山东省淄博市2024届高三年级下册一模考试数学试卷(含答案)

山东省淄博市2024届高三下学期一模考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.抛物线V=4x的焦点坐标为()

A.。，。)B.(O,l)c［：,o］D［O/］

2.某圆锥的侧面积为16兀，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为()

A.2B.4C.20D.4夜

3.记S“为等差数列｛4｝的前九项和，若%+%=10，%4=35,则4=()

A.20B.16C.14D.12

4.已知函数/(x)=sin(2x-m)，则下列结论中正确的是()

A.函数/(%)的最小正周期T=2兀

B.函数的图象关于点(三57r,0)中心对称

C.函数“X)的图象关于直线％=巴对称

6

D.函数/(%)在区间［0,-］上单调递增

4

5.小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数e”2.71828…的前6位数字2,

7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之

间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为()

A.24B.16C.12D.10

6.在平面直角坐标系xOy中，已知向量。4与关于x轴对称，向量a=(0,l),若满

_.2..

足。4=0的点A的轨迹为E,则()

A.E是一条垂直于x轴的直线B.E是一个半径为1的圆

C.E是两条平行直线D.E是椭圆

7.若ae，段)，6tan［：+a)+4cos［：-tz)=5cos2tz,贝I)sin2c=()

A.竺B,”cD

2525-i-1

8.已知耳，歹2是椭圆和双曲线的公共焦点，P,。是它们的两个公共点，且P,Q关

于原点对称，ZPF2Q=^-,若椭圆的离心率为G，双曲线的离心率为02，则

工+Y史的最小值是（）

<+1el+3

人2+百。1+6“4G

3333

二、多项选择题

9.下列命题为真命题的是（）

A.若样本数据须，x2,x3,x4,x5,4的方差为2，则数据3%-1,3X2-1,

3X3-1,3X4-1,3X5-1,34T的方差为17

B.一组数据8,9,10,11,12的第80百分位数是H.5

C.用决定系数配比较两个模型的拟合效果时，若收越大，则相应模型的拟合效果越

好

D.以模型y=0产去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,求得线性

回归方程为z=2x+0.4,则c,左的值分别是e°4和2

10.已知非零复数zrz2,其共辗复数分别为），1则下列选项正确的是（）

9--2

A.Z：=2]

B.Z]+Z2=Z[+z2

C.若卜+1|=1,则卜-1|的最小值为2

D.^=^-

Z2Z2

11.把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱（。9‘中椭圆

长轴AB=4,短轴CD=2g,片,「2为下底面椭圆的左右焦点，鸟'为上底面椭圆的

右焦点，AA=4,P为线段39上的动点，E为线段A3'上的动点，MN为过点歹2的

下底面的一条动弦（不与A3重合），则下列选项正确的是（）

A.当48'〃平面PMN时，P为33'的中点

B.三棱锥F；-F2CD外接球的表面积为8兀

C.若点。是下底面椭圆上的动点，。'是点。在上底面的射影，且。耳，。或与下底面

所成的角分别为a，(3,则tan(o+0的最大值为-《

D.三棱锥E-PMN体积的最大值为8

三、填空题

12.已知等比数列｛q｝共有2〃+1项，a,=l,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和

为42,贝I]公比q=.

13.已知定义在R上的函数/(x),/(X)为/(x)的导函数，/'(%)定义域也是R,

2024

/(九)满足/(x+1012)—“1013—x)=4x—2,则2:")=.

1=1

14.设方程e'+x+e=0,lnx+x+e=0的根分另U为2，q,函数/(x)=e*+(p+q)x,

令a=/(0),°=/1■!['则"'''c的大小关系为.

四、解答题

27r.

15.如图，在△ABC中，ZBAC=—,NR4C的角平分线交3C于尸点，AP=2.

3

(1)若3C=8,求△ABC的面积；

(2)若CP=4,求3P的长.

16.如图，多面体A3CDER是由一个正四棱锥A-5cDE与一个三棱锥尸-ADE拼接

而成，正四棱锥A-5CDE的所有棱长均为3亚，AF//CD.

⑴在棱DE上找一点G,使得面ABC，面ARG,并给出证明;

(2)当=时，求点R到面ADE的距离；

2

(3)若Ab=gc。，求直线DR与面ABC所成角的正弦值.

17.已知函数/(x)=e*-sinx-1.

⑴讨论函数/(x)在区间(0,+co)上的单调性；

(2)证明函数/(%)在区间(-71,0］上有且仅有两个零点.

18.为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中

400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.

年龄次数[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

每周0~2次70553659

每周3~4次25404431

每周5次及以上552010

⑴若把年龄在［20,40)的锻炼者称为青年，年龄在［40,60］的锻炼者称为中年，每周体

育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据

小概率值a=0.01的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；

(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分

层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在［30,40)与

［50,60］的人数分别为X,Y,^=|x-y|,求J的分布列与期望；

(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽

毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果

星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为上，--求小

353

明星期天选择跑步的概率.

n(ad-bc}

参考公式：/n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

附:

a0.100.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

19.在平面直角坐标系xOy中，点(6,0),点P(羽y)是平面内的动点.若以PR为直

径的圆与圆。：—+/=1相切，记点P的轨迹为曲线C

⑴求C的方程；

⑵设点A(l,0),M(0j),N(0,4T)«W2),直线AM,AN分别与曲线C交于点S,

T(S,T异于A),过点A作AH，ST,垂足为H,求|OH|的最大值.

参考答案

1.答案：A

解析：J2=4x=2x2x,即p=2,则其焦点坐标为(1,0),

故选：A.

2.答案：C

解析：设圆锥的母线长为/,底面半径为广，即侧面展开图的半径为/,侧面展开图的

弧长为Til.

又圆锥的底面周长为2兀厂，所以2M=兀/,即圆锥的母线长/=2厂.

所以圆锥的侧面积为兀〃=2兀产=1671,

解得「=2后.

故选：C.

3.答案：D

解析：｛q,｝是等差数列，

%+%=2a5=10，%=5,所以牝=56=7,

a5

公差d—a6—a5—2,

4d——3,

S6=6x(-3)+-^x2=12,

故选：D.

4.答案：D

解析：对于A,函数/(x)=sin(2x-g)的最小正周期T=/=7i,A错误；

对于B,由/(||)=sin(2x||-m)=lw0,得函数的图象不关于点(1|,0)对称，B

错误；

对于C,由/［看］=5皿［2*e-1］=0*±1，得函数人用的图象不关于直线x=E对称，

C错误;

对于D,当xe［O：］时，2x--e［--,-］,而正弦函数y=sinx在［-二勺上单调递

433636

增,

因此函数/■(%)在区间［03］上单调递增，D正确.

4

故选：D.

5.答案：B

解析：若两个2之间是8,则有282817；282871；728281；128287；172828；

712828；

828217；828271；782821；182827；178282；718282,共12种

若两个2之间是1或7,则有272818；818272；212878；878212,共4种；

则总共有16种,

故选：B.

6.答案：B

解析：设A(x,y),由题有OA=(x,y),OB=(x,-y),

所以B(x,-y),AB=(O,-2j),

所以042+0,至二工2+,2_2,=0,BPx2+(y-l)~=l,

所以点A的轨迹E是一个半径为1的圆，

故选：B.

7.答案：C

解析：令/■=?+cr,(6(々，兀)得a=贝>J6tan/+4cos=-

BP6tan/+4sinZ=5sin2z=10sinfcos/,整理得(5cos/+3)(cos/—1)=0,且cosf<0,

那么cosf=13,贝Usin2a=sin(=-cos2t-1-2cos2?=—.

5L2)25

故选：C.

8.答案：A

解析：如图，设椭圆的长半轴长为%,双曲线的实半轴长为的，

则根据椭圆及双曲线的定义得：1/^1+10^1=26，|尸团-归闻=2%，

2几

尸耳|=q+%,|尸闾=4-%,设寓用=2c,Z-PF^Q-,

根据椭圆与双曲线的对称性知四边形尸耳。鸟为平行四边形，则/片尸耳=],

222

则在△出鸟中，由余弦定理得，4c=(«1+a2)+(^-a2)-2(01+^2)(^-a2)cos|,

i3

化简得。；+3耐=4°2,即《+三=4,

G^2

/、

则却善1313/1311

1/31~1+3।—+1+—+1X-

1耳6

?+?+7+1/+17

Iq^2J

r11

4+13—+1

1<ei?

=­X>

63।

F+7+i

e2

=：x(4+2市2+73

3

e+i3匕+1、23用4〈]

e；=

11

当且仅当7kelJ即4时等号成立,

13324+96

------1------=4£=>1

婷四8-3后--37-

故选：A.

9.答案：BCD

解析：对A：若样本数据再，/，…，％的方差为2，则数据3%-1,3x2-1,

3X3-1,3X4-1,3X5-1,3%T的方差为32*2=18W17,故A错误;

对B：5x80%=4,则其第80百分位数是小上=11.5,故B正确；

2

对C,根据决定系数的含义知代越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确;

对D,以模型y=ce"去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,

则z=lny=lnc+lneM=lnc+Ax,由题线性回归方程为z=2x+0.4,则lnc=0.4,

k=2,故c,左的值分别是e°“和2,故D正确.

故选：BCD.

10.答案：BD

解析：设2]=。+历，z2=c+di^a,b,c,deR),

对A,zf=a2+2abi-b2,z/==cT-2abi-b2,

-?-?

当m6至少一个为0时，z；=Z],当m"均不等于0,z；wz],故A错误;

对B,+z2=(〃+c)+(b+d)i,贝(jZ]+z2=(〃+c)—(Z?+d)i,

而4+z2=〃一历+c—di=(a+c)—(b+d)i,故4+z2=4+z2,故B正确；

对C,若卜+1|=1,即|(c+l)+㈤=1,即J(c+l『+d2=1,

即(c+l)?+屋=1,则(c,d)在复平面上表示的是以(-1,0)为圆心，半径厂=1的圆,

卜-1|的几何意义表示为点(c,d)到点。,0)的距离，显然(1+1)2+。2=4>1,

则点(1,0)在圆外，则圆心到定点(1,0)的距离d=2,

则点(1,0)与圆上点距离的最小值为d-r=2-1=1,故C错误;

Z1|zjZ]a+bi(a+0i)(c+di)ac-bd+(<ad+Z>c)i

对D,

Z2|22z,c+dic+dc+d~

Z]_Ifac-bdY~(ad+£»cVy/a2+b2

y/c2+d2

而卢金，咱目故。正疏

故选：BD.

11.答案：ACD

解析：由题设，长轴长|AB|=|AM=4,短轴长|8卜26,

则Q周=|。囚=|。同=1,

得工，月'分别是08,0B中点，而柱体中ABBA为矩形，连接。8',

由B'F；/IOFi，=|0耳|=1,.•.四边形耳。3月为平行四边形，0B'l/F[F；,

当月《'〃平面PMN时，耳“u平面ABB'A,平面ABB/平面PMN=Pg,

则耳£'///谯，有OH〃Pg,

△059中，「2是05中点，则P为3?的中点，A选项正确;

OF2LCD,|CD|=2A/3,\OF^=1,则△鸟CD中，|飞|=|。闾=2,ZCED=120°,

3

△月CD外接圆半径为=2,

2sinZC/^D

F2F^//AA!,则月片'，平面&CD,

22

三棱锥F^-F2CD外接球的半径为R=V2+2=20,

所以外接球的表面积为4兀笈=32兀，B选项错误；

点。是下底面椭圆上的动点，。是点。在上底面的射影，且。有，。或与下底面所成

的角分别为a,0,

令|。口|=机,|。闾=",则加+”=4,又IQ。｝*

rmi4八4,/tana+tan/4(m+n)16

贝!!tana=—，tan/?=—,tan(a+〃)=----------------=---------=---------，

mn1-tanatanpmn-16mn-16

tanfcif+/?)=-----------------,由椭圆性质知1＜相＜3,

-(m-2)-12

则当加=1或加=3时，tanQ+A)的最大值为-仁，C选项正确；

Q'

由YE-PMN=yM-PEF2+yN-PEF2＞要使三棱锥E-PMV体积最大,

只需△PEE的面积和M,N到平面PEK距离之和都最大，

sPEF.=SBF,EB,—SPBF,—SPEB，，令EE=a,PB=b,且a,Z?e[0,4],则尸5'=4—＞，

1/x11/,、b（a-i\

q

2△尸巡=—x4x（l+tz）--xlxZ?--X6?X（4-/?）=2+、]一-

当a=b=4时，有最大值S^PEF?=8，

在下底面内以。为原点，构建如上图的直角坐标系，且5(0,2),则椭圆方程为

22

—।—=1,

43

设跖V:y=tc+1,联立椭圆得（3/+4卜2+6比—9=0,A=144（/2+1）＞0,

6t912Vy2+I

%+/=-XMXN=~3^3/+4

令/="+1»1,%f|=/1=---f，

，+13Z+-

l

117

由对勾函数性质可知y=3/+；在[L+oo)上递增，|”XNLXq=3,

综上，三棱锥E-尸aW体积的最大值为工x8x3=8,D选项正确.

3

故选：ACD.

12.答案：2

解析：依题后，4]+。3+。5++〃2及+1=85,即。2乡+++a2nq=84,

而出+为++a2n—42,所以q=2.

故答案为：2.

13.答案：4048

解析：对/(x+1012)-"1013-x)=4x-2两边同时求导得

/,(x+1012)+/,(1013-x)=4,

即r(x)+r(2025-幻=4，

贝I」/(1)+r(2024)=4，/(2)+/'(2023)=4y'(1012)+/'(1013)=4，

2024

则Z/'(，)=4x1012=4048.

i=l

故答案为：4048.

14.答案：a>c>b

解析：由e、+x+e=0,得e*=-x-e,由lnx+x+e=0,得lnx=—x—e,

依题意，直线y=-x-e与函数y=e£,y=lnx图象交点的横坐标分别为°,q,

而函数y=e，，y=lnx互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，又直线

y=_%_e垂直于直线y=%，

因此直线y=-x-e与函数y=e，,y=lnx图象的交点关于直线y=%对称，即点(夕,q)

在直线y=_x_e上，

则p+q=—e,/(x)=e*-ex,于是/(0)=1,/(<)=6一；e<l,

02QQ12

/(-)=e2--e=e(Ve--)<3x-=l,而/(-)-/(-)=e2-e-Ve=Ve(e-Ve-1)>0,

乙乙乙J乙乙

所以〃o)>/(1)>〃g)，即。>。>从

故答案为：a>c>b.

15.答案：(1)也普1

^2+2713

(3

解析：(1)△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c,

在△ABC中由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABAC-cosZCAB,

即64=+人2+b.c①

用Qc6_2c62b6

囚=+，叫k•丁二〒•二十丁.丁，

整理得〃・c=2Z?+2c②

①②解得64=2+2相,

所以S^BC=^bcsmZBAC=^+^

IT

(2)因为AP=2,CP=4,ZPAC=^,

所以在4Ape中由余弦定理可得CP2=AP2+AC2-2AP-ACcosZCAP,

所以16=4+3—24。

解得AC=1+屈，

APPC

由正弦定理得

sinCsinZCAP

即/一=之，解得sinC=@,

sinCV34

2

所以cosC=Vl-sin2C=边^

4

5#>

sinB=sin(ZBAC+C)=sinABACcosC+cosABACsinC=

8

ACBC1+713BC

△ABC中由正弦定理得

sin3sinABACV39-V3-73

8T

解得5c="+2而,

3

所以必—改=14+2厉_4=2+2加

33

16.答案：（1）当点G为。石中点时，证明见解析

⑵6

⑶当

解析：（1）当点G为中点时，面ABC,面A尸C,

证明如下：因为四棱锥A-5CDE是正四棱锥，所以AD=AE,AG±DE.

在正方形3cDE中，DE!IBC,所以AGL5C,

在正方形3CDE中，CDA.BC,因为AF7/CD,所以AFLNC,

因为AbAG=A,AF,AG^AFG,

所以BC,面AEG,

因为5Cu面ABC,所以面ABC上面AFG.

(2)连接BD,CE交于点。，连接AO,OG,则AF//OG,

又因为四棱锥A-5CDE是正四棱锥，所以49,面3cDE,

所以四边形AOG尸为矩形，

AF±FG,又AF1,DE,DEFG=G,DE,FGu面DEF,AFJ_面DEF,

11QB1Q

又FG=AO=3，：.VA-FDE=gAF-SFDE=3X+X&X3叵乂3=3,

设点R到面ADE的距离为〃，VpADE=VAFDE=-^即工x走X(3&)2./I=?,

2342

9=有,所以，点R到面ADE的距离为君.

(3)因为四棱锥A-5cDE是正四棱锥，所以OC,OD,两两垂直，

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,3),8(0,—3,0),C(3,0,0),D(0,3,0),尸(—1,1,3),

所以34=(0,3,3),G4=(-3,0,3),DF=(-l,-2,3),

、门_«1一上q曰、rn-BA=3y+3z=0

设平面ABC的法向重为〃=(%,y,z),则有v

n-CA=-3x+3z=0

取z=l,贝！Jy=-1,x=l,故〃

设直线。厂与平面ABC所成角为3,

DFn4_2A/42

则sin0=

阿.同gx了一21

所以直线。「与平面相。所成角的正弦值为亭.

Z八

AF

17.答案：(1)单调递增

⑵证明见解析

解析：(1)函数/(x)=e*-sinx-1,当x>0时，f\x)=e'-cosx>1-cos%>0,

所以/(x)在(0,+oo)上的单调递增.

(2)由(1)知，/(x)=e*—cosx,当兀6(-兀,一学时，f'{x}>0,函数/(九)在(一兀,—自上

单调递增，

/(—兀)=片"—1<0,/(-^)=e^>0,因此函数/(x)在(―兀,—§上有唯一零点；

当xe(-],0]时，令g(x)=e*-cosx,求导得g，(x)=e*+sinx,g'(x)在A上单调递

增，

g,(-1)=e^-l<0,g<0)=l>0,则存在x°e(-],0),使得/(%)=0,

当时，g，(x)<0,函数g(x),即/''(x)单调递减，

当xe(x(),0)时，g'(x)>0,函数g(x),即/''(%)单调递增，

又八—'=「>0,八/)<八0)=0,则存在石€(—(,/),使得/'(%)=0,

当xe(-],X])时，f'(x)>0,函数/(x)单调递增，当xe(X],0)时，f'(x)<0,函数

/(x)单调递减，

而/(—、)=6苫〉0，/(0)=0,因此函数/(x)A上有唯一零点，

所以函数〃x)在区间(-兀,0]上有且仅有两个零点.

18.答案:⑴有关

(2)分布列见解析，期望为支

56

呜

解析：(D零假设："。体育锻炼频率的高低与年龄无关,

由题得2x2列联表如下:

青年中年合计

体育锻炼频率低12595220

体育锻炼频率高75105180

合计200200400

400X(125X105-75X95)^9091>6635>

200x200x220x180

根据小概率值a=0.01的独立性检验推断Ho不成立,

即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.0L

(2)由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在［30,40),［50,60］内的人数分

别为b2,

依题意，J的所有可能取值分别为为0,1,2,

C3Ge420

所以“=0)="=0:=0)+。(乂=11=1)=3+彳产=*

88

c2clC2131

p(^=i)=p(x=o,r=i)+p(x=i,y=o)+p(x=i,y=2)=-^+-i-+—=—,

V^gJU

C15

P(^=2)=P(X=0,Y=2)=-^=—,

8

所以自的分布列:

012

20315

P

565656

所以J的数学期望为E©=0x型+1义卫+2X』=£

56565656

(3)记小明在某一周星期六选