湖北省武汉市某中学2023-2024学年高三年级下册模拟考试（最后一卷）数学试卷（含解析）

武汉二中2023-2024学年度下学期高三模拟考试

数学试卷

考试时间：2024年5月30日下午15：00-17：00试卷满分：150分

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z满足(l+i)z=2i,则同=()

A.—B.IC.V2D.2

2

2.设集合/小吟5=^2,Ine3,—k则4U8的子集个数为()

2

A.2B.4C.8D.16

3.蒙古包(Mongolianyurts)是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生

活，蒙古包古代称作穹庐、毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆

锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为64万平方米，则该蒙古包(含底面)的表面积为

()

A.(112+16后)兀平方米B.(80+16加卜平方米

C.(112+l8JTF)7i平方米D.(80+18JT7)n平方米

4.五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从力，B,C,。四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过

4景点，所以甲不选/景点，则不同的选法有()

A.64B.48C.36D.24

5.设点4,B在曲线丁=噪3%上两点，且力5中点尸(20,1),则|力却=()

A.lB.2C.20D.V13

6.已知定义域为R的函数/(x),其导函数为了'(X),且满足/。)一2/(力<0,/(0)=1,则

()

A.e2/(-l)<lB./(l)>e2C./W>eDj⑴〈欧

7.设双曲线C：4=1（。>0力>0）的左焦点为尸，。为坐标原点，尸为双曲线C右支上的一点，

crb~

~PFOP+~PFOF=（y,舒在而上的投影向量的模为可，则双曲线。的离心率为（）

A3B.4C.5D.6

8.设㈤>0,已知函数/（力=411（3公5；）出（25+票、在（0,兀）上恰有6个零点，则0取值范围为

73

B13一

19一-

A.24D.4-

12

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合

题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设防，〃是两条不同的直线，a,力是两个不同的平面，则下列四个命题工确的是（）

A.若mu0、a1°,则加_1_4；

B.若mu。,a//P,则加〃a：

C.若mLa.mi。,则〃_1_4；

D.若m//a,m//p,n//a>则〃〃夕.

10.盒子中有编号一次为1,2,3,4,5,6的6个小球（大小相同），从中不放回地抽取4个小球并记下编

号，根据以下统计数据，可以判断一定抽出编号为6的小球的是（）

A.极差为5B.上四分位数为5C.平均数为3.5D.方差为4.25

11.已知函数=xw（0,+8）,则（）

A./（X）有且只有一个极值点

、（\\

B.7（力在-,+oo上单调递增

）

C.不存在实数as（0,+8）,使得/（〃）=64

口./（%）有最小值6c

三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共15分

12.若平面向量2,5,"两两夹角相等且同=2,0卜3,同=4,写出p+1+目的一个可能值为

111111

13.在等比数列｛凡｝中，+。2+。3+。4+%=一%=—，n则l---1------"1--------1-------1-----=

a

4%a2%%s

14.某校数学建模社团对校外一座山的高度〃(单位：m)进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿

直线行进，在前后相距。米两处分别观测山顶的仰角a和队。>a),多次测量相关数据取平均值后代入

数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型(人是用a和夕表示的一个代数式)；多次测

量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行〃次测量，其误差邑近似满足

(2、

0-,为使误差J在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9973,至少要测量次.参考数据：若

\n7

J〜N.,/),则P(〃-3<T<4<〃+3cr)=0.9973。

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知数列｛%｝的前"项和为S“，且4S”=(2〃+1)〃,+1(〃EN)

(1)求｛《,｝的通项公式；

(2)记"=」一，求数列仇｝的前m项和却

凡％

16.(15分)设函数/卜)=〃2(%+1)。',w>0.

(1)求/(x)的极值；

(2)若对任意xw(—l,+8),有恒成立，求加的最大值.

17.(15分)如图，在三棱柱N3C-45c中，AB1AC,AB=&C=3,AD=2DB,O为BC

的中点，％O_L平面/8C.

(1)求证：AAXLOD；

(2)若AA=26求二面角8-44-。的余弦值.

G

18.(17分)四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般杆插繁殖，园林局为

了更好的了解托插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本.已知甲区的样

本容量加=12,样本平均数7=18,样本方差s；=19；乙区的样本容量〃=18,样本平均数｝=36,样

本方差s；=70.

(1)求由两区样本组成的总样本的平均数z及其方差S?；(结果保留一位小数)

(2)为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次

书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行.比赛规则如下：每场比赛分出胜负，

没杓平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束.当比赛在甲

31

区举行时，甲区代表队获胜的概率为一，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为一.假设每场比

52

赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X,求X的分布列及E(X)的值.

参考数据：12x182=3888,18x362=23328,28.82=829.44,12xl0.82=1399.68,

18x7.22=933.12.

19.(17分)如图，已知椭圆C：二+与=1(。>6>0)经过点01,-,离心率e=-.

a~b'v2J2

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)椭圆。上任意点T,x轴上一点S(m,0),若|科的最小值为加+2],求实数〃2的取值范围；

(3)设48是经过右焦点尸的任一弦(不经过点尸)，直线48与直线/：3=4相交于点记P4,

PB,的斜率分别为尢，的，求证：K，卜,与成等差数列•

武汉二中2023-2024学年度下学期高三模拟考试

数学试题参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.【答案】C

【解析】由已知条件，1结合复数的除法运算法则可得z=l+i,从而可求出共扰复数，进而可选出正确

答案.

2.【答案】C

【解析】根据对数的运算性质化简集合4、B,即可求出彳U8,再判断其子集个数.

3.【答案】A

【解析】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为64兀平方米，

设底面圆的半径为r,贝IJ64兀=兀/，..“二8,则圆锥的母线长为J2?+8?=2)万(米)，

故该蒙古包(含底面)的表面积为7rx8x2jF7+2兀x8x3+7tx82=112兀+16JI77T(平方米)，故选：A

4.【答案】B

【解析】因甲不选力景点，应该分步完成：第一步，先考虑甲在5,C,。三个景点中任选一个，有3

种选法；第二步，再考虑乙和丙，从力，B,C,。中分别任选一个景点，有4x4=16中选法.

由分步乘法计数原理，可得不同选法有：3x16=48种.故选：B.

5.【答案】D

【解析】设4(x，bg3xJ，5(x2,log3x2)

则有卜即卜+一石

10g3x,4-10g3x2=2x}x2=9

解得或因此《3石1)，故|4却二9故选：D.

6.【答案】D

【解析】依题意令g(力学，则g，(x)J(M：W”(x),

e(小)c

因为/'(x)-2/(x)<0在R上恒成立,所以g'(x)<0在R上恒成立,故g(x)在R上单调递减,所以

2

g(T)>g(0)，^M=e/(_l)>Z^)=i,故A不正确；

ee

所以g(l)<g(o)，即⑷</半,即/(l)<e2/(o)=e2,故B不正确;

ee

/（Q）=1,BP/1

又且匕卜且⑼，即方”<<e,故C错误;

e°

/d1

>g(l),即一^>2"，即故D正确；故选：D.

因为g

<2>

7.【答案】C

【解析】取用为尸尸的中点，工为右焦点，•.•丽•(而+丽)=2丽丽=0,

/.OMLPF.:.\OF\=\OP\=c,•・•舒在而上的投影为而I，=

.-.|OA/|=|c,/.|PF|=|c,:.\PF2\=^C,

2

-\PF\-\PF'2\=2a,.\-c=2a,.\e=5,故选：C.

8.【答案】B

（r兀.c35兀c

【解析】/(x)=sm3cox——sin2g+——=0

4J6

即sin36yx—四71]=0或sin2cox+—]=0

46

（4k+l）7t（64+1）兀

即x=A----L或X二^-----二

120126y

当x〉0时,零点从小到大依次为片士言白鲁，鬻篙

EU七17胃九n,1199兀兀(1719田小

因此有----<兀《----,即nn—,—.故选：B.

一\2co12一691212

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合

题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.【答案】BC

【解析】①没说明直线用垂直于两平面的交线，所以不能判断加_La,故①缙误；

②根据面面平行的性质定理，若mu0,a//P，则加〃a,故②正确;

③垂直于同一条直线的两个平面平行，所以若〃7_La,ml。,则a〃一,

若〃la,则〃J.77,故③正确；

④若加〃a,则a,平行或相交，若〃〃a,则〃〃/或相交或〃u»,故④错误.故选:

BC

10.【答案】ABD

【解析】假设抽出四张卡牌从小到大排列为玉，x2,与，乙

A.x4-X1=5,得玉=1,x4=6,故A正确

8色产=5,得七=4,X4=6,故B正确

C.X]+/+工3+%=14,存在玉=2,x2=3,x3=4,%=5使得不抽出卡牌6,故C错误

-5

若未抽出卡牌则方差最大为芭=匕=时，此时故

D.6,1,X2=2,X3=4,5x=3,?=j<4.25,

D正确

11.【答案】ABD

【解析】由y=£得lny=xlnx,令z=xlnx,则函数z=xlnx可以看作为函数z=1即与函数y的

复合函数，因为z=lny为增函数，所以z=xlnx与y=单调性、图象变换等基本一致，z'=hu+l,

+81上单调递增，在x时，取得极小值（最小值）

1

--9

e

所以，/（x）=/在（“8）上单调递增，在（；,+00卜单调递增，即B正确;

在％二1时，取得唯一极值（极小值，也是最小值）e-^<e°=l<64,即A、D都正确，C错误.故选:

e

ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共15分.

12.【答案】9或（写出任意一个都得5分）

13.【答案】31

【解析】设'+4-+」-+'-+」-二7；,

aa

%a2%4s

则27；

%+%।।%+%]%+%।%+《=2(%+%+%+%+%)=62,故7=31

4%a2a42404a2牝％al

,…«sinasin/7atanatan/y“

14.【答案】-r--彳(也可以写成-------匕x)72

sin(p-a)tanp-tana

ACaasina

【解析】（1）在△/BC中,/、，AC-/、

sinasini/^-a)sin(^-a)

在RM4C。中，〃=力。疝夕=3产1叫（结果还可以是“面10而2）

sin（夕一a）tan/一tana

（2）由于。（一3。＜与43。）=0.9973,因此3b=34—W0.5,

所以力272,故至少要测量72次.

故答案为：驾她吗（也可以写成小皿小娥）；”

sin（fi-a）tan/一tana

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【答案】（1）%=2〃—l（〃£N）（2）Tn

【解析】（1）令〃=1,得q=1

因为4S“=(2〃+l)a“+1€N*),所以4szM=(2〃一+1(〃22,〃£N"),

两式相减得4a”=(2〃+l)a“一(2〃一I)*(〃22,〃eN")，

即(2-3)%=(2〃-1"〃T.所以反2n-\_w>2,neN*j,

a2九一3

所以”.生…且_=3.32n-\即%=2〃-1,

4a2%.i132/?-3q

所以a“=2〃一1(〃22,〃wN"),

又q=l,符合上式，所以%=2〃一

⑵由⑴―1―-=ip—O,

4G+i(2w-l)(2w-l)2(2〃-12n+lJ

1

所力以5(=-1-「-n-----n+」-n-----n4-.------AF---------------i---=Y-I1d-------1-------=、------〃----.

"2\\\3)(35)2〃+1〃2(2n+\)2〃+1

16.【答案】(1)极小值—4,无极大值；(2)e2.

e-

【解析】(1)/*(x)=w(x+2)ex,m>0.

令/'(x)>0,得%>-2,令/'(x)<0,得xc—2.

故/(》)在(-8,-2)单调递减，在(-2,+oo)单调递增.

二./(力在x=-2处取得极小值/(-2)=-：，无极大值.

e

(2)In/(x)<2ev对Vxw(—1,+8)恒成立，即In加工2e“一In(x+1)—x对Vx£1,+8)恒成立.

令g(x)=2e*-ln(x+l)-x,x€(-l,+oo),则只需InmVgdm即可.

gr(x)=2ev--^-j-l,xe(-l,-Ko)

易知j，=2e、，y=—占一1,均在(-1,+oo)上单调递增，

故g'(x)在(-1,+x)上单调递增且g'(O)=0.

.,.当xw(-1,0)时,gr(x)<0,g(x)单调递减；

当x«0,+8)时，g'(x)〉o,g(x)单调递增.

,・g(')min=8(°)=2.故］11m工2=1怔2.

2

:.0<m<et故加的最大值为e2.

17.【答案】(1)证明见解析；(1)当叵.

13

【解析】(1)在三棱柱48C—431G中，AB1AC,AB=&C=3,则/4CB=60。，

OA=-BC=>/3

2

由45=3,AD=2DB,得DB=1,

在△DBO中，^DBO=30°,DB=1，OB=C,

由余弦定理。。2=12+(6丫—2X1XGXcos30°=1,

22

得OZ）=1,O/^+OD=4=ADf

于是4010。，由4。，平面/8C,OQu平面48C,

得同。1OD,

而40n4。=。，AO,4。u平面力。4，因此OQ_L平面NO%,

又44u平面力。4,

所以_L。。,

（2）由（1）知，OA,0D,。4两两垂直，以。为原点，直线CM,0D,。4分别为x,歹，z轴

建立空间直角坐标系。-盯z,

由44=2百，AO=y/3,得40=3,

则/（6,0,0）,4（°，°，3），B,-,0,

\/

于是麻=j自，一口乃、或",_:,0

I22JI22J

设前二（xJ,z）为平面48%的一个法向量，

63「小

——x——歹+3z=0

则《22,取x=6,

3石3.

---x——y=0

22

得蔡二（6,3],

显然G=（0,1,0）为平面AOA｝的一个法向量,

m-n33J13

=Ilf=I—=-----r显然二面角B—44]—O的大小为锐角，

R网“V1313

所以二面角8—彳4一。的余弦值为与叵.

113

18.【答案】（1）z=28.8,52=127.4⑵—

25

【解析】⑴根据题意，得口智也『=28.8,

因为Z■-x+x-z）=工卜.-“）+221,-x）（x-z）+12（x-z）

I=IJ=If=i

=+2"）区+12（x-z）=£（xz-x）+12（x-z）.

»=i'V1=1/t=i

同理连刁=Z(M-夕+12(正不，

1=1J=1

所以群=5[热-刁+£(y二)2总[郭4+]]+暑回-亍+连寸

q£■一4+12（三y十斗一歹

DUL/-=1/«1

$12S,2+12（x-z）2+18Sj+18（^-z）2j

=—x（12xl9+12xl0.82+18x70+18x7.22）=127.4

所以总样本的平均数为1=28.8,方差6=127.4.

（2）依题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,

设“第i场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件4，“第i场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”

为事件与，i=i,2,3,则尸(4)=3,尸(与)=；

3丫_4

所以尸(X=0)=尸1

5）~25

尸（x=i）=尸（4瓦4+彳4瓦）=尸（4瓦%）+尸（彳4瓦）=[＞；'（1_f|+[1一｛|＞＜（'；=4,

3Z\D/\DyDLND

P（X=2）=l—P（X=0）—P（X=l）=B

则X的分布列为：

X012

463

P

25255

36

E(X)=0x---Fix—+2x—

v725252525

I

19.【答案】(1)—X~+2y~-=l(2)/n<—(3)证明见解析

432

（3、x2v219

【解析】（1）由题意，点01,士在椭圆三十七=1上得，可得A+Wul①

[2）a2b2a24b2

I1

又由c=—,所以c士=—②

2a2

由①②联立且。2=a?一/，可得,2=1,片=4,〃=3,

故椭圆C的标准方程为工+匕=1.

43

2(\2个1X厂r2c

(2)设7(x/),|7S|2=(x_〃7)2+y=(x-w)+3I--=-----2mx+〃/+3,

4

令g（K）=5■-2m工+加2+3，对称轴为X=4〃7,

因为—24x42,

222

当4〃1<一2,即——，g(x)m，n=g(-2)=l+4/w+w+3=4/w+w+4=(w+2),故符合题意;

2

2