2024江西省南昌市高三下学期三模数学试题及答案

2024届高三第三次模拟测试数学试题一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2，By|y2C.[0,2]xa0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是x1.则AB（1.已知集合Ax|y2xx）A.2]B.2]D.[2,)2.已知p:“x2，q:“x2（）1A.,214B.(,2]C.,D.[2,)43.如图对两组数据x，y和v，u分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得线性回归方程分别是ybxa和ubva，并对变量x，y进行线性相关检验，得到相关系数r，对变量v，u进行线11221性相关检验，得到相关系数2，则下列判断正确的是（）A.10B.20C.rr|D.rr01212114.已知a23，b34，clog32，则a，b，c的大小关系是（A.abcB.bacC.acb5.已知三棱锥ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，M分别是线段BD的中点，若AMBC，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为（）D.cba）4π16πA.B.4πC.D.16π33a2n1a26.已知数列a的前n项和为Sn，且满足11，Snn1，则S的值不可能是（）n5A.17.已知双曲线C:B.2C.3D.15x22y22ab0)的左、右焦点分别为F，F.过F作直线l与双曲线C的右支交122ab于A，B两点，若△1AB的周长为b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）531C.,2A.,5B.,3D.[2,)2221f(x)exa(x2.则下列说法中错误的是（）8.已知函数21A.当a时，f(x)在R上单调递增eB.当a0时，f(x)的最小值是一个与a无关的常数C.f(x)可能有三个不同的零点D.当a0时，f(x)有且仅有一个零点二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a是单调递减的等比数列，若22，前3项和S37，则下列说法中正确的是（）nA.14B.q3an2n1D.Sn823nC.f(x)ax3bx2d(a0)，若y|f(x)2|的图象关于直线x1对称，则下列说法10.已知函数正确的是（）A.y|f(x)|的图象也关于直线x1对称C.abcd2B.yf(x)的图象关于2)中心对称D.ab0x2y2ab0)上所有的点绕原点旋转0角，得到椭圆C2的方程：211.是椭圆1:a2b2x2y26，则下列说法中正确的是（）3A.a23B.椭圆C2的离心率为3C.(2,2)是椭圆C2的一个焦点D.4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z满足z2iz，则|z______.a13.在△ABC中，2B1，则cos(BC)______.b14.欧拉函数(n)nN*的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有2nI2，(4)2，则数列的前n项和为______.n3四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.π15.（13分）如图1，四边形ABCD为菱形，ABC，E，F分别为AD，的中点，如图2.将3△ABC沿AC向上折叠，使得平面ABC平面ACFE，将△沿EF向上折叠.使得平面平面ACFE，连接BD.图1图2（1）求证：A，B，D，E四点共面：（2）求平面与平面所成角的余弦值.16.（15分）教练为了解运动员甲的罚篮情况，记录了甲罚篮前30次的投篮情况，得到下表（用“1”表示投中，用“0序号123456789101111120130140151投篮情况序号110111101161170181191200210221231241250260271281291300投篮情况把频率估计为概率：（1）若认为甲各次投篮是独立的，计算甲第31，32两次投篮恰好一次投中，一次没有投中的概率；（2）若认为甲从第2次投篮开始，每次投篮受且仅受上一次投篮的影响，记甲第31，32两次投篮投中的次数为X，写出随机变量X的分布列，并求EX.x22y22317.（15分）已知椭圆E:ab0)的离心率为e，过点C0)作斜率为k直线l与椭ab282圆E交于A，B两点交于A，B（A在xk1时，|AB（1）求椭圆E的标准方程；.5（2）过点A作直线x4的垂线，垂足为N，连接BN与x轴交于点M，若四边形ACMN为等腰梯形，求直线l的斜率k.mmxy18.（17分）定义：若变量x，y0，且满足：1，其中a，b0，mZ.称y是关于ab的“m型函数”.3（1）当a2，b1时，求y关于x的“2型函数”在点处的切线方程；2（2）若y是关于x的“1型函数，（i）求xy的最小值：n11nn1nn1n（ii）求证：xn，nNynab.n19.（17分）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.图1图2（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超π过，且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形4πABCD，AD0.8m，AB2.4m，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够，若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由.4（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收，为了省力，小金选择到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米.，记此冰箱水平截面为矩形，EH1.2m.设，当冰箱被卡住时（即点H、G分别在射线PR、PQ上，点O在线段EF表示冰箱高度EF的长，并求出EF的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到）2024届高三第三次模拟测试数学参考答案及评分意见一、单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.题号答案12345678ABDBCBAC二、多项选择题：共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号答案91011ADBCDACD三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分.n3212.213.114.123四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.1）取AC，EF的中点分别为M，N，连接BM，，取AM，BM的中点分别为G，H，连接，，，由题意知△ABC，△都是等边三角形，所以BMAC，EF，因为平面ABC平面ACFE，平面平面ACFE，所以BM平面ACFE，平面ACFE，所以BM//，因为AM，BM的中点分别为G，H，所以GE//所以，所以//，所以//，又因为，所以//，因为AM，BM的中点分别为G，H，所以//AB，所以AB//，所以A，B，D，E四点共面；（2）连接AD，，由题意知APAB，BD，所以ADBD，同理CDBD，所以就是二面角AC的平面角，37设AB2a，则AC2a，a，ANa，2210210所以a，同理a，2104104a2a24a215所以，10102aa2215所以平面与平面所成角的余弦值为.16.1）根据表中的数据，在甲前30次的投篮过程中，有19次投中，11次没有投中，因此因动19301130员甲投篮投中的概率1，投不中的概率为2，若甲各次投篮互相独立，那么第31，32次投1911209PC12PP212；篮，恰有一次投中，一次没有投中的概率为3030450（2）根据表格中的数据可以知道：上一次投篮投中，这一次也投中的概率为12，1935上一次投篮没有投中，这一次投篮投中的概率为，X的所有可能取值为0，1，2，且由表格可知第30次运动员甲没有投中，33则P(X0)1155254，3331221955519475P(X11，31236P(X，51995所以随机变量X的分布列为：X04122194753695P25421947536579所以EX01252.95475ba223ba1217.1）因为e1，所以，即ab，2x2y221，即x24yb2.2不防设椭圆的方程为b2b并与直线yx1联立方程22b2x4y消去y得5x28x4b02yx184b22，12设Ax,y，Bx,y，则有12112552851b285由|AB所以1b2122xx2412216212520，即b1x2所以椭圆E的标准方程为y1；24（2）因为四边形ACMN为等腰梯形，则必有BCM，即|BC|BM|，不妨设CM的中点为G，则必有BGCM，1xM要求直线l的斜率，只需要转化为求点B的坐标，则有xx2G2设Ax,y，Bx,y，则有Ny，112211y2xy4y2111y2有直线BN的方程为y1(x4)，令y0，则有xM44x21m不妨设直线AB的方程为x1，ky3y则有x1，xM1214221y224y42x，消去x得m24y2302并与椭圆联立方程x12m33则有yy，yy，则有1y2yy12m212m21244232521yy31741251x则有xM4，所以xxM22G221y22x2174415所以y21148151568所以k.7141212x2x1212318.1）由条件知y1，y1x，y424x1633所求切线方程为y(x，即x23y40.2611xyaxby（2）由已知得：1，即1，ababaybxaybx①(xy)(xy)abab2(ab)2.xyxyxyaybxxaababxy当且仅当即2时取得最小值.ybxy(ab)11xyaxb②由1，即ab1，y则(xayb)ab，且xa，yb.b可设xaat，yb，其中t(0,)，tnn1atb1t于是xnyn[n1ant)nbn1.tn1t记ht)ant)nbn1.n1n11nattnt)n1bnn1ht)nant)n1nb1t.2tn1ann1nn1baba由t)0，得t，记t，0当0tt时t)0，当tt时，t)0，则00n1a1tnnb1nht)ht00t0nnnn1nn1baabb1an1nnnn1n1abn1an1ban1bn1nnnnnnnnan1an1bn1bn1bn1an1n1nnnan1bn1.n11nn1nn1n所以xnyab.nn19.1）过A，D作水平线l，l，作CFl，l，如图，1221π当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离）4ππ825hCF0.8sin2.42.3，44故冰箱能够按要求运送入客户家中.（2）延长EF与直角走廊的边相交于M、N，1.81.8则，sin1.2tanEM，FN1.2tan，又EFNF，则)1.2π21.81.81EF1