2024年江苏省宿迁市沭阳县中考一模数学模拟试卷含详解

2024年江苏省宿迁市沐阳县中考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目

要求的.

L下列是一3的相反数是（）

11

A.3B.——C.D.-3

33

2.下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（)

66

A.y=6xB.y=-6xC.、二一D.y=一一

XX

3.抛物线y=f_2的顶点坐标是（）

A.(-2,0)B.(2,0)C.（0,2）D.（0,-2）

4.2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣

布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为38.4万千米的月球.将384000用科学记数法表示应为

（）

A.38.4X104B.3.84X105C.3.84xl06D.0.384X106

5.下列运算正确的是（)

A.a3-a2=a6B.Aab-ab-AC.(a+1)2=a?+1D.-«3\=a6

6.如图，在RtZkABC中，ZC=90°,BC=3AC,则tanB=()

3M

raD.

1010

7.若左为任意整数，则（2左+3y—4/的值总能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

8.如图，直角三角形中，两条直角边AC=8,BC=6,将绕着AC中点M旋转一定角度，得到△OEE,

点/正好落在A8边上，DE和48交于点G,则AG的长为（）

A.1.4B.1.8C.1.2D.1.6

二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分.

9.若代数式二一有意义，则实数x的取值范围是.

x-2

10.小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160,163,160,157,160.这组

数据的众数为.

11.分解因式：x~y-y3=.

12.已知。为正整数，点P(4,2—a)在第一象限中，则。=.

13.在RtAABC中，若两直角边长为6cm、8cm,则它的外接圆的面积为.

1(y[2丫

14.在△ABC中，若sinA-----F-----cosB=0,则/C的度数是_____.

2I2J一

V4-IT11

15.关于x的分式方程--+--=3有增根，则.

x-22-x

16.已知二次函数y=-必+27用:+1,当x>4时，函数值y随x的增大而减小，则机的取值范围是

17.如图，Rt二。LB与位于平面直角坐标系中，ZAOB=ZBOC=30°,BA±OA,CBLOB,若

AB=5反比例函数丁=与左wo)恰好经过点c，则上=.

X

18.点E在边长为4的正方形ABCD的边上，点尸在边8上，ZEAF=45°,则AEF面积的最小值为

三、解答题：本题共10小题，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

19计算：(l+7z-)°+2-|-3|+2sin45°.

20.先化简，再求值：|1--其中x是方程尤2-2尤-3=。的根.

(x-1)x'-I

21.4月23日是世界读书日.为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、

科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的类，将抽查结果绘制成如下

统计图(不完整).

(1)求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中机的值.

(2)请将条形统计图补充完整.(温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)

(3)若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数.

22.“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中

的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢.假设甲、乙两

人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种.

(1)甲每次做出“石头”手势概率为；

(2)用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率.

23.如图，反比例函数y=g(x>0)的图像经过点4(2,4)和点8,点8在点A的下方，AC平分NQ45,交x轴于

(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线.(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用22铅笔作

图)

(3)线段。4与(2)中所作的垂直平分线相交于点O,连接CD.求证：CD//AB.

24.一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行，在A处测得小岛尸在北偏东75。方向上，继续向东航行12海里到达

8处后，在3处测得小岛尸在北偏东60°方向上.

（1）求轮船在8处时与小岛尸距离.

（2）已知在小岛尸周围7海里内有暗礁，若轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由.

25.如图，在ABC中，。是AC上（异于点A,C）的一点，。恰好经过点A,B,ADLCB于点。，且

平分NC40.

（1）判断5。与〈0的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=10,DC=8,求।0半径长.

26.某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）

与销售价格x（元/千克）（3060）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：

销售价格X（元/千克）5040

日销售量y（千克）100200

（1）试求出y关于尤的函数表达式.

（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售

利润W最大？最大的日销售利润是多少元？

27.据图回答下列各题.

【问题：】如图1,在中，A5=AC,点。是边上一点（不与8,C重合），将线段AD绕点A逆时

针旋转90。得到AE,连接EC,则线段BD，CE之间满足的数量关系式为—.

【探索：】如图2,在RtZkABC与RtAADE中，AB=AC,AD=AE，将VADE绕点A旋转，使点。落在

边上，请探索线段AD,BD，CD之间满足的数量关系，并证明你的结论.

【应用：】如图3,在四边形A3CD中，NA3C=NACB=NAZ）C=45°,若5。=9,CD=3,求AD的长.

28.如图,平面直角坐标系中抛物线y=+bx+c与x轴交于点A,B,与>轴交于点C,其中

5(3,0),C(0,-3).

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点尸是直线AC下方抛物线上一动点，过点尸作P。，AC于点。，求尸。的最大值及此时点尸的坐标；

(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点尸的对应点，平移后的抛物线与>轴交于点

F,。为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.求出所有使得以QR为腰的△QEF是等腰三角形的点。的坐

标.

2024年江苏省宿迁市沐阳县中考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目

要求的.

L下列是一3的相反数是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查的知识点是相反数的定义，解题关键是熟练掌握相反数.

相反数：只有符号不同的两个数，根据此定义即可求解.

【详解】解：根据相反数的定义可得：

-3的相反数是3.

故选：A.

2.下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（）

,,66

A.y=oxB.y=-6xC.y=—D.y=——

【答案】B

【解析】

【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案.

【详解】解：A、y=6x,k=6>0,y随x的增大而增大，不符合题意；

B、y=-6x,左=—6<0,y随尤的增大而减小，符合题意；

C、y=~,左=6>0,在每个象限内，y随尤的增大而减小，不符合题意;

D、y=--,k=-6<Q,在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意;

故选：B.

【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键.

3.抛物线y=f-2的顶点坐标是（）

A.（-2,0）B.（2,0）C.（0,2）D.（0,-2）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解

此题的关键.

【详解】解：y=f—2顶点坐标是(0,—2),

故选：D.

4.2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣

布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为38.4万千米的月球.将384000用科学记数法表示应为

()

A.38.4xl04B.3.84xl05C.3.84xl06D.0.384xl06

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中lWa<10,〃为整数，根据科学

记数法的表示方法求解即可，解题关键是正确确定。的值以及n的值.

【详解】384000=3.84x1()5,

故选：B.

5.下列运算正确的是()

A.a，.才=a，B.4-cib—ab=4C.(a+1)=o2+1D.(―优)=

【答案】D

【解析】

【分析】根据同底数幕的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和塞的乘方的运算法则进行计算即可.

【详解】解：：a3.a2=a5,故A不符合题意；

4ab—ab=3ab,故B不符合题意；

V(a+1)"=a2+2a+l,故C不符合题意；

V(-«3)2=«6>故D符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查同底数幕的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和暴的乘方的运算法则，熟练掌握相关

法则是解题的关键.

6.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,BC=3AC,则tan3=()

C

「回n3而

x_z.-------LJ.------------

1010

【答案】A

【解析】

Ar

【分析】本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键.根据正切的定义tan3==计算,

BC

得到答案.

ArAr1

【详解】解：在RtAABC中，ZC=90°,tanB=——=——=—,

BC3AC3

故选：A.

7.若左为任意整数，则（2左+3）2—4左2值总能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

【答案】B

【解析】

【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式.

【详解】解：（24+3）2-4左2

=（2左+3+2左）（2左+3—2左）

=3（4左+3）,

3（4左+3）能被3整除,

...（2左+3）2—442的值总能被3整除,

故选：B.

【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为片―沙2=（。—b）（a+b）通过因式分解，可以把多项式分解

成若干个整式乘积的形式.

8.如图，直角三角形中，两条直角边AC=8,BC=6,将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DEE,

点P正好落在A8边上，OE和A8交于点G,则AG的长为（）

A.1.4B.1.8C.1.2D.1.6

【答案】A

【解析】

【分析】由勾股定理可求AB=10,由旋转的性质可得DM=AM,CM=MF,DE=AB^10,可得

AM=MF=CM9可得NAR>90。，由锐角三角函数可求A尸的长，由直角三角形的性质可求Gb的长，即可求AG的

长.

【详解】解：如图，连接CT,

・,AC=8,BC=6,

•・AB=7AC2+BC2=A/82+62=10,

•,点M是AC中点，

\AM=MC=4f

••将绕着AC中点M旋转一定角度，得到△。尸E,

\ZA=ZZ),DM=AM,CM=MF,DE=AB=10f

\AM=MF=CMf

\ZMAF=ZMFA,ZMFC=ZMCFf

：ZMAF+ZMFA+ZMFC+ZMCF=180°,

\ZMFA+ZMFC=90°,

\ZAFC=90°,

・,|xABxCF=^xACxBC,

：.AF=VAC2-CF2=Js2-(y)2=y,

VZA=ZDfZA=ZAFMf

：.ZD=ZAFM,

又「ZDFE=90°,

：.DG=GF,ZE=ZGFE,

：.GF=GE,

：.GF=GD=GE=5,

327

.".AG=AF-GF=--5=—=1.4,

55

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形内角和定理，求AF的长是本题的关键.

二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分.

9.若代数式上有意义，则实数x的取值范围是.

x—2,

【答案】尤#2

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可.

【详解】解：若代数式上有意义，则1—2H0,

x-2

解得：x#2,

故答案为：xr2.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键.

10.小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160,163,160,157,160.这组

数据的众数为.

【答案】160

【解析】

［分析］根据众数是一组数据中出现次数最多的数值求解即可.

【详解】解：这组数据中出现次数最多的是160,出现了三次，

这组数据的众数为160,

故答案为：160.

【点睛】题目注意考查求一组数据的众数，理解众数的定义是解题关键.

11.分解因式：x2y-y3=.

【答案】y(x+y)(x-y)

【解析】

【详解】试卷分析：原式提公因式得：y(x2-y2)=y(x+y)(x—y)

考点：分解因式

点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握.需要运用平方差公式.

12.己知。为正整数，点P(4,2—a)在第一象限中，则。=.

【答案】1

【解析】

【分析】根据点在第一象限，则2—a>0,根据。为正整数，则。>0,即可.

【详解】•••点?(4,2—a)在第一象限中,

**•2—a>0,

••a<2,

・・・〃为正整数，

,a>0,

0<<2,

:・a=1.

故答案为：1

【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点的坐标的性质.

13.在Rt^ABC中，若两直角边长为6cm、8cm,则它的外接圆的面积为

【答案】25兀cm?##25»平方厘米

【解析】

【分析】此题考查的是求三角形的外接圆的面积，掌握圆周角为直角所对的弦是直径是解决此题的关键.

根据题意，写出已知条件并画出图形，然后根据勾股定理即可求出A3,再根据圆周角为直角所对的弦是直径即可

得出结论.

【详解】如图，已知：AC=8cm,BC=6cm,

由勾股定理得：AB=VAC2+BC2=10cm>

•?ZACB=90°,

,48是<。的直径，

这个三角形的外接圆直径是10cm,半径为5cm,

，面积为7rr2=25^cm2>

故答案为：257rcm2.

1(41Y

14.在△ABC中，若sinA——+--cosB=0,则/C的度数是_____

2I2J

【答案】1050##105度

【解析】

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键.也考查了非负数的性质.

先利用非负数的性质得到sinA-工=0,受—cos3=0，即sinA=工,cos3=YZ，则根据特殊角的三角函数值

2222

得到么N3的度数，然后根据三角形内角和定理计算出/C的度数.

1(5丫

【详解】解：：sinA——+J—cosB=0,

212J

..1_V2_

••sinA4——0n,----cos3D=0n,

22

..4_1D_V2

••sinA——,cosB----，

22

.\ZA=30°,ZB=45°,

ZC=180°-ZA-ZB=105°.

故答案为：105°.

X+777I

15.关于x的分式方程上一7+7—=3有增根，则机=.

x—22—x

【答案】-1

【解析】

【分析】等式两边同时乘以公因式(％-2),化简分式方程，然后根据方程有增根，求出x的值，即可求出山.

【详解】吐"+'=3,

x—22—x

解:方程两边同时乘以(X—2),得x+m+(-1)=3(%-2),

m=2x—5,

・・,原方程有增根，

•**x—2=0,

x=2,

m=2x—5=~l,

故答案为：-1.

【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根.

16.已知二次函数y=-必+2mx+l,当x>4时，函数值y随x的增大而减小，则机的取值范围是

【答案】m<4

【解析】

【详解】•.,二次函数y=N-znx-1中，。=-1<0,...此函数开口向下，,当方>4时，函数值y随x的增大而减小,

b

・，・二次函数的对称轴x=-----24,即故答案为加W4.

2a

17.如图，RLQ45与Rt405C位于平面直角坐标系中，ZAOB=ZBOC=30°,BAA.OA,CBLOB,若

AB=6,反比例函数y=A（左NO）恰好经过点C,则左=.

X

【答案】46

【解析】

【分析】过点C作CD_Lx轴于点。，由题意易得O5=26,3C=2,NCOD=30°,然后根据含30度直角三角形

的性质可进行求解.

【详解】解：过点C作轴于点。，如图所示:

VZAOB=ZBOC=30°,BALOA,CBLOB,

：.AB=^OB,BC=^OC,

,：ZAOD=9Q°,

ZCOD=30°,

,/AB=5

•••OB=2AB=273，

在RtAOBC中，OB=doc?-BC?=#>BC=273，

BC-2,OC=4，

VZCOD=30°,ZCDO=90°,

：.CD=-OC=2,

2

OD=拒CD=273，

.•.点。(26,2),

k—4^/3>

故答案为：44.

【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质

及含30度直角三角形的性质是解题的关键.

18.点E在边长为4的正方形A5CD的边上，点尸在边上，44尸=45。，则AEF面积的最小值为

【答案】160-16##-16+16式

【解析】

【分析】将VADE绕点A顺时针旋转90°得到，证明AAE尸也一A竹(SAS),则FH=EF,

S.AEF=S.AFH设£>E=X,M=y，则①/=£)£=%，在Rt△石尸。中，由EC2+C//2=石/2得出SAEF

=28A/2-8,根据二次函数的性质即可求解.

【详解】解：如图所示,

将VADE绕点A顺时针旋转90°得到ABH,

则AH=AE,ZBAH=ZDAE,

ZEAF=45°,NBAD=90°

:.ZBAF+ZDAE=ZBAH+ZBAF=45°

:.ZFAH^ZEAF=45°

在_AEF,.Af/F中，

AE=AH

<ZEAF=NHAF

AF=AF

・・・跖2b(SAS)

:.FH=EF

…•uqAEF-=uq.AFH

设DE=x,BF=y,则BH=DE=x

EF=BF+BH=x+y.CE=6—xfCF=6—y

在RtZkEFC中，EC2+CF2=EF2

(4-x)2+(4-y)2=(x+y)2

-sAEF=S=^FH-AB=^x4(x+y)=2

AFHW+事)

当巾7=短时，%=472-4

x+4

•*,SAEF的最小值为16应-16

故答案为：160-16.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数与图形问题，构造二次函数

关系式是解题的关键.

三、解答题：本题共10小题，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

19.计算：++2-|-3|+2sin45°.

【答案】V2

【解析】

【分析】根据零次哥及特殊三角函数值可进行求解.

【详解】解：原式=1+2-3+2x1

2

=V2•

【点睛】本题主要考查零次嘉及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键.

1号x—2

20.先化简，再求值:—~-，其中X是方程x2-2x-3=0的根.

x--1

【答案】X+1,4

【解析】

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x是方程龙2—2%-3=0的根求出x的值，把x的值

代入进行计算即可.

【详解】解：11一一二x-2

Ix-1x2-l

I_1L(-Y+1)(X-1)

x~lx—1Jx-2

_x-2^(X+1)(A--1)

x—1x—2

=x+l

是方程炉—2%—3=0的根,

工解得：%i=3,x2=-l,

不能取-1,

•,.当_r=3时，原式=3+1=4.

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

21.4月23日是世界读书日.为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、

科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的类，将抽查结果绘制成如下

请根据图中信息解答下列问题：

（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中机的值.

（2）请将条形统计图补充完整.（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

(3)若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数.

【答案】(1)200人，40

(2)见解析(3)360人

【解析】

【分析】(1)根据其它类的人数和所占的百分比求出调查的总人数，用科技类的人数比上总人数，即可得出科技类

的学生人数占抽样人数的百分比;

(2)用总人数减去文学类、科技类和其他的人数，求出艺术类的人数，补条形统计图即可;

(3)用1200乘以文学类书籍所占的百分比，即可得出答案.

【小问1详解】

被抽查的学生人数是40+20%=200(人)

on

•.•卫xl00%=40%,

200

，扇形统计图中，"的值是40.

【小问2详解】

••,200-60-80-40=20（人）,

•••补全的条形统计图如图所示

【小问3详解】

200

...估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人.

【点睛】本题考查的是条形统计图及其应用与用样本估计总体的知识，从不同的统计图中得到必要的信息是解决

问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，能够根据各个数据进行正确计算.

22.“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中

的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢.假设甲、乙两

人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种.

(1)甲每次做出“石头”手势的概率为

(2)用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率.

【答案】(1)-

3

2

（2）见解析,-

【解析】

分析】（1）根据概率计算公式求解即可;

（2）先画树状图得出所有的等可能性的结果数，然后找到乙不输的结果数，最后利用概率计算公式求解即可.

【小问1详解】

解：•.•甲每次做出的手势只有“石头”、“剪子”、“布”其中的一种,

二甲每次做出“石头”手势的概率为:；

3

【小问2详解】

解：树状图如图所不：

乙石x头剪T刀x布石头x剪T“x布石/头T啊”x和

甲、乙两人同时做出手势共有9种等可能结果，其中乙不输的共有6种，

62

.**P（乙不输）=—=—.

93

答：乙不输的概率是2:.

【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，利用列表法或树状图法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键.

23.如图，反比例函数y=5（x＞。）的图像经过点4（2,4）和点B,点B在点A的下方，AC平分/Q4B,交x轴于

（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线.（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用28铅笔作

图）

（3）线段。4与（2）中所作的垂直平分线相交于点。，连接CD.求证：CD//AB.

Q

【答案】（1）y=—

（2）图见解析部分（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案；

（2）利用基本作图作线段AC的垂直平分线即可；

（3）根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到NE4C=NOC4,然后利用平行线的判定即可得证.

【小问1详解】

解：•.•反比例函数y=?无＞0）的图像经过点A（2,4）,

k

•,.当x=2时，—=4,

2

...左=8,

O

...反比例函数的表达式为：y=—；

【小问2详解】

如图，直线所即为所作;

【小问3详解】

证明：如图,

•/直线EF是线段AC的垂直平分线,

AD—CD1

：.ZDAC=ZDCA,

•：AC平分/Q46,

：.ZDAC=ZBAC,

：.ZBAC=ZDCA,

：.CD//AB.

【点睛】本题考查了作图一基本作图，用待定系数法求反比例函数解析式，垂直平分线的性质，等腰三角形的

性质，平行线的判定，角平分线的定义等知识.解题的关键是熟练掌握五种基本作图(作一条线段等于已知线

段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).

24.一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向上，继续向东航行12海里到达

8处后，在8处测得小岛P在北偏东60°方向上.

，北，北

(1)求轮船在B处时与小岛尸的距离.

(2)已知在小岛尸周围7海里内有暗礁，若轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由.

【答案】(1)轮船在2处时与小岛尸的距离为12海里

(2)若该轮船继续向东航行，有触礁的危险

【解析】

【分析】(1)求出N0A3=NAP5=15。，利用等角对等边得出？B=A3即可解决问题.

(2)过点尸作的垂线，求出点尸到的距离，将这个距离与7进行比较即可解决问题.

【小问1详解】

由题意，得/28£)=90°—60。=30°,ZB4B=90°-75o=15°,

,/ZPBD=ZPAB+ZAPB，

:.NPAB=NAPB=15°,

.•.加=AB=12海里.

答：轮船在8处时与小岛P的距离为12海里.

【小问2详解】

若该轮船继续向东航行，有触礁的危险.理由如下：

如图，过点P作？直线AB于点D

..阳=工5「=6海里.

2

6<7,

,若该轮船继续向东航行，有触礁的危险.

【点睛】本题考查了方向角问题，三角形外角的性质，以及等角对等边，过点尸作A3的垂线构造出直角三角形是

解题的关键.

25.如图，在.ABC中，。是AC上（异于点A,C）的一点，。恰好经过点A,B,AOLCB于点。，且

平分NC40.

（1）判断与。的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=10,DC=8,求।0半径长.

【答案】（1）见解析（2）。的半径长为”.

4

【解析】

【分析】（1）连接。8,证明。3〃相>,即可证得从而证得是圆的切线；

（2）设O3=Q4=x,则OC=AC-Q4=10—x,利用勾股定理求得A£>=6,推出利用相

似三角形的性质列得比例式，据此求解即可.

【小问1详解】

证明：连接。2,如下图所示，

ZBAD=ZBAO,

又OB=OA，

ZOAB=ZOBA,

：.ZBAD=AOBA,

：.OB//AD,

：.ZOBC=ND=90°,即06，BC,

又：BC过半径的外端点8,

BC与相切；

【小问2详解】

解：T^OB=OA=X,则OC=AC—04=10—%,

.在AADC中，2D90?,AC=10,DC=8,

•'-AD=7AC2-CD2=6-

•/OB//AD,

：.ACOBSMAD,

OBOC%10-%

——=——，即Bn一=-----,

ADAC610

解得x=".

4

故「O的半径长为

4

【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关

键.

26.某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）

与销售价格x（元/千克）（3060）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：

销售价格X（元/千克）5040

日销售量y（千克）100200

（1）试求出y关于元的函数表达式.

（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格尤为多少时，日销售

利润W最大？最大的日销售利润是多少元？

【答案】（1）y=-10x+600

（2）销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元

【解析】

【分析】（1）设y与尤之间的函数关系式为了="+8，由表中数据即可得出结论;

(2)根据每日总利润=每千克利润x销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可.

【小问1详解】

解：设y关于x的函数表达式为丁=履+6仕。0).

将x=50,y=100和x=40,y=200分别代入，得：

’50左+6=100

140左+人=200’

\k=-lQ

解得：1,…，

b=600

关于x的函数表达式是：y=—lOx+600；

【小问2详解】

解：W=(x—30)(—10x+600)=—lOx?+900X一18000,

•••—10<0,

...当》=一型9=45时，在30Wx<60的范围内,

-20

W取到最大值，最大值是2250.

答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元.

【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式.

27.据图回答下列各题.

【问题：】如图1,在RtZkABC中，AB=AC,点。是边上一点(不与5,C重合)，将线段A。绕点A逆时

针旋转90。得到AE,连接EC,则线段BD，CE之间满足的数量关系式为—.

【探索：】如图2,在RtZXABC与Rtz\AD£中，AB=AC,AD^AE，将VADE绕点A旋转，使点。落在

边上，请探索线段A。，BD,CD之间满足的数量关系，并证明你的结论.

【应用：】如图3,在四边形A3CD中，NA3C=NACB=NAr>C=45°,若班>=9,CD=3,求A。的长.

【答案】【问题】结论：BD=EC,证明见解析部分

【探索】结论：BD-+CD2^2AD2，证明见解析部分

【应用】6

【解析】

【分析】(1)证明四_C4E,根据全等三角形的性质解答；

(2)连接CE,根据全等三角形的性质得到5£>=CE,ZACE=ZB,得到NDCE=90°,根据勾股定理计算即

可；

(3)过点A作AELAD,使AE=A£>,连接CE,DE,证明空.。LE,得到BD=CE=9,根据勾股

定理计算即可.

【详解】解：(1)结论：BD=EC,

理由如下：

ZBAC=ZDAE=9Q°,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即NSAZ)=NC4E,

在，5A。和VC4E中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

BAD%C4E(SAS),

BD=CE,

故答案为：BD=EC；

(2)结论：BD2+CD2^2AD2,

理由如下：

连接CE,如图所示：

图2

在RtZkABC中，AB=AC,/以C=90°,则ZBAC+ZB=90°,

由（1）得，BAI江CAE,

:.BD=CE,ZACE=ZB,

ZDCE=ZBAC+ZACE=ZBAC+ZB=90°,

:.CE-+CD1ED2,

在中，AD2+AE2=ED2>又AD=AE，

:.BD2+CD2^2AD2；

(3)过点A作AE,AD,使AE=AD，连接CE,DE,如图所示:

E

图3

即在VADE中，ZEAD=90°,AE=AD,则ZEZM=45°,

ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

：.ZBAD=ZCAE,

在，84。与VC4E中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

BAD^CAE(SAS),

:.BD=CE=9,

ZADC=45°,ZEDA=45°,

:.ZEDC=9Q°,

DE=VCE2-CD2=A/92-32=6后，

NDAE=90°,

AD=AE=^DE=6.

2

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角

形的判定定理和性质定理是解题的关键.

与无轴交于点与丁轴交于点其中

28.如图，在平面直角坐标系中抛物线y=2V+"+cA,B,C,

4

(2)点尸是直线AC下方抛物线上一动点,过点尸作，AC于点。，求PD的最大值及此时点P的坐标;

（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点尸的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点

F,Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.求出所有使得以QR为腰的△QEB是等腰三角形的点。的坐

标.

11

【答案】（1）y=-9—x—3；

.44

4（5^1

（2）的最大值为一，此时点P-2,-；

512）

（3）Q点的坐标为i]或或.

【解析】

【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；

（2）直线AC的解析式为y=—