经济数学微积分 第4版 课件 6-5 函数的幂级数展开_第1页
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一、函数的泰勒公式、泰勒级数三、小结6.5函数的幂级数展开二、将函数展开成泰勒级数经济数学——微积分一、泰勒公式与泰勒级数

对于一些较复杂的函数，为了研究的方便，往往希望用一些简单的函数来近似表达，而在初等函数中，最简单的函数就是多项式函数，因此常用多项式来近似表达复杂的函数.

设函数f(x)在含有x0的开区间具有直到(n+1)阶导数，试找出一个关于(x-x0)的n次多项式来近似表示f(x)要求Pn(x)与f(x)之差是比(x-x0)n的高阶无穷小，并给出的具体表达式.1、泰勒公式设Pn(x)与f(x)在x0的函数值及在x0点直到n阶导数均相等——泰勒多项式——皮亚诺余项——拉格朗日余项如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，则当x∈(a,b)时，有其中ξ介于x与x0之间另一余项形式：定理（泰勒中值定理，泰勒公式）解例写出函数f(x)=ex的马克劳林公式.取

x0=0，就得到麦克劳林公式：Taylor公式在近似计算中的应用Taylor公式在近似计算中的应用无穷级数Taylor公式在近似计算中的应用Taylor公式在近似计算中的应用Taylor公式在近似计算中的应用Taylor公式的数学思想——局部逼近Taylor公式的数学思想——局部逼近Taylor公式的数学思想——局部逼近Taylor公式的数学思想——局部逼近Taylor公式的数学思想——局部逼近Taylor公式的数学思想——局部逼近Taylor公式的数学思想——局部逼近Taylor公式的数学思想——局部逼近Taylor公式的数学思想——局部逼近Taylor公式的数学思想——局部逼近Taylor公式的数学思想——局部逼近Taylor公式的数学思想——局部逼近Taylor公式的数学思想——局部逼近Taylor公式的数学思想——局部逼近Taylor公式的数学思想——局部逼近2.f(x)在x0处的泰勒级数及展开的条件定理(1)f(x)=cosx在x0=0处的泰勒级数.图形演示②

图形演示图形演示图形演示数值实验数值实验结论且对任意的x∈(-∞,+∞)只要n越来越大，cosx的泰勒多项式均收敛到cosx，这时我们称上述级数收敛于cosx，或者称cosx在x0=0处可以展开成泰勒级数，即(2)f(x)=ex在x0=0处的泰勒级数.图形演示图形演示图形演示图形演示数值实验数值实验结论二、将函数展开成泰勒级数的方法步骤:(一)直接法则f(x)可以展开成泰勒级数例1解（麦克劳林级数）

其中例2解——牛顿二项展开式1.2.3.常用函数的麦克劳林级数：双阶乘（二）间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例3解例4解例5解例6解例7解无穷级数三、小结2.函数展开成泰勒级数的方法和类型.（1）将函数展开成的幂级数（麦克劳林级数

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