2024成都中考数学二轮复习 B填翻折问题训练（含答案）

2024成都中考数学二轮复习专题B填翻折问题专项训练（学生版）

目标层级图

课中讲解

三角形、矩形中的翻折

内容讲解

例1.如图，在RtAABC中，ZC=90°,BC=2也,AC=2,点。是BC的中点，点E是

边月8上一动点，沿。£所在直线把A5DE翻折到的位置，交4B于点F.若

△48/为直角三角形，则/E的长为.

过关检测

1.如图，已知A48c中，C/=C8=4,NC=45。，。是线段/C上一点（不与4,C重合）,

连接8。，将A48。沿48翻折，使点。落在点E处，延长8。与E/的延长线交于点尸.若

ME尸是直角三角形，则/E的长为.

BC

例2.如图，在等腰RtAABC中，AC=BC=6历,NEDF的顶点。是的中点，且

ZEDF=45°,现将/EOF绕点。旋转一周，在旋转过程中，当NEDF的两边DE、。厂分

4H3

别交直线/C于点G、H,把\DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接,若——=-,

AM4

则力”的长为.

过关检测

1.如图，在正方形N8CD中，AB=2,点E是CD的中点，连接/E,将A4DE沿4E折叠

至\AHE,连接BH,延长AE和BH交于点F,BF与CD交于点G,则FG=.

例3.在A48C中，NBAC=90。,AC=AB=4,E为边AC上一点,连接8E,过工作

4FLBE于点、F,。是5c边上的中点，连接。F,点〃是边上一点，将MFH沿HF

翻折.点“落在M点，若MH"AF,DF=叵,则〃/7?=

过关检测

1.如图，已知四边形188是矩形，把矩形沿直线/C折叠，点8落在点E处，连接。E.若

DE:AC=3:5,则丝AH的值为

AB

AR

例4.如图，将正方形N8CD折叠，使顶点力与8边上的一点，重合（4不与端点C,D

重合），点8落在点0处，折痕交4。于点E,交BC于点F,边48折叠后与边8c交于点

G,设正方形/8C。的周长为x,的周长为y,AGF。的周长为z,则匕上的值

X

过关检测

1.如图，在矩形Z8C。中，AB=6,8c=8,点E在边8c上（E不与5,C重合），连接

AE,把A48E沿直线ZE折叠，点8落在点"处，当ACE9为直角三角形时，则ACE夕的

周长为.

例5.如图，正方形/BCD中，AD=6,点£是对角线ZC上一点，连接。£,过点E作

EFLED,交4B于点、F,连接。F,交/C于点G,将A£尸G沿EF翻折，得到AEFA/,

连接DW,交EF于点、N,若点F是AB边的中点，则\EDM的面积是.

过关检测

1.如图，在等腰直角三角形/8C中，a4c8=90。，在A48c内一点尸，已知Nl=/2=/3,

将A5CP以直线PC为对称轴翻折，使点8与点。重合，PD与AB交于点、E,连结，

将A4PO的面积记为将ASPE的面积记为邑，则邑的值为一.

例6.如图，矩形/BCD中，AB=3,8c=4,点E是4边上一点，且/E=b，点厂是

边8c上的任意一点，把沿E尸翻折，点8的对应点为G,连接/G,CG,则四边

形AGCD的面积的最小值为一.

过关检测

1.如图，在矩形纸片/8C£）中，N8=8,8C=6,点E是的中点，点厂是Z8上一动

点.将AJEF沿直线E尸折叠，点/落在点H处.在£尸上任取一点G,连接GC,GA',

CA,,则ACGA'的周长的最小值为.

例7.如图，矩形/8C。中，AB=6,AD=2y/5,£是边C。上一点，将A/1DE沿直线/E

折叠得到根FE,8尸的延长线交边8于点G,则DG的最大值为一.

过关检测

1.如图，点。是矩形/SCO的对角线的交点，AB=15,8c=8,直线EF经过点。，分

别与边CD,N8相交于点E,F（其中0＜。^＜竺）.现将四边形工。£尸沿直线EF折叠

2

得到四边形尸，点/,。的对应点分别为4,D',过。作OGL8于点G,则线

段DG的长的最大值是一，此时折痕EF的长为—.

例8.如图在菱形纸片/BCD中，48=4,48=120。，将菱形纸片翻折，使点“落在边C。

的中点G处，折痕为EF,点E,尸分别在边4。，上，则sin/GE/的值为.

过关检测

1.如图，已知在A48c中，AB=AC,8c=8,D、£两点分别在边8C、AB±,将AJ8C

沿着直线。E翻折，点8正好落在边/C上的点M处，并且/C=440,设8。=〃?，那么

48的正切值是一（用含的代数式表示）

DC

二.函数中的翻折

内容讲解

例1.如图，点尸为双曲线_）/=&^（欠<0）上一动点，连接OP并延长到点4,使R4=PO,

X

过点力作X轴的垂线，垂足为8,交双曲线于点C.当4C=Z尸时，连接PC,将A4PC沿

直线PC进行翻折，则翻折后的与四边形8OPC的重叠部分（图中阴影部分）的面

积是一.

例2.如图，在平面直角坐标系x0y中，矩形0/8C的边0/、0C分别在x轴和y轴上，

OA=6,0C=4,点0是AB边上一个动点，过点0的反比例函数y=X（x>0）与8c边交

x

于点尸.若将AP8。沿尸。折叠，点8的对应点E恰好落在对角线力C上，则此时反比例函

数的解析式是

过关检测

1.如图1,点4在第一象限，轴于8点连结3,将RtAAOB折叠，使4点落在x轴

上，折痕交力8边于。点，交斜边04于E点.

(1)若4点的坐标为(4,3),当&T//48时点4的坐标是.

k

(2)若4与原点O重合，。9=4,双曲线y=—(x>0)的图象恰好经过。，£两点(如图

三.圆中的翻折

内容讲解

例1.如图，等腰M8C中，AC=BC=2®.ZACB=}20°,以为直径在A48C另一侧

作半圆，圆心为O,点。为半圆上的动点，将半圆沿所在直线翻叠，翻折后的弧4。与

直径4B交点为F,当弧/。与8c边相切时，/尸的长为.

例2.如图，四边形N8C。内接于以/C为直径的O,AD=应,CD=2应，BC=BA,

/C与8。相交于点尸，将A48F沿48翻折，得到A/J8G,连接CG交48于E,则BE长

为.

G

AD

过关检测

1.如图，A48c内接于O.AB为。的直径，8c=3,AB=5,D、E分别是边/8、

8c上的两个动点（不与端点4、B、C重合），将A8DE沿。E折叠，点3的对应点8,恰

好落在线段ZC上（包含端点4、C）,若夕为等腰三角形，则的长为—.

学习任务

1.如图，矩形纸片N8C。中，AD=1,AB=2.将纸片折叠，使顶点/与边C。上的点£

重合，折痕厂G分别与/8、8交于点G、F,4E与FG交于点、0.当的外接圆

与BC相切于8c的中点N.则折痕FG的长为.

2.如图①，在等腰三角形/8C中，AB=AC=8,8c=14.如图②，在底边8c上取一点D,

连结4。，使得ND4c=ZACD.如图③，将A4CD沿着4。所在直线折叠，使得点C落在

点E处，连结BE,得到四边形ABED.则BE的长是.

①②③E

3.如图1,有一张矩形纸片/8CO,已知/8=10,J£>=12,现将纸片进行如下操作：先

将纸片沿折痕8F进行折叠，使点/落在8c边上的点E处，点厂在上，如图2所示，

然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在

BC上,如图3所示，则线段G77的长度为一.

4.如图，把矩形沿EF,G"折叠，使点B,C落在4)上同一点P处，

ZFPG=90°,△4£尸的面积是8正，△£)/”的面积是40,则矩形N5CD的面积

等于一_.

5.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,8c=4,点F在边NC上，并且CF=1,点

E为边5c上的动点，将ACE尸沿直线£尸翻折，点C落在点P处，则点尸到边45距离

的最小值是一.

F.B

6.如图，矩形纸片中，AB=2,E为49边上一点，先沿8E折叠纸片，点/落在

矩形内部4处，再沿EF折叠纸片，使点。落在边8c上。处（不与点4重合），当E、

/'、。'三点在一条直线上，则/。的长的最小值为.

D'

7.如图，四边形是矩形纸片，/8=4,对折矩形纸片使力。与8c重合，

折痕为EF,展平后再过点5折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N,折痕8M与转相

交于点0;再次展平，连接5N,MN,延长儿W交8c于点G；P为线段8/W上一动点.有

如下结论：

①ZABN=60°；@AM=2；③A5A/G是等边三角形；④若”是8N的中点，则尸NJ.8M；

⑤若H为线段BN上任意一点，XPHN的周长的最小值是6,

其中正确结论的序号是一.

8.已知一个矩形纸片ABC。，AB=\2,BC=6,点E在BC边上，将ACD£1沿。£折叠,

点C落在C'处；DC,EC'分别交48于F,G,若GE=GF,则sin/CDE的值为.

9.如图，正方形ABCD中，力。=8,点E是对角线AC上一点，连接DE,过点E作E/F,

交N8于点尸，连接DF,交ZC于点G,将AfFG沿EF翻折，得到连接

交EF于点、N,若点尸是Z8的中点，则(1)FM=；(2)tan乙V®E=

10.在正方形/5CD中，边长为2,如图1,点E为边5c的中点，将边48沿ZE折叠到,

点F为边CD上一点，将边AD沿AF折叠恰能使AD与重合.

(1)CF=；

(2)如图2,延长,交CO于点N,连接EN并延长，交ZF的延长线于点G,连接CG,

图1图2

11.如图，矩形。18c的边。，OC分别在X轴、y轴上，点8在第一象限，点。在边BC

上，且N/OZ）=30。，四边形04"Z）与四边形QN8。关于直线OD对称（点4和/，朋和B

分别对应）。若48=1,反比例函数歹=4/工0）的图象恰好经过点4,B,则左的值为一.

12.将一张圆形纸片，进行了如下连续操作

（1）将圆形纸片左右对折，折痕为NB,如图（2）所示

（2）将圆形纸片上下折叠，使/、8两点重合，折痕C。与相交于如图（3）所

示

（3）将圆形纸片沿EF折叠，使8、"两点重合，折痕EF与48相交于N,如图（4）所

示

（4）连结/E、AF,如图（5）所示，则心所：^^目=.

2024成都中考数学二轮复习专题B填翻折问题专项训练（学生版）

目标层级图

本节内容

本节内容为几何综合翻折问题的专题，题型为B填22-23,都是从近年成都一诊

二诊及模拟题中选出的B填，难度较大，综合性较强，建议给135分以上的学

生使用。建议老师提前一周刷本节讲义。本节内容将翻折问题分为了三角形四边

形中的翻折、函数中的翻折以及圆中的翻折。三角形与四边形中的翻折是考得最

多的，例题有按照难度梯度设置，并且还可细分为求线段长、求比例、求周长、

求面积、求三角函数等。在反比例中的翻折与圆中的翻折题目较少，如果学生对

反比例函数和圆存在知识点上的问题，可以在反比例函数B填和圆的专题中找

出更多的题目练习。讲解此类几何综合专题时一定要及时给学生复习和补充相关

知识，比如相似三角形相关知识、三角函数相关知识等。

课中讲解

三角形、矩形中的翻折

内容讲解

例1.如图，在RtAABC中，ZC=90°,BC=2AC=2,点。是BC的中点，点E是

边月8上一动点，沿。£所在直线把A5DE翻折到的位置，B，D交4B于点F.若

△,为直角三角形，则4E的长为3或4.

【分析】利用三角函数的定义得到/8=30。，AB=4,再利用折叠的性质得。8=OC=0,

EB'=EB,ZD8，E=N8=30°,设=x，贝lj8£=4-x,EQ=4-x,讨论：当4阳'=90°

时，则.."=百3530。=1，则£尸=/-(4-幻=工-9,于是在/?2夕£/中利用EB'=2EF

得到4-x=2(x-$,解方程求出x得到此时4E的长：若跟不落在C点处，作9于

H,连接AD,如图，证明RtAADB，mRtAADC得至ijAB'=AC=1,再计算出ZEB'H=60°,

则87/=；(4-x),EH=^-(4-x),接着利用勾股定理得到j(4-x)2+［；(4-x)+2f=x2,

方程求出x得到此时4E的长.

【解答】解：ZC=90°,5C=273,AC=2,

tan^^=4=-

BC2733

.-.Z5=30°,

AB^2AC=4,

点。是8c的中点，沿。E所在直线把A8DE翻折到的位置，B，D交4B于点、

F

:.DB=DC=6EB'=EB,ADB'E=AB=30°,

TSLAE=X,则5E=4-X,EB'=4-X,

当乙1F8，=9O。时，

在RtABDF中，cosB=----

BD

a

/.^F=73COS30°=-,

2

35

/.EF=——(4—x)=x——,

在Rz△B，EF中，NEB，F=30°,

:.EB，=2EF,

即4-x=2(x-g),解得x=3,此时4E为3；

若夕不落在C点处，作EH1于H,连接4。，如图，

DC=DB',AD=AD,

RtAADBf=RtAADC,

/.AB，=AC=2,

ZAB，E=NAB，F+4EB，F=90°+30°=120°,

:"EB，H=60。,

在RtAEHB，中，B'H=^B'E=^(4-x),EH=y/3B'H=^--(4-x),

在RtAAEH中，EH2+AH1AE2,

111414

^(4-X)2+[^(4-X)+2]2=X2,解得X=不，此时4E为

综上所述，/E的长为3或史.

故答案为3或3.

过关检测

1.如图，已知A48c中，C4=CB=4,NC=45。，。是线段4c上一点（不与4,C重合）,

连接8。，将沿48翻折，使点。落在点£处，延长8。与E4的延长线交于点尸.若

ASM是直角三角形，则NF的长为_4&或4&-4一

BC

【分析】如图1,当N仍尸=90。时，根据折叠的性质得到NE8/=ND8/=45。，推出点尸在

以C为圆心，/C为半径的圆上，连接CF,根据等腰直角三角形的性质得到结论；如图2,

当NBEF=90。,根据折叠的性质得到/5C%=/8£/=90。，NEAB=ZDAB=675°,推出

/和A8OC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：CA=CB=4,NC=45。，

:.NCAB=NCBA=675°,

如图1,当NE班'=90。时,

将A48。沿力8翻折，使点。落在点E处，

NEB4=NDB4=45。,

ZADB=180°-45°-67.50=67.5°,

乙4FB=90°-2E=90°-67.5°=22.5°,

ZACB=2乙4FB,

.•.点尸在以C为圆心，/C为半径的圆上，

连接CF,

；.ZACF=2ZABF=90°,

.-.AC=CF^4,

AF=y[2AC=4^2；

如图2,当/BEF=9伊,

将A48。沿48翻折，使点。落在点E处，

:"BDA=/BEA=90。,4EAB=/DAB=675。,

NEW=45。，

/.ZFAD=ZC=45°,

:.AF/IBC,/和A5OC是等腰直角三角形，

:.CD=—BC=2>/2,

2

AD=AC-CD=4-242,

/尸=&。=4亚-4,

综上所述，若ABE/是直角三角形，则/尸的长为4立或40-4,

例2.如图，在等腰RtAABC中，AC=BC=6五,NED尸的顶点。是48的中点，且

ZEDF=45°,现将NEA尸绕点。旋转一周，在旋转过程中，当NEDF的两边DE、DF分

别交直线ZC于点G、〃，把ADG"沿。〃折叠，点G落在点M处，连接，若且=±,

AM4

则AH的长为—述或逑或3&_.

一22一

【分析】分三种情形：①如图1中，当点H在线段/C上，点G在NC的延长线上时，连接

CD,作D/L/C于J,设/H=3Z,AM=4k.②如图2中，当点，在线段ZC上，点G

在上时，连接CQ,作D./_L/C于J,设AH=3k,AM=4k.③如图3中，当点〃在线

段。的延长线上，点G在线段ZC上时，连接CD,作"_LZC于J,设47=3%,

AM=4k.首先证明NM_LNC,利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即

可.

【解答】解：①如图1中，当点，在线段/C上，点G在/C的延长线上时，连接CD,作

DJ1AC于J,设N〃=3%,AM4k.

B

图1

CA=CB,ZACB=90°fAD=DB,

s.CDLAB,CD=DA=DB,

；.ZACD=ZDCB=45。,ZDCG=135°,

NEDF=NEDM=45。,DG=DM,

:"ADC=/MDG,

ZADM=ZCDG,

\ADM=\CDG(SAS),

:.ZDAM=ZDCG=135°,

ZCJS=45°,

...ZCAM=90°f

MH=GH=>JAM2+AH2=J(3外2+(%2=5k,

NGDH=NGAD=45。,/DGH=4GD,

\DGH^MGD,

DGGH

'^G~~DG'

/.DG2=GHGA=40k2,

AC=BC=6五,ZACB=90°,

AB=42AC=[2,

AD=CD=6，

DJ.LAC,

AJ=JC=3-72,DJ=AJ=IC=372,

:.GJ=8K-3近,

在RtADJG中，DG'=DJ2+GJ2,

：.40左2=①左一30y+(3人>,

解得左=述或正（舍弃）,

22

9x/2

/.AH=3k=-^.

2

②如图2中，当点H在线段ZC上，点G在上时,连接CZ),作ZV_L4c于/,设44=3%,

AM-4k.

B

图2

同法可得：40公=侬-+(3&y,

解得人=逑(舍弃)或旦,

22

川。』3加

AH=3k=-----.

2

③如图3中，当点H在线段。的延长线上,点G在线段/C上时,连接8,作“J.NC

同法可得：10心=(372-2k)2+(3拉产,

解得k=6或-36(舍弃)，

AH=3k=3五,

综上所述，满足条件的力〃的值为述或述或3直.

22

故答案为竽或半或3日

过关检测

I.如图，在正方形Z8C。中，48=2,点E是C£＞的中点，连接/E,将A4DE沿NE折叠

至AAHE,连接8"，延长ZE和8”交于点E,BF与CD交于点、G,则网=_分?_.

【分析】过点，作MN//4),交AB于M,交C。于N,通过证明入4〃，6.独，

可得出£=丝£=把，可得MH=2EN,HN='+EN,可求可的长，即可求,MH,

HNENEH2

的长，由平行线分线段成比例可得HG,GN,EG,GF的长.

【解答】解：过点，作MN//Z。，交4B于M,交,CD于N,

:"BAD=NBMN=90。,ND=NMNC=90。,

.•.四边形4DNM是矩形，

AM=DM,MN=AD=2,

将MDE沿AE折叠至\AHE,

AH=AD=2,ZAHE=90°,HE=DE=\,

ZAHM+^EHN=90°,且=90°,

AMAH=ZEHN,且ZAMH=ZENH=90°,

/.\AMH^\HNE,

AMMHAH

,•HN-EN-EH'

\+ENMH_2

,,HN一EN-I’

I+FN

:・MH=2EN,HN=-------，

2

MH+HN=MN=2,

T+EN.

二.2ENH---------=2，

2

:.EN=2,

5

ZJo

:.MH=—，HN=-，AM=-,

555

/.BM=L

5

/.BH=,

5

AB"CD,

BMMHBH3

•诟一而一而一5'

s4%4V10

二.NG=——，HG=------,

1515

,0_2标__1

..BG=------fEG=一,

33

AB//CD,

EGFG

・下一茄’

1

§二FG

一.一29

rCr4-------

3

:.FG=巫,

15

故答案为：2回■

15

例3.在A48C中，ABAC=90°,AC=AB=4,E为边/C上一点，连接8E,过力作

AFLBE于点、F,。是5c边上的中点，连接。尸，点〃是边Z8上一点，将售4FH沿HF

翻折.点Z落在M点，若MHI/AF,DF=42,则皿？=_8-2近_.

c

【分析】如图，作DK上DF交BE于K.首先证明4r=8K,设力/=8K=x,在

RtAAFB中，利用勾股定理构建方程求出x,再证明"历=力尸即可解决问题.

/.ZAFB=9。。,

,\AC=AB=4,ZBAC=90°fDC=DB,

/.ADIBC,BC=4近,

/.DA=DB=DC>

:"AFB=ZADB=9。。,

：.A9F,D,4四点共圆，

.・.NDFB=/DAB=45。,

/FDK=9伊,

・•.NDFK=NDKF=45。,

DF=DK=C,

FK=2,

/FDK=ZADB=90。,

...AADF=NBDK,

DF=DK,DA=DB,

\FDA=AKDB(SAS),

AF=BK,^.AF=BK=x,

在RtAAFB中，则有：x2+(x+2)2=42,

解得x=-l+V7或-1-"(舍弃)，

AF=-1+近,

HM//AF,

ZAFH=ZFHM=NAHF,

AH=AF=HM,

.•・四边形AFMH是平行四边形，

:.HM=AF=-1+5，

HM-=8-277.

故答案为8-26.

过关检测

1.如图，已知四边形/BCD是矩形，把矩形沿直线ZC折叠，点8落在点E处，连接。E.若

Z)E:/C=3:5,则＜2的值为

【分析】根据翻折的性质可得NA4C=NE/C,再根据矩形的对边平行可得/8//CZ),根据

两直线平行，内错角相等可得=从而得到NE/C=/DC/,设/E与C。相

交于尸，根据等角对等边的性质可得=再求出=EF,从而得到Mb和

AE/m相似，根据相似三角形对应边成比例求出一=-,设=3x,FC=5x,在

FC5

RtAADF中，利用勾股定理列式求出再根据矩形的对边相等求出48,然后代入进

行计算即可得解.

【解答】解：矩形沿直线/C折叠，点8落在点E处，

NBAC=ZEAC,AE=AB=CD,

矩形/BCD的对边/8//CO,

ZDCA=ABAC,

:.NEAC=NDCA,

设力E与C£)相交于尸，则/尸=C/,

:.AE-AF=CD-CF,

即DF=EF,

DFEF

又ZAFC=NEFD,

\ACF^\EDF,

DFDE_3

"-JC-5)

设。尸=3x,FC=5x,贝Ij/F=5x,

在RtAADF中，4D7AF2-DF?=J(5x>_(3x>=4x,

又AB=CD=DF+FC=3x+5x=Sx,

例4.如图，将正方形N8CD折叠，使顶点力与CD边上的一点4重合（4不与端点C,D

重合），点8落在点0处，折痕交4。于点E,交BC于点F,边48折叠后与边8c交于点

G,设正方形/BCD的周长为x,AD//E的周长为y,AGF。的周长为z,则匕上的值为

X

2_

2—,

【分析】由折叠的性质可得，HQ=AB,FQ=FB,通过证明二,

可得DH=HM,AD=AMt通过证明RtAAGM二RtAAGB,可得GN=GB,即可求解.

【解答】解：连接4月、AG,作ZA/J.HG于

由折叠的性质可得：EA=EH,HQ=AB,FQ=FB,

.・.Z1=Z2,

/EAB=/EHG=90°,

/.AHAB=ZAHG,

DHIIAB，

ADHA=AHAB=ZAHM,

AH=AH.ZD=ZAMH=90°,ZDHA=ZAHM

:.\AHD=\AHM{AAS),

/.DH=HM,AD=AM9

AM=AB,AG=AG,

/.RtAAGM=RtAAGB(HL),

:.GM=GB,

ADHE的周长=y=DH+EH+EH=DH+DE+EH=AD+HM,AG/7。的周长为

=z=GQ+GF+FQ=GF+FB+GQ=BG+GQ=MG+GQ=MQ,

：.y+z=AD+MH+MQ=AD+HQ=AD+AB=2AD

四边形/BCD的周长=x=44D,

.一+z=1

故答案为：—

2

过关检测

1.如图，在矩形N88中，AB=6,8c=8,点E在边8C上（E不与8,C重合），连接

AE,把A48E沿直线4E折叠，点8落在点"处，当ACE8为直角三角形时，则ACE9的

周长为12或8+2JS.

【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得AB=AB'=6,BE=B'E,

4BC=N4B'E=90。,分NCEB'=90。,/E8'C=90。两种情况讨论，由勾股定理可求8'C

的长，即可求ACEB'的周长.

【解答】解：四边形是矩形，

.•./8=8=6,AD=BC=8,ADAB-ZABC=90°

折叠

AB=AB'=6,BE=B'E,ZABC=ZAB'E=90°

若/CE5'=90°,JIADAB=ZABC=90°,

四边形4BE*是矩形,S.AB=AB'=6

二.四边形/18E8'是正方形，

BE=B'E=6,

:.EC=BC-BE=2

B'C=YJB'E2+EC2=2V10

\CEB'的周长=EC+B'C+B'E=S+2>/10,

若NEB'Cug。。，且N48'E=90。

ZAB'E+ZEB'C=\80°

.•.点/,点8',点C三点共线，

在RtAABC中，AC=y/AB2+BC2=10,

B'C=AC-AB'=10-6=4

ACE8'的周长=EC+8'C+8'E=8+4=12

故答案为：12或8+2加

例5.如图，正方形45co中，/。=6,点E是对角线力C上一点，连接DE,过点E作

EFVED,交4B于点、F,连接。尸，交/C于点G,将AE~G沿EF翻折，得到AEFN,

连接DM,交EF于点、N,若点尸是Z8边的中点，则\EDM的面积是一竺

2

3

【分析】如图1,过E作PQVDC,根据全等三角形对应边相等证明尸。=8。=PE=：,

△。£尸是等腰直角三角形，利用勾理计算OE=EF==叵，如图2,由平行相似证明

2

\DGC^\FGA,列比例式可得CG的长，从而得EG的长，分别求出\EFG,AEFM,\DFM

的面积，由面积的和差关系可求解.

【解答】解：如图1,过E作尸0，。。，交DC于P,交43于0,连接BE,

图1

DC//AB,

・•.PQ工AB,

四边形48C。是正方形，

:.^ACD=45°,

/.APEC是等腰直角三角形，

:.PE=PC,

设PC-x,则PE-x，PD=6-x,EQ=6-x,

:.PD=EQ,

ZDPE=ZEQF=90°,NPED=NEFQ,

\DPE=AEQFQ4S),

z.DE=EF,

DEVEF,

「.ADM是等腰直角三角形，

DC=BC,ZDCE=ZBCE=45。,CE=CE,

\DEC=ABEC(SAS)，

DE=BE.

・•.EF=BE,

EQLFB,

FQ=BQ=；BF,

AB=AD=6,尸是48的中点，

BF=3,

3

FQ=BQ=PE=~,

CE=—,PD=-

22

:.DE=yjDP2+PE2=

门3V10

2

如图2,过点F作FH_L4c于点H,

图2

AD=CD=6,

AC=6五

DC//AB,

\DGC^\FGA,

CGCD6、

——=——=一=2,

AGAF3

CG=2AG,

/.AG=2y/2,

z.GE=AC—AG—CE=6痒2后—-=述，

22

ZE4C=45°,HFLAC,

ZFAC=ZAFH=45°f

AH=HFfBLAF=3,

jjj-.3A/2

.e.AH=HF=-----,

2

..17Cj-,

2

GF=RHG"+H严=J"=亚,

S.GFGEXFH

e13及5近15

•••SAEFG=2X^2~X~2~=~4f

将沿EF翻折，得到AERW,

：,S^FM=^,FM=GF=邪,/DFE=/EFM=45。,

:.ZDFM=90°,

DF=y1DA2+AF2=^36+9=375，

•*-S^FM=~X3后xV5=—»

△EDM的面积=加边形MME—S^EW=S^DEF+^AEEV/~'

ALCU“而ln13M3M151515

:.bEDM的面积=—x------x--------+---------=

22242~2

故答案为:15・

T

过关检测

1.如图，在等腰直角三角形48C中，4c6=90。，在A4BC内一点P,己知N1=N2=N3,

将A5c产以直线PC为对称轴翻折，使点8与点。重合，PD与AB交于点、E,连结力。，

将A/I尸。的面积记为将A8PE的面积记为工，则'的值为

S2

【分析】首先证明4PC=90。，ABPC=ZAPB=ZADB=135°,再证明APD8,A4Q尸都

是等腰直角三角形即可解决问题.

【解答】解：如图，连接

CA=CB,4408=90。，

・•.NCAB=/CBA=45。,

Zl=Z2,Z2+ZJCP=90°,

N1+NAC尸=90。，

・•.Z4PC=90°,

Z2=Z3,Z3+ZP5C=45°,

.・.Z2+ZPBC=45°,

:"BPC=/DPC=\35。,

/.ZJPL>=45°,ZDP5=90o,

PD=PB,

/.APQ6是等腰直角三角形,

同法可知：ZAPB=135°,

・•.ZAPD=45°,

CA=CD=CB,

ACAD=ZCDA,NCDB=/CBD,

4CQ+2/CQ力=180。，Z£)C5+2ZCZ)B=180°,ZACD+ZDCB=90°,

2ZADC+2/CDB=270°，

・•.ZADP=ZADC+NCDB=135°,

/PDB=45。,

:.ZADP=90°,

4P3=45。，

・•.A/IPZ)是等腰直角三角形，

:.AD=PD=PB,

/ADB=/DPB=90。,

・•.AD//PB,

.•.四边形力。酎是平行四边形，

PE=DE,

.一底-lc_le

.•»2-2力8尸8-2_2'•

.邑_1

5,2

故答案为1.

2

例6.如图，矩形/8CD中，48=3,8c=4,点E是Z边上一点，且/E=JJ,点F是

边8c上的任意一点，把A8E厂沿E尸翻折，点8的对应点为G,连接/G,CG,则四边

形AGCD的面积的最小值为_"二2

【分析】根据矩形/8C。中，AB=3,8c=4,可得NC=5,由4E=百可得点F是边8C

上的任意位置时，点。始终在力。的下方，设点G到4c的距离为〃，要使四边形力GC。的

面积的最小，即/?最小.所以点G在以点E为圆心，5E为半径的圆上，且在矩形/5CQ的

内部.过点E作E//LZC,交圆E于点G,此时〃最小.根据锐角三角函数先求得力的值,

再分别求得三角形4CD和三角形ACG的面积即可得结论.

【解答】解：如图,

在矩形48co中，AB=3,BC=4,

ZB=ND=90。,

连接zc,

.0.AC=5)

AB=3,AE=,

点F是边BC上的任意位置时，点G始终在AC的下方,

设点G到ZC的距离为人，

S四边形力GCD=^AACD+S&QG

1,1,

=—x3x4+—x50,

22

,5,

=6H-h・

2

要使四边形AGCD的面积的最小，

即h最小.

点G在以点E为圆心，8E为半径的圆上，且在矩形力BCD的内部.

过点E作叩，4C,交圆E于点G,此时〃最小.

RC4

在RtAABC中，sinZ^C=—=-,

AC5

在RtAAEH中，=

EH4

sinNBAC=——=-,

AE5

解得£77=3/后=逋，

55

EG=BE=AB-AE=3-也，

・•・h=EH—EG=--(3-V3)=--3.

55

S四边彩4CCD=6+/

9百396-3

一f--2~-T~

故答案为：

97^,3.

2

过关检测

1.如图，在矩形纸片/BCD中，AB=8,BC=6,点£是的中点，点下是N8上一动

点.将A4EF沿直线EF折叠，点4落在点/'处.在EF上任取一点G,连接GC,GA',

CA',则ACG0的周长的最小值为_7+万一

【分析】如图，当点尸