经济数学微积分 第4版 教案 第1章 函数、极限与连续

第1章函数、极限与连续第1章函数、极限与连续本章知识结构导图教学要求在初等数学基础上，加深对函数概念的理解和对函数几何特性（单调性、奇偶性、周期性、有界性）的了解。理解反函数、复合函数的定义，会求函数的反函数，会进行函数的复合与分解；了解基本初等函数的定义域、图形与性质。掌握常用经济函数的含义、数学表达，会建立简单经济问题的数学模型。理解数列极限、函数极限的描述性定义和性质。理解无穷小的概念和基本性质，会利用无穷小的性质计算极限；理解高阶无穷小、等价无穷小的概念，会比较无穷小。掌握极限的四则运算法则；了解复合函数极限运算法则；熟练掌握极限计算。了解极限存在的两个准则；熟练掌握利用两个重要极限及无穷小等价替换定理计算极限。理解函数连续与间断的概念，会判断函数间断点的类型；理解函数的连续性；了解闭区间上连续函数的性质（最值定理、介值定理、零点定理）。教学重难点教学重点：常用的经济函数、无穷小的比较、极限运算法则、两个重要极限、函数连续与间断的概念、函数的连续性教学难点：反函数与复合函数、数列与函数的极限、极限的存在准则、闭区间上连续函数的性质教学内容及课时划分1.1函数的概念和性质2课时1.2反函数与复合函数2课时1.3常用经济函数介绍2课时1.4数列、函数的极限2课时1.5无穷小与无穷大1课时1.6极限运算法则2课时1.7极限存在准则与两个重要极限3课时1.8函数的连续性2课时习题课2课时计18课时1.1函数的概念和性质教学目的：理解函数的概念、函数的基本性质教学重难点：1、教学重点：邻域的概念、函数的基本性质2.教学难点：函数的有界性教学课时：2教学过程：函数表示了变量之间的相依关系，是微积分的研究对象。本章从讨论函数的概念开始,通过对一般函数特性的概括,引出初等函数,为学习“经济数学”打下基础.一、区间与邻域区间分为有限区间与无限区间.有限区间有四个:开区间;闭区间;半开半闭区间;;无限区间有五个：;;;;.邻域是一种特殊的区间，是后续学习函数极限、微分、积分等知识时常用一个重要概念。定义1.1设,且,则集合称为点的-邻域,记作,也即,这是以点为中心,区间长度为的开区间,正数叫做邻域的半径.在数轴上，表示到点的距离小于的所有点的集合。集合称为点的去心邻域,记作,也即.另外,点的左邻域定义为，点的右邻域定义为.当不必指明邻域半径时,上述记号中的正数可省略,即邻域、空心邻域、左邻域和右邻域可简记为,,和.【例1】利用区间表示不等式的全部解.【解】先对不等式左端分解因式,原不等式为,则或.故.二、函数的概念1.函数的定义定义1.2设是两个变量，是非空实数集,如果对于任意的,按照某个对应法则,都有唯一的一个实数与之对应,则称这个对应法则是定义在上的函数。其中叫做自变量,叫做因变量,的取值范围叫做这个函数的定义域,通常将定义域记为.当的取遍内的所有实数时,对应的函数值的全体叫做这个函数的值域.习惯上常用表示函数。2.函数的几点说明（1）函数的两个要素定义域与对应法则是函数的两个要素.只有两个函数具有相同的定义域和相同的对应法则时,它们才是相同的函数,否则就不是相同函数.（2）函数的定义域在求函数的自然定义域时应遵守以下原则:偶次方根下被开方数非负;分式中分母不能为零;（3）对数中的真数大于零;（4）三角函数中,中;（5）反三角函数与中;【例2】求函数的定义域.【解】欲使函数有意义，则应有即故所求函数的定义域为.函数的表示方法函数的表示方法主要有三种:表格法、图形法和解析法（公式法）.4.几种特殊的函数绝对值函数，。号函数，，。取整函数，表示不大于的最大整数.[5.15]=5,[-7.8]=-8,.观察这三个函数，易知在定义域的不同部分，函数分别用不同的算式表示。于是可给出分段函数的概念。分段函数把定义域分成若干个区间,在不同的区间内用不同的数学算式表示的函数称为分段函数.三、函数的几何特性研究函数的目的就是为了了解它所具有的性质,以便掌握它的变化规律.1.单调性定义1.3设函数定义域为，区间.如果对于区间内的任何两点和，当,总有（或）,则称函数在区间内单调递增（或单调递减）,叫做单调增区间(或单调减区间).【例3】证明在内是单调递增的.【证明】任取且,则有,即,也就是说在内单调递增的.函数的单调性与自变量取值范围有关.例如函数在区间内是单调递减的,在内是单调递增的，但在内不单调.2.奇偶性定义1.4设函数的定义域关于原点对称.如果对于任意恒有,则称为奇函数;如果对任意的,恒有,则称为偶函数.例如在内是偶函数;在内是奇函数.而是非奇非偶函数。显然偶函数的图形关于轴对称;奇函数的图形关于坐标原点对称.【例4】判定函数与函数的奇偶性.【解】因为,所以在定义域内是偶函数;又因为,所以在定义域内是奇函数.思考：任意一个函数都可表示为偶函数与奇函数之和？3.周期性定义1.5设的定义域为.如果存在非零常数,使得对任意的,都有,则称为周期函数，称为函数的一个周期.通常所说的周期是指周期函数的最小正周期,同样记为.例如正弦函数中,都是它的周期,其最小正周期.有界性引子：在上的图像介于水平线与之间，故其为有界函数.定义1.6设函数的定义域为,数集.如果存在正数,使得对所有的,都有,则称函数在上有界,或称是上的有界函数.否则称在上无界,也就称为上的无界函数.显然，如果函数在上有界，则存在无穷多个这样的，使得.【例5】函数在内无界,而在内有界.可见函数的有界性同样与自变量的取值范围有关.又如：四、作业习题1.12（2）（4）；4（1）（5）（6）；5（2）（3)1.2反函数与复合函数教学目的：1.理解反函数、复合函数的定义，会求函数的反函数，会进行函数的复合与分解.2.了解基本初等函数定义域、图形与性质教学重难点：教学重点：复合函数的概念教学难点：复合函数的分解教学课时：2教学过程：反函数定义1.7设函数的定义域为,值域为,如果对中的任何一个实数,有唯一的一个,使成立.那么把看成自变量,看成因变量,由函数的定义,就成为的函数,称这个函数为的反函数,记,其定义域是,值域是.按照习惯,函数的反函数就写成:.定理1.1（反函数存在定理）单调函数必存在单调的反函数，且具有与相同的单调性．注：求解的反函数步骤：求出的值域；用表示，即写出；对换与，得到反函数以及其定义域.【例1】求的反函数.【解】因为的定义域为，值域为.由，得即因此，所求的反函数为三角函数与反三角函数1.三角函数余切函数的定义域为，以为周期，为奇函数，且在其一个周期内是单调递减的.（2）正割函数的定义域为，以为周期，且为偶函数（3）余割函数的定义域为，以为周期，且为奇函数.2.反三角函数反正弦函数正弦函数在区间上单调增加，它的反函数称为反正弦函数，记为，其定义域为，值域为,在其定义域上单调增加.(如图1.5）（2）反余弦函数余弦函数在[]上单调增加，它的反函数称为反余弦函数，记为，其定义域为,值域为[].（3）反正切函数正切函数在上单调增加，它的反函数称为反正切函数，记为，其定义域为,值域为.（4）反余切函数余切函数在上单调递增，它的反函数称为反余切函数，记为，其定义域为,值域为.注：正弦函数在除外其他单调区间上也具有反函数，只是此时的反函数不称为反正弦函数.显然，余弦函数、正切函数、余切函数也如此.【例2】求下列各式的值（2）（3）【解】（1）（2）（3）复合函数【定义1.8】设函数,定义域为；,定义域为,值域为.如果,那么称函数，为由函数和构成的复合函数,其中为自变量，为因变量，称为中间变量.就是复合函数的定义域.习惯上称函数为内函数，函数为外函数.【例3】设,,构造复合函数并求其定义域.【解】因的定义域为,的定义域为,值域为,的定义域为，值域为.由于，.故复合函数为，定义域为.【例4】分析下列函数由哪些简单函数复合而成，并求复合函数的定义域.（1）（2）（3）【解】（1）由函数复合而成，定义域为；（2）由函数复合而成，定义域为；（3）由函数复合而成，定义域为.四、基本初等函数与初等函数1.基本初等函数我们接触到的函数大部分都是由几种最常见、最基本的函数经过一定的运算而得到,这几种函数就是我们已经很熟悉的函数,它们是常值函数（为常数）幂函数（为常数）指数函数（为常数，且）对数函数（为常数，且）三角函数，，，，，反三角函数，，，这六种函数统称为基本初等函数.作业：请将基本初等函数的名称、表达式、定义域、图形及性质列表表示出来.2.初等函数初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次复合运算所得到的，并可以用一个式子表示的函数.注：一般来说，分段函数不是初等函数.但绝对值函数例外，因为又可表示为，所以绝对值函数是初等函数.函数的一般形式为，称形如的函数为幂指函数，其中，均为初等函数，且，由恒等式因此，幂指函数是初等函数.例如等都是初等函数.作业习题1.21（4）；2（1）（5）（6）；3（2）；4（1）（4）.1.3常用的经济函数教学目的：掌握常用经济函数的含义、数学表达，会建立简单实际问题的数学模型教学重难点：1、教学重点：常用的经济函数2、教学难点：建立简单实际问题的数学模型教学课时：2教学过程：在经济问题中，首先分析出问题的变量，然后建立变量之间的函数关系，即建立数学模型，最后进行求解，达到对实际问题解决的目的.下面介绍几个常用的经济函数.单利与复利公式1.单利公式单利是指仅对本金计息，利息不计息的增值方式.设现有本金,每期利率为,期数为，则第一期末的本利和为第二期末的本利和为第期末的本利和为2.复利公式设现有本金,每期利率为,期数为.若每期结算一次,则第一期末的本利和为:,将本利和再存入银行,第二期末的本利和为:,再把本利和存入银行,如此反复,第期末的本利和为: , 例如设为本金，按年为期,年利率为,则第年末的本利和为:.二、需求函数与供给函数1.需求函数商品的需求量是该商品价格的函数,称为需求函数.用表示对商品的需求量,表示商品的价格,则需示函数为:,鉴于实际情况,自变量,因变量都取非负值.一般地,需求函数是价格的递减函数.在直角坐标系中作出它的图形称为需求曲线.实际中，常用以下函数来近似表示需求函数：线性需求函数:,其中幂函数需求函数:,其中指数需求函数:,其中需求函数的反函数,称为价格函数,记作:,也反映商品的需求量与价格的关系，有时也称为需求函数.2.供给函数商品的供给量是该商品价格的函数,称为供给函数.用表示对商品的需求量,表示商品的价格,则需示函数为:,鉴于实际情况,自变量,因变量都取非负值.一般地,商品供给函数是价格的递增函数.在直角坐标系中作出它的图形称为供给曲线.实际中，常用以下函数来近似表示供给函数：线性函数，其中幂函数,其中指数函数,其中将需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中.由于需求函数是递减函数,供给函数是递增函数,它们的图形必相交于一点,该点叫做均衡点,该点对应的价格就是供、需平衡的价格,也叫均衡价格;这一点所对应的需求量或供给量就叫做均衡需求量或均衡供给量.称为均衡条件.【例1】某商品每天的需求函数与供给函数分别为，试求市场达到供需平衡时的均衡价格和均衡需求量.【解】由均衡条件，得解得从而.故市场供需均衡时的均衡价格为单位,均衡需求量为个单位.三、成本函数与平均成本函数1.成本函数成本是指生产某种一定数量产品需要的费用,它包括固定成本和可变成本.如果记总成本为,固定成本为,可变成本为,设为产品数量，那么总成本函数其中.显然成本函数是单调增加函数,它随产量的增加而增加.2.平均成本函数平均成本是指生产单位产品所花费的成本,记为,设为产品数量，则平均成本函数其中称为平均不变成本，记为；称为平均可变成本，记为.因此，有四、收益函数与利润函数1.收益函数生产者销售一定数量的产品或劳务所获得的全部收入，称为总收益，记为.生产者出售一定数量的产品时,单位产品的平均收入,即单位产品的平均售价，称为平均收益,记为.如果记为总收益,为平均收益,为销售量,则,都是的函数,其中,取正值.如果产品的销售价格保持不变，销售量为，则,2.利润函数利润是指收益与成本之差,记为，是销售量的函数，则有利润函数可能会出现下列三种情形:（1）,表示有盈余；（2）,表示出现亏损；（3）,表示盈亏平衡.我们把盈亏平衡时的产量（销量）称为盈亏平衡点（又称为保本点）.盈亏平衡点在分析企业经营管理、产品定价和生产决策时具有重要意义.【例2】设每月生产某种商品件时的总成本为:(万元),每售出一件该商品时的收入是万元.求总利润函数和平均利润函数.（2）求每月生产件（并售出）的总利润和平均利润.【解】（1）由题意销售价格为，故总收益函数，又总成本函数，故总利润函数平均利润函数（2）由（1）当件时，该商品的总利润（万元）平均利润为:(万元).【例3】某厂生产一种产品，据调查其需求函数为，生产该产品的固定成本是元，而单位产品的变动成本为元，为获得最大利润，出厂价格应为多少？【解】成本函数，需求函数为于是收益函数利润函数当时，取得最大利润元所以该产品的出厂价应定为元.作业习题1.31；3；4；5；61.4数列、函数的极限教学目的：了解中国古代的极限思想；理解数列极限、函数极限的描述性定义和性质教学重难点：1、教学重点：数列极限、函数极限的描述性定义2、教学难点：数列极限的性质解释教学课时：2教学过程：一、中国古代数学家的极限思想刘徽的割圆术“割圆术”就是用圆的内接正六边形、正十二边形、…、正边形去逼近圆,即用正多边形的面积（周长）代替圆面积（周长）.随着正多边形边数的增加，正多边形的面积（周长）越来越接近于圆面积（周长）.如果设正六边形、正十二边形、……、正边形的面积分别为,,,…,,如此下去，就构成一个无穷数列,,,…,,…其中.随着内接正多边形的边数的增加,正多边形面积也越来越趋向于一个稳定的值,这个稳定值就是圆的面积.同样若设正六边形,正十二边形,…,正边形的周长分别为,,,…,,于是得另一数列,,,…,,…其中随着内接正多边形的边数（这里为）的增加,正多边形周长也越来越趋向于一个稳定的值,这个稳定值就是圆的周长.2.截杖问题一尺之棰,日取其半,万世不竭.这是一个无穷数列，通项为，当无限增大时，会无限地变小，并且无限地接近常数0.“万世不竭”表示的意思是，虽然每次取下的长度越来越小，但永远不等于.二、数列的极限1.数列极限的定义在“割圆术”和“截杖问题”中，均涉及到对于一个无穷数列，当项数无限增大时，通项的变化情况.当无限增大时，数列,,,…,,…的通项无限趋近于；数列,,,…,,…的通项无限趋近于；数列的通项为无限趋近于0.下面再看几个数列的通项在无限增大时的变化趋势：（1）数列，其通项随的增大而逐渐减小,越来越趋近于；（2）数列，其通项随的增大而增大,越来越趋近于；（3）数列，其通项随的增大而增大,且无限增大；（4）数列，其通项随着的变化在的两侧跳动,并随着的增大而趋近于；（5）数列，其通项随着的增大始终交替取值和,而不趋向于某一个确定的常数；（6）数列的各项都是同一个数,故当越来越大时,该数列的项也总是确定的常数.定义1.9当无限增大时,如果数列的通项无限趋近于某个常数,那么就称数列收敛,常数称为数列的极限,记为或否则称数列发散.根据定义，数列（1），（2），（4），（6）为收敛的数列,它们的极限分别是,,,.也即,,,.而数列（3），（5）为发散的数列.下面给出以后常用的一些数列极限：（1）（为常数）（2）（为常数且）（3）（为常数且） （4）（为常数且）（5）2.收敛数列的重要性质一般地，收敛数列具有如下性质.性质1收敛数列是有界的.性质2收敛数列的极限是唯一的.函数的极限1.自变量趋于无穷时的极限（即当时,函数）自变量趋于无穷（记）可分为两种情况:自变量趋于正无穷（记）和自变量趋于负无穷（记）.【例1】考察下列函数,当时,函数（1）（2）（3）【解】（1）当时有,当时也有,所以当时有.（2）当时有,当时有,所以当时不能趋向于一个确定的常数.（3）无论是还是时,都不能趋向于一个确定的常数,所以当时也不能趋向于一个确定的常数.定义1.10设函数在自变量充分大时总有定义，如果当自变量无限增大时,函数值无限趋近某个确定的常数,那么称为函数当时的极限,记作或否则，称函数当时的极限不存在.定义1.11设函数在自变量充分小时总有定义，如果当自变量无限减小时,函数值无限趋近某个确定的常数,那么称为函数当时的极限,记为或否则，称函数当时的极限不存在.例如，，，【定义】设函数在自变量充分大时总有定义，如果自变量无限增大时,函数值无限接近一个确定的常数,则称为函数当趋于无穷（）时的极限,记为或由于包含了和两种情况，因此可以得到：定理1.2函数当时极限存在的充分必要条件是函数当时和时极限都存在且相等.即2.自变量趋于有限值时的极限（即当时,函数）【例2】讨论当逐渐靠近时,函数值的变化情况.【解】我们列出自变量时的某些值,考察对应函数值的变化趋势0.90.990.999…1…1.0011.011.101.111.01011.001001…1…0.9990010.99010.91从表中可看出,当越靠近,对应函数值越靠近常数,即时,.【例3】讨论当趋于时,函数值的变化趋势.【解】列出自变量时的某些值,考察对应函数值的变化趋势0.750.90.990.9999…1…1.0000011.011.251.51.751.91.991.9999……2.0000012.012.252.5当时,【例4】讨论当趋于时,函数的变化趋势.当趋于时，无限地增大，不趋近于某个确定的常数.【例5】讨论当趋于时，函数的变化趋势.将函数的值列表如下…-1010-1…10-101当无限趋近于时，函数的图形在与之间无限次地摆动，即不趋近于某个确定的常数.定义1.12设函数在的某去心邻域内有定义,如果当无限趋向于时,函数值无限趋近某个确定的常数,那么称为函数当时的极限,记为或否则，称函数当时的极限不存在.例如，，，不存在，不存在.【例6】求.【解】从正弦函数的图形中可看出,当时,,即定义1.13设函数在的左邻域（可除外）内有定义,如果当自变量从的左侧趋于（记作）时,函数值趋于一个确定的常数,那么称为函数当时的左极限,记为或.设函数在的右邻域（可除外）内有定义,如果当自变量从的右侧趋于（记作）时,函数值趋于一个确定的常数,那么称为函数当时的右极限,记为或.左极限和右极限统称为单侧极限.由定义1.12和定义1.13，可以得出：定理1.3函数当时的极限存在的充分必要条件是函数当时的左极限、右极限都存在且相等.即【例7】设函数,求.【解】函数的图像如图1.16所示.当时,;当时,;根据定理1.3有.【例8】试讨论函数,在处的左、右极限.【解】函数的图形如图1.17所示,当时,;当时,.由定理1.3有在处不存在极限.3.函数极限的性质性质1（唯一性）若,则是唯一的.性质2（局部有界性）如果,那么函数在某个内有界.性质3（局部保号性）如果（或）,那么函数在某个内恒有（或）.由性质3还可得到下面的推论.推论1如果在某个内,恒有（或）,且,那么有（或）.推论2如果在某个内,恒有（或）,且,,那么有（或）.对于性质2和性质3，自变量的趋近方式为其他形式时，也可以得到类似的局部有界性和局部保号性以及推论.作业习题1.41（1）（3）；2（1）（2）（5）；3(2);41.5无穷小与无穷大教学目的：1.理解无穷小的概念与基本性质；2.利用无穷小的性质计算极限；3.理解高阶无穷小和等价无穷小的概念，掌握无穷小阶的比较方法.教学重难点：1、教学重点：无穷小的概念与性质，无穷小阶的比较，利用等价无穷小求极限2、教学难点：无穷小阶的比较教学课时：1教学过程：本节讨论两类极限值很特殊的极限,即极限值为零与极限值趋向无穷大的两类.一、无穷小与无穷大的概念先观察,,共同特点是:极限值为零.定义1.14如果当（）时,函数极限值为零,即，则称函数为（）时的无穷小.再观察观察共同特点是：极限为无穷大.定义1.15在自变量的某个变化过程中，如果函数的绝对值无限增大,那么称函数为该过程中的无穷大，记为；如果函数为正且绝对值无限增大，那么则称函数为该过程中的正无穷大，记为；如果函数为负且绝对值无限增大，那么称函数为该过程中的负无穷大，记为.例如，,,定理1.4在自变量同一变化过程中，如果为无穷小，且，那么为无穷大；如果为无穷大，那么为无穷小.为了叙述方便,本书中可表示自变量的六种变化过程中任意一种情况下的极限：，，，，，.无穷小与函数极限有着密切的关系：定理1.5的充分必要条件是,其中.【证】必要性设，则由极限的定义有令,则即是同一变化过程中的无穷小.充分性如果,其中，则由极限定义有证毕.二、无穷小的性质性质1有限个无穷小的和或差仍为无穷小；性质2有限个无穷小之积仍为无穷小；性质3无穷小与有界量之积为无穷小.【例1】求极限.【解】当时,，为有界函数；当时，为无穷小量，由无穷小的性质3可知类似地可得无穷小阶的比较考虑变量,,，当时,变量,,都是无穷小,即当时,它们都趋于零.但很明显,三者趋于的快慢程度不同,最快,最慢.为比较这种快慢程度,我们引进无穷小“阶”的概念.定义1.16设,,且（1）如果,那么称是比高阶的无穷小,记为；（2）如果（为常数）,那么称和是同阶无穷小；特别地,如果,那么称与是等价无穷小,记为；（3）如果,那么称是比低阶的无穷小.定理1.6（无穷小等价替换定理）设为同一过程中的无穷小，，，且极限存在，那么=【证】由，得，于是=定理1.6表明，求两个无穷小之比的极限时，分子或分母可以用等价无穷小来替换.该定理在极限计算中可以简化运算.关于该定理在极限计算中的应用将在本章第七节详细介绍.作业习题1.51（1）（3）；2（1）（5）；3；5（2）（4）.1.6极限的运算法则教学目的：1.掌握极限的四则运算法则；了解复合函数极限运算法则2.熟练掌握极限的计算教学重难点：1、教学重点：极限的四则运算法则、复合函数极限运算法则2、教学难点：根据极限的不同情形，采取相应的计算方法教学课时：2教学过程：一、极限的四则运算在下列同一命题中，考虑的是的同一变化过程.定理1.7如果,,其中为常数，那么（1）（为常数）（3）（4）（）下面只证（1）和（4），（2）、（3）可类似证明.【证】由,及定理1.5，有,其中为同一变化过程中的无穷小.于是有由无穷小的性质可知，，为同一过程中的无穷小.因此，由定理1.5可得（）定理中的式子推广到有限个函数的情形,即若,,,,则有;.我们称定理为极限的四则运算法则.下面举例介绍几种类型极限的计算.1、（其中为多项式）一般地,用极限四则运算法则可得到,对于任一个次多项式函数,都有.而关于有理函数当时的极限，当时，根据定理1.7（4）有而当时，需根据情况选择适当的计算方法【例2】求【解】因为分母的极限,由定理1.7的（4）式得,.【例3】求（1）（2）【解】（1），因为,但当,而时,有，从而得到.例3的求解方法可推广到一般情形.设（1）若则 ；（2）若则必有公因子，将因式分解，并将分解后的的公因子约去，然后再利用定理1.7的（4）式求解.思考：求2、（其中表示次多项式，表示次多项式）【例4】求（1）（2）【解】（1）因为,所以（2）一般地,当时，有.【例5】求【解】【例6】已知，求常数.【解】由于所以，，即思考：已知，求常数.3.需经适当变形再求极限【例7】求【解】从而有思考：求【例8】求【解】而,所以有二、复合函数的极限运算法则定理1.8（复合函数的极限运算法则或变量替换定理）设与构成复合函数.如果，，那么有【例9】求【解】令，由于，所以推论（幂指函数的极限）如果，，那么有作业习题1.61（1）（3）（4）；2（6）（8）（11）；31.7极限存在准则与两个重要极限教学目的：1.了解极限存在准则2.熟练掌握利用两个重要极限、无穷小替换定理进行极限计算教学重难点：1、教学重点：两个重要极限、利用无穷小替换定理计算极限2、教学难点：利用第二个重要极限进行极限计算教学课时：3教学过程：一、极限存在准则1.夹逼准则准则Ⅰ（数列收敛的夹逼准则）如果数列满足下列条件:(1)(2)那么数列的极限存在，且.【例1.30】求【解】由于而，由夹逼准则得注：此例也说明无限个无穷小的代数和不一定是无穷小.【例1】求【解】而，由夹逼准则得准则（函数收敛的夹逼准则）如果函数满足下列条件：（1）当（或）时,有（2）那么存在，且等于.2.单调有界准则如果数列满足，那么称数列是单调增加的；如果数列满足，则称数列是单调减少的；单调增加和单调减少的数列统称为单调数列.准则Ⅱ单调有界数列必有极限.二、两个重要极限1.（属于型）【证明】因为是一个偶函数,所以只要能证明成立即可.另外,由,不妨限制在内取值.如图1.18所示,设单位圆心为,在圆周上取一定点,在圆周上任取一点使.过点作圆周的切线交的延长线于,连结,则得、扇形、三个图形,设其面积分别为,则有关系.即,.因为,所以,得,即.因为,,于是由夹逼准则得,从而.当，该极限可以推广：为自变量某一变化过程中的无穷小。如【例2】求【解】（方法一）令,则当时,,所以（方法二）方法一，采用了变量替换法；方法二，直接将待求极限“凑”成第一个重要极限的形式.一般地,.【例3】求【解】因为,所以.【例4】求圆的内接正边形周长所构成数列的极限值【解】我们已计算出:,令,则当时,,所以.2.（属于型）这里仅从数列各项数值的变化趋势来说明.当时的情况:从以上表可看出,当时,数列是数值不超过3的单调增加数列.由极限存在准则Ⅱ可知，该数列存在极限，其极限就是无理数,于是有在基础上，可以证明当或时，函数的极限存在且等于，即有.若令，当时，，则有该极限的推广形式其中为自变量某个变化过程中的同一个无穷大量.【例5】求【解】【例6】求【解】.观察例1.35与例1.36发现两者本质上是相同的.【例7】求【解】【例8】求【解】方法一：因为,所以有方法二：.三、利用无穷小等价替换定理进行极限计算常用的等价无穷小有：当时，，，为常数【例9】证明当时，（1）（2）（3）（4）为常数.【证】（1）（2）令，当时，，则有（3）令，即，当时，，则有，由本例（2）所以（4），由本例（2）、（3）可得【例10】求【解】因为当时，，，所以一般地，思考：求【例11】求【解】因为当时，，所以【例12】求【解】因为当时，，所以【例13】求【解】因为当时，，所以思考：求利用等价无穷小替换计算极限需要注意，它适用于乘除法，一般不适用于加减.【例14】求【解】因为当时，，，所以连续复利设一笔贷款（称本金,也称现值），年利率为，由复利公式可知,年末的本利和（也称未来值）为如果一年分期计息，年利率为，那么每期利率为，于是一年末的本利和为年末的本利和为该公式称为离散复利公式.如果计息期数，即每时每刻计息（也称为连续复利），年利率为，那么年末的本利和为该公式称为连续复利公式.【例15】某人为孩子准备教育基金，希望10年后价值20万元，如果按年利率6%的连续复利计息，问现在大约需要存入多少钱？如果以6%的年利率按年复利计息，问现在大约需要存入多少钱？【解】设按连续复利计息，现在大约需存入元，按年复利计息，现在大约需存入元.本题中两个问题都是贴现问题，据题意，有，，得，，得所以，按连续复利计息，现在大约需存入10976.32元，按年复利利息，现在大约需存入111678.99元.作业习题1.71（4）（5）（8）；2（3）（4）；4（2）；5（5）（8）.1.8函数的连续性教学目的：1.理解函数连续、间断的概念；2.会判断间断点的类型；3.了解初等函数的连续性；4.了解闭区间上连续函数的性质（最值定理、介值定理、零点定理）教学重难点：1、教学重点：函数连续、间断的概念；会判断函数间断点的类型2、教学难点：间断点类型的判断，初等函数的连续性与闭区间上连续函数的性质教学课时：2教学过程：函数的连续与间断1.连续与间断的定义定义1.17设函数在的某邻域内有定义,且则称函数在处连续,称为函数的连续点，否则，称为函数的间断点.定义1.17说明，函数在处连续就是函数同时满足下列三个条件：（1）函数在的某邻域内有定义；（2）函数在处的极限存在，即；（3）函数在处的极限等于该点的函数值，即.设，称为自变量在处的增量（增量可正可负），这时，则称为函数在处的对应增量.图1.19图1.19定义1.18设函数在的某邻域内有定义,若或则称函数在处连续.【例1】证明：函数在处连续。证明:而在处连续又如函数,因为,所以该函数在处连续.2、左右连续定义1.19如果函数在内有定义，且,则称函数在处左连续；如果函数在内有定义，且,则称函数在处右连续.定理1.9函数在处连续的充分必要条件是函数在处既左连续又右连续，即【例2】判断函数在处是否连续.【解】因为所以，函数在处既左连续又右连续，由定理1.9，函数在处连续.可以证明绝对值函数在处连续,符号函数在处不连续.3．区间上连续如果函数在区间上每一点处都连续，那么称函数在区间上连续，或称函数是区间上的连续函数.如果函数在内任一点处连续，且在点右连续，在点左连续，那么称函数在上连续.【例3】证明在上连续.【证】任取，则由，得又于是，当时，由夹逼准则得，即所以函数在处连续，由的任意性，得到在上连续.可以证明，基本初等函数在其定义域内是连续的.4.间断点的分类间断点的分类表示如下图：例如是函数的可去间断点，是符号函数的跳跃间断点.又如就是函数的无穷间断点，就是函数的振荡间断点.注：函数的可去间断点有两种情况：（1）函数在该点处左右极限存在且相等，但函数在该点无定义；（2）函数在该点的极限值不等于函数值.【例4】讨论函数在和处的连续性，并判别间断点的类型.【解】在处，因为,所以但函数定义域中不含,在处无定义.可采取补充定义的方式，令，使函数在处连续，所以是函数的可去间断点.在处，因为，所以不存在.因此，函数在处间断.由于函数在的左极限和右极限不相等，所以是函数的跳跃间断点.【例5】设，求的间断点并判别其类型.【解】根据的定义域可知，函数仅在和处无定义，所以和是函数的间断点.在处，有所以，是函数的可去间断点.在处，有所以，是函数的无穷间断点.二、连续函数的性质及初等函数的连续性1.连续函数在其连续点上的性质定理1.10（1）连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）是连续函数；（2）连续函数的复合函数是连续函数.设函数在处连续,而函数在处也连续,则复合函数在处连续,即有【例6】求【解】2.初等函数的连续性定理1.11一切初等函数在其定义区间上都是连续的.【例7】求【解】.【例8】求下列极限：（1）（2）【解】（1）令，则观察例1.53（2），发现当时，就得到得到，即.三、闭区间上连续函数的性质定义1.20设函数在区间上有定义,如果存在,使得对任意的,有那么称分别为函数在上的最大值和最小值,最大值与最小值统称为最值.点分别称为的最大值点和最小值点.定理1.12（最值定理）如果函数在上连续,那么在上必取得最大值和最小值.由定理1.12可得出下面的推论推论1（闭区间上连续函数的有界性定理）若函数在上连续,则函数在上有界.定理1.13（介值定理）设函数在闭区间上连续,且，,则对于与之间任意实数，至少存在一点,使得定理1.14（零点定理）如果函数在上连续,且,那么