数列讲义-2024届高考数学三轮复习冲刺

2024年高考数学三轮冲刺之数列

一.数列的概念

【知识梳理】

1、一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这

个数列的项.其中第1项叫做首项.项数有限的的数列叫做有穷数列，项数无限的数列

叫做无穷数列.

2、数列的一般形式是4,出，…，。〃，…，简记为｛4｝.由于数列｛%｝中的每一项

凡与它的序号〃是一一对应的，所以数列｛%｝是从正整数集N*(或它的有限子集｛1,

2,〃｝)到实数集R的函数，其自变量是序号“，对应的函数值是数列的第九项

an,记为a“=/S).也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值

时，对应的一系列函数值/⑴，/(2),/("),…就是数列｛4｝.

3、一般函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.与函数

类似，我们可以定义数列的单调性.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做

递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，各项

都相等的数列叫做常数列.

4、如果数列｛4｝的第〃项为与它的序号〃之间的对应关系可以用一个式子来表示，那

么这个式子叫做这个数列的通项公式.通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式

可以写出数列的各项.

5、(-1)"或(-l)a常常用来表示正负相间的变化规律.

6、如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子

叫做这个数列的递推公式.知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项.

7、我们把数列｛4｝从第1项起到第77项止的各项之和，称为数列｛%｝的前，项和，记

作S“，即

S“=q+%++an.

显然5=%,而S3T=%+%「+«„_1(«>2),于是我们有

S],n=1,

【针对性训练】

1.数列L,工，工，工，…的一个通项公式是（）

2123056

C.a=­(------------------

〃22n-l2n+l2〃(2〃—1)

2.下列说法正确的是（）

A.数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是相同的数列

B.数列的通项公式是一个函数关系式

C.任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示

D.数列的项数一定是无限的

3.若数列｛。〃｝满足％=2,且当拉..2时，an=3an_x-2,则4=（）

A.10B.12C.28D.82

4.下列四个数列中，既是无穷数列，又是递增数列的是（）

.1110.1.2.3

AA.1,—B.sin—»,sm—»,sm—"...

234777

C.-1,--,--D.-1,夜，-石，…，-同，衣

248

5.下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）

=

A•61tl1—nB.ci——

〃+3,%2,

C.a=2n2-5n+l

n2n~\n>2

3〃+27

6.已知无穷数列15,

2n

（1）求这个数列的第8项.

（2）上是这个数列的第几项？

7

（3）这个数列中是否存在等于序号的2倍的项？如果存在，求出这些项；如果不存在，请

说明理由.

7.已知数列｛4｝满足％=1,册二=1+—•（九.2且〃€N），则这个数列的第5项是（)

an-l

3

A.2B.C.-D.§

235

8.数列｛%｝中，an+l=a,l+2-%，4=2,-2=5,则〃5为()

A.-3B.-11C.-5D.19

占，则的等于（

9.若S,为数列｛%｝的前〃项和，且=)

6

A.-B.C.30D.—

6530

10.在数列｛?｝中，4=1,%%=3",nwN*,则下列说法正确的是（）

A.4=9B.&业的值为常数

a„

c.a2„-=2-3"D.=4,3

二.等差数列

【知识梳理】

1、一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常熟,

那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表

示.

2、由三个数a,A,匕组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a

与。的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.

3、首项为为,公差为d的等差数列｛%｝的通项公式为4=%+(〃-l)d.

4、由于=4+("-1)2=力2+(a1一1),所以当dwO时，等差数列｛%｝的第"项％

是一次函数/(x)=6c+(4—d)(xeR)当x=w时的函数值，即％=/(〃).与此相通，

任给一次函数/(无)=丘+人(左，匕为常数)，贝|/\1)=左+6,f(2)=2k+b,

/(〃)=成+b,...构成一个等差数列｛成+切，其首项为(左+切,公差为人.

5、已知数列｛4｝是等差数列，p,q,s,feN*,Rp+q=s+t,贝ij

ap+aq=as+at.

6、等差数列｛%｝的前〃项和公式S“=幽智.把等差数列的通项公式

a“=%+(〃一l)d代入公式，可得Sn=叫+”(7)d.

7、等差数列的前〃项和公式可以写成+所以当dwO时，S.可以

看成二次函数丁=：必+(囚一(xeR)当％=〃时的函数值.

当d<0时，S”关于〃的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点；

当d〉0时，S”关于”的图像是一条开口向上的抛物线上的一些点.

q

8、已知S〃是等差数列｛%｝的前〃项和，贝是等差数列.

n

9、已知等差数列｛a“｝的公差为d,则止%=d,这个公式可以从直线的斜率这个角

m-n

度来理解.

【针对性训练】

11.已知数列｛%｝是公差为-2的等差数列，4=5,则4=()

A.1B.3C.6D.9

12.已知等差数列｛4｝中，/+为=16,c%4=1，则〃12的值是（)

A.15B.30C.31D.64

13.已知等差数列仅〃｝的前三项分别为a-1,a+1,2a+l,则数列｛2｝的通项公式为（

）

A.an=2n—5B.an=2n—3C.an=2n—lD.an=2n+l

14.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为（

）

A.5B.4C.3D.2

15.已知｛%｝为递增的等差数列，生・%=15,a2+a5=8,若％=21,则〃=（）

A.9B.10C.11D.12

1

16.等差数列｛%｝的前〃项和为S〃,=2c1Tt+6,.=7，贝!Jq=（）

A.9B.11C.15D.17

z；,—4,

17.在等差数列｛4｝中，凡看。，4+%=1若［an］的前〃项和为Sn,,则

亲-'=（）

106

A.1B.2C.-D.4

2

18.设等差数列｛%｝的公差为d,其前几项和为S"，已知名=12,且无>。，S13<0.

（1）求d的取值范围.

(2)数列｛%｝的前几项和最大？说明理由.

19.已知数列｛氏｝满足0=4,%=2%+2"+i(〃eN*).

(1)求证：数列｛墨｝是等差数列.

(2)求数列｛a,｝的通项公式.

20.已知等差数列｛氏｝的前〃项和为S,,q=7,升=36，记数列｛|%|｝的前九项和为

T,,-

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求

三.等比数列

【知识梳理】

1、一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，

那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示

(显然4w0).

2、与等差中项类似，如果在。与匕中间插入一个数G,使a,G,8成等比数列，那

么G叫做a与的等比中项，此时，&=ab.

3、首项为%,公比为q的等比数列｛%｝的通项公式为

n—\

%=%q

4、类似于等差数列与一次函数的关系，由可知，当“>0且“/I时，等比

q

数列｛%｝的第力项%是指数函数/(X)=色•(%eR)当X=〃时的函数值.与此相通，

q

任给指数函数/(%)=匿f(左，。为常数，心0,a>Q,且awl),则/⑴=切，

。(2)=总2,…,/(〃)=3"，…构成一个等比数列｛版,｝,其首项为切,公比为a.

5、等比数列｛%｝的前〃项和公式S“=巴鲁2(q#l),因为所以还

i-q

可以写成

0一小).

1-4

6、已知等比数列｛4｝的公比4W—1,前，项和为S,,则S“，S2n-Sn,83“-§2”成等

比数列，这个数列的公比为q".

7、已知aw/?,且而。0,对于〃eN*,

an+1-bin+\

a"+a^lb+a"-2b2++ab'1-1+bn=

a-b

【针对性训练】

21.在等比数列｛%｝中，若q=g，4=4,则公比q的值等于()

A.-B.V2C.2D.4

2

22.若数列-9,相，x,n,-16是等比数列，则x的值是()

A.12B.±12C.-12D.-12.5

23.在等比数列｛〃〃｝中，/%=9,则/=()

A.±3B.3C.土百D.y/3

24.已知等比数列｛%｝中，q=2,且有为%=44；,则q=

25.已知等比数列｛凡｝的前〃项和为S,,若°“>0,公比q>l,03+05=2。，a2a6=64,

则$6=()

A.31B.36C.48D.63

26.已知等比数歹U｛%｝的前几项和S,=2"+4r,贝什=()

A.--B.--C.--D.-1

423

27.一个等比数列的前”项和为S“=(l-2R+/L2",则2=()

A.-1B.1C.2D.3

28.等比数列｛%｝的首项为2,项数为奇数，其奇数项之和为偶数项之和为非，记等

比数列｛%｝的前"项积为7；,则7；的最大值为()

A.-B.-C.1D.2

42

29.已知等比数列｛%｝的首项为J公比为-L前几项和为S"，则当“cN*时，Sn~—

33Sn

的最小值与最大值的比值为一.

30.已知｛凡｝是公比大于1的等比数列，%=6，4+。5=20.

(1)求数列｛怎｝的通项公式；

(2)q++CL-j+...+%”_2•

四.数学归纳法

【知识梳理】

1、一般地，证明一个与正整数”有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当〃=%(n0eN*)时命题成立；

(2)(归纳递推)以“当〃=左(左eN*,左2%)时命题成立”为条件，推出“当〃=左+1

时命题也成立”.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从〃。开始的所有正整数〃都成立，这种

证明方法称为数学归纳法.

2、记P(")是一个关于正整数”的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如

下：

条件：⑴P(%)为真；(2)若P(k)(左eN*,左2%)为真，则P(左+1)也为

真.

结论：P(〃)为真.

3、数学归纳法常见的应用公式：

@l2+22++n~=-H(H+1)(2H+1)；

6

②F+23++n3=[1n(n+l)]2；

…I222n2n(n+l)

1x33x5(2n-l)(2n+l)2(2n+l)

【针对性训练】

31.利用数学归纳法证明不等式l+g+g+……+叁匕＜/伽)(4.2,”wN*)的过程，由

〃=发到〃=化+1时左边增加了()

A.1项B.左项C.2-项D.2*项

32.在应用数学归纳法证明凸〃边形的对角线为!”("-3)条时，第一步验证”等于(

2

)

A.1B.2C.3D.0

33.如果命题p(")对"=Z/eN*)成立，那么它对〃=左+2也成立，则下列结论正确的是

()

A.如果p(“)对”=1成立，那么p(m对所有的正整数都成立

B.如果2(〃)对〃=2成立，那么p(m对所有的正偶数都成立

C.如果p5)对〃=1成立，那么p(")对所有的正奇数都成立

D.如果对〃=2成立，那么对所有的自然数都成立

34.已知『(")=1+!+工+…+'(〃eN*),用数学归纳法证明不等式/'(才)〉？时，/(2*M)

23n2

比八2,多的项数是—.

35.用数学归纳法证明对任意正偶数〃均有

1--+---+...+—---=2(—+—+...+—),在验证〃=2正确后，归纳假设应写

234n—1nn+2n+42n

成()

A.假设当〃=M%eN*)时等式成立

B.假设当"."々eN*)时等式成立

C.假设当"=2%(%eN*)时等式成立

D.假设当〃=2(%+1)优€乂*)时等式成立

36.用数学归纳法证明1+2+3+…+〃2="（，+l）5eN*）,下列说法不正确的是（）

A.当”=1时，等式左边为1+1

B.当〃=左+1时，等式左边为1+2+3+...+^+（左+1）2

C.当〃=左+1时，等式左边在〃=左的基础上增加的项是（k+l）2-（F+l）

D.当〃=左+1时，等式左边在"=左的基础上增加的项是（公+1）+（左2+2）+...+（Z+1）2

37.记尸（〃）是一个与自然数〃有关的命题，当“=左（左eN）时命题为真可以推出当"=左+1

时命题也为真.现已知当”=10时，该命题为假，那么下列结论正确的是—.（填上所

有正确结论的序号）

①当〃=11时，该命题一定为假；

②当〃=11时，该命题一定为真；

③当”=1时，该命题一定为假；

④至少存在一个自然数%,当〃=%时，该命题为真.

38.在数列｛。“｝中，a；=—,a„+1="".

2an+3

（1）求出七，%并猜想%的通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想.

39.用数学归纳法证明F+22+…+(〃-1)2+〃2+(九-1)2+...+22+12=也产时，由

72=左的假设到证明〃=左+1时，等式左边应添加的式子是()

A.(k+1)2+2k2B.(k+1)2+k2

C.(%+1)2D.1(^+1)[2(^+1)2+1J

40.用数学归纳法证明：■7^+^^+...+」—＜册(“€3*).

71x272x3Qn(n+1)

2024年高考数学三轮冲刺之数列

参考答案与试题解析

数列的概念

…的一个通项公式是（

C.a=­(------------------

"22〃-12n+l2n(2n—1)

【答案】D

【考点】数列的概念及简单表示法

【专题】转化思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算

【分析】把数列中的每一项的分母分解为两个连续的正整数的积，即可判断该数列的一个通

项公式是什么.

【解答】解:

21x2123x4305x6567x8

所以数列士,

2

故选：D.

【点评】本题考查了数列的概念与通项公式应用问题，是基础题.

2.下列说法正确的是（）

A.数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是相同的数列

B.数列的通项公式是一个函数关系式

C.任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示

D.数列的项数一定是无限的

【答案】B

【考点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性

【专题】数学运算；三角函数的求值；综合法；转化思想；综合题

【分析】根据数列的概念可判断A；根据通项公式的概念可判断8；不难找到一些规律性不

强的数列，找不到通项公式，故C错误，数列的项数可能是有限的可判断。.

【解答】解：数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1不是同一个数列，故A错误；

数列是特殊的函数，数列通项公式是一个函数关系式，故B正确；

并不是所有数列中的项都可以用通项公式来表示，

比如所有质数从小到大排列构成的数列，故选项C错误；

数列1,2,3,4,5只有5项，故。错误.

故选：B.

【点评】本题考查了数列的概念，考查了数列的通项公式的定义，属基础题.

3.若数列｛a“｝满足q=2,且当”..2时，an=3an_x—2,则%=()

A.10B.12C.28D.82

【答案】C

【考点】数列递推式

【专题】点列、递归数列与数学归纳法；数学运算；函数思想；数学模型法

【分析】由已知直接利用数列递推式求解.

【解答】解：由q=2,且当”..2时，aa=3<?”_1—2,得。2=3%—2=3x2—2=4,

4=3a2—2=3x4—2=10,牝=36—2=3x10—2=28.

故选：C.

【点评】本题考查数列递推式，考查运算求解能力，是基础题.

4.下列四个数列中，既是无穷数列，又是递增数列的是()

B.sin—下，sin—?r.sin—万...

777

D.—1,y/2,—^[21,^22,...

【答案】C

【考点】数列的概念及简单表示法

【专题】阅读型

【分析】要找既是无穷数列必须是项数无限的数列，又是递增数列必须是后一项总比前一项

大的数列.依据这一标准从四个答案中判断正确选项即可.

【解答】解：首先A,B,C,。四个选项中的项数都是无限的，所以都是无穷数列.

而A选项中的数列中的项是越来越小的，不属于递增数列；

B中数列的项成周期变化，也不是递增数列；

。中数列的项有正有负，故不是递增数列；

而C中的数列是递增数列，满足所有条件.

故选：c

【点评】考查学生对无穷数列和递增数列概念的理解能力.

5.下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（

A.an=1-77

n+3,%,2,

2

C.an=2n-5n+1

2"T,W>2

【答案】C

【考点】数列的函数特性

【专题】数学运算；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；转化思想

【分析】根据数列单调性的定义逐项判断即可.

【解答】解：对于A,B选项对应数列是递减数列；

对于C选项，an+l-an=4n-3>0,数列｛〃"｝是递增数列；

对于。选项，,数列｛《J不是递增数列.

故选：C.

【点评】本题考查数列的单调性，化归转化思想，属基础题.

6.已知无穷数列15,至，…，即±2,….

42n

（1）求这个数列的第8项.

（2）”是这个数列的第几项？

7

（3）这个数列中是否存在等于序号的2倍的项？如果存在，求出这些项；如果不存在，请

说明理由.

【答案】⑴—.

（2）第21项.

（3）存在的=6,其值等于序号的2倍.

【考点】数列的概念及简单表示法

【专题】数学运算；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；整体思想

【分析】（1）由题意可知，数列的通项4=也卫，令〃=8即可求出结果.

（2）令也士卫=竺求出〃的值即可.

2n7

(3))若存在，则q=2"，即四3=2”,求出〃的值即可.

In

【解答】解：(1)由题意可知，数列的通项凡='±2,

2n

：.这个数列的第8项为3x8+27=51.

2x816

_xA3〃+2715ATJzpi_.

(z2)令------=一，解得几=21,

2n7

丝是这个数列的第21项.

7

(3)若存在，则a〃=2〃，

即3"+27=2〃，整理得4”2-3〃-27=0,

In

9

解得〃=3或—(舍去).

4

故存在%=6,其值等于序号的2倍.

【点评】本题主要考查了数列的通项公式，考查了学生的运算能力，属于基础题.

=1+'(〃..2且”eN*),则这个数列的第5项是(

7.已知数列｛〃〃｝满足％=1,）

an-l

38

A.2B.cD.

2-15

【答案】D

【考点】数列递推式

【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算

【分析】利用数列的递推关系式逐步求解即可.

【解答】解：数列｛4｝的第1项％=1,以后的各项由公式%=1+—匚(”..2且“eN*)给出,

%

-T/日,13,25,38

□J%—1+1—29CL-1—1H-—，=1-1-―9---=_，

-32243355

故选：D.

【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，是基本知识的考查，是基础题.

8.数列｛。"｝中，an+1=an+2-an,6=2,%=5，则%为（）

A.-3B.-11C.-5D.19

【答案】D

【考点】8"：数列递推式

【专题】11：计算题

【分析】由题中的递推公式可以求出数列的各项，得出正确结果.

【解答】解：数列｛%｝中，4+1=4+2-%,所以"2=—，

由丁，a1=2,a?=5,

所以〃3=4+。2=7，

%=%+/=12，

々5=。4+^3=19

故选：D.

【点评】本题考查数列递推公式的简单直接应用，属于基础题.

9.若S,为数列他“｝的前〃项和，且邑=/一，则牝等于（）

n+1

A.-B.-C.30D.—

6530

【答案】D

【考点】数列递推式

【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算

【分析】根据项和和之间的关系，利用“5=$5-S,进行求解即可.

【解答】解：.5“=」-,

n+1

._ec_54_25-24_1

••de一，―34—―—，

653030

故选：D.

【点评】本题主要考查数列递推公式的应用，根据当凡.2时，%=S“-Jr进行求解是解决

本题的关键，是基础题.

10.在数列伍“｝中，q=l,an-an+]=y,nwN*,则下列说法正确的是（）

A.a&=9B.4生的值为常数

a=a

C.a2n~in-i2,3D.a2n+2n-t=4,3

【答案】ABD

【考点】数列递推式

【专题】转化思想；逻辑推理；综合法；等差数列与等比数列；数学运算

【分析】先求出的的值，再根据递推公式可得数列｛4｝的奇数列和偶数列，分别是以3为

公比的等比数列，问题得以解决.

【解答】解：4=1,a„-a„+l=3",

a2-aA=3>即。2=3,

an-an+l=，

an+l,an+2=3"M>

9=3,

a”

：.数列｛凡｝的奇数列和偶数列，分别是以3为公比的等比数列,

a、“=3x3"1=3",=1x3,!1=3,,-1,

a4=9,故AB正确；

1

%-=3"-3"-=2.3鹏,故C不正确；

a2n+*=3"+3"一=4x3"T,故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查数列的递推公式，等比数列的应用，考查学生的分析能力与计算能力.属

于中档题.

二.等差数列

11.已知数列｛%｝是公差为-2的等差数列，4=5,则％=()

A.1B.3C.6D.9

【答案】D

【考点】等差数列的通项公式

【专题】函数思想；定义法；等差数列与等比数列；数学运算

【分析】由已知直接利用等差数列的通项公式求解.

【解答】解：在等差数列｛。"｝中，公差d=-2,a3=5,

贝(Jq=4—2d=5-2x(—2)=9.

故选：D.

【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础题.

12.已知等差数列｛.”｝中，%+佝=16,a4=1＞则的值是()

A.15B.30C.31D.64

【答案】A

【考点】等差数列的通项公式

【专题】方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算

【分析】解法一：设等差数列｛%｝的首项为巧，公差为d,再由%+佝=16,g=1，建立

%,d的方程，再分别求解q,d,最后代入通项公式即可求解；

解法二：设等差数列｛%｝的首项为q,公差为d,再由%+为=16,4=1，建立q，d

的方程，将两方程对减即可得解.

【解答】解：解法一：设等差数列｛2｝的首项为q,公差为d,

2%+14d=16

由%+%=16，=1得

a{+3d=1

17,7

解得q=-—，d——

44

177

/.%=%+1Id=——+Hx—=15

44

解法二：设等差数列｛%｝的首项为4,公差为d,

2q+141=16

由%+%=16,%=1得

4+3d=1

两式相减得4+lld=15,

q,=q+1Id=15,

故选：A.

【点评】本题考查等差数列的通项公式，方程思想，属基础题.

13.已知等差数列｛凡｝的前三项分别为a-l,a+1,2a+l,则数列｛凡｝的通项公式为(

)

A.an=2n—5B.an=In—3C.an=2n—1D.an=2/7+1

【答案】C

【考点】等差数列的通项公式

【专题】转化思想；数学运算；等差数列与等比数列；转化法

【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解.

【解答】解：等差数列｛%｝的前三项分别为。-1,a+1,2a+l,

公差d=a+l—(a-1)=2,

贝|2(a+l)=a-l+2a+l,解得a=2,

故首项为a-1=1,

所以数列｛%｝的通项公式为:l+2(n-l)=2n-l.

故选：c.

【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题.

14.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(

)

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【考点】等差数列的性质

【专题】等差数列与等比数列

【分析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和即5q+(2d+4d+6d+8d),写出数列的

第二、四、六、八、十项的和即54+(d+3d+5d+7d+94),都用首项和公差表示，两式

相减，得到结果.

5a,+20d=15

【解答】解:1nd=3

5q+25d=30

故选：C.

【点评】等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解，让每一个偶数项减去前一奇

数项，有几对得到几个公差，让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数.

15.已知｛凡｝为递增的等差数列，a3-a4=15,a2+a5=8,若”,=21,则”=()

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【考点】等差数列的通项公式

【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算

【分析】设等差数列｛4｝公差为d,根据等差数列性质可知外+生=%+%=8,结合

dj-a4=15可求得生、％，然后求得d,，最后结合cin=21求得n值.

【解答】解：设等差数列｛%｝公差为列

根据等差数列性质可知名+=。3+。4=8，

又・生・%=15且｛〃“｝为递增的等差数列，

解得：“3=3，%=5；."=5—3=2,

又1a“=21,;.%+(〃一3)1=21,即3+2("—3)=21,

解得〃=12.

故选：D.

【点评】本题考查等差数列通项公式及性质，考查数学运算能力，属于基础题.

16.等差数列｛凡｝的前〃项和为S,,若S&=2q+6,a&=7,则4=()

A.9B.11C.15D.17

【答案】B

【考点】等差数列的前〃项和

【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；数学运算

【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.

【解答】解:设等差数列｛。“｝的公差为d,,$4=2%+6,a4=7,

4x3

4qH———d—2(q+2d)+6,/+3d=7,

解得%=1,d=2,

则％=1+5x2=11,

故选：B.

【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基

础题.

17.在等差数列｛%｝中，%片0,%+为=靖，%=4，若｛%｝的前"项和为，则

&一电=()

106

A.1B.2C.-D.4

2

【答案】B

【考点】等差数列的前〃项和

【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；数学运算

【分析】利用等差数列通项公式求出。2=2,进而求出等差数列｛%｝的公差d=l,首项

4=1,由此能求出--2.

106

【解答】解：在等差数列｛%｝中，%片0,%+为="；,a4=4,

：,2a2=a；,解得a2=2,

等差数列｛%｝的公差d=与曹=1,-d=1,

..5]0=10+^^1=55,£=6+浮xl=21,

.&_邑=2一回=2

,106106

故选：B.

【点评】本题考查等差数列的前〃项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算

求解能力，是基础题.

18.设等差数列｛q｝的公差为d,其前力项和为S“，已知名=12,且无>0，S13<0.

（1）求d的取值范围.

（2）数列｛凡｝的前几项和最大？说明理由.

【答案】⑴,-3）；

7

（2）数列｛%｝的前6项和最大.

【考点】等差数列的前〃项和

【专题】综合法；转化思想；计算题；数学运算；等差数列与等比数列；方程思想

【分析】（1）根据题意，由生=12,S12>0,513<0.可得q+2"=12,4+%>0，

%<0.即可解出公差d的取值范围.

（2）根据题意，由2'=（卬+；）.12=6（%+%）>0,%=（、+））x13/%<0,分析

可得：<26>0,«7<0.即可得出.

【解答】解：（1）根据题意，设等差数列｛%｝中，

有。3=12,S12>0，S13<0.

则％+2d=12,%=（q+?xl2>0,兀=（q+：3»13<0,

变形可得％+2d=12,+%>。，%<0.

即4+2d=12,+1W>0,Oy=+6d<0.

24

解可得：<^<-3.

7

故公差d的取值范围是（-上24，-3）；

7

（2）根据题意，数列｛4｝的前6项和最大，

理由：由s,=（q+yi2=6（g+%）>0,$=（0+））x13<0.

可:4>。，%<0.

故数列｛%｝的前6项和最大.

【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，涉及不等式的性质，属于中

档题.

+

19.已知数列｛qj满足q=4,an+l=2an+2"\neN*）.

（1）求证：数列｛今｝是等差数列.

（2）求数列｛4｝的通项公式.

【答案】（1）证明过程见解答；

（2）%=（n+1）2.

【考点】数列递推式；等差数列的性质

【专题】定义法；逻辑推理；方程思想；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算；计算题

【分析】（1）由.=2%+2M可得得=3+1,进一步结合卜2即可证明受是以2

为首项，以1为公差的等差数列；

（2）先根据等差数列的通项公式求出去，进一步两边同时乘以2"即可得到｛q,｝的通项公

式.

【解答】（1）证明：由。用=2为+2向，得3_=殳+1,即弱一殳=1,

又枭=2,所以受是以2为首项，以1为公差的等差数列，

（2）解:由（1）可知冬=2+〃一1=〃+1,则a“=（”+l）-2".

2〃

【点评】本题考查数列的递推公式，考查学生归纳推理与运算求解的能力，属于中档题.

20.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”,/=7，升=36,记数列｛|4|｝的前〃项和为

T,,-

（1）求数列｛。“｝的通项公式；

（2）求

【答案】（1）%=13-2”，

（/2C）、TF=\2+12"

n1/-12〃+72

【考点】数列的求和；等差数列的前〃项和

【专题】计算题；转化思想；方程思想；数学运算；等差数列与等比数列；综合法

【分析】⑴根据题意，等差数列｛叫中，设其公差为d,由此可得二；5136,解可

得q与d的值，由等差数列的通项公式计算可得答案；

（2）根据题意，分4,6与"..7两种情况讨论，结合等差数列的前〃项公式计算可得答案.

【解答】解：（1）根据题意，等差数列｛%｝中，设其公差为d,

一,...[a.+21=7[a,=11

又由%=7，§6=36,则有,斛可得,

3616q+l5d=36[d=-2

故=<\+（n—l）d=13—2〃，

（2）根据题意，由（1）的结论，an=13-2M,

2

当啜16时,an>0>|an|=an,此时北=Sn=na｛+"d=—n+12n,

2

当加.7时，an<0,\an\=-an,Tn^S6-（Sn-S6）^2S6-Sn^n-12n+72；

—n2+12〃

故（=

M2-12/1+72

【点评】本题考查等差数列的前〃项和计算，涉及等差数列的性质和通项公式，属于基础

题.

三.等比数列

21.在等比数列｛q｝中，若q=；,4=4,则公比q的值等于（）

A.-B.V2C.2D.4

2

【答案】C

【考点】88：等比数列的通项公式

【专题】54：等差数列与等比数列

【分析】直接利用等比数列的通项公式计算.

【解答】解：在等比数列｛%｝中，由q=g，%=4，

所以。4=4/，即4=g/*,解得4=2.

故选：C.

【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的会考题型.

22.若数列-9,m,x,n,-16是等比数列，则x的值是（）

A.12B.±12C.-12D.-12.5

【答案】C

【考点】等比数列的通项公式；等比数列的性质

【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算

【分析】根据等比数列得到/=-9x(-16),结合x=-9x/<o得到答案.

【解答】解：数列-9,机，x,n,-16是等比数列，

贝lx?=-9x(-16),故了=±12,

设等比数列的公比为q,

贝l]x=-9xd<0,故x=T2.

故选：C.

【点评】本题主要考查等比数列的性质，等比数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基

础题.

23.在等比数列｛%｝中，a3a7=9)则4=()

A.±3B.3C.±A/3D.6

【答案】A

【考点】等比数列的通项公式

【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算

【分析】由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，可得