2024年中考数学复习：几何综合题（解析版）

方法必备08几何综合题“不一样的旋转，不一样的特征

题型一：旋转之全等特性

题型二：旋转之相似特性

题型三：旋转之隐圆本性

题型一：旋转之全等特性

旋转是全等变换之一，其本质特点即为旋转前后的两个图形全等，利用全等性质解决有关线段与角的计算问题，

1.(2023•无锡)如图，四边形NBCO中，AD/IBC,ZABC=60°,AD=AB=2,BC=4,E为射线CB上的动

点，将线段AE绕A点顺时针旋转120°得至I」AE'.设CE=x,KBEE'的面积为S.

(1)当x=3时，求BE，的长；

(2)当xw4时，求S关于x的函数表达式；

(3)求。E的最小值.

【分析】(1)过点D作。P//4B交3c于/，连接AF,可得四边形NBED是菱形，则尸是等边三角形，由x=3

得BE=1,则E是2尸的中点，可得NE18C,证明TUBE公ZUOE,可得BE=DE,即可求解；

(2)连接DE,作/歹1BE,可表示出AE2=EF2+AF2=0-x)2+3=x2-6x+12,从而得出

22

SMEE,=^(x-6x+12)=^-x-^-x+3yj3,可证得LADE=MBE',从而得出

SMBE'=SMDE=-AD-AF=-x2xy/3=43,可得出SMBE=-BE-AF=--(4-x),从而

S四边牍s=SMBE+SMBE,=曰•(”x)+G,进一步得出结果；

(3)将绕点A顺时针旋转120。至AS,连接DS,可证得AAEB=△AE'S,从而得出AASE'=NABE=60°,可

得出NZMS=120。，AD=AB=AS=2,从而得出N/SO=N/Z>S=30°,从而NOSE=N/SD+=90。，故当

点皮在S处时，DE最小，从而。S=G/D=2百，从而得出DE的最小值为：2vL

【解答】解：(1)如图1,

作4尸//CD,交BC于F,

'：AD11BC,

四边形AFCD是平行四边形,

AF=CD=1,CF=AD=2,

:.BF=BC—CF=4—2=2,

.•・ZU5厂是等边三角形，BE=-BF=1,

2

/.ABAF=60°,/BAE=AFAE=-ABAF,

2

ABAE=30°,AE=—AB=4i,

2

'：AEAE'=nOQ,

ABAE'=90°,

1,2

BE'=4AB+AE=打+（西2=近；

（2）（方法一）如图2,

连接/C,以Z为圆心，/C长为半径画弧交匿的延长线于尸，作EGICb,交的延长线于G,

AF=AC,

ZACB=AAFC,

•；AD=CD=2,

ZACD=ACAD,

,：ADIIBC,

AACB=ACAD,

/ACB=/ACD,

由（1）知：ZC=60°,

/./AFC=/ACB=30。，

:.ZCAF=120°,

ZCAF=ZEAE'=120°,

/./CAE=AFAE],

'：AE=AE',

:ZCE弟b4FE'（SAS）,

EfF=CE=x,AAFE'=/ACE=30°,

ABFE'=/AFC+ZAFE'=60°,

zrsV3,A/3

EG=——EF=——x,

22

ii/TR

:.S=-BE-E'G=-（4-X）X—X=--X2+技;

2224

（方法二）如图3,

连接,作/尸L8E,

BF=\,AF=6，

/.EF=2-x,

/.AE2=EF2+AF2=（3-x）2+3=x2-6x+12,

22x

/.SMEE,=-^-（x-6x+12）=-^-x-~~~+36,

,：ZDAB=ZEAE'=120°,

/DAE=/BAE,

'：AD=AB,AE=AE',

KADE^M.BE'（SAS）,

SMBE'=SMDE=^ADAF=^x2xy/3,

・=:8£-4尸二木（4—%）,

百

,•S四边形.EBE，—LABE+LABE'~~•（

(3)(方法一),如图4,

由（2）知：ZCFE1=60°,

.•.点/在与过点F且与CF成60。的直线上I运动,

作4匹1C少于沙，作。G1/于G,悴DHIII交BF千H,作“01/于°,当点E在G处时，DE，最小,

/.DG=HQ,ZDHC=ZCFE'=60°,

,：AABC=60°,

ZABC=ZCFE',

由（2）知：CH=BH=2,

\'ZACF=ZAFC=30°,

CF=2CW=2xV3AW=6,

\:.FH=CF—CH=4,

DG=HQ=4-cosZAFC=4-cos30°=2后,

.•.Q制的最小值为：2V3,

（方法二）如图5,

将AB绕点A顺时针旋转120°至AS,连接DS,

ABAS=AEAE'=120°,

AEAB=ZE'AS,

t：AE=AE,,AB=AS,

MEB?△AFS(SAS),

AASE'=NABE=60°,

,：ADAB=ABAS=120o,

ADAS=120°,

'：AD=AB=AS=2,

/.ZASD=/ADS=30°,

NDSE=ZASD+AASE'=90°,

当点£在8处时，W最小，

,.，DS=MAD=26

・•.。制的最小值为：2百.

C_____旦_______________B

DA

图3

图2

【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识,

解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形.

2.（2023•鄱阳县二模）【课本再现】（1）如图1,点。在等边AA8C的边8C上，连接ND,将AABD绕点4旋转,

使得旋转后点B的对应点为点C,得到ZUC。，连接“判断AAD。的形状，并说明理由;

【类比迁移】（2）如图2,A48c是等边三角形，点。在AABC外，2CDB=120°,AD=4,求AABC面积的最小

值;

【拓展应用】（3）如图3,AABC是等腰直角三角形，若CD1AD于点。，40=4收，CD=2,直接写出的

长.

图2

【分析】M8C是等边三角形，ZBAC=NBAD+ZCAD,M3。勺ZL4C。，得出AD=/。，ABAD=ACAD',

ACAD'+ACAD=60°,可证乙位）。是等边三角形;

(2)如图1,延长D3到点。，使/3=/C,A1BC是等边三角形，ABAC=60°,AB=AC,ZCD5=120°,根

据等量代换N4CD=AABD',MBD'占AACD,NDAD'=60°,

当481。。时，48最小，此时面积最小，进而求解;

（3）5C的长为2M或2回，

如图2,延长。3至点，，使8。=CD,LABC是等腰直角三角形，根据等量代换Z.DCA=ZABD',XABD'勺M.CD,

ADAD'=9Q°,AZ）/。是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解，如图3,在AD上取一点。，使AD，=C。，同

理可得8c.

【解答】解：（1）根加＞'是等边三角形,

理由：是等边三角形，

ABAC=/BAD+ACAD=60°,

依题意可知，&4BD些b4CD;

AD=AD',/BAD=/CAD,

ZCAD1+ACAD=60°,

/.MDD1是等边三角形；

(2)如图1,延长。8到点。，使BD=CD,

.「ZUBC是等边三角形，

ABAC=60°,AB=AC,

..20)8=120。，

ZBAC+ZCDB=180°,

:.ZDBA+ZACD=180°,

'/ZDBA+ZABD1=180°,

ZACD=ZABD',

MBD1?/^ACD(SAS),

AD'=AD=4,ADAC=ABAD',

/DAD=60°,

当481。。时，45最小，此时面积最小,

AB=AD-sin60°=4x—=2^/3,

2

此时A45C面积为：—BC-AB±-=36

22

.•.ZU5C面积的最小值为：30

(3)5C的长为2&U或2而，

如图2,延长。5至点。，使BD=CD,

...MBC是等腰直角三角形,

/.ABAC=90°,AB=AC,

■:CD1BD,

ABAC+ACDB=1SO0,

:.ADBA+AACD=1SO0.

ZDCA=ZABD,

KABD'3KACD{SAS),

AD'=AD=472,ADAC=AD'AB,

/DAD=90°,

/.^DAD1是等腰直角三角形，

DD=8,

,:CD=2,

DB=8—2=6,

BC=V62+22=2V10,

如图3,在2。上取一点。，使BD'=CD,

图3

同理可得BC=V102+22=2726,

综上所述，5c的长为2或2画.

【点评】本题考查等边三角形，等腰直角三角形，旋转和最值等综合问题，解题的关键是对问题的分类讨论.

3.(2023•高新区校级四模)如图，在M8C中，AB=AC,ABAC=90°,。为线段3C上一点，连接4D,将线

段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,作射线CE.

(1)求证：ABAD=ACAE,并求ZBCE的度数；

(2)若尸为中点，连接/尸，连接C尸并延长，交射线氏4于点G.当BD=2,£>C=1时，

①求/尸的长；

②直接写出CG的长.

［分析］(1)利用SAS证明ABAD?KCAE,得/ABC=/ACE=45°,即可解决问题;

(2)①利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案；

②利用等角对等边说明点方为CG的中点，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案.

【解答】(1)证明：7/氏4C=NZME=90。，

/./BAD=/CAE,

5U：AB=AC,AD=AE,

LBAD?ACAE(SAS).

又,［AB=AC,ABAC=90°,

/./ABC=ZACB=45。，

•；MAD"CAE,

/ABC=/ACE=45°,

/BCE=ZACB+ZACE=45°+45°=90°.

(2)①在RtADCE中，•「EC=BD=2,DC=1,

DE=V5,

又为。£中点，

贝ljAF=-DE=—.

22

②在RtADCE中，尸为。£的中点，

:.CF=-DE=—,

22

/.CF=AF,

ZFAC=/FCA,

\'ZBAC=90°,

:.ZGAC=90°,

/FAG=/AGC,

...AF=GF,

CG=2AF=V5.

【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角

三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键.

4.(2023•甘孜州)如图，在RtAABC中，AC=BC=3亚，点、D在AB边上，连接CD,将CD绕点C逆时针旋转90°

得到CE,连接BE,DE.

⑴求证：XCAD三XCBE;

(2)若40=2时，求CE的长；

(3)点。在上运动时，试探究/犷+①？的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请

说明理由.

【分析1(1)由4X4即可证明ACADMNCBE；

DE

(2)证明ACAD三ACBE(SAS),得至l|DE=BD2+BE2=2逐，在RtACDE中,=Vio；

CE=CD=正

(3)证明+8£)2=2C£)22x3,=18,即可求解.

【解答】(1)证明：由题意，可知乙4c2=NDCE=90。，CA=CB,CD=CE.

NACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB.

即NACD=ZBCE.

在《CAD和kCBE中,

CA=CB

-AACD=ZCBE

CD=CE

&CAD=ACBE(SAS)；

(2)解：:在RtAABC中，AC=BC=3E,

NCAB=NCBA=45°,AB=41AC=6,

:.BD=AB-AD=6-2=4.

,:ACAD"CBE(SAS),

c

NABE=ZABC+NCBE=90°.

DE=yjBD2+BE1=2#>,

r）p.—

.•.在RtACDE中，CE=CD=-J=-=410；

(3)解：存在，理由:

由（2）可知，AD2+BD2=BE2+BD2=DE2=2CZ>2,

当CD最小时，有/斤+BD2的值最小，此时CDLAB.

'：MBC为等腰直角三角形,

CD=-AB=-x6=3,

22

AD-+BD2=2CD22x32=18.

即AD-+BD-的最小值为18.

【点评】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股

定理等知识，有一定的综合性，难度适中.

5.(2023•攀枝花)如图1,在A42C中，AB=BC=2AC=8,AA8C沿8c方向向左平移得到ADCE,N、C对

应点分别是。、E.点尸是线段8E上的一个动点，连接/下，将线段/尸绕点/逆时针旋转至线段4G,使得

ABAD=NFAG,连接FG.

(1)当点尸与点C重合时，求尸G的长;

(2)如图2,连接BG、DF.在点尸的运动过程中:

①8G和D尸是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由;

②当BF的长为多少时，MBG能构成等腰三角形?

[分析】(1)根据平移的性质可得四边形4BCD、四边形NCE。是平行四边形，再由已知推导出是NC4G的平

分线，由等腰三角形的性质可得1CG,过8点作比71/C交于〃点，求出38=2后，再由

9/7T-CG

sinZ^C=^—=^—,所以CGnf'GnZVl?；

84

(2)①证明LABG=LADF(SAS),贝I]DF=3G;

②过点/作《N1BC交于N,由等积法可得Ix4x2岳=1x8AN，求出/N=岳，分三种情况讨论：当NG=NB

时，AG=AF=8；当/点与8点重合时，AF=8,止匕时3尸=0,当8尸=28N时，AF=8,在RtZ\ABN中，BN=1,

可得8歹=14；当/G=3G时，。尸=N/，过点F^FMLAD交于M,所以AM=FN=4,能求出CN=l,CF=3,

则8尸=11;当=时，DC=DF,当下点在BE上时，CD=DF,此时C点与厂点重合，此时BF=8C=8.

【解答】(1)当歹点与C点重合时，AF=AC,

由平移可知，CD=AB,CD//AB,

，四边形48CD、四边形/CEO是平行四边形，

AD=BC,AD/IBC,

,；NBAD=NFAG,

NDAF=ZFAG,

,:AB=BC,

ABAC=ZACB,

'：ZDAC=ZACB,

ADAC=ABAC=ABAG,

N8是NC4G的平分线，

'：AC=AG,

ABLCG,

如图1,过B点作881/C交于8点，

:AB=BC=2AC=8,

AH=2,

BH=2V15,

l

./…2A2rr

sinZ.BAC=-------=-------,

84

:.CG=FG=2V15；

(2)①DF=BG,理由如下：

如图2,7/6=/产，NDAF=NBAG,AB=AD,

KABG=KADF{SAS),

DF=BG;

②如图2,过点4作4NIBC交于N,

由①可知;x4x2岳=；x84N,

AN=y/15,

当=时，

\'AB=BC=8,

:.AG=8,

'：AG=AF,

AF=8,

当尸点与5点重合时，AF=S,此时昉=0,

当5尸=25N时，AF=8,在RtAABN中，BN=V64-15=7,

/.Bb=14；

当ZG=8G时，AF=BG,

,[DF=BG,

DF=AF,

过点尸作枚14。交于M,

AM=DM=4,

'：FM1AD,ANIBC,

AM=FN=4,

,：BN=7,

/.CN=T,

CF=3,

：.BF=n；

当氏4=5G时，

'：DF=BG,

AB=DF,

,；AB=CD=BC=AD,

DC=DF,

当尸点在班上时，CD=DF,此时。点与尸点重合，

/.BF=BC=8;

综上所述：昉的长为14或11或8或0.

【点评】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形平移的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，等

腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.

6.（2023•重庆）如图，在等边ZUBC中，4D13C于点。，E为线段4D上一动点（不与/,。重合），连接BE,

CE,将CE绕点C顺时针旋转60。得到线段CF,连接AF.

（1）如图1,求证：ACBE=NCAF；

（2）如图2,连接3/交/C于点G,连接。G,EF,昉与。G所在直线交于点〃，求证：EH=FH；

（3）如图3,连接AF交/C于点G，连接OG,EG，将A4EG沿/G所在直线翻折至A48c所在平面内，得到A4PG,

将AZ5EG沿DG所在直线翻折至ZUBC所在平面内，得到ADQG,连接尸。，QF.若42=4,直接写出P0+。/

图2图3

【分析】（1）根据旋转的性质得出CE=CF,ZECF=60°,进而证明ABCE三AACF(SAS),即可得证;

（2）过点尸作展//4D,交点的延长线于点K,连接EK,FD,证明四边形及是平行四边形，即可得

证;

（3）如图所示,延长/9,DQ交于点R，由（2）可知ADCG是等边三角形，根据折叠的性质可得NP/G=NE4G=30。，

ZQDG=ZEDG=30°,进而得出MDR是等边三角形，由（2）可得RtACED勺RtACFG,得出四边形GDQF是平

行四边形，则=OC=；/C=2,进而得出/26。=360。一2446。=120。，则PQ=V§PG=GG。，当G0取得

最小值时，即GQLOR时，尸。取得最小值，即可求解.

【解答】（1）证明：为等边三角形，

二.ZACB=60°,AC=BC,

:将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF,

CE=CF,ZECF=60°,

是等边三角形，

ABCA=ZECF,

/BCE=ZACF,

,ABCE?MCF(SAS),

ACBE=ZCAF；

(2)证明：如图所示，过点F作FK//4D,交。〃点的延长线于点K,连接£K,FD,

.「ZUBC是等边三角形，

AB=AC—BC,

'：AD1BC,

:.BD=CD,

/.4。垂直平分BC,

EB=EC,

文：/\BCE卷&4CF,

AF=BE,CF=CE,

AF=CF,

厂.尸在4c的垂直平分线上，

'：AB=BC,

.•.5在4c的垂直平分线上，

/.8尸垂直平分ZC,

:.ACIBF,AG=CG=-AC,

2

:.ZAGF=90°,

^：DG=-AC=CG,ZACD=60°,

2

/.A^CG是等边三角形，

/.ZCGD=4CDG=60°,

AAGH=ZDGC=60°,

4KGF=/AGF-/AGH=90°-60°=30°,

X'/AADK=ZADC-AGDC=90°-60=30°,KF/1AD,

ZHKF=NADK=30°,

AFKG=ZKGF=30。，

FG=FK,

在RtACED与RtACGF中，

jCF=CE

[CD=CG'

RtACED三RtACFG,

GF=ED,

ED=FK,

/.四边形EDFK是平行四边形，

EH=HF；

解法二：连接C〃，证明NCHE=90。，可得结论.

(3)解：依题意，如图所示，延长4P,DQ交于点R,

BDC

由(2)可知ADCG是等边三角形，

/.4EDG=30°,

...将AAEG沿ZG所在直线翻折至A4BC所在平面内，得到AAPG,将AZ)£G沿。G所在直线翻折至A45C所在平

面内，得到ADQG,

/PAG=4EAG=30°,AQDG=4EDG=30°,

APAE=AQDE=60°,

/.A4OR是等边三角形，

AQDC=/ADC-ZADQ=9(F-6(F=3(F,

由(2)可得RtACED?RtACFG,

DE=GF,

DE=DQ,

GF=DQ,

,:NGBC=NQDC=30。，

GF//DQ,

四边形GDQF是平行四边形，

.-.QF=DG=^AC=2,

由（2）可知G是/C的中点，则GZ=GD,

AGAD=AGDA=30°,

:.AAGD=nO°,

二折叠，

NAGP+ADGQ=AAGE+NDGE=ZAGD=12cp,

APGQ=360°-2ZAGD=120°,

又PG=GE=G。,

PQ=CPG=GG0,

.•.当G。取得最小值时，即G。！DR时，P。取得最小值，此时如图所示,

图3

GQ=^GC=^DC=1,

尸。=百，

PQ+QF=43+2.

解法二：由两次翻折，推得4?3。=360。-240。=120。，则尸0=6PG=6EG,

图3

由勿=DG=2,推出P01+。尸的最小值，只需要求出EG的最小值,

当EG14D时，EG的值最小，最小值为1,

,­,PQ+QF的最小值为V3+2.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等

三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键.

7.(2023•永川区一模)在AA8C中，ABAC=90°,N3=/C,点。为边上一动点，连接4D,将4D绕着。点

逆时针方向旋转90。得到DE,连接AE.

(1)如图1,18C,点。恰好为C8中点，/E与3C交于点G,若48=4,求ZE的长度；

(2)如图2,OE与交于点尸，连接3E,在A4延长线上有一点P,NPC4=,求证：AB=AP+4^BD；

(3)如图3,DE与AB交于点尸，且A8平分，点M为线段4F上一点，点N为线段4D上一点，连接DW,

MN,点、K为DM延长线上一点,将独DK沿直线BK翻折至2DK所在平面内得到^BQK,连接。。，在“，N

运动过程中，当。取得最小值，且4DKQ=45。时，请直接写出也的值.

图3

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得ZADE=90°,即

可求解;

(2)由“S/S”可证,可得=NDBE=NDHA=135°,由“N&4”可得AB/EMMCP,

可得/尸=2E,可得结论;

(3)先证明当点"，点斤，点。三点共线，且ZW1/E时，OM+MN有最小值，再证明点。，点B,点。三

点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解.

【解答】(1)解：,.•4/C=90。，AB=AC=4,

BC=472,

•「AH1BC,AB=AC,

BH=CH=2V2=AH,

•・•点、D为CH中点，

DH=CD=亚,

AD=ylAH2+DH2=V8+2=V10,

...将/。绕着。点逆时针方向旋转90。得到。回，

AD=DE,ZADE=90°,

二.AE=亚AD=2V5;

(2)证明：如图2,过点。作。交45于点

图2

,：ABAC=90°,AB=AC,

・•./ABC=NACB=45。,BC=42AC,

•；DH1BC,

4BHD=ZDBH=45°,ABDH=90°,

BD=DH,乙4HD=135。，

BH=41BD,

...将4D绕着。点逆时针方向旋转90。得到小，

AD=DE,AADE=90°=ABDH,

ZADH=4EDB,

KADH3l^EDB{SAS),

AH=BE,/DBE=ZDHA=135°,

/./ABE=90°=/CAP,

yL'：AB=AC,ABAE=ZACP,

:.ABAE二AACP(ASA),

AP=BE,

AP=BE=AH,

AB=AP+41BD；

(3)解：如图3,在ZE上截取=连接W,

图3

:AB平分/EAD,

/DAB=/BAE=22.5°,

又二AM=AM,

l^AMN?KAMN'(SAS),

:.MN=MN',

/.DM+MN=DM+MN',

・•・当点M,点N二点。三点共线，且ZW14£时，OM+MN有最小值,

图4

,：DMVAE,DE=AD,

ZADM=ZEDM=45°,

7折叠，

z.DQLBK,4BKD=ZBKQ,

,：ZDKQ=45°,

NBKD=ABKQ=22.5°,

'：AAMK=ZADM+/BAD=4BKD+AKBA,

4KBA=AADM=45°,

ZKBD=AABK+/ABC=90°,

KB1BD,

丈：DQ1BK,

.•.点B,点。，点。三点共线，

二折叠，

DQ=2BD,

■:NBAD=22.5。,

ACAD=67.5°,AADC=AABC+ABAD=67.5°,

NCAD=AADC,

:.AC=DC,

:.BD=BC-CD=y[iAC-AC,

DQ=2BD=2岛C-2AC,

DQ2也AC-24C”百

"BC~41AC-

【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定

理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

8.(2023•邹城市校级二模)LABC和KDEC是等腰直角三角形，乙4cB=ADCE=90°,AC=BC,CD=CE.

［观察猜想］当MBC和IXDEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE,延长BD交AE于点F,猜想线段BD和

/E有怎样的数量关系和位置关系.

【探究证明】如图2,将ADCE绕着点C顺时针旋转一定角度a(0。<a<90°),线段和线段AE的数量关系和位

置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

【拓展应用】如图3,在A4C。中，AADC=45°,CD=也，AD=4,将/C绕着点C逆时针旋转90。至3C,连

接BD,求2。的长.

【分析】【观察猜想】根据&4s推出MCEvABCD,根据全等三角形的性质得出=,根据

NACB=ZDCE=90°求出ZCAE+NAEC=90°，求出ZDBC+NBEF=90°，根据三角形内角和定理求出4BFE=90°

即可；

［探究证明】根据S4s推出MCE合ABCD,根据全等三角形的性质得出NCAE=ZCBD,根据AACB=90°求出

/CBD+/CGB=9U。，求出NG4E+N4Gb=90。，根据三角形内角和定理求出N3E4=90。即可；

【拓展应用】在CD的左侧以。为直角顶点作等腰直角ACQE,连接4E,则NQCE=90。，CE=CD=42,

ZCDE=45°,可得ZADE=ZADC+ZCDE=45°+45°=90°,由勾股定理可得DE=^CD2+CE2=2,

AE=ylDE2+AD2=A/22+42=275,由旋转得乙4c3=90。，AC=BC,由【探究证明】知8。=4E1,即可得

的长.

【解答】解：【观察猜想】4E15。，AE=BD,

证明：在MCE和A5C。中，

AC=BC

</ACE=/BCD,

CE=CD

MCEwMCD(SAS),

AE=BD,/CAE=4CBD,

..ZCB=/QCE=90。,

:.ZCAE+ZAEC=90°,

,：ACAE=ACBD,ZAEC=4BEF,

NDBC+ABEF=90°,

Z5FE=180°-90°=90°,

AEIBD；

［探究证明】线段BD和线段AE的数量关系和位置关系仍然成立，

证明：,.ZCB=4DCE=9G。,

/ACB+/ACD=ZDCE+ZACD,

即/ACE=/BCD,

在A4CE和ABC。中，

AC=BC

</ACE=/BCD,

CE=CD

:.&4CE短MCD(SAS),

AE=BD,/CAE=ZCBD,

\'ZACB=90°,

4CBD+/CGB=90°,

■:NCAE=NCBD,ZAGF=ZCGB,

ACAE+AAGF=9Q°,

.•.Z5K4=180o-90o=90°,

AELBD；

［拓展应用】如图，在CO的左侧以C为直角顶点作等腰直角XCDE,连接NE,

Z.DCE=90°,CE=CD=42,Z.CDE=45°,

DE=yJCD2+CE2=2,

'：ZADC=45°,

NADE=AADC+ACDE=45°+45°=90°,

AE=yjDE2+AD2=@+42=275,

二将/C绕着点C逆时针旋转90。至3c,

ZACB=90°,AC=BC,

由【探究证明】知AD=/E,

BD=2V5.

【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定

理，证明ZUCE勺A3CO是本题的关键.

9.（2023•随州）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点4,B,C,

求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被

称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形

的某个顶点）

当AABC的三个内角均小于120。时，

如图1,将AAPC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP1,

由PC=P'C,ZFCP'=60°,可知APCP为等边三角形，故PP'=PC,又P'A'=PA,故

PA+PB+PC^P'A'+PB+PP'A'B,

由可知，当2,P,P',H在同一条直线上时，P/+PB+PC取最小值，如图2,最小值为48,此时的尸

点为该三角形的“费马点”，

且有ZAPC=NBPC=ZAPB=；

已知当A48c有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若NB4c120°,则该三

角形的“费马点”为点.

（2）如图4,在A4BC中，三个内角均小于120。，且NC=3,BC=4,AACB=30°,已知点尸为ZU2C的“费马

点”，求尸/+P3+PC的值；

（图1）（图2）

（图4）

（3）如图5,设村庄/,B,C的连线构成一个三角形，且已知4岫，BC=2y/3km,ZACB=60°.现欲建

一中转站P沿直线向/,B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站尸到村庄/,B,C的铺设成本分别为。元//加，

a元Jkm,伍元/加，选取合适的尸的位置，可以使总的铺设成本最低为元.（结果用含°的式子表示）

【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析后即可得出结论，然后填空即可；

（2）根据（1）的方法将MPC绕点C顺时针旋转60。得到△4PC,即可得出可知当8、P、P、4在同一条直

线上时，尸/+尸3+PC取最小值，最小值为N2,再根据N/C3=30。可证明4c才=90。，根据勾股定理即可求出

A'B；

（3）根据总铺设成本=a（PA+PB+TIPC）,将ZUPC绕点C顺时针旋转90°得到△,得到等腰直角△PP'C,

推出=即可得出当2、P、P、4'在同一条直线上时，P4+P2+PP取最小值，即尸N+PB+JIPC

取最小值为A'B的长，然后根据已知条件和旋转的性质求出A'B即可.

【解答】解：（1）7PC=PC,ZPCF'=60°,

AFCP为等边三角形，

PP'=PC,NP'PC=NPP'C=60°,

又"4=PA,

:.PA+PB+PC=PA+PB+PP'A'B,

根据两点之间线段最短可知，当B、P、P、H在同一条直线上时，P4+PB+PC取最小值，最小值为

此时的尸点为该三角形的“费马点”，

ZBPC+ZP'PC=1SO°,ZA'PV+ZPP'C=180°,

Z.BPC=120°,ZA'P'C=120°,

二,将MPC绕点C顺时针旋转60°得至!J△A'P'C,

AAPC合4APC,

ZAPC=ZAP'C=120°,

ZAPB=360°-120°-120°=120°,

ZAPC=ZBPC=ZAPB=120°,

'.'ABAC120°,

/.BC>AC,BC>AB,

BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

.•.三个顶点中顶点A到另外两个顶点的距离和最小，

又「已知当ZU8C有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点，

二.该三角形的“费马点”为点N.

故答案为：等边；两点之间线段最短；120。；A；

(2)如图4,将MPC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP',

（图4）

由（1）可知当2、P、P、H在同一条直线上时，P/+P8+PC取最小值，最小值为42,

'：ZACP=ZA'CP',

NACP+NBCP=NHCP+NBCP=ZACB=30°,

又,「NPC尸'=60°,

Z.BCA'=90°,

根据旋转的性质可知：AC=A'C=3,

=AAP+32=5,

即PA+PB+PC的最小值为5;

(3)7总铺设成本=P/xa+P3xa+PCx后=a(P/+P8+岳C),

当尸N+P3+0PC最小时，总铺设成本最低，

将LAPC绕点C顺时针旋转90°得到△A'P'C,连接PP',A'B,

由旋转性质可知：P'C=PC,ZPCP,=AACA'=90°,P'A'=PA,AC=AC=Ahn,

PP'=亚PC,

PA+PB+41PC=P'A'+PB+PP',

当2、P、P、H在同一条直线上时，P4+P3+PP取最小值，

即PA+PB+亚PC取最小值为A'B,

过点4作/归1BC于H,

:NACB=6Q°,ZACA'=90°,

ZA'CIf=30°,

：.A'H=-A'C=2km,

2

HC=yjA'C2-A'H2="2-2?=2瓜km),

:.BH=BC+CH=202m=4也(Jan),

A'B=y/A'H2+BH2=7(4^3)2+22=2屈位m),

即PA+PB+MPC的最小值为25km,

总铺设成本为：总铺设成本=。(尸/+可+收％)=2疝(元).

故答案为：.

【点评】本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短以及等边三

角形的性质，深入理解题意是解决问题的关键.

10.(2023•贵州)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形N8C

中，CA=CB,ZC=90°,过点3作射线3D1N3,垂足为8,点尸在C2上.

(1)［动手操作1

如图②，若点尸在线段C3上，画出射线尸/,并将射线PN绕点P逆时针旋转90。与BD交于点E,根据题意在图

中画出图形，图中ZPBE的度数为135度；

(2)【问题探究】

根据(1)所画图形，探究线段加与尸£的数量关系，并说明理由；

(3)［拓展延伸】

如图③，若点尸在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,探究线段BA,BP,BE之

间的数量关系，并说明理由.

【分析】(1)根据题意画出图形，由。=。2,ZC=90°,得AABC=45°,而3。1N3,即得

4PBE=AABC+NABD=135°;

(2)过产作PM///8交NC于M,证明"CM是等腰直角三角形，得CP=CM,APMC=45°,即可证

M.PM=APEB(4SA),故PA=PE；

(3)当P在线段上时，过尸作PW//48交/C于"，结合(2)可得=+;当尸在线段C2的延

长线上时，过尸作PN13c交于N,证明l\BPN是等腰直角三角形，可得NABP=135°,BP=NP,BN=®BP,

NPNB=45°,即可证/XEPN=AAPB(ASA),EN=BA,根据BE=EN+BN,即得BE=BA+叵BP.

ZABC=45°,

：BD1AB,

NABD=90°,

NPBE=Z.ABC+NABD=45°+90°=135°;

故答案为：135；

(2)PA=PE,理由如下：

过P作PM//Z8交/C于M,如图:

4Mpe=NABC=45°,

APCM是等腰直角三角形，

CP=CM,ZPMC=45°,

CA-CM=CB-CP,BPAM=BP,NAMP=135°=NPBE,

'：ZAPE=90°,

ZEPB=90°-AAPC=APAC,

M.PM=△尸,

PA=PE■,

(3)当P在线段BC上时，过尸作PM///8交NC于M,如图:

由(2)可知，BE=PM,BP=AM,

'：AB=42{AM+CM),

AB=®BP+®CM,

'：PM=41CM,

AB=0BP+BE；

当尸在线段C2的延长线上时，过P作PN1BC交BE于N,如图:

ZPBN=180°-AABC-AABD=45°,

.•.ABPN是等腰直角三角形，乙4BP=135。,

BP=NP,BN=五BP,ZPNB=45°,

NPNE=135°=ZABP,

'：ZAPE=90°,

ZEPN=90°-AAPN=NAPB,

&EPN=KAPB^ASA),

EN=BA,

'：BE=EN+BN,

BE=BA+41BP;

综上所述，当尸在线段BC上时，AB=y/2BP+BE;当尸在线段C2的延长线上时，BE=BA+47.BP.

【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的

关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题.

11.（2023•辽宁）AASC是等边三角形，点E是射线3C上的一点（不与点2,C重合），连接/E,在/£的左侧

作等边三角形AED,将线段EC绕点E逆时针旋转120°,得到线段EF,连接BF,交DE于点M.

（1）如图1,当点E为8C中点时，请直接写出线段。河与EN的数量关系；

（2）如图2,当点£在线段8C的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不

成立，请说明理由；

（3）当BC=6,CE=2时，请直接写出的长.

图1图2备用图？

【分析】（1）可证得ZBAD=NBAE=30°,进一步得出结果；

（2）连接8。，可证明勺AC/E,从而乙42。=N/CE=120。，BD=CE,进而得出NDAE=60。，从而得出

ZDBE+ZBEF=60°+120°