）'

•冏得）=/'（，）=0,故B正确;

/（，）图象位置不确定，可上下移动，

即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故人错误.

故选：3.

【变式训练】

（题目|1］（多选）（2024高三•全国•专题练习）关于函数/（0=c团+pc+q,下列命题正确的是（）

A.当q=0时，/（,）为奇函数

B.y=f（x）的图象关于点（0,q）对称

C.当p=0,q>0时，方程/（力）=0有且只有一个实数根

D.方程/（力）=0至多有两个实数根

【答案】AB。

【详解】解析:若q=0,则/（力）=x\x\+px=x（\x\+p）为奇函数，所以A正确；由_A知，当q=0时，/（/）为奇

•••

函数，图象关于原点对称，/(c)=x\x\+px+q的图象由函数夕=7团+px的图象向上或向下平移|q|个单

位长度得到的，所以图象关于点(O,q)对称，所以_8正确；当p=0,q>0时，/(c)—x\x\+q—

(x+q,x^-0当/(/)=0,得/=—莉,只有一解，所以。正确；取°=0,2=—],/Q)=①㈤—x=

{-x+q,rc<0

[X羽"1°由/(工)=0,可得①=0,①=土1,有三个实根，所以。不正确.故选ABC.

{—x—x,x<Q

[题目|2)(多出(23-24高三下・堂庆・阶段练习)函数/⑸的定义域为R,且满足/(工+9)+f(x—y)=

2/3)/(妨，/(4)=—1,则下列结论正确的有()

A./(0)=0B/2)=0

C./Q)为偶函数D./(,)的图象关于(1,0)对称

【答案】BC

【分析】利用特殊值法，结合函数的奇偶性即可求解.

【详解】由题可知/(c+g)+/0—。)=2/(2)/(夕)

令2=4,。=0,则/(4+0)+/(4—0)=2/(4)/(0),

即/(4)+〃4)=2/(4)/(0)，可得/(0)=1,故A错；

令2=夕=2,则"2+2)+/(2—2)=2/(2)/(2),即/(4)+/(0)=2/(2)2,

又因为f(4)=-1,/(0)=1,可得/(2)=0,故B正确；

令，=0,可得/Q)=/(一切，故。正确；

若/(c)的图象关于(1,0)对称，则函数/(c)满足/(0)+/(2)=0,

而f(2)=0J(0)=l,显然/(0)+/(2)=1#0,故。错,

令①=2,可得42+9)+f(2-y)=2/(2)/(y)=0,

.寸⑺的图象关于(2,0)对称.

故选：BC.

题目①(2024•河南•一模)已知函数/(,)及其导函数/(,)的定义域均为R,记g(2)=/'(c).且

2024

/(I—3x)+/(3rr—1)=0,g(l+力)+g(l—力)=0,当力G(0,1],/(6)=sin季r,则汇|/⑴I=______.(用数

22=1

字作答)

【答案】1012

【分析】根据/(I—3x)+y(3ar—1)=0推出函数/(①)为奇函数，由g(l+/)+g(l—a;)=0还原成/'(l+x)

=-f(1—2)，推理得到f(l+x)=f(l—2)，得出函数/(2)图象关于直线2=1对称，两者结合得出/(力)为

2024

以4为周期的函数，分别求出;(1)J(2)J(3)J(4)，计算即得Zl/(i)l.

i=l

【详解】由/(I-3rc)+/(3x-1)=0可得/(I-3rc)=/[—(3a;-1)]=—f(3x—1),即/(—c)=-f(£)①

又由g(l+，)+g(l-a?)=0可得g(l+rc)=-g(l-2)，即/(1+x)=-f'(l-x)，从而/(l+c)=[/(l-x)

]'，

故/(I+x)=f(l-x)+C(。是常数)，因当c=0时/(I)=/(l)+C,则C=0,即得/(I+x)=/(l—c)②，

由②可得/(2+x)=/(—a?),又由①得/(2+0=—/(c),即/(力+4)=—/(2+x)=/Q),故函数/(2)为周

期函数，周期为4.

由a;C(0,1],f(x)=sin-^-a;可知/⑴=1,因/(sc)是R上的奇函数，f(0)=0,则由f(2+x)=f(—x)可得

/(2)=»=0,•M

/(3)=/(-1)=-/(1)=-1,/(4)=/(0)=0,

2024nnn/i

则LZ1⑴|+1*2)1+|/(3)|+/(4)1=2,于是ZLf(i)l=2X竽=1012.

2=14

故答案为：1012.

题型四函数的周期性与对称性

函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题,解题时，往

往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换,再利用单调性解

决相关问题.

题](2024•河北沧州•一模)已知定义在R上的函数/(⑼满足：/(c)+/(2—,)=2,/(0一/(4—0)=0,

2024

且/(0)=2.若ieN*,则2珀)=()

i=i

A.506B.1012C.2024D.4048

【答案】。

【分析】根据条件得到函数/Q)是周期为4的函数，再根据条件得出/⑴，/⑵，/⑶，/⑷，即可求出结

果.

【详解〉."(①)+/(2—2)=2,①

：.f(l+x)+f(2-(l+x))=2,

即/(1+x)+/(1—⑼=2,所以/(I+c)—1=_(/(1—0—1),

所以函数/(①)的图象关于(1,1)对称，

令*=1,则/⑴+/⑴=2,所以/⑴=1,

令劣=2,/(2)+/(0)=2,又/(0)=2,所以/(2)=0,

又,•"(£)―/(4-c)=。，”(2-ic)=/(4-(2一4))=/(2+2),②

即函数/(①)的图象关于直线8=2对称，

/⑶=AD=1

且由①和②，得/(c)+/(2+工)=2=>/(2+x)+/(4+X)—2,

所以/(c)=*4+⑼，则函数/(⑼的一个周期为4,

则/⑷=/(0)=2,

2024

所以汇/⑴=506[/(1)+/(2)+/(3)+/⑷]=506x(1+0+1+2)=2024.

i=l

故选：C

【变式训练】

〔题目I1〕(23-24■三下•直庆・阶段练习)己知函数/⑸的定义域是R,/借+C)=/(,-X),“工)+

/(6—c)=0,当0WrcW~1~时,于(X)=4x—2a?,则/(2024)=.

【答案】2

【分析】根据已知关系式可推导求得/(，+6)=/(rr),利用周期性和对称性可得“2024)=/⑴，结合已知函

数解析式可求得结果.

【详解】由/q+工)=/(年—土)得：/(2)=/怎—(/―告)]=/(3—力)，

又/(土)+/(6—t)=0,.,"(3—7)+/(6-x)=0,

f(x)=~f[6-(3-as)]=-/(x+3),.-.f(x+6)=~f(x+3)=f(x),•M

”(2024)=/(6X337+2)=/(2)=/(1)=4—2=2.

故答案为：2.

1题目0(2024•全国・模椒预测)写出一个同时满足下列三个条件的函数/(，)的解析式.

①/(，)=一/(t+2);

②/(2+1)=/(1-2)；

③/(c)的导数为『(①)且『(①)=/(-，).

【答案】/⑸=sin(等c)(答案不唯一)

【分析】借助函数的周期性、对称性、奇偶性计算即可得.

【详解】由①得/(2+4)=/(2)，所以函数/(2)图象的周期为4,

由②得/(>)的图象关于直线①=1对称，

由③得/(/)关于(0,c)对称，c为常数,

则同时满足三个条件的一个函数可以为/(2)=sin(-^-x).

故答案为:f(x)=sin(百力)(答案不唯一).

(题目|3］(23-24高三下・陕西・开学考■武)已知定义在R上的函数1)为奇函数，/(2+2)为偶函数,

当①C［0,1］时，/(c)=323_3,,则方程/(c)=-1在［0,99］上的实根个数为.

【答案】98

【分析】根据条件确定函数周期性，画出函数/(c)在区间［0,4］上的图象，根据图象可得实根个数.

【详解】函数/(2+1)为奇函数，即/(z+1)=—f(—X+1),对称中心为(1,0),

函数/(2+2)为偶函数，即/(2+2)=f(_£+2)，对称轴为x=2,

又由/(c)=_/(_C+2)=_/(/+2)=/(a:+4)可得

函数/(0是周期函数，且周期为4,

r2

当工C［0,1］时,1f(①)=3a?—3c,则f(x)—9X—3,

令/Q)>0,得尊</<1,/(乃单调递增，

令/'(,)<0,得0<t<：^^,/(±)单调递减，

所切―(4)=3x(4)-3X(甯一等.

作出函数/(2)在区间［0,4］上的图象如下：

即在区间［0,4］上，方程/(2)=—1有4个实根，

又99=4x24+3,

则方程/(,)=-1在［0,99］上的实根个数为4X24+2=98.

故答案为：98.

H【课后强化】•••

基础保分练

一、单

题目(2023・河南信阳•三模)已知函数/(7)=log2(rc+HI)+1—则对任意实数a,b,a+b

/IJ-

>0是/(a)+/(6)>0()

A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.不充分且不必要条件

【答案】A

【分析】判断函数/(⑼=log23+J/+1)+1-的单调性和奇偶性，继而判断“对任意实数a,b,a+b

>0"和/(a)+/(6)>0之间的逻辑关系，即得答案.

【详解】由于沙=8+Vx2+l,y=1-------在R上单调递增，

2+1

且/OOnlogzQ+G5不1)+1—彳*的定义域为R,则/(①)在R上单调递增，

又卜X)=—/)+1—=一―+2+1—含

2

=-log2(Vrc+l+rc)-1+=一/(2),即/㈤为奇函数，

对任意实数a,b,a+b>0,即a>—b,可得/(Q)>/(—6)=­f(b\：.f(a)+/(b)>0;

反之，/(Q)+f(b)>0时，可得/(Q)>—/(&)=/(—b),则a>—b,即a-hb>0,

故对任意实数Q,b,a+b>0是/(a)+f(b)>0的充分必要条件，

故选：A

题目囱(2024京三•全国•专题练习)已知函数/(,)=晨叫则使得/(2a)</(a—1)成立的正实数a的取

值范围是()

A.段,+co)B.[g,+co)C.(0,1)D.(。，；)

【答案】A

【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用函数/(c)=屋同的单调性求解不等式即可.

【详解】由题意可知/(c)的定义域为R,且/(—2)=e+'”=e,所以/(2)为偶函数.

当0时，/(£)=」-,则函数/(a;)在(0,+oo)上单调递减，且/(c)>0.

ex

所以不等式/(2Q)</(a-1)成立，需|2a|>|a-l|,

解得a<—1或a>~|■，又a>0,

O

所以a>即正实数a的取值范围是懵+oo).

故选：A.

【题目①(23-24高三上•辽宁辽M•期和己知/(c+1)是偶函数，/⑺在[l,+oo)上单调递增，/(0)=0,

则不等式(x+1)/(为>0的解集为()

A.(1,+s)B.(2,+8)C.(-2,0)U(0,2)D.(-1,0)U(2,+8)

【答案】。

【分析】由条件结合图象平移得到f(x)的图象，结合图象即可求解.

【详解】函数/(，)的图象可由/(①+1)的图象向右平移1个单位得到，

因为/(劣+1)是偶函数，则其图象关于g轴对称，•••

所以/(名)的图象关于直线力=1对称，

又/(少)在[1,+8)上单调递增，则/(劣)在(—00,1]上单调递减,

又/(0)=0,则有/(2)=0,

当®+i>o,即力>一1时，需/3)>o,

解得一1V/V0或⑦>2;

当力+1V0,即力<—1时，需/(力)<0,无解；

综上，不等式3+1)/(力)>0的解集为(-1,0)U(2,+8).

故选：。

题目@(2024•山东济宁•一模)设函数/㈤定义域为R,/(2，—1)为奇函数,/Q—2)为偶函数，当。e

[0,1]时,/3)=)—1,则/(2023)—/(2024)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案

【分析】由/(2a;—1)为奇函数得到函数的对称中心，由f(x-2)为偶函数得到函数的对称轴，进一步求得函

数的周期，然后将/(2023)与/(2024)转化到已知区间求解即可.

【详解】因为函数/(，)定义域为R,/(2a;—l)为奇函数，所以九2,—1)=—/(-2c—1),所以函数/(,)关于

点(-1,0)中心对称，且/(-1)=0,

因为/Q-2)为偶函数，所以f(x-2)=/(-/一2),所以函数fQ)关于直线a;=-2轴对称，

又因为f(x)=—f(—2—x)=—/(-2+x)=—[—/(—4+a;)],所以函数/(力)的周期为4,

因为当①C[0,1]时，/Q)=x2—l,

所以/(2023)=”4x506-1)=/(-1)=0,/(2024)=/(4x506)=/(0)=-1,

所以/(2023)-/(2024)=1.

故选：C.

二、多选题

【题目|5)(23-24玄三下・海俞盾直林县级单位•开学者却已知定义域为R的函数/㈤对任意实数工，沙都

有/(2)+/(5=/(宁)/(土丁)，且/(0)片OJ(l)=1，则下列说法正确的是()

A./(0)=3B./(z)=/(一2)

C.函数加)的图象关于点信,0)对称D./⑴+/⑵+…+/(2024)=0

【答案】BD

【分析】根据给定条件，赋值计算判断48。；推理确定函数/Q)的周期，再利用周期性求值判断D

【详解】定义域为R的函数/(C)对任意实数ey都有/3)+/(3)=/(甘幺)/(三二)，

令2=9=1,则/(I)+/(1)=/(1)/(0)，而/(I)=1,因此f(0)=2,A错误；

cCR,令夕=一工,则/(c)+f(-x)=/(O)/(c)=2/(c),则/(2)=/(-3；),_B正确；•M

显然/(o)+/⑴=3W0,则函数加)的图象关于点信,0)不对称，。错误；

令y=rr—2,则f(x)+f(x-2)=f(x-l)f(l)=/(*-1),同理/(①+1)+f(x-1)-f(x),

因此/(c+1)=_f@一2),即『3+3)=T(x),

从而/(c+6)=—f3+3)—f(x)，即函数f(£)的周期是6,

由f@+3)=-/(,),得/(2)=—/(—1)fl),则/(1)+/(2)=0,

显然/(4)=一/(1),/(5)=-/(2),/(6)=—/(3),

所以汽1)+/(2)+--+/(2024)=337［/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)］+/(1)+/(2)=0,D正确.

故选：BD

题目回(2024•广东•一模)已知偶函数/(,)的定义域为R,A^c+l)为奇函数，且人,)在［0,1］上单调

递增,则下列结论正确的是()

A./(-f)<0C./(3)<0D./(^)>0

【容案】BD

【分析】根据奇函数、偶函数的性质，首先推出函数为周期函数，再根据函数的单调性，判断函数的符号，可

得有关的结论.

【详解】因为/(力)为偶函数，所以/(―/)=/(劣)；

因为/居立+1)是9上的奇函数，所以/⑴=0，

且/(三。2)的图象是由/(5)的图象向左平移2个单位得到的，所以/(5)的图象关于(2,0)点对称，进一

步得/(/)的图象关于点(1,0)中心对称，即/(1+力)=—y(i—x).

所以/(6+2)=/(1+(1+/))=一/(1一(1+为)=一/(一为=一/3),所以/(力+4)=—/(力+2)=/(/).所

以函数/(力)是周期函数，且周期为4;

又/®在［0,1］上单调递增，所以在［0,1］上，有/O)vo.

所以函数的草图如下：

/（婴）=《674+-1）=/（4x168+2+=/（2+告）＞0,故。对.

故选：BD

〔题目|7)(23-24方三下・堂庆•阶&练习)已知函数/⑸=|sin工—cos引+sin2c,则下列选项正确的是

()

A.兀是函数/(,)的一个周期B.①=—(是函数/(2)的一条对称轴•M

C.函数/⑸的最大值为土,最小值为2—1D.函数/㈤在目兀，苧t］上单调递减

【答案】ABC

【分析】利用函数周期性及对称性的定义可得43,使用换元法，令力或电—1）［e［0,⑹，可得夕=

-t2+t+1,结合复合函数单调性可得C、D.

【详解】对A:f（x+兀）=|sin（rc+兀）-cos（力+兀）|+sin2（a:+兀）=\sinx-cosx|+sin2x,

故兀是函数f（劣）的一个周期，故4正确；

又寸B:于（-—6）=［in（--1—力）一cos（--—力）|+sin2（--■—力）二|sin6—cos剑+sin（一兀—26）

=|sinx-cos剑+sin2/,故x=—：是函数/（名）的一条对称轴，故B正确；

2

对C、令|sin/—COSN|=t，有sin2T=l—tf

因为sin2/G［-1,1］,所以1。［0,2］,

贝Uy—|sina;—cos引+sin2a;=—廿+力+1=—（t—+-^-,

由3=|，5sin（N—C［0,A/2］，则函数/⑺的最大值为■，最小值为V2—1,故。正确；

函数/（6）由y=—t2+t+l^t=|sinx-cosx|复合而成,

函数y=—/+力+1在［0,A/2^］上先增后减，3=|V2sin^a?—|在［"^"，曰^］上递减，且力e［0,A/2］,

故选：ABC.

【题目|8）（23・24高三下•辽宁•开学考试）已知函数"=/（8）是R上的奇函数，对于任意力GR,都有

f（x+4）=/（力）+/（2）成立，当力6［0,2）时/（力）=2*—1,则下列结论中正确的是（）

A.f（0）=0B.函数g=/（⑼在［-6,-2］上单调递增

C.函数沙=/（⑼在［—6,6］上有3个零点D.点（4,0）是函数g=/Q）的图象的一个对称中心

【答案】AD

【分析】由/（力+4）=/（力）+/⑵，令2=—2,得到/（—2）=0,进而得到/（%+4）=/（力）逐项判断.

【详解】解：由/（力+4）=/（%）+/⑵，令①=—2,得/（—2）=0,

又函数y=f（6）是R上的奇函数，则/（0）=0,故4正确；

由/⑵=—/（-2）=0,得/（比+4）=/（力），则周期为7=4,

作出函数/（力）的部分图象，如图所示：

由图象知：函数0=/（/）在（-6,-2）上单调递增，又/（—6）=/（—2）=/（2）=0,在2处不连续,

则函数沙=/（力）在［-6,-2］上不单调，

由/（6）=/（2）=0J（-6）=y（-2）=0,y（0）=0,/（-4）=y（4）=0,

则函数y=f（x）在［-6,6］上有7个零点，故B。错误；

因为（0,0）是函数的一个个对称中心，则（4,0）也是函数的一个对称中心，故。正确；•••

故选：AD

三、填空题

题目回(2024•贵州毕节•模拟预测)定义在R上的可导函数/(2)满足/(乃<3,若“2小)—/(m—1)>

3机+3,则机的取值范围为.

【答案】(—8,—1]

【分析】构造函数g(c)=/(a;)—32,利用导数判断出函数的单调性，再将所求不等式变形为函数g(c)的形

式，再根据函数的单调性解不等式即可.

【详解】令g(力)=/(/)—3.则g\x)=f\x)—3<0,

所以函数g(/)在72上是减函数，

由/(2m)—/(m—1)>3m+3,得/(2?n)—3X2m>f(m—1)—3(m—1),

即g(2m)>g(m—1),

所以2m&E-1,解得m4—1,

所以？n的取值范围为(—GO,—1].

故答案为：(一00,—1].

[题目区(2024•宁夏银川•-W已知/(,+1)是偶函数,/⑺在口,+8)上单调递增，/(0)=0,则不等

式(,+1)/(,)>0的解集为.

【答案】(一1,0)U(2,+s)

【分析】首先得出/(c)的对称性结合/(2)的单调性可得/(多)的符号变化情况，由此可通过列表法求解.

【详解】由题意/(2+1)是偶函数，所以/(，)的对称轴是x=l,

因为/(2)在[1,+co)上单调递增，所以/(,)在(一8,1]上单调递减，

又/(0)=0,所以/⑵=/(0)=0,

所以当1V2时，/(①)</(2)=0,当re>2时，/(①)>/(2)=0,

由对称性当,<0时，/(2)>/(0)=0,当0<cWl时，/(乃</(0)=0

所以a;+l,/(a;),(x+l)/(c)的符号随2的变化情况如下表：

X<—1—1<x<00<x<2rr>2

x+1—+++

/(2)++—+

3+1)/

—+—+

0)

所以由上表可知不等式0+1)/(0>0的解集为(-1,0)U(2,+oo).

故答案为：(一1,0)U(2,+»).

四、解答题

面里HQ024方三,全国•专题练习)已知定义域为R的函数/(工)=/^|是奇函数・

(1)求实数a,b的值；

(2)求证：函数/(2)在(一co,+co)上是单调递减函数；

(3)若对任意的力CR,不等式f彷—2t)+/(2/—k)<0恒成立，求实数看的取值范围

【答案】⑴a=2,6=1

(2)证明见解析•M

【详解】

(1)解：因为/(力)是奇函数，所以/(0)=0,

即b=i,所以/3)=1—2.

1—21—春

由/(1)=一/(一1),知-―^=----F'解得。=2,

Q+4Q+1

经检验a=2,b=l符合题意.

⑵证明：由(1)知f(x)=2：22+1--1

2---2X+1

设任意a?i,X2E(—co,+oo),且的<2；2,

2X1—2X

则/(电)一/(血)=2

(2X2+1)(2X1+1)

因为y=2a;在(-8,+00)上为增函数，所以2x1—2x2＜0,

所以/(力2)-/Qi)<0,即/(处)>/(电)，

所以/(c)在(—co,+oo)上为减函数.

(3)解：因为/(,)在(一8,+8)上为减函数，且是奇函数,

/(t2—,2t)+/(2t2—fc)<0,

所以f(t1-2t)<f(—2%~+%),

所以3t2-2i-fc>0对任意

综合提升练

一、单

,瓦1工(2024•陕西西安•一模)已知定义在R上的奇函数/⑺满足/(，)=/(，+2),则以下说法错误的

是()

A./(0)=0B./(c)是周期函数，且2是其一个周期

C./(2025)=1D.f(3)=/(4)+/(5)

【答案】。

【分析】根据条件，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.

【详解】选项因为/(0)是定义在R上的奇函数，所以/(—0)=/(0)=—/(0),即/(0)=0,所以选项人正

确，

选项B,由f(a?)—f(x+2)，知/(rr)是周期函数，且2是其一个周期，所以选项B正确，

选项。，因为/(2025)=f(l+2x1012)=/(1),又f(-L)=f(T+2)=/⑴,得到f(l)=0,

所以选项。错误，

选项D,/(3)=/(1)=0,/(4)+/(5)-/(0)+/(1)=0,所以选项。正确，

故选：C.

颔目区(2024・广西南宁•一模)已知函数/⑸的定义域为兄/侬+炉/此一沙)=/⑸—/⑹，且当土＞

0时,/(0)＞0,则()

A./(0)=lB./Q)是偶函数C./3)是增函数D./Q)是周期函数

【答案】。

【分析】对4,令/—"=0求解即可；对_8,令力=0化简可得f(—y)+f(g)=0即可；对。，设为＞0,结

合题意判断「但)一/@)＞。判断即可;对根据/⑸是增函数判断即可.•••

【详解】对，，令立一夕=o,则/(o)=/2(o)-/2(o),得/(o)=o,故A错误；

对B,令2=o,得/(“)/(一夕)=r(o)—产(夕)，

由/(0)=0整理可得/("